في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قياسات الزوايا الناتِجة عن تقاطع وترين، أو قاطعين، أو مماسين، أو مماس وقاطع في دائرة.
نبدأ باسترجاع تعريفات الأنواع المختلفة من المستقيمات التي تتقابل أو تتقاطع في دائرة.
- وتر الدائرة قطعة مستقيمة يَقَع طرفاها على محيط الدائرة.
- القاطع مستقيم يقطع الدائرة عند نقطتين. ويُمكن اعتبار القاطع وترًا يمتدُّ إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين.
- المماس مستقيم يمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط.
يوضِّح الشكل الآتي هذه الأنواع الثلاثة من المستقيمات.
يُركِّز هذا الشارح على إيجاد قياسات الزوايا الناتِجة عن تقاطع مستقيمين من هذه المستقيمات، إمَّا داخل الدائرة وإمَّا خارجها. ترتبط قياسات هذه الزوايا بقياسات الأقواس المقابِلة للمستقيمات التي تكوِّن أضلاعها. ويجب أن نتذكَّر أن قياس القوس يساوي قياس الزاوية المركزية له، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.
نتناول أولًا التقاطعات داخل الدائرة. ويتعلَّق التعريف الأول بقياسات الزوايا الناتِجة عن تقاطع وترين.
النظرية: الزوايا المحصورة بين أوتار متقاطعة
قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع وترين داخل دائرة يساوي نصف مجموع قياسَيِ القوسين المقابِلين للزاوية والزاوية المقابِلة بالرأس لها.
لننظر إلى الزاويتين الناتِجتين عن تقاطع الوترين ، في الشكل الآتي.
القوس المقابل للزاوية هو . والقوس المقابل للزاوية المقابِلة بالرأس لها هو . إذن وفقًا لنظرية الزوايا المحصورة بين أوتار متقاطعة، فإن:
بالنسبة إلى الزاوية ، فإن القوسين المقابلين لهذه الزاوية والزاوية المقابِلة بالرأس لها هما ، . ومن ثَمَّ:
يُمكن أيضًا تطبيق النتيجة نفسها لإيجاد قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع قاطعين داخل دائرة أو قاطع ووتر. وهذا ممكن؛ لأن القاطع امتداد للوتر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين.
في المثال الأول، سوف نوضِّح كيفية تطبيق هذه النتيجة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين وترين متقاطعين بمعلومية قياسَيِ القوسين المقابلين.
مثال ١: إيجاد قياس زاوية محيطية محصورة بين وترين متقاطعين بمعلومية قياسَيِ القوسين المحصورين
أوجد .
الحل
نلاحِظ من الشكل أن القطعتين المستقيمتين ، وتران للدائرة، حيث يقع طرفا كلٍّ من القطعتين المستقيمتين على محيط الدائرة. القيمة المطلوب إيجادها؛ أيْ ، هي قياس إحدى الزوايا التي تتكوَّن عند نقطة تقاطع هذين الوترين. نتذكَّر عندئذٍ نظرية الزوايا المحصورة بين أوتار متقاطعة، وهي: «قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع وترين داخل دائرة يساوي نصف مجموع قياسَيِ القوسين المقابلين للزاوية والزاوية المقابِلة بالرأس لها».
القوسان المقابلان للزاوية والزاوية المقابِلة بالرأس لها هما ، . إذن:
بالتعويض بكلٍّ من ، ، وبالتبسيط، نحصل على:
نتناول الآن الزوايا الناتِجة عن تقاطعات خارج الدائرة. وفي هذه الحالة، يُمكن أن يكون المستقيمان المتقاطعان مماسين أو قاطعين أو مماسًّا وقاطعًا.
النظرية: الزوايا المحصورة بين قواطع ومماسات متقاطعة
قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع قاطعين أو مماسين أو قاطع ومماس عند نقطة خارج الدائرة يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين.
نوضِّح في الشكل الآتي هذه النتيجة بالنسبة إلى الزاوية الناتِجة عن تقاطع القاطعين ، .
القوس الأصغر المقابل للقاطعين هو ، والقوس الأكبر هو . إذن، وفقًا لنظرية الزوايا المحصورة بين قواطع متقاطعة، فإن:
بالطريقة نفسها، نوضِّح نتيجة تقاطع مماسين، وهما ، : 
لاحِظ أنه عند تقاطع مماسين عند نقطة خارج الدائرة، فإن القوسين الأصغر والأكبر المقابلين يكوِّنان معًا المحيط الكامل للدائرة. ومن ثَمَّ، فإن مجموع قياسَيِ القوسين المقابلين يساوي . من المُهِمِّ أن نتذكَّر أنه قد يكون لدينا قياس أحد القوسين المقابلين فقط، ومطلوب منَّا حساب قياس القوس الآخَر باستخدام هذه المعلومات.
نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه قياس الزاوية المحصورة بين قاطعين متقاطعين خارج دائرة بمعلومية قياسَيِ القوسين المقابلين.
مثال ٢: إيجاد قياس زاوية محيطية محصورة بين قاطعين بمعلومية قياسَيِ القوسين المقابلين
أوجد قيمة .
الحل
القطعتان المستقيمتان ، هما القطعتان القاطعتان للدائرة؛ حيث تقطعان الدائرة عند نقطتين. وتتقاطع القطعتان القاطعتان عند نقطة تقع خارج الدائرة، والقيمة المطلوب منَّا إيجادها هي قياس الزاوية الناتِجة عن هذا التقاطع. إذن نتذكَّر نظرية الزوايا المحصورة بين قواطع متقاطعة وهي: «قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع قاطعين عند نقطة خارج الدائرة يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين».
القوسان المقابلان هما ، . بما أن قياس أكبر، تُحسب القيمة الموجبة للفرق بطرح قياس من قياس . ومن ثَمَّ:
عند التعويض بقياسَيِ القوسين، كما هو موضَّح في الشكل، ثم بالتبسيط، نحصل على:
وعليه، فإن قيمة تساوي ٣٦٫٥.
لاحِظ أنه في المسألة السابقة، قيمة عددية بحتة؛ فالإجابة هي ٣٦٫٥، وليستْ . نقارن هذا بالمثال الأول؛ حيث كان الحلُّ هو . يرجع السبب في ذلك إلى الفرق في وحدة القياس (درجة) المُستخدَمة عند تسمية الزاوية؛ ففي المثال الأول، كانت الزاوية ، لكن في المثال الثاني، كانت الزاوية .
تناولنا مثالين على كيفية إيجاد قياس زاوية بين وترين وقياس زاوية بين قاطعين بمعلومية قياسَيِ القوسين المقابلين لكلٍّ من الزاويتين. من الممكن أيضًا العمل بطريقة عكسية بمعلومية قياس الزاوية المحصورة بين وترين أو قاطعين أو مماسين لإيجاد قياس أحد القوسين المقابلين أو كليهما، بشرط أن يكون لدينا معلومات أخرى كافية. في المسائل الأكثر تعقيدًا، قد يتطلَّب منَّا هذا أيضًا تكوين معادلة جبرية وحلَّها، كما سنعرف في المثال الآتي.
مثال ٣: إيجاد قياس القوس الأكبر بمعلومية قياسَيِ القوس الأصغر والزاوية المحيطية المحصورة بين مماسَّيْ هذين القوسين
إذا كان قياس القوس الأكبر ، فأوجد قيمة .
الحل
عند النظر إلى الشكل، نلاحِظ أن لدينا المماسين ، المرسومين من النقطة الخارجية نفسها للدائرة. ومطلوب منَّا إيجاد قياس القوس الأكبر المقابل لهذين المماسين. نتذكَّر نظرية الزوايا المحصورة بين مماسات متقاطعة وهي: «قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع مماسين عند نقطة خارج الدائرة يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين».
إذا تخيَّلنا أن النقطة تقع على محيط الدائرة في أيِّ مكان على القوس الأكبر الذي يربط بين ، ، فيُمكننا التعبير عن هذه النتيجة في هذه المسألة بالصيغة:
لدينا في الشكل قياس الزاوية المحصورة بين المماسين، وتعبير جبري لقياس القوس الأكبر الذي نُشير إليه بـ . لإيجاد تعبير يمثِّل قياس القوس الأصغر، نتذكَّر أن قياس المحيط الكلي للدائرة يساوي . ومن ثَمَّ، فإن قياس القوس الأصغر يساوي .
يُمكننا الآن تكوين معادلة في عن طريق التعويض بهذه القِيَم والتعبيرات في الصيغة الموضَّحة السابقة. وحدة القياس هي نفسها في كلِّ تعبير؛ ومن ثَمَّ يُمكن حذفها. بالتعويض بكلٍّ من عن قياس القوس الأكبر، و عن قياس القوس الأصغر، و٦٤ عن قياس الزاوية المحصورة بين المماسين، نحصل على:
للحل لإيجاد قيمة ، نضرب أولًا طرفي المعادلة في اثنين، ثم نوزِّع القوسين:
وأخيرًا، نُضيف ٣٦٠ إلى طرفي المعادلة، ثم نقسم الطرفين على اثنين:
لنتناول الآن مثالًا آخَر مطلوبًا منَّا فيه تكوين معادلة جبرية وحلُّها من خلال ربط قياس الزاوية المحصورة بين قاطع ومماس بقياسَيِ القوسين المقابلين. وسيكون قياسا هذين القوسين مُعطَيَيْن على صورة تعبيرين خطيين للمجهول المطلوب إيجاد قيمته.
مثال ٤: إيجاد قياسَيْ قوسين محصورين بين قاطعين بمعلومية الزاوية المحيطية
في الشكل الآتي، إذا كان ، ، فأوجد قيمة .
الحل
نلاحِظ من الشكل أن القطعة المستقيمة تمثِّل مماسًّا للدائرة؛ حيث تقطع الدائرة عند نقطة واحدة فقط. والقطعة المستقيمة تمثِّل قاطعًا؛ لأنها تقطع الدائرة عند نقطتين، ويقع أحد طرفَيْها على محيط الدائرة. تتقاطع هاتان القطعتان المستقيمتان عند نقطة خارج الدائرة، ولدينا قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطعهما. لعلنا نتذكَّر نظرية الزوايا المحصورة بين قواطع ومماسات متقاطعة وهي: «قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع قاطع ومماس عند نقطة خارج الدائرة يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين».
نلاحِظ من الشكل أن القوس الأكبر المقابل هو ، والقوس الأصغر المقابل هو . ومن ثَمَّ، يُمكننا تكوين معادلة باستخدام قياسَيْ هذين القوسين وقياس زاوية تقاطع القاطع والمماس:
لدينا في المُعطيات تعبيرٌ لكلٍّ من ، بدلالة متغيِّر ثالث، وهو ، ومطلوب منَّا إيجاد قيمته. بالتعويض بكلٍّ من ، في المعادلة السابقة، نحصل على معادلة في فقط:
علينا الآن حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة . وعلى الرغم من أن هذا ليس ضروريًّا تمامًا، إلا أننا سنبدأ بتبديل الطرفين بحيث يصبح المجهول في الطرف الأيمن. بعد ذلك نبسِّط ما بداخل الأقواس لنحصل على الآتي:
بضرب طرفي المعادلة في اثنين، نحصل على:
وأخيرًا، بطرح أربعة من طرفي المعادلة، نحصل على:
تناولنا حتى الآن أربعة أمثلة أوضحنا فيها تطبيق كلٍّ من النظريتين الأساسيتين على المسائل العددية والجبرية. ويُمكن أيضًا تطبيق النتائج التي توصَّلنا إليها في هذا الشارح على مسائل أكثر تعقيدًا تتضمَّن أشكالًا هندسية أخرى مرسومة داخل دوائر. لنتناول الآن مثالًا يتضمَّن شكلًا خماسيًّا منتظمًا مرسومًا داخل دائرة، ومطلوب منَّا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مماسَّيِ الدائرة.
مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مماسين باستخدام خواص مماس الدائرة والمضلَّعات المنتظِمة
شكل خماسي منتظِم مرسوم داخل الدائرة ، مماس للدائرة عند ، مماس للدائرة عند . أوجد .
الحل
عند النظر إلى الشكل، نلاحِظ أن الزاوية هي الزاوية الناتِجة عن تقاطع المماسين ، . إذن نتذكَّر نظرية الزوايا المحصورة بين مماسات متقاطعة وهي: «قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع مماسين عند نقطة خارج الدائرة يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين».
قد يكون من المُفيد إضافة ألوان إلى الشكل لتُساعدنا في تحديد الأقواس المقابلة، كما هو موضَّح فيما يأتي.
سنُشير إلى القوس الأكبر، الموضَّح باللون الوردي، بـ ، ونُشير إلى القوس الأصغر، الموضَّح باللون البرتقالي، بـ . ومن ثَمَّ، نحصل على قياس الزاوية من خلال:
ليس لدينا قياس أيِّ زاوية أو قوس في الشكل. لكننا نتذكَّر أن الشكل الخماسي منتظِم. إذن يُمكن تقسيمه إلى خمسة مثلثات متطابِقة عن طريق رسم أنصاف أقطارٍ من كلِّ رأس في الشكل الخماسي إلى مركز الدائرة. يُمكننا توضيح أحد هذه المثلثات من خلال رسم نصفَيِ القطرين ، في الشكل الآتي.
قياس القوس الأكبر يساوي الزاوية المنعكسة عند مركز الدائرة. وقياس القوس الأصغر يساوي الزاوية الحادَّة عند النقطة نفسها. نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي . وبما أن الشكل الخماسي منتظِم، والمثلثات الخمسة متطابِقة، يُمكن إيجاد قياس الزاوية الحادَّة بقسمة على ٥:
إذن قياس القوس الأصغر يساوي . ويُمكن إيجاد قياس القوس الأكبر بطرح هذه القيمة من ، لنحصل على .
بالتعويض بقياسَيِ القوسين في الصيغة الموضَّحة السابقة، يصبح لدينا:
في المسائل الأكثر تعقيدًا التي تتضمَّن العديد من القِطَع المستقيمة المتقاطعة، قد نحتاج إلى تطبيق أكثر من نظرية واحدة من النظريتين اللتين تناولناهما في هذا الشارح. وقد نحتاج أيضًا إلى استخدام النتائج المتعلِّقة بأنواع أخرى من الزوايا في الدوائر. الزاوية المحيطية زاوية يقع رأسها على محيط الدائرة وأضلاعها هي أوتار الدائرة. نعرِّف فيما يأتي العلاقة بين قياس الزاوية المحيطية والقوس المقابل لها.
تعريف: قياس الزاوية المحيطية
قياس الزاوية المحيطية في الدائرة يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
في الشكل الآتي، يُمكن التعبير عن هذه النتيجة بالصيغة:
نتناول الآن مثالًا أخيرًا، وهو مسألة متعدِّدة الخطوات نطبِّق فيها نظرية الزوايا المحصورة بين أوتار متقاطعة، ونظرية الزوايا المحصورة بين قواطع متقاطعة، بالإضافة إلى معرفتنا بالزوايا المحيطية.
مثال ٦: إيجاد قياس زاوية بمعلومية قياسَيِ القوس الأكبر والأصغر
أوجد .
الحل
عند النظر إلى الشكل، نلاحِظ أن هو قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع الوترين ، داخل الدائرة. إذن، وفقًا لنظرية الزوايا المحصورة بين أوتار متقاطعة، فإن قياس هذه الزاوية يساوي نصف مجموع قياسَيِ القوسين المقابلين:
بعد ذلك، نلاحِظ أن إحدى الزوايا التي قياسها مُعطًى لدينا؛ أيِ الزاوية ، هي الزاوية الناتِجة عن تقاطع القاطعين ، خارج الدائرة. إذن، عندما نتذكَّر أن قياس هذه الزاوية يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين، نجد أن:
أصبح لدينا الآن معادلتان آنيتان خطيتان تتضمنان قياسَيْ ، ، لكنْ ليس لدينا معلومات كافية لحلِّهما. المعلومة الأخرى المُعطاة في الشكل هي قياس الزاوية المحيطية . وبتذكُّر أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها، يُمكننا إيجاد قياس :
يُمكننا الآن التعويض بهذه القيمة في المعادلة الثانية، وهو ما يُمكِّننا من إيجاد قياس . يُمكننا بعد ذلك التعويض بقياسَيِ القوسين في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة .
بالتعويض بـ في المعادلة الثانية، نحصل على:
نحلُّ المعادلة لإيجاد من خلال ضرب طرفي المعادلة في ٢، ثم إضافة إلى الطرفين:
وأخيرًا، نُوجِد قيمة من خلال حساب نصف مجموع قياسَيْ ، :
إذن .
دعونا نختتم هذا الشارح باسترجاع بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع وترين داخل دائرة يساوي نصف مجموع قياسَيِ القوسين المقابلين للزاوية والزاوية الرأسية لها.
- قياس الزاوية الناتِجة عن تقاطع قاطعين أو مماسين أو قاطع ومماس عند نقطة خارج الدائرة يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسَيِ القوسين المقابلين.
- قياس الزاوية المحيطية في الدائرة يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
- يُمكن تطبيق هذه النتائج على المسائل العددية والجبرية لإيجاد قياسات الزوايا الناتِجة عن تقاطع وترين، أو قاطعين، أو مماسين، أو الناتِجة عن تقاطع مماس وقاطع في دائرة.
