شارح الدرس: التباديل الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص التباديل لحل المسائل واستخدامها لعدِّ النواتج الممكنة.

تمثِّل التباديل، التي يُشار إليها بالرمز ، عدد الطرق المختلفة لترتيب من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة. وفي التباديل، يهمنا ترتيب كل عنصر. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد عدد الترتيبات الممكنة لثلاثة أعداد مأخوذة من الأعداد ١ إلى ٥، ويُشار إلى ذلك بـ ، فإن الترتيب ١، ٢، ٣ يختلف عن الترتيب ٣، ٢، ١. ولكي يكون هذا التعريف صحيحًا، يجب أن يكون البارامتران ، عددين صحيحين غير سالبين؛ حيث .

دعونا نتناول التبديل الذي يحسب عدد الطرق المختلفة لترتيب من العناصر المختلفة. نسترجع مبدأ العد الأساسي.

يكون الحدثان مستقلين إذا كان ناتج أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر. وعلاوةً على ذلك، ينطبق مبدأ العد الأساسي عند وجود أكثر من حدثين. باختصار، يمكننا ضرب عدد النواتج الممكنة لكل حدث، بشرط أن تكون هذه الأحداث مستقلة.

يمكن تقسيم مهمة ترتيب من العناصر المختلفة إلى من الخطوات المنفصلة، وتبدأ هذه الخطوات بتحديد العنصر الأول. يُوجَد من الطرق المختلفة لتحديد العنصر الأول. وبعد تحديد العنصر الأول، يتبقَّى من العناصر. إذن يوجد من الطرق المختلفة لتحديد العنصر الثاني. ونستمر على هذا النمط حتى تحديد العنصر الأخير؛ حيث تتبقَّى نتيجة ممكنة واحدة فقط. باستخدام مبدأ العد الأساسي، نجد أن:

يوجد من الطرق المختلفة لترتيب من العناصر المختلفة. إذن:

دعونا الآن نتناول الحالة العامة لـ ؛ حيث . يمثِّل التبديل عدد الطرق المختلفة لترتيب من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة. يمكن التفكير في مهمة ترتيب من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة في سياق سباق. نفترض أن من الطلاب مشاركون في سباق؛ حيث يحصل أول من الفائزين على ميداليات مكتوب عليها مراكزهم. على سبيل المثال، الطالب صاحب المركز الأول يحصل على ميدالية مكتوب عليها «١»، أما الطالب صاحب المركز الثاني فسيحصل على ميدالية مكتوب عليها «٢»، وهكذا. أما الطلاب الذين أنهوا السباق بعد الطالب رقم فلن يحصلوا على ميداليات.

إذا حسبنا عدد الطرق المختلفة لمنح الميداليات للفائزين في نهاية هذا السباق، فسنجد أننا نحسب عدد الطرق المختلفة لترتيب من الطلاب من إجمالي من الطلاب. ومن التعريف، يُعطى هذا العدد بالتبديل .

دعونا نطبِّق مبدأ العد الأساسي على هذا المثال. نفترض أن هو حدث منح الميداليات لأول ممن أنهوا السباق، أما هو حدث ترتيب من العدَّائين المتبقِّين. نلاحظ أن منح الميداليات لأول لا يؤثِّر على ترتيب من العدَّائين المتبقِّين، وهو ما يعني أن الحدثين ، مستقلان. إذا جمعنا الحدثين ، ، فسنحصل على حدث ترتيب إجمالي من العدَّائين. وبتطبيق مبدأ العد الأساسي، نعرف أن:

بناءً على ما سبق، يُوجَد من الطرق المختلفة لمنح الميداليات لأول ممن أنهوا السباق. وكما ذكرنا سابقًا، يُوجَد من الطرق المختلفة لترتيب من العدَّائين، ويوجد من الطرق المختلفة لترتيب إجمالي من العدَّائين. إذن:

بقسمة الطرفين على ، يمكننا حساب:

وهذا يقودنا إلى الصيغة العامة للتباديل.

نلاحظ أنه توجد عدة رموز مختلفة مكافئة للتباديل. وهذه الرموز ، يكافئ بعضها بعضًا.

نتناول بعض الأمثلة للتدريب على سياقات مختلفة.

بعد ذلك، نستعرض بعض الأمثلة التي تتناول المسائل الكلامية المتعلِّقة بالتباديل. في المسائل الكلامية، من المهم أن نُعيد صياغة المسألة لنربطها برمز التبديل المناظر .

في المثال التالي، نتناول مسألة تتضمَّن بارامترًا مجهولًا في التبديل .

يمكن أن تتضمَّن مسائل التباديل أيضًا تماثلًا دورانيًّا؛ ممَّا يقلِّل العدد؛ لأن تدوير ترتيب دائري معيَّن ينتج عنه ترتيب مكافئ. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا حلقة تحتوي على من الأحجار المختلفة موضوعة على مسافات متساوية؛ حيث يوجد من الأنواع المختلفة من الأحجار. هيا نحسب عدد الحلقات المختلفة من هذا السياق.

نعلم ممَّا سبق أنه يُوجَد من الطرق التي يمكننا بها ترتيب من الأحجار في خط مستقيم من إجمالي من الأحجار. نفترض أننا نُكوِّن حلقة بتوصيل الطرفين الأيسر والأيمن في ترتيب دائري. على سبيل المثال، انظر إلى الترتيبات الخطية والدائرية التالية؛ حيث .

نلاحظ تطابُق الترتيبات الدائرية الثلاثة بالأعلى، واختلاف الترتيبات الخطية المناظرة. يمكن الحصول على الترتيبات الخطية من الترتيبات الدائرية عن طريق أخذ الحجر الموجود بالأعلى والتحرُّك في اتجاه عقارب الساعة.

عندما نحسب عدد الترتيبات الخطية، نجد أن كل شكل مختلف من أشكال الحلقة يتكرَّر ٣ مرات. بعبارة أخرى، تُوجَد ٣ ترتيبات خطية مختلفة تنشأ من شكل دائري واحد من الأشكال الموضَّحة بالأعلى. إذا كان لدينا من الأحجار المختلفة في حلقة، فإن كل تصميم للحلقة يمكن أن ينشأ عنه من الترتيبات الخطية المختلفة.

دعونا نستخدم مبدأ العد الأساسي لتكوين صيغة لعدد التصميمات المختلفة للحلقة باستخدام من الأحجار من إجمالي من الأحجار المختلفة. نفترض أن هو حدث تكوين تصميم الحلقة، وليكن هو حدث تكوين الترتيب الخطي من خلال شكل حلقة معيَّن. لا يؤثِّر ناتج الحدث ، وهو شكل الحلقة المعيَّن، على عدد الطرق المختلفة لتحقيق الحدث (بعبارة أخرى، يوجد دائمًا من الطرق المختلفة لتحقيق ). نستنتج من ذلك أن الحدثين ، مستقلان. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي:

الطرف الأيمن من المعادلة يساوي ، وقد لاحظنا أنه يوجد من الطرق المختلفة لتكوين ترتيبات خطية من حلقة ما. إذن:

بقسمة الطرفين على ، نحصل على الصيغة الآتية.

نلاحظ أن المتطابقة الأخيرة تُعطى من خلال التعويض بـ ، وهو ما يعطينا:

هيا نرَ مثالًا آخر على الترتيبات الدائرية حتى نصبح أكثر دراية بهذا المفهوم.