تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التباديل الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص التباديل لحل المسائل واستخدامها لعدِّ النواتج الممكنة.

تمثِّل التباديل، التي يُشار إليها بالرمز 𞸍𞸏𞸋، عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. وفي التباديل، يهمنا ترتيب كل عنصر. على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد عدد الترتيبات الممكنة لثلاثة أعداد مأخوذة من الأعداد ١ إلى ٥، ويُشار إلى ذلك بـ ٥٣𞸋، فإن الترتيب ١، ٢، ٣ يختلف عن الترتيب ٣، ٢، ١. ولكي يكون هذا التعريف صحيحًا، يجب أن يكون البارامتران 𞸍، 𞸏 عددين صحيحين غير سالبين؛ حيث 𞸍𞸏.

دعونا نتناول التبديل 𞸍𞸏𞸋 الذي يحسب عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸍 من العناصر المختلفة. نسترجع مبدأ العد الأساسي.

نظرية: مبدأ العد الأساسي

إذا كان لدينا حدثان مستقلان 󰏡، 𞸁؛ حيث عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎، وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا يساوي حاصل ضرب 𞸎×𞸑.

يكون الحدثان مستقلين إذا كان ناتج أحد الحدثين لا يغيِّر عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر. وعلاوةً على ذلك، ينطبق مبدأ العد الأساسي عند وجود أكثر من حدثين. باختصار، يمكننا ضرب عدد النواتج الممكنة لكل حدث، بشرط أن تكون هذه الأحداث مستقلة.

يمكن تقسيم مهمة ترتيب 𞸍 من العناصر المختلفة إلى 𞸍 من الخطوات المنفصلة، وتبدأ هذه الخطوات بتحديد العنصر الأول. يُوجَد 𞸍 من الطرق المختلفة لتحديد العنصر الأول. وبعد تحديد العنصر الأول، يتبقَّى 𞸍١ من العناصر. إذن يوجد 𞸍١ من الطرق المختلفة لتحديد العنصر الثاني. ونستمر على هذا النمط حتى تحديد العنصر الأخير؛ حيث تتبقَّى نتيجة ممكنة واحدة فقط. باستخدام مبدأ العد الأساسي، نجد أن: داقداقااولداقاا𞸍=××=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١=𞸍.

يوجد 𞸍 من الطرق المختلفة لترتيب 𞸍 من العناصر المختلفة. إذن: 𞸍𞸏𞸋=𞸍.

دعونا الآن نتناول الحالة العامة لـ 𞸍𞸏𞸋؛ حيث 𞸍>𞸏. يمثِّل التبديل 𞸍𞸏𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. يمكن التفكير في مهمة ترتيب 𞸏 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة في سياق سباق. نفترض أن 𞸍 من الطلاب مشاركون في سباق؛ حيث يحصل أول 𞸏 من الفائزين على ميداليات مكتوب عليها مراكزهم. على سبيل المثال، الطالب صاحب المركز الأول يحصل على ميدالية مكتوب عليها «١»، أما الطالب صاحب المركز الثاني فسيحصل على ميدالية مكتوب عليها «٢»، وهكذا. أما الطلاب الذين أنهوا السباق بعد الطالب رقم 𞸏 فلن يحصلوا على ميداليات.

إذا حسبنا عدد الطرق المختلفة لمنح الميداليات للفائزين في نهاية هذا السباق، فسنجد أننا نحسب عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من الطلاب من إجمالي 𞸍 من الطلاب. ومن التعريف، يُعطى هذا العدد بالتبديل 𞸍𞸏𞸋.

دعونا نطبِّق مبدأ العد الأساسي على هذا المثال. نفترض أن 󰏡 هو حدث منح الميداليات لأول 𞸏 ممن أنهوا السباق، أما 𞸁 هو حدث ترتيب 𞸍𞸏 من العدَّائين المتبقِّين. نلاحظ أن منح الميداليات لأول 𞸏 لا يؤثِّر على ترتيب 𞸍𞸏 من العدَّائين المتبقِّين، وهو ما يعني أن الحدثين 󰏡، 𞸁 مستقلان. إذا جمعنا الحدثين 󰏡، 𞸁، فسنحصل على حدث ترتيب إجمالي 𞸍 من العدَّائين. وبتطبيق مبدأ العد الأساسي، نعرف أن: داقدااتإدابداقااداقاا𞸏𞸍×𞸍𞸏=𞸍.

بناءً على ما سبق، يُوجَد 𞸍𞸏𞸋 من الطرق المختلفة لمنح الميداليات لأول 𞸏 ممن أنهوا السباق. وكما ذكرنا سابقًا، يُوجَد 𞸍𞸏 من الطرق المختلفة لترتيب 𞸍𞸏 من العدَّائين، ويوجد 𞸍 من الطرق المختلفة لترتيب إجمالي 𞸍 من العدَّائين. إذن: 𞸍𞸏𞸋×𞸍𞸏=𞸍.

بقسمة الطرفين على 𞸍𞸏، يمكننا حساب: 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏.

وهذا يقودنا إلى الصيغة العامة للتباديل.

تعريف: التباديل

نفترض أن لدينا العددين الصحيحين غير السالبين 𞸍، 𞸏؛ حيث 𞸍𞸏، ويمثِّل التبديل 𞸍𞸏𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. وصيغة التبديل هي: 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏.

نلاحظ أنه توجد عدة رموز مختلفة مكافئة للتباديل. وهذه الرموز 𞸍𞸏𞸋، 𞸋(𞸍،𞸏) يكافئ بعضها بعضًا.

نتناول بعض الأمثلة للتدريب على سياقات مختلفة.

مثال ١: استخدام صيغة التباديل لحساب القيم

احسب ٥٢𞸋×٢.

الحل

نتذكَّر أن التبديل 𞸍𞸏𞸋 يُعرَّف بالصيغة: 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏.

إذن: ٥٢𞸋=٥٥٢=٥٣.

ونتذكَّر أن ٥=٥×٤×٣×٢×١، ٣=٣×٢×١. إذن تصبح لدينا المتطابقة ٥=٥×٤×٣. وبناءً على ذلك: ٥٣=٥×٤×٣٣=٥×٤=٠٢.

وأخيرًا، نحصل على: ٥٢𞸋×٢=٠٢×(٢×١)=٠٤.

ومن ثَمَّ، ٥٢𞸋×٢ يساوي ٤٠.

بعد ذلك، نستعرض بعض الأمثلة التي تتناول المسائل الكلامية المتعلِّقة بالتباديل. في المسائل الكلامية، من المهم أن نُعيد صياغة المسألة لنربطها برمز التبديل المناظر 𞸍𞸏𞸋.

مثال ٢: استخدام التباديل لحل مسألة عد

كم عددًا مكوَّنًا من ٤ أرقام مختلفة يمكن تكوينه من الأرقام ٥، ٣، ٢، ٧، ٦؟ علمًا بأنه لا يمكن استخدام رقم أكثر من مرة.

الحل

علينا هنا أن نعرف كم عددًا مختلفًا من ٤ أرقام يمكننا تكوينه باستخدام ٥ أرقام مختلفة؛ بحيث لا توجد أرقام مكرَّرة. بإعادة صياغة المسألة، نعرف أن علينا حساب عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب ٤ أرقام من ٥ أرقام مختلفة. ويُعطى هذا العدد من خلال التبديل ٥٤𞸋. نتذكَّر أن 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏. إذن: ٥٤𞸋=٥٥٤=٥١=٥.

نحسب: ٥=٥×٤×٣×٢×١=٠٢١، وبناءً على ذلك، ٥٤𞸋=٠٢١.

يعني هذا أنه يمكن تكوين ١٢٠ عددًا مختلفًا من ٤ أرقام باستخدام الأرقام ٥، ٣، ٢، ٧، ٦؛ بحيث لا يتكرَّر أي رقم.

مثال ٣: استخدام التباديل لحل مسألة كلامية

كم طريقةً يمكن أن يجلس بها شخصان على ٨ مقاعد؟

الحل

علينا هنا حساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن أن يجلس بها شخصان على ٨ مقاعد. نُعيد صياغة عبارة العد لتتوافق مع تعريف التباديل. افترض أننا نرمز إلى الشخصين بالرقمين ١ و٢. نلاحظ أن مهمة اختيار الشخصين رقم ١ و٢ للجلوس على مقعدين هي نفس مهمة أن نرمز إلى مقعدين بالرقمين ١ و٢. ويمكننا إعادة صياغة المهمة الأخيرة على أنها ترتيب مقعدين من إجمالي ٨ مقاعد.

إذن علينا الآن حساب عدد الطرق لترتيب مقعدين من إجمالي ٨ مقاعد. ويُعطى هذا من خلال التبديل ٨٢𞸋. نتذكَّر أن 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏. إذن: ٨٢𞸋=٨٨٢=٨٦.

كما نتذكَّر أن ٨=٨×٧×٦. إذن: ٨٦=٨×٧×٦٦=٨×٧=٦٥، وهو ما يعني أن ٨٢𞸋=٦٥.

إذن، تُوجَد ٥٦ طريقة مختلفة يمكن أن يجلس بها شخصان على ٨ مقاعد.

في المثال التالي، نتناول مسألة تتضمَّن بارامترًا مجهولًا في التبديل 𞸍𞸏𞸋.

مثال ٤: إيجاد قيمة مجهولة عن طريق إيجاد قيمة التباديل

أوجد قيمة 𞸍؛ حيث 𞸍٣𞸋=٦٣٧٢٣.

الحل

من التعريف، يمكننا كتابة: 𞸍٣𞸋=𞸍𞸍٣.

وبما أن 𞸍٣، إذن يمكننا كتابة 𞸍=𞸍(𞸍١)(𞸍٢)𞸍٣، وبناءً على ذلك: 𞸍𞸍٣=𞸍(𞸍١)(𞸍٢)𞸍٣𞸍٣=𞸍(𞸍١)(𞸍٢).

لدينا 𞸍٣𞸋=𞸍(𞸍١)(𞸍٢). وعلينا إيجاد قيمة 𞸍 التي تحقِّق العلاقة: 𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٦٣٧٢٣.

بعبارة أخرى، علينا إيجاد ٣ أعداد صحيحة متتالية (𞸍، 𞸍١، 𞸍٢)؛ حيث يساوي حاصل ضربها ٣٢‎ ‎٧٣٦.

وبما أن 𞸍٣، إذن حاصل الضرب 𞸍(𞸍١)(𞸍٢) يجب أن يقع بين (𞸍٢)٣، 𞸍٣. إذن: (𞸍٢)٦٣٧٢٣𞸍.٣٣

بأخذ الجذر التكعيبي للمتباينة؛ حيث ٣󰋴٦٣٧٢٣٩٩٫١٣، نحصل على: 𞸍٢٩٩٫١٣𞸍.

ومن ثَمَّ، 𞸍 يجب أن يساوي ٣٢ على الأقل. وأيضًا، 𞸍٢ يساوي ٣١ على الأكثر، وهو ما يعني أن 𞸍 يساوي ٣٣ على الأكثر. نلاحظ أن 𞸍 يجب أن يساوي ٣٢ أو ٣٣.

علينا التحقُّق من صيغة التبديل لهاتين القيمتين. إذا كان 𞸍=٢٣، فإن: 𞸍٣𞸋=𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٢٣١٣٠٣=٠٦٧٩٢.

وإذا كان 𞸍=٣٣، فإن: 𞸍٣𞸋=٣٣٢٣١٣=٦٣٧٢٣.

نجد أن القيمة الأخيرة تتوافق مع القيمة المُعطاة، إذن هذه هي القيمة الصحيحة لـ 𞸍.

وبناءً على ذلك، 𞸍٣𞸋=٦٣٧٢٣ يعني أن 𞸍=٣٣.

يمكن أن تتضمَّن مسائل التباديل أيضًا تماثلًا دورانيًّا؛ ممَّا يقلِّل العدد؛ لأن تدوير ترتيب دائري معيَّن ينتج عنه ترتيب مكافئ. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا حلقة تحتوي على 𞸏 من الأحجار المختلفة موضوعة على مسافات متساوية؛ حيث يوجد 𞸍 من الأنواع المختلفة من الأحجار. هيا نحسب عدد الحلقات المختلفة من هذا السياق.

نعلم ممَّا سبق أنه يُوجَد 𞸍𞸏𞸋 من الطرق التي يمكننا بها ترتيب 𞸏 من الأحجار في خط مستقيم من إجمالي 𞸍 من الأحجار. نفترض أننا نُكوِّن حلقة بتوصيل الطرفين الأيسر والأيمن في ترتيب دائري. على سبيل المثال، انظر إلى الترتيبات الخطية والدائرية التالية؛ حيث 𞸏=٣.

نلاحظ تطابُق الترتيبات الدائرية الثلاثة بالأعلى، واختلاف الترتيبات الخطية المناظرة. يمكن الحصول على الترتيبات الخطية من الترتيبات الدائرية عن طريق أخذ الحجر الموجود بالأعلى والتحرُّك في اتجاه عقارب الساعة.

عندما نحسب عدد الترتيبات الخطية، نجد أن كل شكل مختلف من أشكال الحلقة يتكرَّر ٣ مرات. بعبارة أخرى، تُوجَد ٣ ترتيبات خطية مختلفة تنشأ من شكل دائري واحد من الأشكال الموضَّحة بالأعلى. إذا كان لدينا 𞸏 من الأحجار المختلفة في حلقة، فإن كل تصميم للحلقة يمكن أن ينشأ عنه 𞸏 من الترتيبات الخطية المختلفة.

دعونا نستخدم مبدأ العد الأساسي لتكوين صيغة لعدد التصميمات المختلفة للحلقة باستخدام 𞸏 من الأحجار من إجمالي 𞸍 من الأحجار المختلفة. نفترض أن 󰏡 هو حدث تكوين تصميم الحلقة، وليكن 𞸁 هو حدث تكوين الترتيب الخطي من خلال شكل حلقة معيَّن. لا يؤثِّر ناتج الحدث 󰏡، وهو شكل الحلقة المعيَّن، على عدد الطرق المختلفة لتحقيق الحدث 𞸁 (بعبارة أخرى، يوجد دائمًا 𞸏 من الطرق المختلفة لتحقيق 𞸁). نستنتج من ذلك أن الحدثين 󰏡، 𞸁 مستقلان. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي: داتاذاتارداتااداتاار𞸏𞸍×=𞸏𞸍.

الطرف الأيمن من المعادلة يساوي 𞸍𞸏𞸋، وقد لاحظنا أنه يوجد 𞸏 من الطرق المختلفة لتكوين ترتيبات خطية من حلقة ما. إذن: داتااا×𞸏=𞸋.𞸍𞸏

بقسمة الطرفين على 𞸏، نحصل على الصيغة الآتية.

نظرية: عدُّ الأنظمة الدائرية

عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من العناصر في شكل دائري من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة يساوي: 𞸍𞸏𞸋𞸏.

وعلى وجه التحديد، عدد الطرق المختلفة لترتيب إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة في نمط دائري يساوي: 𞸍١.

نلاحظ أن المتطابقة الأخيرة تُعطى من خلال التعويض بـ 𞸏=𞸍، وهو ما يعطينا: 𞸍𞸍𞸋𞸍=𞸍𞸍=𞸍×𞸍١𞸍=𞸍١.

هيا نرَ مثالًا آخر على الترتيبات الدائرية حتى نصبح أكثر دراية بهذا المفهوم.

مثال ٥: استخدام التباديل لحل مسألة كلامية ذات تماثلات دورانية

أوجد عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها ٦ أطفال في دائرة.

الحل

نريد هنا إيجاد عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها ٦ أطفال في دائرة. نتذكَّر أن عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من العناصر في شكل دائري من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة يساوي: 𞸍𞸏𞸋𞸏.

في هذا المثال، علينا ترتيب ٦ طلاب، في دائرة، من إجمالي ٦ طلاب. إذن 𞸍=٦، 𞸏=٦. وعلينا حساب: ٦٦𞸋٦.

نتذكَّر أن 𞸍𞸏𞸋=𞸍𞸍𞸏. إذن: ٦٦𞸋=٦٦٦=٦٠=٦.

وبناءً على ذلك: ٦٦𞸋٦=٦٦=٦×٥٦=٥=٠٢١.

ومن ثَمَّ، نجد أنه تُوجَد ١٢٠ طريقة مختلفة يمكن أن يجلس بها ٦ أطفال في دائرة.

النقاط الرئيسية

  • يَحسب التبديل 𞸍𞸏𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸏 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة.
  • يُشار إلى التبديل 𞸍𞸏𞸋 أيضًا بالرمز 𞸍𞸏𞸋 أو 𞸋(𞸍،𞸏).
  • يُعطى عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸍 من العناصر المختلفة بالصيغة: 𞸍𞸍𞸋=𞸍.
  • يُعطى التبديل 𞸍𞸏𞸋 بالصيغة 𞸍𞸍𞸏.
  • يُعطى عدد الترتيبات الدائرية لـ 𞸏 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر بالصيغة 𞸍𞸏𞸋𞸏. على وجه التحديد، عدد الترتيبات الدائرية لإجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة يساوي 𞸍١.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.