شارح الدرس: معكوس مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢ الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتحقَّق إذا ما كانتْ مصفوفة من الرتبة ٢×٢ لها معكوس، ثم نُوجِد معكوسها، إنْ أمكن.

تذكَّر أن المصفوفة التي تحتوي على العدد نفسه من الأعمدة والصفوف تُسمَّى مصفوفة مربعة. وطبقًا لتعريف حاصل ضرب المصفوفات، يُمكِن ضرب أيِّ مصفوفتين من الرتبة 𞸍×𞸍 معًا، ويُمكِننا صياغة التعريف الآتي:

تعريف: معكوس مصفوفة من الرتبة ن × ن

معكوس المصفوفة 󰏡 التي رتبتها 𞸍×𞸍 هو المصفوفة 𞸁؛ بحيث تكون: 󰏡𞸁=𝐼𞸁󰏡=𝐼،𞸍𞸍و؛ حيث 𝐼𞸍 هي مصفوفة وحدة من الرتبة 𞸍×𞸍.

لاحِظْ ما يأتي:

  1. نُسمِّي 𞸁 معكوس 󰏡؛ لأنها مصفوفة مختلفة، ونرمز إليها بالرمز 󰏡١. على وجه الخصوص، إذا علمنا أن 󰏡𞸁=𝐼، فإن 𞸁 هي 󰏡١.
  2. يذكر التعريف خواص معكوس المصفوفة، ولكنه لا يذكر إذا ما كان هذا المعكوس موجودًا أو لا. على سبيل المثال، لدينا المصفوفة 󰏡=󰁓٠٠٠٠󰁒، وهي مصفوفة صفرية من الرتبة ٢×٢. إذن بالنسبة إلى أيِّ مصفوفة 𞸁=󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀 من الرتبة ٢×٢، يكون لدينا: 󰏡𞸁=󰁓٠٠٠٠󰁒󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀=󰃁٠(𞸊)+٠(𞸌)٠(𞸋)+٠(𞺍)٠(𞸊)+٠(𞸌)٠(𞸋)+٠(𞺍)󰃀=󰁓٠٠٠٠󰁒. لذلك، لا يُمكِننا أن نحصل أبدًا على 𝐼=󰂔١٠٠١󰂓٢ عند الضرب في أيِّ مصفوفة 𞸁؛ لأن المصفوفة الصفرية ليس لها معكوس.
  3. على الجانب الآخَر، تُمثِّل مصفوفة الوحدة معكوسها نفسه؛ لأن: 𝐼𝐼=𝐼.٢٢٢

إحدى طرق إيجاد معكوس 󰏡=󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀 هي محاولة حل بعض المعادلات. افترِض أن 󰏡=󰂔𞸎𞸑𞸏𞸅󰂓١. إذن سيكون علينا إيجاد قِيَم 𞸎،𞸑،𞸏،𞸅 في النظام: 󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀󰂔𞸎𞸑𞸏𞸅󰂓=󰂔١٠٠١󰂓.

بعبارة أخرى: 󰃁𞸊𞸎+𞸋𞸏𞸊𞸑+𞸋𞸅𞸌𞸎+𞺍𞸏𞸌𞸑+𞺍𞸅󰃀=󰂔١٠٠١󰂓.

هذا نظام مُكوَّن من أربع معادلات في أربعة مجاهيل، وليس الحل بسيطًا كما نأمل.

يُمكِننا التبسيط بملاحظة أنه بمعلومية 󰏡، إذا نظرنا إلى المصفوفة: 󰏡=󰂔𞺍𞸋𞸌𞸊󰂓، فسنُوجِد حواصل الضرب: 󰏡󰏡=󰏡󰏡=󰂔𞺍𞸋𞸌𞸊󰂓󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀=󰃁𞸊𞺍𞸋𞸌٠٠𞸊𞺍𞸋𞸌󰃀=(󰏡)󰂔١٠٠١󰂓.د

ذلك يُعطِينا مصفوفة قطرية تكون فيها قيمة محدد 󰏡 —العدد د(󰏡)— هي عناصر قطرها الرئيسي.

نستنتج أمرين من هذه الحقيقة:

  1. إذا كان د(󰏡)=٠، فسنكون قد وجدنا مصفوفة حاصل ضربها في 󰏡 هو المصفوفة الصفرية. مِنْ ثَمَّ، لم يَعُدْ من الصعب ملاحظة أنه من المستحيل وجود معكوس 󰏡.
  2. إذا كان د(󰏡)٠، فستكون المصفوفة: ١(󰏡)󰏡=𞺍(󰏡)𞸋(󰏡)𞸌(󰏡)𞸊(󰏡)ددددد معكوسًا للمصفوفة 󰏡.

تُسمَّى المصفوفة 󰏡 المصفوفة المُرافِقة للمصفوفة 󰏡=󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀، ونحصل عليها في خطوتين:

  • تبادل عناصر القطر الرئيسي: 𞸊𞺍.
  • جعل إشارة العناصر غير القطرية سالبة: 𞸋𞸋 ،𞸌𞸌.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى المصفوفة: 󰏡=󰂔١٢٣٤󰂓، لدينا د(󰏡)=(١)(٤)(٢)(٣)=٤(٦)=٠١، والمصفوفة المُرافِقة: 󰏡=󰂔٤٢٣١󰂓 ومِنْ ثَمَّ، يكون المعكوس: 󰏡=١٠١󰂔٤٢٣١󰂓=٤٠١٢٠١٣٠١١٠١=٢٥١٥٣٠١١٠١.١

مثال ١: تحديد إذا ما كانت المصفوفة المُعطاة قابلةً للعكس باستخدام المحدد

هل المصفوفة الآتية قابلة للعكس؟ 󰂔٣١٣١󰂓

الحل

نعرف أن هذه المصفوفة، التي نُسمِّيها 󰏡، تكون قابلةً للعكس إذا كانت، وفقط إذا كانت، قيمة محددها لا تساوي صفرًا. ومِنْ ثَمَّ، سنحسب الآتي: د(󰏡)=(٣)(١)(١)(٣)=٣(٣)=٠.

إذن هذه المصفوفة ليست قابلةً للعكس.

مثال ٢: تحديد إذا ما كانت المصفوفتان كلٌّ منهما معكوس للأخرى

هل المصفوفتان: 󰂔١٢٣٤󰂓،١١٢١٣١٤ كلٌّ منهما معكوس ضربي للأخرى؟

الحل

لا شك في أن كلمة «ضربي» هنا للتأكيد. وتكون كلمة «معكوس» كافية عادةً. لتحديد إذا ما كانت المصفوفتان كلٌّ منهما معكوس للأخرى أو لا، نضرب المصفوفتين معًا (بأيِّ ترتيب كان). سنحصل على: 󰂔١٢٣٤󰂓١١٢١٣١٤=٥٣١٣١٣٥٢، وهي ليست مصفوفة وحدة.

إذن هاتان المصفوفتان كلٌّ منهما ليس معكوسًا للأخرى.

مثال ٣: إيجاد المعكوس لمصفوفة

أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة 󰏡=󰂔٤٠١٣٥󰂓، إنْ أمكن.

الحل

نُحدِّد إذا ما كان المعكوس موجودًا أو لا بحساب قيمة المحدد: د(󰏡)=(٤)(٥)(٠١)(٣)=٠٢+٠٣=٠١.

إنه لا يساوي صفرًا؛ إذن يُمكِننا أن نُكمِل لإيجاد المعكوس: 󰏡=١٠١󰂔٥٠١٣٤󰂓=٥٠١٠١٠١٣٠١٤٠١=١٢١٣٠١٢٥.١

فيما يلي تلخيص لِمَا سبق:

النقاط الرئيسية

  • معكوس أيِّ مصفوفة 󰏡 من الرتبة 𞸍×𞸍 هو أيَّ مصفوفة 𞸁 من الرتبة 𞸍×𞸍؛ بحيث تكون 󰏡𞸁=𝐼=𞸁󰏡؛ حيث 𝐼 هي مصفوفة الوحدة من الرتبة 𞸍×𞸍. نُطلِق على هذه المصفوفة 󰏡١.
  • بالنسبة إلى المصفوفات من الرتبة ٢×٢، يكون للمصفوفة 󰏡=󰃁𞸊𞸋𞸌𞺍󰃀 معكوس تحديدًا عندما تكون قيمة محددها 𞸊𞺍𞸋𞸌 لا تساوي صفرًا.
  • عندما تكون المصفوفة 󰏡 التي رتبتها ٢×٢ قابلةً للعكس (لها معكوس)، فإنها تُعطَى على الصورة: ١(󰏡)د مضروبًا في المصفوفة المُرافِقة 󰂔𞺍𞸋𞸌𞸊󰂓.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.