شارح الدرس: معكوس مصفوفة من الرتبة ٢ × ٢ الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتحقَّق إذا ما كانتْ مصفوفة من الرتبة لها معكوس، ثم نُوجِد معكوسها، إنْ أمكن.

تذكَّر أن المصفوفة التي تحتوي على العدد نفسه من الأعمدة والصفوف تُسمَّى مصفوفة مربعة. وطبقًا لتعريف حاصل ضرب المصفوفات، يُمكِن ضرب أيِّ مصفوفتين من الرتبة معًا، ويُمكِننا صياغة التعريف الآتي:

لاحِظْ ما يأتي:

1. نُسمِّي معكوس ؛ لأنها مصفوفة مختلفة، ونرمز إليها بالرمز . على وجه الخصوص، إذا علمنا أن ، فإن هي .
2. يذكر التعريف خواص معكوس المصفوفة، ولكنه لا يذكر إذا ما كان هذا المعكوس موجودًا أو لا. على سبيل المثال، لدينا المصفوفة ، وهي مصفوفة صفرية من الرتبة . إذن بالنسبة إلى أيِّ مصفوفة من الرتبة ، يكون لدينا: لذلك، لا يُمكِننا أن نحصل أبدًا على عند الضرب في أيِّ مصفوفة ؛ لأن المصفوفة الصفرية ليس لها معكوس.
3. على الجانب الآخَر، تُمثِّل مصفوفة الوحدة معكوسها نفسه؛ لأن:

إحدى طرق إيجاد معكوس هي محاولة حل بعض المعادلات. افترِض أن . إذن سيكون علينا إيجاد قِيَم في النظام:

بعبارة أخرى:

هذا نظام مُكوَّن من أربع معادلات في أربعة مجاهيل، وليس الحل بسيطًا كما نأمل.

يُمكِننا التبسيط بملاحظة أنه بمعلومية ، إذا نظرنا إلى المصفوفة: فسنُوجِد حواصل الضرب:

ذلك يُعطِينا مصفوفة قطرية تكون فيها قيمة محدد —العدد — هي عناصر قطرها الرئيسي.

نستنتج أمرين من هذه الحقيقة:

1. إذا كان ، فسنكون قد وجدنا مصفوفة حاصل ضربها في هو المصفوفة الصفرية. مِنْ ثَمَّ، لم يَعُدْ من الصعب ملاحظة أنه من المستحيل وجود معكوس .
2. إذا كان ، فستكون المصفوفة: معكوسًا للمصفوفة .

تُسمَّى المصفوفة المصفوفة المُرافِقة للمصفوفة ، ونحصل عليها في خطوتين:

• تبادل عناصر القطر الرئيسي: .
• جعل إشارة العناصر غير القطرية سالبة: ،.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى المصفوفة: لدينا ، والمصفوفة المُرافِقة: ومِنْ ثَمَّ، يكون المعكوس:

فيما يلي تلخيص لِمَا سبق: