شارح الدرس: الحدُّ العامُّ في نظرية ذات الحدَّيْن الرياضيات

مثال ١: إيجاد حد معيَّن في مفكوك ذات الحدَّيْن

أوجد الحد الثالث في مفكوك .

الحل

عندما نتناول سؤالًا كهذا، يكون من المسموح به تمامًا أن نكتب المفكوك بالكامل، ثم نحدِّد الحد الثالث. ومع ذلك، فإن استخدام صيغة الحد العام تبسِّط العملية الحسابية. هذه هي الطريقة التي سنشرحها هنا. تذكَّر أن صيغة الحد العام لمفكوك هي:

تذكَّر أن الحد الأول في المفكوك يناظر الحد العام الذي فيه . إذن سيُعطى الحد الثالث بوضع وليس . ومن ثَمَّ، عن طريق وضع ، ، ، ، يكون لدينا:

إذن الحد الثالث للمفكوك هو .

مثال ٢: إيجاد حدٍّ مُعطى في مفكوك ذات حدَّيْن

أوجد في مفكوك .

الحل

بالنسبة إلى مفكوك ، يُعرَّف الحد العام على النحو الآتي:

ومن ثَمَّ، عن طريق وضع ، ، ، ، يكون لدينا:

وبما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:

يمكننا إذن تبسيط ذلك باستخدام قوانين الأسس كما يأتي:

إذن الحد الرابع للمفكوك، ، يساوي .

مثال ٣: إيجاد معامل حدٍّ معيَّن في مفكوك ذات الحدَّيْن

أوجد معامل في مفكوك .

الحل

أول ما نلاحظه في هذا المثال هو أنه يمكننا إعادة كتابة مقدار ذات الحدَّيْن على الصورة . علينا بعد ذلك تحديد أيُّ الحدود ينتج عنه الأس . تذكَّر أن الحد العام لمفكوك هو . لدينا ، ، ؛ ومن ثَمَّ، بالتعويض بهذه المقادير في الحد العام، نحصل على:

باستخدام قانون القوى، يمكننا كتابة هذه المعادلة على الصورة:

بما أننا نريد الحد الذي فيه ، إذن علينا إيجاد أس لكي يساوي . هذا يعني: وهو ما يُعطينا . يمكننا التحقُّق من ذلك عن طريق التعويض بـ في الحد العام:

يمكننا أن نرى أن معامل الحد هو بالضبط . ومن ثَمَّ، فإن معامل يساوي ١٥.

مثال ٤: استخدام الحد العام لإيجاد مجاهيل

رُتِّبت حدود مفكوك على حسب قوى التنازلية. إذا كان ، فأوجد قيمة .

الحل

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام صيغة الحد العام لمفكوك ذات الحدَّيْن لإيجاد مقدار بديل لـ . يمكننا بعد ذلك مساواة المقدارين والحل لإيجاد قيمة . تذكَّر أن الحد العام لمفكوك ذات الحدَّيْن يكون مُعطى بدلالة:

بوضع ، ، ، ، يكون لدينا:

في هذا السؤال، نعلم أن . ومن ثَمَّ، يمكننا مساواة هذين المقدارين لـ على النحو الآتي:

يمكننا ملاحظة أن طرفَي المعادلة يحتويان على العامل ، وبمساواة المعاملات، يمكننا كتابة:

بحساب الجذر التكعيبي لطرفَي المعادلة، نحصل على .

مثال ٥: استخدام الحد العام

إذا كان معامل الحد الثالث في مفكوك هو ، فأوجد الحد الأوسط في المفكوك.

الحل

باستخدام صيغة الحد العام لمفكوك ذات الحدَّيْن، يمكننا إيجاد مقدار يعبِّر عن معامل الحد الثالث بدلالة . باستخدام هذه الطريقة، يمكننا الحل لإيجاد قيمة ، ثم إيجاد الحد الأوسط للمفكوك. تذكَّر أن الحد العام لمفكوك ذات الحدَّيْن يساوي:

وبما أن هناك إشارة سالبة في مقدار ذات الحدَّيْن، إذن يمكننا أن نبدأ بكتابة:

لاحظ أن مقدار الحد العام يبدأ من ؛ ومن ثَمَّ، لحساب الحد الثالث، علينا وضع . بالتعويض بـ ، ، ، يكون لدينا:

بتذكُّر أن ، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

بما أننا نعلم أن معامل هذا الحد هو ، إذن يمكننا كتابة:

بضرب طرفَي المعادلة في ٣٢، يكون لدينا:

إذا طرحنا ١٣٢ من طرفَي المعادلة، فسنحصل على المعادلة التربيعية:

يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة عن طريق التحليل لإيجاد:

ومن ثَمَّ، أو . تنطبق نظرية ذات الحدَّيْن فقط على مفكوك ذات الحدَّيْن المرفوعة لقوة صحيحة موجبة. إذن يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا؛ ولذلك يمكننا تجاهل الحل السالب؛ ومن ثَمَّ . يمكننا الآن استخدام هذه القيمة لإيجاد الحد الأوسط للمفكوك. بما أن ، إذن سيكون هناك ثلاثة عشر حدًّا في المفكوك، والحد الأوسط يكون هو الحد السابع. ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام صيغة الحد العام لإيجاد الحد السابع من هذا المفكوك. مرةً أخرى، بما أن يبدأ من ، فإن الحد السابع في المفكوك يناظر . بالتعويض بهذه القيمة في صيغة الحد العام، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن الحد الأوسط في المفكوك هو .

مثال ٦: إيجاد النسبة بين حدود متتالية

انظر مفكوك . أوجد النسبة بين الحد الثامن والحد السابع.

الحل

تذكَّر أن صيغة الحد العام لمفكوك ذات الحدَّيْن هي:

هنا، يمثِّل الحد الذي رتبته في مفكوك ذات الحدَّيْن. هذا يعني أننا نحصل على الحد السابع، ، باستخدام ، ونحصل على الحد الثامن، ، باستخدام . يمكننا كتابة الحد العام لمفكوك عن طريق وضع ، ، على الصورة الآتية:

كما ذكرنا من قبل، يمكننا حساب الحد السابع بالتعويض بـ :

وبالمثل، يمكننا حساب الحد الثامن بالتعويض بـ :

ومن ثَمَّ، فإن النسبة بين الحد الثامن والحد السابع تكون مُعطاة بالمعادلة:

باستخدام قواعد الأسس، يمكننا تبسيط ذلك إلى:

تذكَّر أن نسبة التوافيق المتتالية تكون مُعطاة بالمعادلة:

ومن ثَمَّ:

بالتعويض بذلك في المعادلة السابقة، يكون لدينا:

إذن النسبة بين الحد الثامن والحد السابع في مفكوك ذات الحدَّيْن هي .

مثال ٧: استخدام النسب بين الحدود المتتالية لإيجاد قيمة مجاهيل

لدينا مفكوك ؛ حيث موجب. أوجد قيم ، ، ، إذا كان ، ، .

الحل

من أبسط طرق حل هذه المسألة النظرُ في النسب بين الحدود المتتالية. نتذكَّر أن النسبة بين حدَّيْن متتاليين ، في مفكوك تكون مُعطاة بالمعادلة:

بالتعويض بـ ، على الترتيب، عن القيم ، ، ، نحصل على:

بالنظر في نسبة هاتين النسبتين، يمكننا حذف ، ، وتتبقَّى لدينا معادلة بدلالة من خلال قسمة المعادلة (١) على المعادلة (٢). ومن ثَمَّ:

وهذا يكافئ:

بتبسيط ذلك، نحصل على:

بالتعويض في قيم ، ، ، يكون لدينا:

قسمة الطرفين على تُعطينا:

بالضرب التبادلي في وفي العدد ٦، نحصل على:

يمكن حل هذه المسألة على النحو الآتي:

إذن:

عن طريق التعويض بقيمة في المعادلة (١)، نحصل على:

بقسمة طرفَي المعادلة على نحصل على . وضرب طرفَي المعادلة في يُعطينا . يمكننا الآن استخدام صيغة الحد العام لإيجاد قيمتَي ، كما يأتي. يمكننا كتابة الحد العام بالتعويض بـ وجعله يساوي القيمة المُعطاة:

بما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:

تذكَّر أن: ومن ثَمَّ:

لدينا: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

أخْذ الجذر العاشر لطرفَي المعادلة يُعطينا . بما أننا نعرف أن لا بد أن يكون موجبًا، إذن نحصل على . ونحن نعلم أن ؛ لذا، . إذن الإجابة النهائية هي ، .

مثال ٨: استخدام النسبة بين الحدود المتتالية

انظر مفكوك ذات الحدَّيْن المُرتَّب حسب قوى التصاعدية. عندما يكون ، يكون أحد الحدود في المفكوك يساوي ضِعف الحد التالي. أوجد موضعَيْ هذين الحدَّيْن.

الحل

نتذكَّر أولًا أن الحد العام للمفكوك هو:

هذا يؤدي إلى ترتيب تصاعدي لقوى عندما نعوِّض بـ ، ، ثم زيادة قيمة بانتظام. يوضِّح السؤال أنه عندما يكون ، فإن أحد الحدود الموجودة في المفكوك، المرتب ترتيبًا تصاعديًّا لقوى ، يساوي ضعف الحد التالي. يمكننا كتابة ذلك جبريًّا على الصورة:

ومن ثَمَّ:

تذكَّر أنه بالنسبة إلى مفكوك ذات الحدَّيْن ، تكون النسبة بين حدَّيْن متتاليين مُعطاة بالمعادلة:

بوضع ، ، ، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:

بما أن هذا يساوي نصفًا عندما يكون ، إذن يمكننا كتابة:

ضرب طرفَي المعادلة في يُعطينا:

بإضافة إلى طرفَي المعادلة، يصبح لدينا:

قسمة الطرفين على ٢٩ تُعطينا . ومن ثَمَّ، فإن الحدَّيْن اللذين يحقِّقان الشرط المُعطى هما ، .

مثال ٩: النسب بين الحدود غير المتتالية

لدينا مفكوك ؛ حيث ثابت موجب. أوجد قيمة كلٍّ من ، ، إذا كانت النسبة بين معامِلَيْ ، هي ، والنسبة بين معامِلَيْ ، هي .

الحل

من الطرق الممكنة لحل هذه المسألة حسابُ مقادير النسب بين معاملات الحد الثاني عشر والحد الرابع عشر والحد السابع والحد التاسع مباشرةً من خلال تطبيق صيغة الحدود المتتالية. على سبيل المثال، فيما يتعلَّق بالنسبة بين الحدَّيْن الثاني عشر والرابع عشر، يمكننا استخدام العلاقة:

ومع هذا، بما أننا نحتاج إلى حساب نسبتين وتكوين معادلتين في النهاية، إذن نبدأ باستنتاج مقدار جبري للنسبة بين الحدَّيْن ، ، ثم التعويض عن قيم الضرورية (وكذلك المتغيِّرات الأخرى) لإيجاد المقادير الخاصة بالنسبتين.

يمكننا فعل ذلك بالبدء بصيغة النسبة بين حدَّيْن متتاليين، ، وهي الصيغة:

يمكننا إذن تكوين المعادلة الآتية:

يمكننا حساب النسبة بالتعويض بـ في صيغة النسبة بين الحدود المتتالية:

إذن:

لدينا مُعطيات عن النسبة بين معاملَي الحد الثاني عشر والحد الرابع عشر، والنسبة بين معاملَي الحد السابع والحد التاسع؛ لذا، علينا أن نبدأ بالنظر في مقلوب المعادلة السابقة:

في هذا السؤال، نعلم النسبة بين معاملَي الحد الثاني عشر والحد الرابع عشر، وكذلك النسبة بين معاملَي الحد السابع والحد التاسع. بالتعويض بـ ، ، ، يكون لدينا:

وبالمثل، التعويض بـ يُعطينا:

بما أننا نعرف قيمة نسبة المعاملات، يمكننا حذف المتغيِّر من النسبتين السابقتين وتكوين المعادلتين الآتيتين:

بقسمة المعادلة (٣) على المعادلة (٤)، مع ملاحظة أن هذا هو نفس ضرب المعادلة (٣) في مقلوب كل طرف من طرفَي المعادلة (٤)، نلاحظ أن هذا هو نفس ضرب المعادلة الأولى في مقلوب كل طرف من طرفَي المعادلة الثانية، وبذلك يصبح لدينا:

ويمكن تبسيط ذلك إلى:

الضرب في والقسمة على يُعطينا:

بالضرب في ٨٧، وضرب الأقواس، يصبح لدينا:

بتجميع كل الحدود في الطرف الأيمن، يصبح لدينا:

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام القانون العام الذي نتذكَّر أنه: وذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية ، لإيجاد الحلين ، . بما أن يجب أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا، إذن يمكننا تجاهل الحل الكسري واستنتاج أن . وأخيرًا، علينا التعويض بـ في أيٍّ من المعادلتين (٣) أو (٤) لإيجاد . سنعوِّض في المعادلة (٤):

ومن ثَمَّ: وهو ما يُعطينا . نحن نعلم أن في الواقع ثابتٌ موجبٌ، وهو ما يُعطينا الإجابة النهائية .