في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب نصف قطر مدار الإلكترون في مستويات الطاقة المختلفة لذرَّة الهيدروجين.
يُعد نموذج بور وصْفًا مبسَّطًا للذرَّة. وهو يفترض، من بين أمور أخرى، أن الإلكترونات في الذرَّات تَشْغَل مدارات دائرية حول النواة، على نحو مُشابه للطريقة التي تدور بها الكواكب حول الشمس. في هذا الشارح، سوف نتناول نموذج بور بالتفصيل ونتعرَّف على كيفية استخدامه لحساب كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون ونصف قطر مداره في الذرَّة بدقَّة.
يَستخدم علماء الفيزياء النماذج لوصْف سلوك الأنظمة الفيزيائية. ويمكن اختبار النموذج عن طريق التجارب التي تقارِن بين تنبؤات النموذج والسلوك المُلاحَظ للنظام الفيزيائي. إذا أثبتت التجربة أن النموذج غير دقيق، فعلى علماء الفيزياء تنقيح النموذج أو تطوير نموذج جديد يمكنه وصْف النتائج التجريبية المُلاحَظة بدقَّة.
على مدار التاريخ، استخدم العلماء مجموعة متنوعة من النماذج لوصْف الذرَّات. لاحظ أن الأشكال الآتية ليست مرسومة بمقياس رسم.
- قُدِّم نموذج الذرَّة المكعبة في عام 1902، وهو نموذج يصف الذرَّات بأنها مكعبات من مادة موجبة الشحنة مع وجود إلكترونات سالبة الشحنة عند رءوس المكعب.
- قُدِّم نموذج طومسون (نموذج حلوى البرقوق) في عام 1904، وهو نموذج يصف الذرَّات بأنها كرات من مادة موجبة الشحنة تتوزع الإلكترونات بداخلها. وقد حسَّن هذا النموذجُ تنبؤاتِ نموذج الذرَّة المكعبة الذي يسبقه.
- في عام 1913، قَدَّم الفيزيائيان نيلز بور وإرنست رذرفورد نموذج رذرفورد-بور، الذي يُعرَف الآن باسم نموذج بور. يصف النموذج الإلكترونات بأنها جسيمات صغيرة سالبة الشحنة تدور حول نواة كثيفة موجبة الشحنة.
- يَستخدم علماء الفيزياء اليوم نموذج ميكانيكا الكم، وهو نموذج يصف مواضع الإلكترونات بدلالة الاحتمالات. تُمكننا ميكانيكا الكم من وصف سلوك الذرَّات والإلكترونات بدقَّة كبيرة. ومع ذلك، من الممكن في المستقبل تعديل نموذج ميكانيكا الكم أو الاستبدال به لاستيعاب الملاحظات التجريبية الجديدة.
إذن، ندرك اليوم أن نموذج بور نموذج مبسَّط بالفعل لوصف سلوك الذرَّات. ومع ذلك، كان تطوير نموذج بور مؤثِّرًا ومفيدًا للغاية للعلماء في ذلك الوقت؛ فقد كشف عن بعض الخواص الرئيسية للذرَّات، ومكَّن العلماء مِن وضْع تنبؤات دقيقة عن ذرَّات معينة. وفي الواقع، لا يزال نموذج بور مفيدًا لنا باعتباره تقريبًا لسلوك الذرَّات، وتحديدًا، عندما تحتوي على إلكترون واحد فقط.
دعونا الآن نلقِ نظرة عن قرب على كيفية عمل نموذج بور، وكيف يمكننا استخدامه لوضع تنبؤات حول سلوك الذرَّات.
في نموذج بور، توصَف الإلكترونات بأنها جسيمات سالبة الشحنة تدور حول نواة موجبة الشحنة. ولأن الإلكترونات سالبة الشحنة، فإنها تتعرض لتجاذب كهروسكوني باتجاه النواة، مما يجعلها تدور حولها. وهذا مشابه لما تُسببه قوة الجاذبية بين الأرض والشمس من دوران الأرض حول الشمس.
إضافةً إلى ذلك، يَفترض نموذج بور أن كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون أثناء دورانه تكون مُكمَّاة، وهذا يعني أنها لا تأخذ إلا قيمًا محدَّدة. على وجه التحديد، يخبرنا نموذج بور بأن كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون داخل الذرَّة يجب أن تساوي مضاعفات صحيحة من ثابت يُعرف باسم ثابت بلانك المخفض، . يمكننا كتابة ذلك على الصورة: حيث كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون، و (تُنطق h بار) ثابت بلانك المخفض. و مجرد عدد صحيح موجب، لكننا نطلق عليه اسمًا خاصًّا وهو عدد الكم الرئيسي. يشير عدد الكم الرئيسي إلى مستوى طاقة الإلكترون؛ حيث يناظر أقل مستوى طاقة ممكن (يُعرف أيضًا باسم الحالة الأرضية).
ثابت بلانك «المخفض» يساوي ثابت بلانك العادي، ، مقسومًا على : وقيمته تساوي J⋅s. جدير بالذكر أن وحدة هي kg⋅m2⋅s−1، وهي أيضًا وحدة كمية الحركة الزاويَّة.
تُسهِّل المعادلة حساب كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون في الذرَّة. فكل ما علينا فعله هو أخْذُ عدد الكم الرئيسي للإلكترون (الذي يشير إلى مستوى طاقته) وضربُه في .
تعريف: نموذج بور
تلخِّص «الفرضيات» الثلاث الآتية نموذج بور:
- تدور الإلكترونات حول النواة في مدارات دائرية.
- كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون أثناء دورانه تكون مُكمَّاة؛ فلا يمكن أن تساوي إلا مضاعفات صحيحة من ثابت بلانك المخفض : بعبارة أخرى، لا يمكن أن تدور الإلكترونات حول النواة إلا عند المسافات التي تجعل كمية حركتها الزاوية تُحقِّق المعادلة السابقة.
- لكي ينتقل الإلكترون إلى مدار أبعد (أعلى) من النواة، يجب أن يمتص طاقة على صورة فوتون. وفي المقابل، فإن الإلكترون الذي ينتقل إلى مدار أقرب (أدنى) إلى النواة سيبعث طاقة على صورة فوتون.
ذكرنا سابقًا أن نموذج بور لا يكون دقيقًا إلا مع الذرَّات التي تحتوي على إلكترون واحد فقط. وبما أن الذرَّة الأكثر شيوعًا التي تحتوي على إلكترون واحد هي ذرَّة الهيدروجين، فإننا لن نسمع بنموذج بور، بوجه عام، إلا مع ذرَّات الهيدروجين فقط.
مثال ١: حساب كمية الحركة الزاويَّة لإلكترون في ذرَّة الهيدروجين
في نموذج بور للذرَّة، ما مقدار كمية الحركة الزاويَّة لإلكترون في ذرَّة الهيدروجين في الحالة الأرضية؟ اعتبِر القيمة J⋅s قيمة ثابت بلانك المخفض.
الحل
يخبرنا نموذج بور للذرَّة بأن كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون في الذرَّة تكون مُكمَّاة. ويوضِّح لنا النموذج تحديدًا أن لا يمكن أن يساوي إلا مضاعفات صحيحة من ثابت بلانك المخفض . ويمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة: حيث عدد صحيح موجب يُعرَف باسم عدد الكم الرئيسي.
في هذا السؤال، لدينا إلكترون في الحالة الأرضية في ذرَّة الهيدروجين. وكما نذكر، الحالة الأرضية للذرَّة هي أقل مستوى طاقة، وعندها يأخذ عدد الكم الرئيسي للإلكترون أقل قيمة ممكنة، . إن كون هذه الذرَّة ذرَّة هيدروجين أمر ملائم؛ لأن نموذج بور لا يكون دقيقًا بوجه عام إلا مع الذرَّات التي تحتوي على إلكترون واحد، وذرَّات الهيدروجين تحتوي على إلكترون واحد فقط.
والآن، بعدما تَوصَّلنا إلى أن للإلكترون في السؤال، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة السابقة لإيجاد كمية الحركة الزاوية:
لاحظ أن وحدة J⋅s تكافئ وحدة kg⋅m2⋅s−1، وهي وحدة كمية الحركة الزاويَّة.
مثال ٢: حساب مستوى طاقة إلكترون من كمية حركته الزاويَّة
إلكترون في ذرَّة هيدروجين له كمية حركة زاويَّة مقدارها J⋅s. وفقًا لنموذج بور للذرَّة، ما مستوى الطاقة الموجود فيه الإلكترون؟ اعتبِر J⋅s قيمة ثابت بلانك المنخفض.
الحل
يطلب منا السؤال إيجاد «مستوى طاقة» الإلكترون في ذرَّة الهيدروجين. يكمن مفتاح حل هذا السؤال في إدراك أن مستوى طاقة الإلكترون يشار إليه بعدد الكم الرئيسي، .
تَذكَّرْ أنه وفقًا لنموذج بور، فإن كمية الحركة الزاويَّة لإلكترونٍ عددُ الكم الرئيسي له تُعطى بالمعادلة: حيث ثابت بلانك المخفض. مطلوب منا حساب ؛ لذا، لنُعِدْ ترتيب هذه المعادلة لجَعْل في طرف بمفرده:
والآن، يمكننا التعويض بقيمتَي ، المعطاتين في السؤال:
بعبارة أخرى، يوجد الإلكترون في مستوى الطاقة الثالث لذرَّة الهيدروجين.
تتيح لنا مراعاة القوى الكهروسكونية في ذرَّة الهيدروجين اشتقاق معادلة مفيدة من نموذج بور تُعبِّر عن نصف قطر مدار الإلكترون في ذرَّة الهيدروجين.
معادلة: نصف قطر مدار الإلكترون في ذرَّة الهيدروجين وفقًا لنموذج بور
حيث:
- نصف قطر مدار الإلكترون الذي عدد الكم الرئيسي له .
- سماحية الفراغ، وتساوي m−3⋅kg−1⋅s4⋅A2.
- ثابت بلانك المخفض، ويساوي J⋅s.
- كتلة الإلكترون، وتساوي kg.
- شحنة الإلكترون، وتساوي C.
كما نرى، تحتوي هذه المعادلة على العديد من الكميات المختلفة! لكن معظمها ثوابت. وفي الحقيقة، لا تتضمن المعادلة سوى متغيرين؛ نصف قطر المدار ، وعدد الكم الرئيسي .
إذا نظرنا إلى الثوابت في المعادلة: يمكننا ملاحظة أن يتناسب طرديًّا مع .
بما أن أقل قيمة ممكنة لـ هي 1، فسيكون أصغر نصف قطر يسمح به نموذج بور هو:
نعطي نصف القطر «الأصغر» اسمًا خاصًّا؛ نصف قطر بور. ونرمز لنصف قطر بور بالرمز :
يمثِّل طريقة ملائمة لتجميع كل الثوابت في معادلة إيجاد ، مما يسمح لنا بالتعبير عن المعادلة على النحو الآتي:
يمكن للمعادلتين اللتين تناولناهما أن تساعدانا في تكوين صورة لنموذج بور. تدور الإلكترونات المنخفضة الطاقة (ذات قيم الأقل) في مدارات أقرب إلى النواة من الإلكترونات العالية الطاقة (ذات قيم الأعلى) التي تكون مداراتها كبيرة نسبيًّا.
مثال ٣: حساب نصف قطر مدار إلكترون باستخدام نموذج بور
استخدِم المعادلة ؛ حيث هو نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة لذرَّة هيدروجين، هي سماحية الفراغ، هو ثابت بلانك المخفض، هي كتلة الإلكترون، هي شحنة الإلكترون، لحساب نصف قطر مدار إلكترون في مستوى الطاقة لذرَّة الهيدروجين. استخدِم القيمة F⋅m−1 لسماحية الفراغ، والقيمة J⋅s لثابت بلانك المخفض، والقيمة kg لكتلة سكون الإلكترون، والقيمة C لشحنة الإلكترون. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
المعادلة المعطاة مشتقة من نموذج بور للذرَّة، وهي تصف نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة لذرَّة الهيدروجين. وهي معادلة تخبرنا بالمسافة التي يَبعُدها الإلكترون عن نواة ذرَّة الهيدروجين بناءً على مستوى طاقته.
في هذا السؤال، لدينا جميع الكميات التي نحتاجها، علينا فقط التعويض بها في المعادلة: أو، بصورة مكافئة، nm. بتقريب هذا العدد لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على الإجابة النهائية .
مثال ٤: حساب نصف قطر مدار إلكترون بناءً على نصف قطر بور
استخدِم المعادلة ؛ حيث نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة لذرَّة هيدروجين، نصف قطر بور، لحساب نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة لذرَّة الهيدروجين. استخدِم القيمة m لنصف قطر بور. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
الحل
المعادلة المعطاة في السؤال مشتقة من نموذج بور. وهي معادلة تعبِّر عن نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة لذرَّة الهيدروجين بدلالة كميتين؛ ، .
ثابت يُعرف باسم نصف قطر بور. وهو يساوي نصف قطر مدار الإلكترون في أقل مستوى طاقة لذرَّة الهيدروجين، كما تَنبَّأ نموذج بور. وقد أخبرنا السؤال باستخدام القيمة m لنصف قطر بور.
هو عدد الكم الرئيسي للإلكترون. وهو عدد يعبِّر عن مستوى طاقة الإلكترون. في هذه الحالة، لدينا إلكترون له .
يمكننا إيجاد إجابة هذا السؤال ببساطة عن طريق التعويض بـ ، في المعادلة المعطاة: أو، بصورة مكافئة، 0.4761 nm. وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على الإجابة النهائية 0.476 nm.
النقاط الرئيسية
- يَفترض نموذج بور أن الإلكترونات في الذرَّة تَصنع مدارات دائرية حول النواة.
- وفقًا لنموذج بور، تكون كمية الحركة الزاويَّة للإلكترون مُكمَّاة. وهذا يعني أن مدارات الإلكترونات لا تكون ممكنة إلا عندما تكون كميةُ الحركة الزاويَّة للإلكترون أثناء دورانه تساوي مضاعفاتٍ صحيحة من ثابت بلانك المخفض : في هذه المعادلة، هو عدد الكم الرئيسي، وهو عدد صحيح موجب يشير إلى مستوى طاقة الإلكترون (حيث يناظر أقل مستوى طاقة).
- في نموذج بور، نصف قطر المدار، ، للإلكترون في مستوى الطاقة يُعطى بالمعادلة: حيث هي سماحية الفراغ، هي كتلة الإلكترون، هي شحنة الإلكترون.
- يمكن أيضًا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة: حيث هو نصف قطر بور. ونصف قطر بور هو أصغر نصف قطر مدار وفقًا لنموذج بور، ويبلغ m.
