شارح الدرس: التقعُّر ونقاط الانقلاب الرياضيات

مثال ١: إيجاد فترات التقعُّر لأعلى والتقعُّر لأسفل لدالة كثيرة الحدود

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة مقعَّرة لأعلى أو مقعَّرة لأسفل.

الحل

نعلم الآتي:

إذا كانت لجميع قِيَم في الفترة ، فإن المنحنى يكون مقعَّرًا لأعلى لجميع قِيَم في هذه الفترة، وإذا كانت لجميع قِيَم في الفترة ، فإن المنحنى يكون مقعَّرًا لأسفل لجميع قِيَم في هذه الفترة.

ومن ثَمَّ، علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة، واستخدام هذا لتحديد الفترات التي تكون عليها ، .

المشتقة الأولى، ، هي:

بعد ذلك، نُوجِد المشتقة الثانية باشتقاق بالنسبة إلى :

والآن بعد أن أصبح لدينا المشتقة الثانية، يُمكننا تحديد الفترات التي تكون عليها ، .

لنتمكَّن من ذلك، نبدأ بجعل المشتقة الثانية تساوي صفرًا، ونُوجِد قيمة :

لحلِّ هذه المعادلة، يُمكننا تحليل الطرف الأيمن:

ومن هنا، يُمكننا إيجاد قيمة ؛ لأننا نعرف أنه إما أن يكون يساوي صفرًا، أو أن يكون ما بين القوسين يساوي صفرًا: أو:

وفي هذه المرحلة، يُمكننا إنطاق المقام عن طريق ضرب البسط والمقام في :

حلول هي ، أو ، أو . بعد ذلك، سنرسم منحنى ليساعدنا على تحديد إذا ما كانت الدالة أصغر من صفر، أو أكبر من صفر، أو تساوي صفرًا.

هذا منحنى دالة تكعيبية فيها معامل سالب، وجذورها ، ، صفر.

بتحديد المنطقة التي تكون فيها القيمة المُخرَجة للدالة أقلَّ من صفر باللون البرتقالي، والمنطقة التي تكون القيمة المُخرَجة فيها أكبر من صفر باللون الوردي، يصبح المنحنى هكذا:

ومن ثَمَّ، يُمكننا القول بأن ؛ ومن ثَمَّ، تكون الدالة مقعَّرة لأعلى على الفترتين ، .

وبالمثل، ، ومن ثَمَّ، تكون الدالة مقعَّرة لأسفل على الفترتين ، .

الدالة مقعَّرة لأعلى على الفترتين ، ، ومقعَّرة لأسفل على الفترتين ، .

مثال ٢: إيجاد نقطة انقلاب على منحنى دالة تربيعية إذا وُجدتْ

أوجد نقاط انقلاب المنحنى .

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التقعُّر لأعلى إلى التقعُّر لأسفل، أو العكس، عند .

يُمكننا إذن البدء بإيجاد المشتقة الثانية للمعادلة.

لاحظ أنه بما أن دالة كثيرة الحدود، نستنتج أنها دالة متَّصِلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل.

أولًا، نشتق الدالة بالنسبة إلى ، وهو ما يُعطينا:

المشتقة الثانية: تُساوي عددًا ثابتًا موجبًا، وهو مستقلٌّ عن ، وهو ما يعني أن:

ومن ثَمَّ، يكون مقعَّرًا لأعلى لجميع قِيَم .

وأخيرًا، بما أن تقعُّر الدالة لم يتغيَّر مُطلقًا، فهذا يعني أن المنحنى ليس له نقاط انقلاب.

مثال ٣: إيجاد نقطة الانقلاب على منحنى دالة كثيرة الحدود

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة .

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التقعُّر لأعلى إلى التقعُّر لأسفل، أو العكس، عند .

وبما أننا نعلم أن المنحنى له نقطة انقلاب، فسنبدأ بإيجاد المشتقة الثانية.

أولًا، نشتق الدالة بالنسبة إلى ، وهو ما يُعطينا:

لإيجاد ، نشتق :

من الجدير بالملاحظة أن دالة خطية؛ أيْ إنها دالة متَّصِلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل، وهو ما يعني وجود لجميع قِيَم الحقيقية.

نعلم أنه قد تُوجَد نقطة انقلاب إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا؛ ولذا سنساويها بصفر، ونُوجِد قيمة :

ولكن كون لا يعني وجود نقطة انقلاب بالتأكيد. ولذا، سنتحقَّق من تقعُّر المنحنى على جانبَيِ النقطة . لإجراء ذلك، سنتحقَّق من ، .

يُمكننا أن نلاحظ أن ، وأن ؛ ومن ثَمَّ، يتغيَّر المنحنى من التقعُّر لأسفل إلى التقعُّر لأعلى. نستنتج أن نقطة الانقلاب تقع عند .

لإيجاد الإحداثي لنقطة الانقلاب هذه، سنعوِّض بـ في :

نقطة الانقلاب على منحنى تقع عند .

مثال ٤: إيجاد نقطة انقلاب دالة تتضمَّن دوالَّ مثلثية في فترة مُعطاة

إذا كانت ؛ حيث ، فأوجد نقاط انقلاب .

الحل

يُمكننا أن نتذكَّر الآتي:

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التقعُّر لأعلى إلى التقعُّر لأسفل، أو العكس، عند .

أولًا، نشتق الدالة بالنسبة إلى . للقيام بذلك، علينا أن نسترجع المشتقتين القياسيتين الآتيتين:

وبتطبيق هذا على حدَّيِ الدالة، نحصل على:

بعد ذلك، نشتق لإيجاد المشتقة الثانية:

تُوجَد نقطة الانقلاب عندما تُساوي المشتقة الثانية صفرًا (أو تكون غير موجودة)، وعندما يتغيَّر التقعُّر؛ لذا نجعل ، ثم نُوجِد قيمة ، تذكَّر حصْر مجموعة الحلِّ على الفترة .

ملاحظة:

الدالة مجموع دالتين متَّصِلتين. وهذا يعني أن الدالة نفسها متَّصِلة؛ ومن ثَمَّ فهي مُعرَّفة على مجالها بالكامل:

في هذه المرحلة، يُمكننا أن نسترجع المتطابقة المثلثية:

وباستخدام: نحصل على: وهو ما يُمكننا حلُّه لإيجاد قيمة :

في هذه المرحلة، يجب أن نتذكَّر أن دالة دورية لها الفترة راديان، ويُخبرنا هذا أنه قد يكون لها أكثر من حلٍّ.

ولإيجاد الحلول المُمكنة، نفكِّر في الفترة الأصلية، ومع ذلك، سنعدِّل هذا بالضرب في ٤ لنحصل على:

نُوجِد جميع القِيَم المُمكنة لـ ٤س على الفترة التي لدينا، وذلك بإضافة مضاعفات إلى الحلِّ لنحصل على:

وأخيرًا، يُمكننا قسمة الطرفين على أربعة لإيجاد :

نعلم أن تحقُّق الشرط لا يضمن وجود نقطة انقلاب. بل علينا أيضًا التحقُّق من تقعُّر الدالة على جانبَيْ قيمتَيْ . لنستخدم ، ليكونا القيمتين على جانبَيِ النقطة ، و١٫٣، ١٫٤ على جانبَيِ النقطة .

نلاحِظ أنه حول النقطة يتغيَّر المنحنى من التقعُّر لأسفل إلى التقعُّر لأعلى، وحول النقطة يتغيَّر من التقعُّر لأعلى إلى التقعُّر لأسفل. ومن ثَمَّ، نستنتج أن نقطة الانقلاب تقع عند ، .

لإيجاد إحداثيات المناظِرة، نعوِّض بكلِّ قيمة لـ في الدالة الأصلية :

وإذا كانت ؛ حيث ، فإن نقاط انقلاب تقع عند ، .

مثال ٥: إيجاد نقطة الانقلاب، إذا وُجدت، لدالة تتضمَّن لوغاريتمًا

أوجد نقاط انقلاب ، إنْ وُجدت.

الحل

إذا كانت نقطة انقلاب، فإن (أو غير مُعرَّفة)، ويكون المنحنى متَّصِلًا، ويتغيَّر من التقعُّر لأعلى إلى التقعُّر لأسفل، أو العكس، عند .

لإيجاد نقاط الانقلاب، سنُوجِد قيمة المشتقة الثانية للدالة ونساويها بصفر.

بالنظر إلى الدالة، يُمكننا ملاحظة أنها عبارة عن حاصل ضرب دالتين:

ومن ثَمَّ، نستخدم قاعدة الضرب للاشتقاق، وتنصُّ على أن:

نفترض أن ، .

ثم نشتق بالنسبة إلى لنحصل على:

باستخدام قاعدة الضرب، نجد أن:

لإيجاد المشتقة الثانية، سنستخدم قاعدة الضرب مرَّة أخرى لإيجاد مشتقة :

والآن، بعد أن أصبح لدينا المشتقة الثانية، يُمكننا مساواتها بصفر وإيجاد قيمة :

نرى أنه قد تُوجَد نقطة انقلاب عند:

لكن كون لا يضمن وجود نقطة انقلاب؛ لذا سنتحقَّق من قيمتَيْ على جانبَيْ هذه النقطة. إذا حسبنا نجد أنه يساوي ٠٫١١٢ تقريبًا؛ ومن ثَمَّ، يُمكننا اعتبار أن قيمتَيْ هما ٠٫١ و٠٫١٢.

نلاحظ من الجدول أن ، . وهذا يُخبرنا بأن المنحنى يتغيَّر من التقعُّر لأسفل إلى التقعُّر لأعلى. وهو ما يؤكِّد إذن وُجود نقطة انقلاب عند:

يُمكننا الآن التعويض بقيمة هذه في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي لنقطة الانقلاب:

لذا، نستنتج أن نقطة انقلاب الدالة تقع عند .