تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المتغيِّر العشوائي المتَّصِل الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَصِف دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل، ونستخدم ذلك لإيجاد احتمال وقوع حدث ما.

تأخذ المتغيِّرات العشوائية المتصلة عددًا لا نهائيًّا من القيم من فترة متصلة من الأعداد الحقيقية. احتمال أن يأخذ متغيِّر عشوائي متصل قيمة معيَّنة يساوي صفرًا؛ أي إن 𞸋(𞹎=𞸎)=٠ لأي قيمة 𞸎. وحقيقة أن احتمال أن يأخذ المتغيِّر العشوائي أي قيمة معيَّنة يساوي صفرًا هي ما يميِّز المتغيِّرات العشوائية المتصلة عن المتغيِّرات العشوائية المتقطِّعة.

ويتم توصيف المتغيِّر العشوائي المتصل بدالة كثافة احتمال خاصة به، وهي دالة قيمها غير سالبة، والمساحة الكلية أسفل منحنى هذه الدالة تساوي ١. تمثِّل المساحة أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال احتمال فضاء العيِّنة بأكمله. نتذكَّر قاعدة الاحتمالات، التي تنص على أن مجموع قيم احتمالات الأحداث المتنافية يساوي ١. وتقتضي هذه القاعدة أن تكون المساحة الكلية أسفل المنحنى ١.

تعريف: دالة كثافة الاحتمال

تكون الدالة 󰎨(𞸎) دالة كثافة الاحتمال إذا كانت:

  • 󰎨(𞸎)٠ لجميع قيم 𞸎.
  • المساحة الكلية أسفل التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) تساوي ١.

انظر إلى دالة كثافة الاحتمال 󰎨(𞸎) الموضَّح تمثيلها البياني بالأسفل.

نلاحظ أن قيم هذه الدالة لا يمكن أن تكون سالبة مطلقًا، وأن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي ١. إذن هذا التمثيل البياني هو لدالة كثافة احتمال وفقًا للتعريف السابق.

عندما تحتوي دالة كثافة الاحتمال على ثابت مجهول، يمكننا عادةً تحديد الثابت المجهول من خلال أحد الشرطين في التعريف السابق.

في المثال الأول، سنُوجِد قيمة ثابت مجهول في دالة مُعطاة؛ بحيث يحقِّق شرطَي دالة كثافة الاحتمال.

مثال ١: استخدام دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل لإيجاد قيمة مجهول

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال: 󰎨(𞸎)=󰃇󰏡𞸎،١𞸎٥،٠.اذ

أوجد قيمة 󰏡.

الحل

في هذا المثال، لدينا 󰎨(𞸎) دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل. تذكَّر أن الدالة 󰎨(𞸎) تكون دالة كثافة احتمال إذا تحقَّق الشرطان الآتيان:

  • 󰎨(𞸎)٠ لجميع قيم 𞸎.
  • المساحة الكلية أسفل التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) تساوي ١.

بما أن الدالة المُعطاة 󰎨(𞸎) هي دالة كثافة الاحتمال، إذن لا بد أنها تحقِّق الشرطين. نتحقَّق من الشرط الأول.

󰎨(𞸎)=٠ خارج الفترة [١،٥]، وهو ما يعني أن الشرط 󰎨(𞸎)٠ يتحقَّق هنا. لذا، علينا فقط التحقُّق من أن 󰎨(𞸎)٠ لقيم 𞸎 داخل الفترة [١،٥].

بالنسبة إلى 𞸎 في الفترة [١،٥]، نعرف أن 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎. وبما أن قيم 𞸎 موجبة في هذه الفترة، إذن يتطلَّب ذلك أن يكون 󰏡٠؛ بحيث يكون 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٠. ومن ثَمَّ، يتطلَّب الشرط الأول أن يكون 󰏡٠.

هيا نتحقَّق من الشرط الثاني، الذي ينص على أن المساحة الكلية أسفل التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) تساوي ١. يمكننا على الفور ملاحظة أنه لا يمكن أن يكون 󰏡=٠؛ لأن هذا يؤدي إلى أن تكون 󰎨(𞸎)=٠ لكل 𞸎، وفي هذه الحالة تساوي المساحة أسفل التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) صفرًا.

هذا يُلزم أن يكون 󰏡>٠، وهو ما يخبرنا أن التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎) على الفترة [١،٥] هو خط مستقيم له ميل موجب. هيا نرسم هذا التمثيل البياني.

نلاحظ من هذا التمثيل البياني أن المساحة أسفل التمثيل البياني 𞸑=󰎨(𞸎) هي مساحة شبه منحرف. نتذكَّر أن مساحة شبه المنحرف تُعطى بواسطة الصيغة: الاةالاةاارع=١٢×󰁓+󰁒×.

وبناءً على ذلك، يمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف هذا إذا تمكنَّا من إيجاد أطوال كلٍّ من القاعدة السفلية والقاعدة العلوية والارتفاع في شبه المنحرف. يمكننا إيجاد إحداثيات رءوس شبه المنحرف بالتعويض بـ 𞸎=١، 𞸎=٥ في الدالة 󰎨(𞸎). لذا، نحسب ما يلي: 󰎨(١)=󰏡×١=󰏡،󰎨(٥)=󰏡×٥=٥󰏡.

نستنتج من ذلك أن إحداثيات الرأسين (١،󰏡) و(٥،٥󰏡)، على الترتيب، وهو ما يُعطينا طول كلٍّ من القاعدة العلوية والقاعدة السفلية في شبه المنحرف. وأخيرًا، ارتفاع شبه المنحرف هو طول الضلع الذي يقع على المحور 𞸎، وهو ما حصلنا عليه من ٥١=٤. يمكننا إضافة هذه القيم إلى التمثيل البياني.

وبالتعويض بهذه القيم في صيغة حساب مساحة شبه المنحرف، نحصل على: ا=١٢(٥󰏡+󰏡)×٤=٢١󰏡.

ومن ثَمَّ، فإن مساحة شبه المنحرف تساوي ٢١󰏡. وبما أننا نريد أن تساوي هذه المساحة ١، إذن لا بد أن ٢١󰏡=١، وهو ما يعني أن 󰏡=١٢١.

في المثال السابق، أوجدنا قيمة ثابت مجهول في دالة كثافة الاحتمال. هيا نركِّز انتباهنا على طريقة حساب احتمال وقوع حدث باستخدام دالة كثافة الاحتمال.

كيفية إيجاد احتمال وقوع حدث باستخدام دالة كثافة الاحتمال

افترض أن لدينا متغيِّرًا عشوائيًّا متصلًا 𞹎، دالة كثافة الاحتمال له هي 󰎨(𞸎)، وافترض أن 𞸐 الفترة التي تمثِّل حدثًا ما. حينئذٍ، يساوي احتمال وقوع الحدث {𞹎𞸐} المساحة أسفل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) على الفترة 𞸐.

عندما يتكوَّن التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال من أشكال هندسية بسيطة، مثل: المثلث، أو شبه المنحرف، أو المستطيل، يمكننا استخدام الصيغ الهندسية للمساحة لإيجاد قيم احتمالات الأحداث.

نتناول مثالًا نُوجِد فيه احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل، دالة كثافة الاحتمال له تمثيلها البياني هو شبه منحرف.

مثال ٢: حساب احتمال متغيِّر عشوائي باستخدام التمثيلات البيانية

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال 󰎨(𞸎) الموضَّحة بالتمثيل البياني المُعطى. أوجد 𞸋(٤𞹎٥).

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل؛ حيث الحدث مُعطى بواسطة: ٤𞹎٥.

تذكَّر أن احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل يساوي المساحة الموجودة أسفل التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال على الفترة التي تمثِّل الحدث. نبدأ بتحديد المنطقة أسفل المنحنى على الفترة ٤𞸎٥.

يمكننا إيجاد احتمال وقوع الحدث بإيجاد مساحة المنطقة المظلَّلة، التي هي عبارة عن شبه منحرف. نتذكَّر أن مساحة شبه المنحرف تُعطى بواسطة الصيغة: الاةالاةاارع=١٢×󰁓+󰁒×..

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف هذا إذا تمكنَّا من إيجاد طول كلٍّ من القاعدة السفلية والقاعدة العلوية والارتفاع في شبه المنحرف.

من التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن طول القاعدة السفلية لشبه المنحرف يساوي ١٤، والارتفاع يساوي ٥٤=١. يتبقَّى أن نُوجِد طول القاعدة العلوية لشبه المنحرف، وهو قيمة الإحداثي 𞸑 للنقطة عند 𞸎=٥ على التمثيل البياني.

تقع هذه النقطة على الخط الواصل بين النقطتين 󰂔٤،١٤󰂓 و(٦،٠). بما أن 𞸎=٥ تقع في منتصف المسافة بالضبط بين 𞸎=٥، 𞸎=٦، إذن قيمة الإحداثي 𞸑 عند 𞸎=٥ يجب أن تكون متوسط قيمتَي الإحداثي 𞸑 لنقطتَي الطرفين. هذا يُعطينا: 𞸑=١٢󰂔١٤+٠󰂓=١٨.

هكذا، حصلنا على إحداثيات هذه النقطة، وهي 󰂔٥،١٨󰂓. هيا نُضِف أطوال الأضلاع المناظرة إلى التمثيل البياني.

التمثيل البياني الموضَّح لدالة كثافة الاحتمال عبارة عن شبه منحرف طول قاعدته السفلية يساوي ١٤، وطول قاعدته العلوية يساوي ١٨ وارتفاعه يساوي ١. إذن مساحة شبه المنحرف تساوي: ١٢×󰂔١٤+١٨󰂓×١=٣٦١.

ومن ثَمَّ، فإن الاحتمال 𞸋(٤𞹎٥)=٣٦١. ونلاحظ أن هذه إجابة منطقية للاحتمال؛ حيث يقع ٣٦١ بين صفر و١.

في المثال السابق، حسبنا احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل عندما يكون لدينا التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال له. في الأمثلة التالية، نُوجِد احتمال وقوع حدث عندما تكون دالة كثافة الاحتمال مُعطاة على صورتها الجبرية.

مثال ٣: استخدام دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل لإيجاد الاحتمالات

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متصل دالة كثافة الاحتمال له: 󰎨(𞸎)=󰃳١٣٦،٩𞸎٢٧٠.اذ

أوجد 𞸋(𞹎>٤٦).

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل عندما يكون الحدث هو: 𞹎>٤٦.

نبدأ بتمثيل دالة كثافة الاحتمال بيانيًّا.

تذكَّر أن احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل يساوي المساحة الموجودة أسفل التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال على الفترة التي تمثِّل الحدث. هذا يعني أن علينا إيجاد المساحة أسفل هذا التمثيل البياني على الفترة [٤٦،[. ولكن، بما أن هذه الدالة تساوي صفرًا لقيم 𞸎>٢٧، إذن ما علينا سوى إيجاد المساحة على الفترة [٤٦،٢٧]. نميِّز هذا الجزء من التمثيل البياني كالآتي:

مساحة المستطيل المظلَّل تساوي احتمال وقوع الحدث المُعطى. يمكننا ملاحظة أن طول قاعدة هذا المستطيل يساوي: ٢٧٤٦=٨.

وارتفاع هذا المستطيل يساوي ١٣٦. بضرب هذين العددين معًا، تكون مساحة هذا المستطيل: ٨×١٣٦=٨٣٦.

ومن ثَمَّ، فإن الاحتمال 𞸋(𞹎>٤٦)=٨٣٦. نلاحظ أن هذه إجابة منطقية للاحتمال؛ لأن ٨٣٦ يقع بين صفر و١.

في بعض الأحيان، التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال يكون دالة متعدِّدة التعريف بها العديد من الدوال الجزئية. وإذا كان كل ما نريد فعله هو إيجاد احتمال وقوع حدث ما، فعلينا فقط رسم جزء التمثيل البياني المرتبط بالحدث المُعطى.

نتناول مثالًا آخر نُوجِد فيه احتمال وقوع حدث؛ حيث تحتوي دالة كثافة الاحتمال على ثلاث دوال جزئية.

مثال ٤: استخدام دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل لإيجاد الاحتمالات

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال: 󰎨(𞸎)=𞸎٨،٢<𞸎<٣،١٨٤،٣<𞸎<٦٣،٠.اذ

أوجد 𞸋(١١𞹎٤٢).

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل عندما يكون الحدث هو: ١١𞹎٤٢.

نتذكَّر أن احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل يساوي المساحة أسفل التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال على الفترة التي تمثِّل الحدث. هذا يعني أن علينا إيجاد المساحة أسفل هذا التمثيل البياني على الفترة [١١،٤٢]. وبما أن المطلوب هو إيجاد المساحة على هذه الفترة فقط، إذن لا نحتاج إلى التمثيل البياني للدالة خارج المنطقة ذات الصلة. على وجه التحديد، ليس علينا سوى تمثيل الدالة الجزئية الآتية بيانيًّا: 󰎨(𞸎)=١٨٤،٣<𞸎<٦٣.

نبدأ بتمثيل هذا الجزء من دالة كثافة الاحتمال بيانيًّا.

يمكننا تمييز المنطقة على الفترة [١١،٤٢] كالآتي:

مساحة المستطيل المظلَّل تساوي احتمال وقوع الحدث المُعطى. ويمكننا ملاحظة أن طول قاعدة هذا المستطيل يساوي: ٤٢١١=٣١.

وارتفاع هذا المستطيل يساوي ١٨٤. بضرب هذين العددين معًا، تكون مساحة هذا المستطيل: ٣١×١٨٤=٣١٨٤.

ومن ثَمَّ، يكون الاحتمال: 𞸋(١١𞹎٤٢)=٣١٨٤.

ونلاحظ أن هذه إجابة منطقية للاحتمال؛ لأن ٣١٨٤ يقع بين صفر و١.

في المثال الأخير، سنُوجِد احتمال وقوع حدث ما بإيجاد مساحة منطقة على شكل شبه منحرف أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال.

مثال ٥: استخدام دالة كثافة الاحتمال لمتغيِّر عشوائي متصل لإيجاد الاحتمالات

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متصل، دالة كثافة الاحتمال له: 󰎨(𞸎)=󰃳١٦(𞸎٥)،٧𞸎٩،٠.اذ

أوجد 𞸋(𞹎٨).

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل عندما يكون الحدث هو: 𞹎٨.

نبدأ بتمثيل دالة كثافة الاحتمال.

تذكَّر أن احتمال وقوع حدث لمتغيِّر عشوائي متصل يساوي المساحة الموجودة أسفل التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال على الفترة التي تمثِّل الحدث. هذا يعني أن علينا إيجاد المساحة أسفل هذا التمثيل البياني على الفترة ]،٨]. ولكن، بما أن هذه الدالة تساوي صفرًا عندما يكون 𞸎<٧، إذن علينا إيجاد المساحة على الفترة [٧،٨] فقط. يمكننا تمييز هذا الجزء من التمثيل البياني.

يمكننا إيجاد احتمال هذا الحدث بإيجاد مساحة المنطقة المظللة، التي هي عبارة عن شبه منحرف. نتذكَّر أن مساحة شبه المنحرف تُعطى بواسطة الصيغة: الاةالاةاارع=١٢×󰁓+󰁒×.

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف هذا إذا تمكنَّا من إيجاد طول كلٍّ من القاعدة السفلية والقاعدة العلوية والارتفاع لشبه المنحرف. يمكننا إيجاد إحداثيات رءوس شبه المنحرف عن طريق التعويض بـ 𞸎=٧، 𞸎=٨، في الدالة 󰎨(𞸎). لذا، نحسب: 󰎨(٧)=١٦(٧٥)=١٣،󰎨(٨)=١٦(٨٥)=١٢.

وهذا يُعطينا إحداثيات الرأسين 󰂔٧،١٣󰂓 و󰂔٨،١٢󰂓، على الترتيب، وهو ما يُعطينا طول كلٍّ من القاعدة العلوية والقاعدة السفلية لشبه المنحرف. وأخيرًا، ارتفاع شبه المنحرف هو طول الضلع الذي يقع على المحور 𞸎، وهو ما نحصل عليه من ٨٧=١. يمكننا إضافة هذه القيم إلى التمثيل البياني.

إذن مساحة شبه المنحرف تساوي: ١٢×󰂔١٢+١٣󰂓×١=٥٢١.

ومن ثَمَّ، فإن الاحتمال هو 𞸋(٧𞹎٨)=٥٢١. ونلاحظ أن هذه إجابة منطقية للاحتمال؛ حيث يقع ٥٢١ بين صفر و١.

هيا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • المتغيِّر العشوائي المتصل 𞹎 يأخذ قيمًا في فترة متصلة من الأعداد الحقيقية.
  • تكون الدالة 󰎨(𞸎) هي دالة كثافة احتمال إذا كان:
    • 󰎨(𞸎)٠ لجميع قيم 𞸎.
    • المساحة الكلية أسفل التمثيل البياني للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) تساوي ١.
  • افترض أن متغيِّرًا عشوائيًّا متصلًا 𞹎 دالة كثافة الاحتمال له هي 󰎨(𞸎)؛ حيث 𞸐 هي الفترة التي تمثِّل الحدث. حينئذٍ، يساوي احتمال وقوع الحدث {𞹎𞸐} المساحة أسفل المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) على الفترة 𞸐.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.