شارح الدرس: مماسات الدائرة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: إيجاد طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بمعلومية طولَي الضلعين الآخرين باستخدام خواص المماسات

الخط المستقيم مماس لدائرة مركزها عند النقطة . إذا كان ، ، فما طول ؟

الحل

الطول، ، الذي نريد إيجاده هو طول ضلع في المثلث ، لذلك نبدأ بإيجاد قياس إحدى الزوايا في هذا المثلث. يمكننا إيجاد قياس بتذكُّر أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس.

نحن نعلم من السؤال أن مماس للدائرة التي مركزها عند ، ونلاحظ أن نصف قطر للدائرة التي مركزها ، ويتقاطع مع المماس عند نقطة التَّماس. هذا يعني أن زاوية قائمة؛ ومن ثم، يكون مثلثًا قائم الزاوية.

الخط المستقيم ، الذي نريد إيجاده، هو وتر المثلث القائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا كتابة:

لدينا في معطيات السؤال طول أحد أضلاع هذا المثلث، . الضلع المتبقي هو قطر الدائرة، وهو ضعف طول نصف القطر. بما أن لدينا طول نصف القطر ، فلا بد أن يساوي طول القطر سم. وبذلك، فإن . بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة بالأعلى، نحصل على:

إذن، .

مثال ٢: حساب محيط شكل مركب باستخدام خواص الأوتار وخواص المماسات

في الشكل التالي، مركز الدائرة، ، ، ، مماس. أوجد محيط الشكل .

الحل

تَذكَّرْ أن محيط الشكل الرباعي يساوي مجموع أطوال أضلاعه. دعونا نبدأ بإضافة الأطوال المعطاة إلى الشكل مع تمييز محيط الشكل الذي نريد حسابه.

نلاحظ أن طولَي الضلعين، ، ، المتضمَّنَين في المحيط معلومان بالفعل. ومن ثم، علينا إيجاد طولَي الضلعين ، .

سنبدأ بإيجاد طول . نلاحظ من الشكل أن النقطة هي نقطة تنصيف الوتر . تَذَكَّرْ أن العمود المنصِّف لوتر يمرُّ بمركز الدائرة. وبما أن ينصِّف الوتر ويمرُّ بمركز الدائرة ، فلا بد أنه العمود المنصِّف للوتر. هذا يوضح أن زاوية قائمة؛ ومن ثم، يكون مثلث قائم الزاوية. بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث، يمكننا كتابة الآتي:

بالتعويض بقيمتَي طولَي الضلعين المعطَيَيْن ، في هذه المعادلة وحلها، نحصل على:

هذا يعطينا .

بعد ذلك، سنوجد طول الضلع . تَذَكَّرْ أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التَّماس. في الشكل المعطى، هو مماس للدائرة ويتقاطع مع نصف القطر ؛ لذلك فإن لا بد أن تكون زاوية قائمة. يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية لنكتب الآتي:

لدينا ، ؛ إذن:

هذا يعطينا . إذن، محيط الشكل يساوي:

مثال ٣: إيجاد طولَي قطعتين مستقيمتين باستخدام خواص مماسات الدائرة

أوجد كلًّا من ، ، لأقرب جزء من مائة.

الحل

في الشكل المعطى، ، مماسان مرسومان من نقطة خارج دائرة مركزها . تَذَكَّرْ أن طولَي المماسين المرسومين من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويين. إذن، لا بد أن يكون طولا هذين المماسين متساويين. بما أن لدينا ، فلا بد أيضًا أن يكون .

بعد ذلك، لننظر إلى . نتذكر أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس. في الشكل، مماس للدائرة التي مركزها ، نصف قطر للدائرة. ومن ثم، يجب أن تكون زاوية قائمة. هذا يوضح أن مثلث قائم الزاوية؛ حيث وتر هذا المثلث القائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا كتابة:

بالتعويض بقيمتَي ، في هذه المعادلة، نحصل على:

بالتقريب لأقرب جزء من مائة، فإن ، يساويان ١٢٫٢٩ سم، ١٠٫٧٣ سم، على الترتيب.

مثال ٤: إيجاد طول مماس دائرة بحل معادلتين خطيتين

دائرتان مركزاهما ، متماستان من الخارج. مماس مشترك لهما عند النقطتين ، ، على الترتيب، مماس مشترك لهما عند النقطتين ، ، على الترتيب. إذا كان ، ، فأوجد ، .

الحل

تَذَكَّرْ أن طولَي المماسين المرسومين من نقطة خارج الدائرة يكونان متساويين. في الدائرة التي مركزها ، الخطان المستقيمان ، مماسان لهذه الدائرة عند النقطتين ، على الترتيب. ومن ثم، لا بد أن ، وهو ما يعني أن . يمكننا كتابة الآتي:

بعد ذلك، انظر إلى الدائرة التي مركزها . الخطان المستقيمان ، مماسان لهذه الدائرة عند النقطتين ، على الترتيب. ومن ثم، لا بد أن . لدينا في معطيات السؤال ونحن نعرف أن ؛ لذلك فإن:

وبما أن ، فإننا نعرف أن . وبما أن ، يمكننا التعويض بقيمتَي طولَي الضلعين المعلومين، ومن ثم نكتب:

وهذا يعطينا:

لدينا أيضًا في المعطيات أن ؛ إذن يمكننا كتابة الآتي:

وعليه، فإن ، .

مثال ٥: إيجاد قياس زاوية باستخدام خواص مماسي الدائرة

إذا كان ؛ حيث ، مماسان للدائرة عند ، ، فأوجد .

الحل

لدينا في معطيات السؤال ، مماسان للدائرة عند ، . نتذكر أن المماسين المرسومين من نفس النقطة إلى الدائرة متساويان في الطول، وهو ما يوضح أن . هيا نوضح ذلك على الشكل ونضف أيضًا قياس الزاوية المعطاة.

تَذَكَّرْ أيضًا أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التَّماس. وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن زاوية قائمة. يمكننا حساب:

في الشكل الموضح أعلاه، نلاحظ أن مثلث متساوي الساقين؛ لأن . هذا يعني أن:

وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية يساوي ، فيمكننا كتابة أن:

بالتعويض بقياسَي الزاويتين اللتين حصلنا عليهما:

وهذا يعطينا .

وأخيرًا، للحصول على ، علينا تذكُّر أن الخط المستقيم الذي يصل بين النقطة خارج الدائرة ومركز الدائرة يكون منصِّفًا للزاوية المحصورة بين المماسين المرسومين من النقطة. هذا يعني أن:

ومن ثم، فإن .

مثال ٦: إيجاد مساحة مثلث بمعلومية نصفَي قطرَي دائرتيه الخارجية والداخلية

نصفَا قطرَي الدائرتين المتحدتَي المركز الموضَّحتين ١٦ سم و٨ سم. أوجد مساحة المثلث لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في الشكل المعطى، المستقيمات ، ، مماسات للدائرة الأصغر. تَذَكَّرْ أن المستقيم الواصل بين نقطة خارج الدائرة ومركز الدائرة هو منصِّف الزاوية المحصورة بين المماسين المرسومين من تلك النقطة. إذن، المستقيمات ، ، هي منصِّفات للزوايا ، ، على الترتيب. نضيف هذه المستقيمات إلى الشكل.

نتذكر أيضًا أن مماس أي دائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس. ومن ثم، فإن أنصاف الأقطار ، ، للدائرة الأصغر، تتقاطع عموديًّا مع المماسات ، ، على الترتيب. نضيف الآن هذه المستقيمات إلى الشكل.

في الشكل السابق، المثلث مقسَّم إلى ستة مثلثات أصغر قائمة الزاوية. يمكننا القول إن جميع المثلثات الستة القائمة الزاوية متطابقة.

لإثبات التطابق، دعونا أولًا ننظر إلى الزوايا. بما أننا نعلم أن ، ، منصِّفات للزوايا ، ، ، فإننا نعلم أن الزاويتين عند كل رأس من الرءوس ، ، لهما القياس نفسه. بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ أن ، ، أنصاف أقطار للدائرة الكبيرة؛ لذلك فهي متساوية في الطول. هذا يخبرنا أن المثلثات ، ، متساوية الساقين، ما يعني أن الزاويتين اللتين تبعدان عن المركز، وهو الرأس في كل من هذه المثلثات متساويتان. هذا يوضح أن الزوايا الأصغر الست كلها عند الرءوس ، ، متساوية في القياس. إذن، كل زاوية من هذه الزوايا الأصغر موجودة في المثلثات الستة القائمة الزاوية الأصغر.

وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمثلث لا بد أن يساوي ، فإن الزوايا الثالثة (أي الزاوية التي عند المركز، أي الرأس ) للمثلثات القائمة الستة لا بد أن يكون قياسها متساوٍ أيضًا. وأخيرًا بإعادة استخدام حقيقة أن ، ، أطوالها متساوية، فإن جميع المثلثات الستة القائمة الزاوية الأصغر تحقق مسلَّمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما.

وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن مساحة المثلث تساوي ستة أمثال مساحة المثلث ، مثلًا. هيا نوجد مساحة المثلث القائم الزاوية . بما أن نصف قطر في الدائرة الأصغر، فإننا نعرف أن . وعلينا إيجاد لإيجاد مساحة هذا المثلث. بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث، يمكننا كتابة:

ونحن نعرف أن ، نصف قطر في الدائرة الكبيرة؛ إذن، . بالتعويض بهاتين القيمتين:

وبتذكُّر أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع، فإن مساحة المثلث تساوي:

بضرب هذه المساحة في ٦، نحصل على مساحة المثلث لأقرب جزء من مائة؛ أي إن: