تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مماسات الدائرة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص مماسات الدوائر لإيجاد قياسات زوايا أو أطوال أضلاع مجهولة.

تَذَكَّرْ أن مماس الدائرة هو خط مستقيم يمرُّ بنقطة واحدة فقط على الدائرة. وهو لا يمرُّ داخل الدائرة، ولكنه يلمس الدائرة من الخارج كما هو موضح في الشكل الآتي.

نبدأ بتناول نظرية مهمة عن الزاوية التي يصنعها مماس الدائرة ونصف قطرها.

نظرية: الزاوية المحصورة بين مماس الدائرة ونصف قطرها

أيُّ مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التَّماس.

يعتمد برهان هذه النظرية على حقيقة أن أقصر مسافة بين خط مستقيم ونقطة هي البُعد العمودي بينهما. أي إن أقصر قطعة مستقيمة من النقطة إلى الخط المستقيم الموضح لا بد أن تتقاطع عموديًّا مع الخط المستقيم.

إذا كان مستقيم مماسًّا للدائرة، فإن أيَّ نقطة على المستقيم تقع خارج الدائرة، ما عدا نقطة التَّماس التي تقع على الدائرة. نحن نعلم أن المسافة بين مركز الدائرة وأي نقطة خارج الدائرة لا بد أن تكون أكبر من طول نصف قطر الدائرة. وفي المقابل، المسافة بين مركز الدائرة ونقطة التماس تساوي طول نصف قطر الدائرة. إذن، لا بد أن يكون نصف القطر هو أقصر مسافة بين مركز الدائرة والمماس؛ حيث إن جميع النقاط الأخرى على المماس تقع خارج الدائرة. وبما أن نصف القطر هو أقصر قطعة مستقيمة تصل بين مركز الدائرة والمماس، فلا بد أن يكون عموديًّا على المماس. وهذا يثبت النظرية.

في المثال الأول، سنستخدم هذه النظرية لإيجاد طول مجهول في شكل يتضمن دائرة ومماسًّا.

مثال ١: إيجاد طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بمعلومية طولَي الضلعين الآخرين باستخدام خواص المماسات

الخط المستقيم 󰄮󰏡𞸢 مماس لدائرة مركزها 𞸌 عند النقطة 󰏡. إذا كان 𞸁𞸌=٥٥، 󰏡𞸢=٦٩، فما طول 𞸁𞸢؟

الحل

الطول، 𞸁𞸢، الذي نريد إيجاده هو طول ضلع في المثلث 󰏡𞸁𞸢، لذلك نبدأ بإيجاد قياس إحدى الزوايا في هذا المثلث. يمكننا إيجاد قياس 󰌑𞸁󰏡𞸢 بتذكُّر أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس.

نحن نعلم من السؤال أن 󰄮󰏡𞸢 مماس للدائرة التي مركزها 𞸌 عند 󰏡، ونلاحظ أن 𞸌󰏡 نصف قطر للدائرة التي مركزها 𞸌، ويتقاطع مع المماس عند نقطة التَّماس. هذا يعني أن 󰌑𞸢󰏡𞸌 زاوية قائمة؛ ومن ثم، يكون 𞸢󰏡𞸁 مثلثًا قائم الزاوية.

الخط المستقيم 𞸁𞸢، الذي نريد إيجاده، هو وتر المثلث القائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا كتابة: 󰏡𞸢+󰏡𞸁=𞸁𞸢.٢٢٢

لدينا في معطيات السؤال طول أحد أضلاع هذا المثلث، 󰏡𞸢=٦٩. الضلع المتبقي 󰏡𞸁 هو قطر الدائرة، وهو ضعف طول نصف القطر. بما أن لدينا طول نصف القطر 𞸁𞸌=٥٥، فلا بد أن يساوي طول القطر ٥٥×٢=٠١١ سم. وبذلك، فإن 󰏡𞸁=٠١١. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة بالأعلى، نحصل على: ٦٩+٠١١=𞸁𞸢𞸁𞸢=󰋴٦٩+٠١١=٦٤١.٢٢٢٢٢

إذن، 𞸁𞸢=٦٤١.

في المثال السابق، لم يتطلب الأمر لإيجاد طول الضلع الناقص سوى معرفة حقيقة أن المماس ونصف القطر متعامدان. في المسائل الهندسية الأكثر تعقيدًا، قد نحتاج إلى استخدام أكثر من خاصية أو نظرية هندسية واحدة لإيجاد أطوال الأضلاع أو قياسات الزوايا الناقصة. سيتطلب المثال التالي تذكُّر خاصية العمود المنصِّف للوتر أيضًا.

مثال ٢: حساب محيط شكل مركب باستخدام خواص الأوتار وخواص المماسات

في الشكل التالي، 𞸌 مركز الدائرة، 𞸌𞸁=٥١، 󰏡𞸁=٠٢، 𞸌𞸢=٩، 󰄮󰏡𞸁 مماس. أوجد محيط الشكل 󰏡𞸁𞸢𞸌.

الحل

تَذكَّرْ أن محيط الشكل الرباعي يساوي مجموع أطوال أضلاعه. دعونا نبدأ بإضافة الأطوال المعطاة إلى الشكل مع تمييز محيط الشكل الذي نريد حسابه.

نلاحظ أن طولَي الضلعين، 𞸌𞸢، 󰏡𞸁، المتضمَّنَين في المحيط معلومان بالفعل. ومن ثم، علينا إيجاد طولَي الضلعين 𞸌󰏡، 𞸁𞸢.

سنبدأ بإيجاد طول 𞸁𞸢. نلاحظ من الشكل أن النقطة 𞸢 هي نقطة تنصيف الوتر 𞸁𞸃. تَذَكَّرْ أن العمود المنصِّف لوتر يمرُّ بمركز الدائرة. وبما أن 𞸌𞸢 ينصِّف الوتر 𞸁𞸃 ويمرُّ بمركز الدائرة 𞸌، فلا بد أنه العمود المنصِّف للوتر. هذا يوضح أن 󰌑𞸌𞸢𞸁 زاوية قائمة؛ ومن ثم، يكون 𞸌𞸢𞸁 مثلث قائم الزاوية. بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث، يمكننا كتابة الآتي: 𞸁𞸢+𞸌𞸢=𞸌𞸁.٢٢٢

بالتعويض بقيمتَي طولَي الضلعين المعطَيَيْن 𞸌𞸢=٩، 𞸌𞸁=٥١ في هذه المعادلة وحلها، نحصل على: 𞸁𞸢+٩=٥١𞸁𞸢=٥١٩=٤٤١𞸁𞸢=󰋴٤٤١=٢١.٢٢٢٢٢٢

هذا يعطينا 𞸁𞸢=٢١.

بعد ذلك، سنوجد طول الضلع 𞸌󰏡. تَذَكَّرْ أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التَّماس. في الشكل المعطى، 󰄮󰏡𞸁 هو مماس للدائرة ويتقاطع مع نصف القطر 𞸌𞸁؛ لذلك فإن 󰌑𞸌𞸁󰏡 لا بد أن تكون زاوية قائمة. يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية 𞸌𞸁󰏡 لنكتب الآتي: 𞸌𞸁+󰏡𞸁=𞸌󰏡.٢٢٢

لدينا 󰏡𞸁=٠٢، 𞸌𞸁=٥١؛ إذن: ٥١+٠٢=𞸌󰏡𞸌󰏡=󰋴٥١+٠٢=٥٢.٢٢٢٢٢

هذا يعطينا 𞸌󰏡=٥٢. إذن، محيط الشكل 󰏡𞸁𞸢𞸌 يساوي: 𞸌󰏡+󰏡𞸁+𞸁𞸢+𞸌𞸢=٥٢+٠٢+٢١+٩=٦٦.

في المثالين السابقين، استخدمنا النظرية التي تنص على أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس لإيجاد أطوال الأضلاع الناقصة. هناك تطبيق آخر لهذه النظرية يخص العلاقة بين طولَي مماسين مرسومين من نقطة واحدة.

نظرية: طولا مماسين لدائرة مرسومين من نقطة خارجها

إذا كانت لدينا نقطة خارج الدائرة، فإن طولَي المماسين المرسومين من تلك النقطة إلى الدائرة متساويان.

لإثبات هذه النظرية، دعونا نتناول شكلًا به 𞸌 مركز الدائرة، والنقطة 󰏡 نقطة خارجية، و󰏡𞸁، 󰏡𞸢 مماسان للدائرة عند نقطتَي التَّماس 𞸁، 𞸢.

نحن نعرف أن المماسات تتقاطع عموديًّا مع أنصاف الأقطار، ما يعني أن 󰌑󰏡𞸢𞸌، 󰌑󰏡𞸁𞸌 زاويتان قائمتان كما هو موضح في الشكل. يمكن الحصول على طولَي 󰏡𞸢، 󰏡𞸁 باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلثين القائمَي الزاوية 󰏡𞸢𞸌، 󰏡𞸁𞸌: 󰏡𞸢+𞸌𞸢=󰏡𞸌،󰏡𞸁+𞸌𞸁=󰏡𞸌.٢٢٢٢٢٢

وبما أن الطرفين الأيسرين في كلتا المعادلتين متساويان، فيمكننا مساواة الطرفين الأيمنين للمعادلتين، لنحصل على: 󰏡𞸢+𞸌𞸢=󰏡𞸁+𞸌𞸁.٢٢٢٢

نعرف أيضًا أن الضلعين 𞸌𞸢، 𞸌𞸁 متساويان في الطول؛ لأنهما نصفا قطرين في الدائرة نفسها. إذن، الحدان 𞸌𞸢٢، 𞸌𞸁٢ في المعادلة الموضحة أعلاه يلغي أحدهما الآخر، ومن ثم نحصل على الآتي: 󰏡𞸢=󰏡𞸁.٢٢

هذا يعطينا 󰏡𞸢=󰏡𞸁، وهو ما يعني أن طولَي المماسين 󰏡𞸢، 󰏡𞸁 متساويان، كما تنص النظرية.

دعونا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه النظرية لإيجاد طولَي الضلعين الناقصين في شكل يتضمن مماسين لدائرة مرسومين من نقطة خارجها.

مثال ٣: إيجاد طولَي قطعتين مستقيمتين باستخدام خواص مماسات الدائرة

أوجد كلًّا من 󰏡𞸌، 󰏡𞸁، لأقرب جزء من مائة.

الحل

في الشكل المعطى، 󰏡𞸢، 󰏡𞸁 مماسان مرسومان من نقطة 󰏡 خارج دائرة مركزها 𞸌. تَذَكَّرْ أن طولَي المماسين المرسومين من نفس النقطة خارج الدائرة يكونان متساويين. إذن، لا بد أن يكون طولا هذين المماسين متساويين. بما أن لدينا 󰏡𞸢=٣٧٫٠١، فلا بد أيضًا أن يكون 󰏡𞸁=٣٧٫٠١.

بعد ذلك، لننظر إلى 󰏡𞸌. نتذكر أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس. في الشكل، 󰏡𞸁 مماس للدائرة التي مركزها 𞸌، 𞸌𞸁 نصف قطر للدائرة. ومن ثم، يجب أن تكون 󰌑󰏡𞸁𞸌 زاوية قائمة. هذا يوضح أن 󰏡𞸁𞸌 مثلث قائم الزاوية؛ حيث 󰏡𞸌 وتر هذا المثلث القائم الزاوية. باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا كتابة: 󰏡𞸁+𞸁𞸌=󰏡𞸌.٢٢٢

بالتعويض بقيمتَي 󰏡𞸁=٣٧٫٠١، 𞸁𞸌=٦ في هذه المعادلة، نحصل على: ٣٧٫٠١+٦=󰏡𞸌󰏡𞸌=󰋴٣٧٫٠١+٦=٦٣٩٢٫٢١.٢٢٢٢٢

بالتقريب لأقرب جزء من مائة، فإن 󰏡𞸌، 󰏡𞸁 يساويان ١٢٫٢٩ سم، ١٠٫٧٣ سم، على الترتيب.

في المثال التالي، سنوجد قيمتَي ثابتين مجهولين في شكل يتضمن دائرتين تشتركان في مماسين.

مثال ٤: إيجاد طول مماس دائرة بحل معادلتين خطيتين

دائرتان مركزاهما 𞸌، 𞸍 متماستان من الخارج. 𞸅󰏡 مماس مشترك لهما عند النقطتين 󰏡، 𞸁، على الترتيب، 󰄮󰄮𞸅𞸢 مماس مشترك لهما عند النقطتين 𞸢، 𞸃، على الترتيب. إذا كان 󰏡𞸁=١٠٫١١، 𞸢𞸃=(𞸑١٠٫١١)، فأوجد 𞸎، 𞸑.

الحل

تَذَكَّرْ أن طولَي المماسين المرسومين من نقطة خارج الدائرة يكونان متساويين. في الدائرة التي مركزها 𞸍، الخطان المستقيمان 𞸅󰏡، 󰄮󰄮𞸅𞸢 مماسان لهذه الدائرة عند النقطتين 𞸁، 𞸃 على الترتيب. ومن ثم، لا بد أن 𞸅𞸁=𞸅𞸃، وهو ما يعني أن 𞸅𞸁=١٣٫٢١. يمكننا كتابة الآتي: 𞸎٢=١٣٫٢١،𞸎=١٣٫٤١.و

بعد ذلك، انظر إلى الدائرة التي مركزها 𞸌. الخطان المستقيمان 𞸅󰏡، 󰄮󰄮𞸅𞸢 مماسان لهذه الدائرة عند النقطتين 󰏡، 𞸢 على الترتيب. ومن ثم، لا بد أن 𞸅󰏡=𞸅𞸢. لدينا في معطيات السؤال 󰏡𞸁=١٠٫١١ ونحن نعرف أن 𞸅𞸁=١٣٫٢١؛ لذلك فإن: 𞸅󰏡=𞸅𞸁+󰏡𞸁=١٣٫٢١+١٠٫١١=٢٣٫٣٢.

وبما أن 𞸅󰏡=𞸅𞸢، فإننا نعرف أن 𞸅𞸢=٢٣٫٣٢. وبما أن 𞸅𞸢=𞸅𞸃+𞸢𞸃، يمكننا التعويض بقيمتَي طولَي الضلعين المعلومين، ومن ثم نكتب: ٢٣٫٣٢=١٣٫٢١+𞸢𞸃.

وهذا يعطينا: 𞸢𞸃=٢٣٫٣٢١٣٫٢١=١٠٫١١.

لدينا أيضًا في المعطيات أن 𞸢𞸃=(𞸑١٠٫١١)؛ إذن يمكننا كتابة الآتي: 𞸑١٠٫١١=١٠٫١١،𞸑=٢٠٫٢٢.و

وعليه، فإن 𞸎=١٣٫٤١، 𞸑=٢٠٫٢٢.

في المثالين السابقين، طبَّقنا حقيقة أن المماسين المرسومين من النقطة نفسها إلى دائرة يكون طولاهما متساويين لإيجاد أطوال الأضلاع الناقصة. ينتج عن خاصية المماسين هذه عدد من النظريات الهندسية المثيرة للاهتمام. وعلى وجه التحديد، سنتناول نظريتين تترتبان على هذه الخاصية.

نظرية: منصِّف الزاوية التي يصنعها مماسان والزاوية المركزية التي يصنعها نصفَا قطرين يتقاطعان مع المماسين.

المستقيم الذي يصل نقطة خارج الدائرة بمركز الدائرة ينصِّف كلًّا من الزاوية التي يصنعها مماسان مرسومان من النقطة إلى الدائرة، والزاوية المركزية التي يصنعها نصفَا القطرين اللذين يتقاطعان مع المماسين.

لإثبات هذه النظرية، ننظر إلى الشكل الآتي.

في الشكل الموضح أعلاه، المستقيمان 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 مماسان مرسومان من النقطة 󰏡 خارج الدائرة التي مركزها 𞸌. نحن نعلم أن المماس يتقاطع عموديًّا مع نصف القطر عند نقطة التَّماس؛ لذلك فإن 󰌑󰏡𞸁𞸌، 󰌑󰏡𞸢𞸌 زاويتان قائمتان كما هو موضح في الشكل. ونعلم أيضًا أن طولَي مماسَّي الدائرة المرسومين من نفس النقطة خارجها متساويان، وهو ما يعني أن 󰏡𞸁=󰏡𞸢 كما هو موضح. وأخيرًا، نعرف أن أنصاف أقطار الدائرة نفسها أطوالها متساوية؛ ومن ثم 𞸁𞸌=𞸢𞸌 كما هو موضح.

يمكننا استنتاج أن 󰏡𞸁𞸌، 󰏡𞸢𞸌 متطابقان باستخدام مُسلَّمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما. هذا يوضح أن الزاويتين المتناظرتين، 𞹟󰌑𞸁𞸌󰏡=𞹟󰌑𞸢𞸌󰏡 متطابقتان، ما يعني أن 𞸌󰏡 منصِّف 󰌑𞸁𞸌𞸢. وبالمثل، يخبرنا أيضًا تطابُق هذين المثلثين أن 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸌=𞹟󰌑𞸢󰏡𞸌، ما يعني أن 𞸌󰏡 هو منصِّف 󰌑𞸁󰏡𞸢. وهذا يثبت النظرية الموضحة أعلاه.

في المثال التالي، سنطبق النظرية الموضحة أعلاه بالإضافة إلى النظريتين اللتين عرضناهما سابقًا لإيجاد قياس زاوية.

مثال ٥: إيجاد قياس زاوية باستخدام خواص مماسي الدائرة

إذا كان 𞹟󰌑𞸌𞸢𞸁=٩٤؛ حيث 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 مماسان للدائرة عند 𞸁، 𞸢، فأوجد 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸌.

الحل

لدينا في معطيات السؤال 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 مماسان للدائرة عند 𞸁، 𞸢. نتذكر أن المماسين المرسومين من نفس النقطة إلى الدائرة متساويان في الطول، وهو ما يوضح أن 󰏡𞸁=󰏡𞸢. هيا نوضح ذلك على الشكل ونضف أيضًا قياس الزاوية المعطاة.

تَذَكَّرْ أيضًا أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التَّماس. وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن 󰌑󰏡𞸢𞸌 زاوية قائمة. يمكننا حساب: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸌𞹟󰌑𞸌𞸢𞸁=٠٩٩٤=١٤.

في الشكل الموضح أعلاه، نلاحظ أن 󰏡𞸁𞸢 مثلث متساوي الساقين؛ لأن 󰏡𞸁=󰏡𞸢. هذا يعني أن: 𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=١٤.

وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث الداخلية يساوي ٠٨١، فيمكننا كتابة أن: 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢+𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢+𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=٠٨١.

بالتعويض بقياسَي الزاويتين اللتين حصلنا عليهما: 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢+١٤+١٤=٠٨١.

وهذا يعطينا 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=٨٩.

وأخيرًا، للحصول على 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸌، علينا تذكُّر أن الخط المستقيم الذي يصل بين النقطة خارج الدائرة ومركز الدائرة يكون منصِّفًا للزاوية المحصورة بين المماسين المرسومين من النقطة. هذا يعني أن: 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸌=١٢𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=١٢×٨٩=٩٤.

ومن ثم، فإن 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸌=٩٤.

في المثال السابق، طبقنا النظرية التي تنص على أن المستقيم الذي يصل مركز الدائرة بنقطة خارجها ينصِّف كلًّا من الزاوية التي يصنعها المماسان المرسومان من النقطة الخارجية والزاوية المركزية التي يصنعها نصفَا القطرين عند نقطتَي التَّماس. يمكن أن يترتب على تطبيقٌ آخَر لهذه النظرية النظرية التالية للمنصِّف العمودي.

نظرية: المنصِّف العمودي للوتر الواصل بين نقطتَي التَّماس لمماسين مرسومين من نقطة خارج الدائرة

إذا كانت لدينا نقطة خارج الدائرة ومماسان مرسومان من تلك النقطة إلى الدائرة، فإن المستقيم الواصل بين النقطة خارج الدائرة ومركز الدائرة يكون العمود المنصِّف للوتر الواصل بين نقطتَي التَّماس للمماسين.

انظر إلى الشكل التالي، حيث 𞸌 مركز الدائرة، 󰄮󰏡𞸁، 󰄮󰏡𞸢 مماسان عند نقطتَي التَّماس 𞸁، 𞸢 على الترتيب.

من النظرية السابقة، نعرف أن 𞸌󰏡 منصِّف الزاوية 󰌑𞸁𞸌𞸢، وهذا يخبرنا أن 𞹟󰌑𞸁𞸌𞸃=𞹟󰌑𞸢𞸌𞸃 كما هو موضح في الشكل. نحن نعرف أيضًا أن 𞸌𞸁=𞸌𞸢؛ لأنهما نصفَا قطرين في الدائرة نفسها. بالإضافة إلى ذلك، الضلع 𞸌𞸃 ضلع مشترك في المثلثين 𞸌𞸃𞸁، 𞸌𞸃𞸢. ووفقًا لمُسلَّمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، فإن المثلثين 𞸌𞸃𞸁، 𞸌𞸃𞸢 متطابقان.

وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن 𞸁𞸃=𞸢𞸃، وهو ما يعني أن النقطة 𞸃 هي نقطة تنصيف الوتر 𞸁𞸢. وبما أن 𞹟󰌑𞸁𞸃𞸌=𞹟󰌑𞸢𞸃𞸌 ومجموع قياسَي هاتين الزاويتين يساوي ٠٨١، فإن كلتا هاتين الزاويتين لا بد أن تكونا زاويتين قائمتين. هذا يعني أن 𞸌󰏡 ينصِّف الوتر 𞸁𞸢 عموديًّا. وهذا يثبت النظرية.

ننتقل الآن إلى تطبيقات على مماسات الدائرة في مسائل تتضمن مضلعات.

تعريف: الدائرة الداخلية للمضلع والمضلع الداخلي للدائرة

تكون الدائرة دائرة داخلية لمضلع إذا كانت مرسومة داخل المضلع وكان كل ضلع من المضلع مماسًّا للدائرة.

يكون المضلع مضلعًا داخليًّا لدائرة إذا كان مرسومًا داخل الدائرة وكانت جميع رءوس المضلع تقع على الدائرة.

في المثال التالي، سنوجد مساحة مثلث مرسوم داخل دائرة، ومرسوم داخله دائرة أخرى أصغر.

مثال ٦: إيجاد مساحة مثلث بمعلومية نصفَي قطرَي دائرتيه الخارجية والداخلية

نصفَا قطرَي الدائرتين المتحدتَي المركز الموضَّحتين ١٦ سم و٨ سم. أوجد مساحة المثلث لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في الشكل المعطى، المستقيمات 𞸁𞸢، 󰏡𞸢، 󰏡𞸁 مماسات للدائرة الأصغر. تَذَكَّرْ أن المستقيم الواصل بين نقطة خارج الدائرة ومركز الدائرة هو منصِّف الزاوية المحصورة بين المماسين المرسومين من تلك النقطة. إذن، المستقيمات 𞸌󰏡، 𞸌𞸁، 𞸌𞸢 هي منصِّفات للزوايا 󰌑𞸢󰏡𞸁، 󰌑󰏡𞸁𞸢، 󰌑𞸁𞸢󰏡 على الترتيب. نضيف هذه المستقيمات إلى الشكل.

نتذكر أيضًا أن مماس أي دائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس. ومن ثم، فإن أنصاف الأقطار 𞸌𞸎، 𞸌𞸑، 𞸌𞸏 للدائرة الأصغر، تتقاطع عموديًّا مع المماسات 󰏡𞸁، 𞸁𞸢، 𞸢󰏡 على الترتيب. نضيف الآن هذه المستقيمات إلى الشكل.

في الشكل السابق، المثلث 󰏡𞸁𞸢 مقسَّم إلى ستة مثلثات أصغر قائمة الزاوية. يمكننا القول إن جميع المثلثات الستة القائمة الزاوية متطابقة.

لإثبات التطابق، دعونا أولًا ننظر إلى الزوايا. بما أننا نعلم أن 𞸌󰏡، 𞸌𞸁، 𞸌𞸢 منصِّفات للزوايا 󰌑𞸢󰏡𞸁، 󰌑󰏡𞸁𞸢، 󰌑𞸁𞸢󰏡، فإننا نعلم أن الزاويتين عند كل رأس من الرءوس 󰏡، 𞸁، 𞸢 لهما القياس نفسه. بالإضافة إلى ذلك، نلاحظ أن 𞸌󰏡، 𞸌𞸁، 𞸌𞸢 أنصاف أقطار للدائرة الكبيرة؛ لذلك فهي متساوية في الطول. هذا يخبرنا أن المثلثات 𞸌󰏡𞸢، 𞸌󰏡𞸁، 𞸌𞸁𞸢 متساوية الساقين، ما يعني أن الزاويتين اللتين تبعدان عن المركز، وهو الرأس 𞸌 في كل من هذه المثلثات متساويتان. هذا يوضح أن الزوايا الأصغر الست كلها عند الرءوس 󰏡، 𞸁، 𞸢 متساوية في القياس. إذن، كل زاوية من هذه الزوايا الأصغر موجودة في المثلثات الستة القائمة الزاوية الأصغر.

وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمثلث لا بد أن يساوي ٠٨١، فإن الزوايا الثالثة (أي الزاوية التي عند المركز، أي الرأس 𞸌) للمثلثات القائمة الستة لا بد أن يكون قياسها متساوٍ أيضًا. وأخيرًا بإعادة استخدام حقيقة أن 𞸌󰏡، 𞸌𞸁، 𞸌𞸢 أطوالها متساوية، فإن جميع المثلثات الستة القائمة الزاوية الأصغر تحقق مسلَّمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما.

وعلى وجه التحديد، هذا يعني أن مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢 تساوي ستة أمثال مساحة المثلث 󰏡𞸌𞸎، مثلًا. هيا نوجد مساحة المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸌𞸎. بما أن 𞸌𞸎 نصف قطر في الدائرة الأصغر، فإننا نعرف أن 𞸌𞸎=٨. وعلينا إيجاد 󰏡𞸎 لإيجاد مساحة هذا المثلث. بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث، يمكننا كتابة: 󰏡𞸎+𞸌𞸎=󰏡𞸌.٢٢٢

ونحن نعرف أن 𞸌𞸎=٨، 󰏡𞸌 نصف قطر في الدائرة الكبيرة؛ إذن، 󰏡𞸌=٦١. بالتعويض بهاتين القيمتين: 󰏡𞸎+٨=٦١󰏡𞸎=٦١٨=٢٩١󰏡𞸎=󰋴٢٩١.٢٢٢٢٢٢

وبتذكُّر أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع، فإن مساحة المثلث 󰏡𞸌𞸎 تساوي: ١٢×󰏡𞸎×𞸌𞸎=١٢×󰋴٢٩١×٨=٤󰋴٢٩١.٢

بضرب هذه المساحة في ٦، نحصل على مساحة المثلث 󰏡𞸁𞸢 لأقرب جزء من مائة؛ أي إن: ٦×٤󰋴٢٩١=٤٢󰋴٢٩١=٥٥٫٢٣٣.٢

دعونا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة المستخلصة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • أيُّ مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التَّماس.
  • إذا كانت لدينا نقطة خارج دائرة، فإن طولَي المماسين المرسومين من تلك النقطة إلى الدائرة متساويان.
  • الخط المستقيم الذي يصل نقطة خارج الدائرة بمركز الدائرة ينصِّف كلًّا من الزاوية التي يصنعها مماسان مرسومان من النقطة إلى الدائرة، والزاوية المركزية التي يصنعها نصفَا قطرين يتقاطعان مع المماسين.
  • إذا كانت لدينا نقطة خارج الدائرة ومماسين مرسومين من تلك النقطة إلى الدائرة، فإن الخط الواصل بين النقطة خارج الدائرة ومركز الدائرة يكون المنصِّف العمودي للوتر الواصل بين نقطتَي التَّماس للمماسين.
  • تكون الدائرة دائرة داخلية لمضلع إذا كانت مرسومة داخل مضلع وكان كل ضلع من المضلع مماسًّا للدائرة. يكون المضلع مضلعًا داخليًّا لدائرة إذا كان مرسومًا داخل دائرة وكانت جميع رءوس المضلع تقع على الدائرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.