شارح الدرس: معادلات الحركة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق قوانين حركة العجلة المنتظمة لجسيم يتحرَّك في خط مستقيم.

هيا نبدأ بتذكُّر كيف تتغيَّر إزاحة جسيم يتحرَّك حركة منتظمة مع الزمن. بالفعل، قد نكون على دراية بهذا القانون:

يمكن التعبير عن ذلك أيضًا بدلالة المتغيِّرات. افترض أننا نبدأ في قياس موضع جسيم عند الزمن ، وننتهي من قياسه عند الزمن . إذن متجه السرعة، ، يساوي متجه الإزاحة، ، مقسومًا على الزمن الذي يتحرَّك خلاله، . يمكن التعبير عن ذلك على الصورة:

إضافةً إلى ذلك، يمكن كتابة الإزاحة بدلالة متجهات الموضع (أيِ المتجهات التي تُشير من نقطة الأصل إلى موضع الجسيم). نفترض أن متجه الموضع الابتدائي للجسيم هو ، ومتجه الموضع النهائي هو ، يكون لدينا:

بعبارةٍ أخرى، بإضافة متجه الإزاحة إلى متجه الموضع الابتدائي، نحصل على متجه الموضع النهائي. يمكن إعادة ترتيب المعادلة لنحصل على متجه الإزاحة:

بدمج هذه المعادلة مع معادلة السرعة المتجهة، نحصل على الصيغ الآتية.

بدلًا من ذلك، قد تكون الحالة أن الجسيم لا يتحرَّك حركة منتظمة، بل له عجلة منتظمة (أيْ عجلة ثابتة). هذه حالة نموذجية للغاية في العالم الحقيقي؛ لأن الجاذبية تجعل لجميع الأجسام عجلة منتظمة لأسفل. تذكَّر أن العجلة تُعرَّف بأنها التغيُّر في السرعة خلال فترة زمنية ما:

كما فعلنا من قبل، يمكننا التعبير عن ذلك بدلالة المتغيِّرات.

يمكن إعادة ترتيب هذه الصيغة بحيث تكون بدلالة السرعة المتجهة النهائية، . بالبدء من أن: يمكننا ضرب الطرفين في لنحصل على: أو إعادة ترتيبها لنحصل على :

يمكن تبسيط هذه المعادلة ببعض الطرق الإضافية. عادةً نفترض أن وقت البداية يساوي صفرًا؛ ما يعني أن يكون فقط . ثم يمكننا كتابة ذلك من دون العدد السفلي على الصورة . هذا يُعطينا:

هناك تبسيط آخر يمكننا فعله، فبما أن العجلة منتظمة، إذن تكون الحركة كلها في الاتجاه نفسه (أو في الاتجاه المعاكس تمامًا). ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة هذه المعادلة دون استخدام المتجهات، باستخدام إشارة سالبة إذا كانت الحركة تُشير إلى الاتجاه المعاكس. في الواقع، هذا افتراض يمكننا افتراضه خلال هذا الشارح. إذا وضعنا هذا الافتراض، فسيصبح لدينا أول ثلاث صيغ من معادلات الحركة التي سنتناولها في هذا الشارح.

من الجدير بالملاحظة أنه إذا كانت العجلة تساوي صفرًا، فإن ، وهو ما يوضِّح لنا أن السرعة المتجهة الابتدائية ستساوي السرعة المتجهة النهائية، كما هو متوقَّع. أيضًا، في حالة السرعة المتجهة الابتدائية ، فإن ، وهو ما يعني أن السرعة تتناسب طرديًّا مع العجلة والفترة الزمنية.

في أيِّ حالة من الحالتين، يمكن استخدام المعادلة السابقة لحل أيِّ مسألة نعرف فيها قيم ثلاثة متغيِّرات من المتغيِّرات الأربعة، ومطلوبٌ منا إيجاد قيمة المتغيِّر الرابع.

هيا نتناول الآن مثالًا مطلوبًا فيه تحديد سرعة جسيم يتحرَّك بعجلة منتظمة.

إزاحة جسيم ما هي حاصل ضرب سرعته والزمن الذي يتحرَّك خلاله. تعتمد سرعة جسيم ما على عجلته والزمن الذي يتسارع خلاله؛ ومن ثَمَّ، يمكن التعبير عن إزاحة الجسيم الذي يكون في حالة السكون في البداية بدلالة عجلته والزمن الذي يتسارع خلاله.

لأي جسيم له سرعة ثابتة، يمكن التعبير عن إزاحته على الصورة:

إذا افترضنا أن تساوي صفرًا، وأشرنا إلى بـ ، تصبح الصيغة:

إذا كان جسيم ما يتحرَّك بعجلة منتظمة، ويكون في حالة سكون في البداية، وله سرعة نهائية ، يُعطى الوسط الحسابي للسرعتين الابتدائية والنهائية بواسطة:

ومن ثَمَّ، فإن إزاحة الجسيم خلال فترة زمنية تُعطى بواسطة:

إذا كان جسيم ما يتحرَّك من سكون في البداية، فنجد أن:

بالتعويض بهذا التعبير عن في تعبير ، نحصل على:

إذا كان جسيم ما يتحرَّك بعجلة منتظمة، وله سرعة ابتدائية ، وله سرعة نهائية ، يُعطى الوسط الحسابي للسرعتين الابتدائية والنهائية بواسطة:

ومن ثَمَّ، فإن إزاحة الجسيم خلال فترة زمنية تكون مُعطاة بدلالة:

يمكن تمثيل هذا التعبير أيضًا باستخدام تمثيل بياني، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يوضِّح التمثيل البياني أن المساحة أسفل الخط الأزرق تتكوَّن من مجموع مساحة مستطيل، ، وتُعطى بواسطة: ومساحة مثلث قائم الزاوية، ، وتُعطى بواسطة:

يمكننا الإشارة إلى السرعة عند بالصورة . يوضِّح الشكل الآتي أن مساحة المثلث القائم الزاوية المظلل باللون الأزرق وطول ضلعه تساوي مساحة المثلث القائم الزاوية المظلل باللون الأبيض وطول ضلعه .

إذن المساحة أسفل الخط الأزرق تساوي مساحة المستطيل الموضَّح في الشكل الآتي.

هذه المساحة تساوي إزاحة الجسيم عند اللحظة ، التي تُعطى بواسطة:

إذا كان لجسيم سرعة ابتدائية ، فنجد أن:

بالتعويض بهذا التعبير عن في تعبير ، نحصل على:

هذه هي معادلة الحركة الثانية، وهي مفيدة في أي مسألة علينا فيها تحديد إزاحة جسيم يتحرَّك بعجلة منتظمة.

نلاحظ أن هذه الصيغة، مثل الصيغة السابقة إلى حدٍّ كبير، تتضمَّن بعض الحالات الخاصة المفيدة التي يمكننا تناولها. إذا بدأ الجسيم حركته من السكون، وهو ما يعني السرعة المتجهة الابتدائية ؛ فمن ثَمَّ يكون لدينا . علاوةً على ذلك، إذا لم تكن هناك عجلة؛ أيْ إن ، فمن ثَمَّ نجد أن ، وهو ما يَصِف جسيمًا يتحرَّك حركة منتظمة، كما رأينا في بداية الشارح.

هيا نتناول الآن مثالًا مطلوبًا فيه تحديد إزاحة جسم يتحرَّك بعجلة.

هيا نُلقِ نظرة على مثال شبيه آخر.

إذا كان الزمن الذي يتحرَّك خلاله الجسم غير معلوم، لكن الإزاحة والسرعة المتجهة الابتدائية للجسم معلومتان، يمكننا تحديد السرعة المتجهة النهائية. وبالمثل، إذا كانت إزاحة الجسم وسرعته المتجهة النهائية معلومتين، يمكننا تحديد السرعة المتجهة الابتدائية.

تتضمَّن العلاقة بين السرعة المتجهة الابتدائية والسرعة المتجهة النهائية عندما يكون الزمن مجهولًا معادلتَي الحركة: و:

يمكن إعادة ترتيب الصيغة: للتعبير عن بدلالة السرعة المتجهة والعجلة:

يمكن التعويض بتعبير في المعادلة:

هذا يُعطينا:

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير كالآتي:

هذه هي معادلة الحركة الأخيرة، وهي مثالية في الحالات التي تكون معلومة فيها الإزاحة لا الفترة الزمنية.

هيا نُلقِ نظرة على مثال حول كيفية توصيف حركة جسيم تحدث خلال فترة زمنية مجهولة.

هيا نتناول الآن مثالًا لحركة جسيم يتطلَّب تحليل حركته خلال فترتين زمنيتين منفصلتين.

هيا الآن نلخِّص ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.