شارح الدرس: معادلات الحركة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق قوانين الحركة بعجلة منتظمة لجسم يتحرك في خط مستقيم.

يغير الجسم الذي يتحرك حركة منتظمة إزاحته خلال الزمن الذي يتحرك فيه. وتساوي إزاحة الجسم، Δ𞸐، حاصل ضرب الفترة الزمنية التي يتحرك خلالها الجسم، Δ𞸍، وسرعته، 𞸏. ويمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة: Δ𞸐=𞸏Δ𞸍.

ربما تكون الإزاحة الابتدائية للجسم تساوي ٠ أو لا تساوي ٠. إذا كان للجسم إزاحة ابتدائية 𞸐اا فإن الإزاحة النهائية للجسم، 𞸐ا تُعطى من المعادلة: 𞸐=𞸐+𞸏Δ𞸍.ااا

هاتان المعادلتان متكافئتان بما أن: Δ𞸐=𞸐𞸐.ااا

يمكن التعبير عن التغير في الزمن، Δ𞸍، بالمعادلة: Δ𞸍=𞸍𞸍،ااا حيث 𞸍اا هو الزمن الابتدائي، 𞸍ا هو الزمن النهائي.

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على سرعة الجسم.

تعريف: سرعة الجس

تُعطى السرعة، 𞸏 للجسم من المعادلة: 𞸏=Δ𞸐Δ𞸍=𞸐𞸐𞸍𞸍،اااااا حيث 𞸐اا هي إزاحة الجسم عند اللحظة 𞸍اا، 𞸐ا هي إزاحة الجسم عند اللحظة 𞸍ا.

سرعة الجسم الذي يتسارع بانتظام تتغير بانتظام عندما يتحرك الجسم. ويساوي التغير في سرعة الجسم حاصل ضرب الفترة الزمنية التي تحرك فيها الجسيم وعجلته. ويمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة: 𞸏=𞸏+𞸢Δ𞸍،٠ حيث 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية للجسم، 𞸏 هي السرعة النهائية للجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم، Δ𞸍 هي الفترة الزمنية التي يتحرك خلالها الجسم.

يمكن التعبير عن التغير في الزمن، Δ𞸍، بالمعادلة: Δ𞸍=𞸍𞸍،ااا حيث 𞸍𝑖 هو الزمن الابتدائي، 𞸍ا هو الزمن النهائي.

وهذا يتيح لنا كتابة تلك المعادلة على الصورة: 𞸏=𞸏+𞸢󰂔𞸍𞸍󰂓.٠ااا

ويمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد عجلة الجسم.

تعريف: عجلة الجسم

تُعطى العجلة، 𞸢 لجسم ما تُعطى بالمعادلة: 𞸢=Δ𞸏Δ𞸍=𞸏𞸏𞸍𞸍،٠ااا حيث 𞸏٠ هي سرعة الجسم عند اللحظة 𞸍اا، 𞸏 هي سرعة الجسم عند اللحظة 𞸍ا.

إذا افترضنا أن 𞸍اا يساوي ٠، نجد أن: 𞸍𞸍=𞸍٠=𞸍.ااااا

يمكننا إذن كتابة𞸍𞸍ااا في صورة 𞸍. وسيتيح لنا ذلك التعبير عن العجلة بالمعادلة: 𞸢=𞸏𞸏𞸍،٠ والتعبير عن السرعة بالمعادلة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍.٠

دعونا نتناول الآن مثالًا المطلوب فيه هو إيجاد سرعة جسم يتحرك بعجلة منتظمة.

مثال ١: إيجاد السرعة النهائية لجسم يتحرك بعجلة منتظمة

إذا بدأ جسم التحرك في خط مستقيم بسرعة ابتدائية ٢٥٫١ سم/ث وعجلة منتظمة ٢٫٤ سم/ث٢ فأوجد سرعته بعد ٩ ثوانٍ.

الحل

يمكن إيجاد سرعة الجسم بعد تسارعه باستخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍.٠

يمكننا التعويض بالقيم المعطاة لـ 𞸏٠، 𞸢، 𞸍 في المعادلة.

فنجد أن: 𞸏=١٫٥٢+٤٫٢(٩)=٧٫٦٤/.ث

إزاحة الجسيم تساوي حاصل ضرب سرعته والفترة الزمنية التي يتحرك خلالها. وتعتمد سرعة الجسم على عجلته والزمن الذي تسارع خلاله؛ لذا، يمكن إيجاد إزاحة الجسم الساكن في البداية بدلالة عجلته والزمن الذي يتسارع خلاله.

بالنسبة إلى الجسم الذي له سرعة ثابتة، يمكن التعبير عن إزاحته بالمعادلة: 𞸐=𞸐+𞸏𞸍.ااا

وإذا افترضنا أن 𞸐اا تساوي ٠ وأن 𞸐ايرمز له بالرمز 𞸐، يصبح لدينا: 𞸐=𞸏𞸍.

بالنسبة لجسم يتحرك من السكون بعجلة منتظمة وله سرعة نهائية 𞸏، يُعطى متوسط سرعتيه الابتدائية والنهائية بالمعادلة: 𞸏=𞸏٢.ا

ومن ثَمَّ تُعطى إزاحة الجسم في الفترة الزمنية 𞸍 بالعلاقة: 𞸐=𞸏٢𞸍.

بالنسبة إلى جسم يتحرك من السكون، نجد أن: 𞸏=𞸢𞸍.

بالتعويض بالعلاقة الخاصة بالسرعة 𞸏 هذا، في العلاقة الخاصة بالإزاحة 𞸐 نحصل على: 𞸐=󰂔𞸢𞸍٢󰂓𞸍،𞸐=١٢𞸢𞸍.٢

بالنسبة لجسم يتحرك بعجلة منتظمة وسرعته الابتدائية𞸏٠ وسرعته النهائية 𞸏، يُعطى متوسط سرعتيه الابتدائية والنهائية بالمعادلة: 𞸏=𞸏+𞸏٢.ا٠

وتُعطى إزاحة الجسم في الفترة الزمنية 𞸍 بالمعادلة: 𞸐=󰃁𞸏+𞸏٢󰃀𞸍.٠

يمكن أيضًا توضيح هذا المعادلة باستخدام تمثيل بياني، كما في الشكل التالي.

يوضح التمثيل البياني أن المساحة أسفل الخط الأزرق تتكون من مجموع مساحة المستطيل، 𞸐١، التي تُعطى بالمعادلة: 𞸐=𞸏𞸍١٠ ومساحة المثلث القائم الزاوية، 𞸐٢، التي تُعطى بالمعادلة: 𞸐=󰁓𞸏𞸏󰁒٢𞸍.٢٠

يمكننا أن نرمز إلى السرعة عند اللحظة 𞸍٢ بالرمز 𞸏𞸍٢. باستخدام قيمة السرعة هذه التي تعتمد على الزمن، يوضح الشكل التالي أن مساحة المثلث القائم الزاوية المناظرة لقيم السرعة 𞸏، حيث: 𞸏=𞸏󰁓𞸏+𞸏󰁒٢،𞸍٢٠ ولقيم الزمن 𞸍، حيث: 𞸍٢𞸍𞸍، تساوي مساحة المثلث القائم الزاوية المناظرة لقيم السرعة المتجهة 𞸏، حيث: 𞸏=󰁓𞸏+𞸏󰁒٢𞸏،٠𞸍٢ ولقيم الزمن 𞸍 حيث: ٠𞸍𞸍٢.

ومن ثَمَّ، تساوي المساحة الموجودة أسفل الخط الأزرق مساحة المستطيل الموضح في الشكل التالي.

تُعطى هذه المساحة التي تساوي إزاحة الجسيم في اللحظة 𞸍 بالعلاقة: 𞸐=󰃁𞸏+𞸏٢󰃀𞸍.٠

بالنسبة إلى جسيم له سرعة متجهة ابتدائية 𞸏٠ نجد أن: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍.٠

بالتعويض بالتعبير الخاص بـ 𞸏 في التعبير الخاص بـ 𞸐 نحصل على: 𞸐=󰃁𞸏+𞸢𞸍+𞸏٢󰃀𞸍،𞸐=󰃁٢𞸏+𞸢𞸍٢󰃀𞸍،𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍.٠٠٠٠٢

دعونا نتناول الآن مثالًا تكون فيه إزاحة الجسم المتحرك بعجلة معلومة.

مثال ٢: إيجاد المسافة التي يقطعها جسيم يتحرك بعجلة منتظمة

كرة صغيرة بدأت تتحرك أفقيًّا بسرعة ١٦٫٣ م/ث. تحركت الكرة في خط مستقيم بتباطؤ منتظم ٣ م/ث٢. أوجد المسافة التي قطعتها الكرة في أول ثانيتين.

الحل

تتحرك الكرة في خط مستقيم، وبعجلة منتظمة. تُعطى إزاحة الجسم الذي يتحرك بعجلة منتظمة في خط مستقيم بالمعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٠٢ حيث 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية للجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم.

ذكر في السؤال أن الكرة تتباطأ بانتظام. يتسارع الجسم المتباطئ في الاتجاه المعاكس لاتجاه سرعته عندما بدأ في التسارع. ومن ثَمَّ، يكون للعجلة عكس إشارة السرعة المتجهة الابتدائية.

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، يكون لدينا: 𞸐=٣٫٦١(٢)+󰂔١٢󰂓(٣)󰁓٢󰁒𞸐=٦٫٢٣+󰂔١٢󰂓(٣)(٤)=٦٫٢٣٦=٦٫٦٢.٢م

لنتناول مثالًا آخر.

مثال ٣: حساب السرعة الابتدائية والنهائية لجسم يتحرك بعجلة منتظمة

يتحرك جسم في خط مستقيم بعجلة مقدارها ٢٢ سم/ث٢ في نفس اتجاه سرعته الابتدائية. إذا كان مقدار إزاحته بعد ١٠ ثوانٍ من بدء الحركة يساوي ٢٩ م، فاحسب مقدار سرعته الابتدائية 𞸏٠ والسرعة 𞸏 عند نهاية هذه الفترة الزمنية.

الحل

تُعطى إزاحة الجسم الذي يتحرك بعجلة منتظمة بالمعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٠٢ حيث 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية للجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم. في هذا السؤال، يُرمز لـ 𞸏٠ بـ 𞸏٠.

لدينا إزاحة الجسم وعجلته والزمن الذي يتسارع خلاله. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة، نحصل على: ٩٢=٠١𞸏+󰂔١٢󰂓٢٢٫٠󰁓٠١󰁒.٠٢

الإزاحة معطاة بوحدة المتر لذا تُحوَّل العجلة من ٢٢ سم/ث٢ إلى ٠٫٢٢ م/ث٢

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل 𞸏٠ المتغير التابع: 𞸏=٩٢󰂔󰂓٢٢٫٠󰁓٠١󰁒٠١=٨٫١/.٠١٢٢مث

تُعطى السرعة النهائية للجسم، 𞸏، بالمعادلة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍.٠

وبالتعويض بالقيم المعلومة، نجد أن: 𞸏=٨٫١+٢٢٫٠(٠١)=٤/.مث

إذا كان الزمن الذي يتحرك خلاله الجسم مجهولًا وكانت والإزاحة والسرعة الابتدائية للجسم معلومتين، يمكننا إذن إيجاد السرعة النهائية. وبشكل مكافئ، إذا كانت إزاحة الجسم وسرعته النهائية معلومتين، يمكن إذن إيجاد السرعة الابتدائية.

تتضمن العلاقة بين السرعة الابتدائية والسرعة النهائية عندما يكون الزمن مجهولًا معادلتي الحركة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍٠𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍.٠٢

يمكن إعادة ترتيب المعادلة: 𞸏=𞸏+𞸢𞸍٠ للتعبير عن 𞸍 بدلالة السرعة والعجلة: 𞸍=𞸏𞸏𞸢.٠

يمكن التعويض بهذا التعبير الخاص بـ 𞸍 في: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍.٠٢

وهذا يعطينا: 𞸐=𞸏󰃁𞸏𞸏𞸢󰃀+󰂔١٢󰂓𞸢󰃁𞸏𞸏𞸢󰃀.٠٠٠٢

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير على النحو التالي: 𞸐=󰃁𞸏𞸏𞸏𞸢󰃀+󰂔١٢󰂓𞸢󰃁𞸏𞸏𞸢󰃀󰃁𞸏𞸏𞸢󰃀𞸐=󰃁𞸏𞸏𞸏𞸢󰃀+󰂔١٢󰂓𞸢󰃁𞸏+𞸏٢𞸏𞸏𞸢󰃀𞸐=󰃁𞸏𞸏𞸏𞸢󰃀+󰃁𞸏+𞸏٢𞸏𞸏٢𞸢󰃀𞸐=󰃁٢𞸏𞸏٢𞸏٢𞸢󰃀+󰃁𞸏+𞸏٢𞸏𞸏٢𞸢󰃀𞸐=٢𞸏𞸏٢𞸏+𞸏+𞸏٢𞸏𞸏٢𞸢،٢𞸢𞸐=٢𞸏𞸏٢𞸏+𞸏+𞸏٢𞸏𞸏٢𞸢𞸐=𞸏𞸏𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐.٠٠٢٠٠٠٠٢٢٠٢٠٢٠٠٢٢٠٢٠٠٠٢٢٠٢٠٠٠٢٢٠٢٠٠٠٢٢٠٢٠٢٠٢٢٠٢

لنتناول الآن مثالًا على كيفية تمثيل حركة جسم تحدث خلال فترة زمنية مجهولة.

مثال ٤: إيجاد السرعة النهائية لجسم يتحرك بعجلة منتظمة

يتحرك جسم في خط مستقيم بعجلة ثابتة مقدارها ٢ سم/ث٢. إذا كانت سرعته الابتدائية ٦٠ سم/ث، فأوجد سرعة الجسم لأقرب سنتيمتر لكل ثانية عندما يكون على بعد ١٥ م من نقطة البداية.

الحل

بما أن الزمن الذي تحرك خلاله الجسيم مجهول، إذن يتم إيجاد سرعة الجسم باستخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐،٢٠٢ حيث 𞸏 هي السرعة النهائية، 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية، 𞸢 هي العجلة، 𞸐 هي الإزاحة.

السرعة والعجلة معطاتين بالوحدتين سنتيمتر لكل ثانية على الترتيب، لذا نُحول الإزاحة من سنتيمتر لكل ثانية مربعة إلى ١٥ مترًا، ١‎ ‎٥٠٠ سنتيمتر. وبالتعويض بالقيم المعلومة في المعادلة، نحصل على: 𞸏=٠٦+٢(٢)(٠٠٥١)𞸏=󰋴٠٠٦٩.٢٢

وبالتقريب إلى أقرب سنتيمتر لكل ثانية تكون 𞸏 تساوي ٩٨ سم/ث.

لنتناول الآن مثالًا على حركة جسم يتطلب تحليل حركته في فترتين زمنيتين منفصلتين.

مثال ٥: استخدام معادلات الحركة لحل مسألة متعددة الخطوات

تحرك جسم بعجلة منتظمة في خط مستقيم فقطع مسافة ٧٢ م في أول ٣ ثوانٍ ثم قطع، ٥٢ م في ٤ ثوانٍ تليها. أوجد عجلة الجسم 𞸢، وسرعته الابتدائية 𞸏٠.

الحل

المسافة التي قطعها الجسم في أول ٣ ثوانٍ أكبر من المسافة التي قطعها في ٤ ثوانٍ التالية؛ ومن ثَمَّ فإن الجسيم يتباطأ من سرعة ابتدائية مجهولة.

تُعطى السرعة المتوسطة لجسم يتحرك بعجلة منتظمة خلال فترة زمنية بالمعادلة: 𞸏=𞸏+𞸏٢،ا٠ حيث 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية، 𞸏 هي السرعة النهائية. تُعطى السرعة المتوسطة أيضًا بالعلاقة: 𞸏=𞸐𞸍،ا حيث 𞸐 هي الإزاحة، 𞸍 هي الفترة الزمنية. ومن ثَمَّ يكون لدينا: 𞸐𞸍=𞸏+𞸏٢.٠

يمكن إعادة ترتيب هذا التعبير ليعطينا: 𞸏+𞸏=٢𞸐𞸍.٠

في أول ٣ ثوانٍ من حركة الجسم، نجد أن: 𞸏+𞸏=٢(٢٧)٣=٨٤.١٠١

في ٤ ثوانٍ التالية من حركة الجسم، نجد أن: 𞸏+𞸏=٢(٢٥)٤=٦٢.٢٠٢

السرعة الابتدائية 𞸏٠٢ تساوي السرعة النهائية 𞸏١؛ ومن ثَمَّ نجد أن: 𞸏+𞸏=𞸏+𞸏،٢٠٢٢١𞸏+𞸏=𞸏+٨٤𞸏.٢١٢٠١

ومن ثَمَّ يكون لدينا: 𞸏+٨٤𞸏=٦٢𞸏𞸏=٢٢.٢٠١٢٠١

السرعة النهائية بعد ٧ ثوانٍ من التسارع، أقل من السرعة الابتدائية بمقدار ٢٢ م/ث. ومن ثَمَّ تكون عجلة الجسم في اتجاه سرعته الابتدائية: 𞸢=٢٢٧/.مث٢

يمكن الآن إيجاد السرعة الابتدائية، 𞸏٠١، باستخدام المعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍.٠٢

بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على: ٢٧+٢٥=٧𞸏+١٢󰂔٢٢٧󰂓󰁓٧󰁒٤٢١=٧𞸏󰂔٢٢٤١󰂓(٩٤)٤٢١=٧𞸏٧٧𞸏=٤٢١+٧٧٧=١٠٢٧/.٠٢٠٠٠مث

هناك طريقة أخرى يمكن بها حل هذا السؤال، وهي باستخدام المعادلات آنيًّا.

يمكننا استخدام المعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍٠٢ لأول ٣ ثوانٍ من الحركة، فنحصل على: ٢٧=٣𞸏+󰂔𞸢٢󰂓٣٢٧=٣𞸏+󰂔٩٢󰂓𞸢.٠٢٠

ويمكننا استخدام المعادلة نفسها لـ ٤ ثوانٍ التالية من الحركة، فنحصل على: ٤٢١=٧𞸏+󰂔𞸢٢󰂓٧٤٢١=٧𞸏+󰂔٩٤٢󰂓𞸢.٠٠

تحتوي كلتا هاتين المعادلتين على مجهولين. للتخلص من أحد المجهولين، يمكننا ضرب إحدى المعادلتين في معامل لمساواة معامل هذا المجهول بمعامل المجهول في المعادلة الأخرى.

نضرب: ٢٧=٣𞸏+󰂔٩٢󰂓𞸢٠ في ٧٣ فنحصل على: ٨٦١=٧𞸏+󰂔١٢٢󰂓𞸢.٠

يمكننا الآن طرح المعادلة: ٤٢١=٧𞸏+󰂔٩٤٢󰂓𞸢٠ من المعادلة: ٨٦١=٧𞸏+󰂔١٢٢󰂓𞸢.٠

وهذا يعطينا: ٤٤=󰂔١٢٢٩٤٢󰂓𞸢𞸢=٤٤󰂔󰂓𞸢=٤٤٤١𞸢=٢٢٧/.١٢٢٩٤٢٢مث

وهذا يتيح إيجاد 𞸏٠ بالتعويض، بالطريقة نفسها المستخدمة في الطريقة الأولى لحل السؤال.

والآن فلنلخص ما تعلمناه في هذه الأمثلة.

النقاط الرئيسية

  1. تُعطى السرعة، 𞸏 لجسم ما بالمعادلة: 𞸏=𞸐𞸐𞸍𞸍،اااااا حيث 𞸐اا هي إزاحة الجسم عند الزمن 𞸍اا، 𞸐ا هي إزاحة الجسيم عند الزمن 𞸍ا.
  2. تُعطى العجلة، 𞸢، لجسم ما بالمعادلة: 𞸢=𞸏𞸏𞸍𞸍،٠ااا حيث 𞸏٠ هي سرعة الجسم عند الزمن 𞸍اا، 𞸏 هي سرعة الجسم عند الزمن 𞸍ا.
  3. يمكن التعبير عن إزاحة الجسيم بدلالة العجلة والزمن باستخدام المعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٠٢ حيث 𞸐 هي إزاحة الجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم 𞸏٠ هي السرعةالابتدائية للجسم، 𞸍 هو الزمن الذي يتسارع فيه الجسم.
  4. يمكن التعبير عن سرعة الجسم قبل التسارع وبعده بدلالة العجلة والإزاحة باستخدام المعادلة: 𞸏=𞸏+٢𞸢𞸐،٢٠٢ حيث 𞸏٠ هي السرعة الابتدائية للجسم، 𞸏 هي السرعة النهائية للجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم، 𞸐 هي إزاحة الجسم.
  5. إذا كانت عجلة الجسم في الاتجاه المعاكس لاتجاه سرعته الابتدائية، يكون للعجلة والسرعة الابتدائية إشارات مخالفة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.