في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق قانون نيوتن للجذب العام لإيجاد القوة الجاذبة بين كتلتين.
افترض أن لدينا كتلتان ، تفصلهما المسافة . ثم، تؤثر كل من هاتين الكتلتين بقوة جذب على الأخرى تسمى قوة الجاذبية. تنشأ هذه القوة بين أي جسمين كتلتيهما لا تساويان صفرًا وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بين الكتلتين. تنشأ هذه القوة كنتيجة مباشرة لقانون نيوتن الثالث للحركة.
تعريف: قانون نيوتن الثالث للحركة
ينص قانون نيوتن الثالث للحركة على أنه عند تأثير جسم بقوة على جسم ثان، فإن الجسم الثاني يؤثر في الوقت نفسه بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه على الجسم الأول.
وبالنسبة إلى قوتي الجاذبية التي يؤثر بها جسمان، يمكن استكمال هذه الشروط ببعض الشروط الإضافية، التي تشكل معًا تعريفًا لقانون نيوتن للجذب العام.
لنعرف قانون نيوتن للجذب العام.
تعريف: قانون نيوتن للجذب العام
يؤثر جسمان بقوتي جاذبية على بعضها البعض، بحيث يكون اتجاه القوة المؤثرة على كلا الجسمين نحو مركز كتلة الجسم الآخر.
نحصل على مقداري القوتين من خلال الصيغة: حيث هي القوة المقيسة بوحدة نيوتن ، ، هما كتلتي الجسمين المقاستين بوحدة كيلوجرام، هي المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين المقيسان بوحدة متر، قيمة ثابتة، حيث:
يُعرف بأنه ثابت الجذب العام.
ملحوظة: إذا كان لابد من وجود تلامس بين جسمين لكي تؤثر قوة ما، تُعرف هذه القوة باسم قوة التلامس. إذا لم يكن ذلك ضروريًا، فإن القوى تُسمى قوى عدم التلامس. تُعد قوة الجاذبية مثالًا على قوة عدم التلامس. في بعض الأحيان، تؤثر قوى عدم التلامس هذه بين الجسيمات المتلامسة.
لنتناول مثالًا تكون فيه قوة الجاذبية بين جسمين محددة.
مثال ١: حساب قوة الجاذبية بين جسمين
أوجد قوة الجاذبية بين كرتين متطابقتين كتلة كلٍّ منهما ٣٫٠١ كجم، إذا كانت المسافة بين مركزيهما ١٥٫٠٥ سم، وكان ثابت الجذب العام نيوتن⋅م٢/كجم٢.
الحل
يمكن تحديد القوة باستخدام الصيغة الآتية:
يجب أن تُقاس المسافة بين مركز كتلة الكرتين،، بوحدة قياس متر لكي تتسق مع وحدة قياس ثابت الجذب العام، . إذن، ستكون قيمة هي ٠٫١٥٠٥ م.
بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن:
لنتناول مثالًا تُستخدم فيه قوة الجاذبية بين جسمين لتحديد المسافة بين مركزي كتلتيهما.
مثال ٢: حساب المسافة بين جسمين بمعلومية قوة الجاذبية بينهما
إذا كانت قوة الجاذبية بين جسمين كتلتاهما ٤٫٦ كجم و٢٫٩ كجم تساوي نيوتن، فأوجد المسافة بين مركزيهما. ثابت الجذب العام يساوي .
الحل
صيغة تحديد قوة الجاذبية بين جسمين هي: ويمكن إعادة ترتيبها لنجعل في طرف بمفرده على النحو الآتي:
بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن:
المسافة بين مركزي الجسمين هي: ١٦٦٫٧٥ سم.
لنتناول مثالًا تكون فيه قوة الجاذبية الناشئة بين جسمين مُحددة، بحيث يكون أحد الجسمين هو كوكب الأرض.
مثال ٣: حساب قوة الجاذبية بين الأرض وقمر صناعي
قمر صناعي كتلته ٢ ٤١٥ كجم يدور على ارتفاع ٥٤٠ كم فوق سطح الأرض. إذا كان ثابت الجذب العام نيوتن⋅م٢/كجم٢، وكتلة الأرض ونصف قطرها كجم، ٦ ٣٦٠ كم، على الترتيب، فأوجد قوة الجاذبية التي تبذلها الأرض على القمر الصناعي.
الحل
يمكن تحديد القوة باستخدام الصيغة:
يجب أن تُقاس المسافة بين الأرض والقمر الصناعي، ، بوحدة قياس متر لكي تتسق مع قيمة ثابت الجذب العام، .
بما أن في الصيغة هو المسافة بين مركزي الكتلتين، تساوي قيمة مجموع المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض ونصف قطر الأرض:
بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن:
يمكن تحديد عجلة جسم الناتجة عن قوة الجاذبية بين هذا الجسم وجسم آخر من خلال مساواة القوة بين الجسمين والقوة المحصلة المؤثرة على الجسم المطلوب تحديد عجلته. ومن ثم، نحصل على: و: حيث تكون للجسم الذي تُحدد عجلته الكتلة . ومن ذلك نحصل على:
بما أن ، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على . إذن،
يمكننا أن نلاحظ أن الجسم الذي له الكتلة لا يعتمد على قيمة .
تعريف: شدة مجال الجاذبية لكتلة نقطية
شدة مجال الجاذبية هي قوة الجاذبية لكل وحدة كتلة التي تؤثر بها كتلة ما، ، على جسم مركز كتلته هو المسافة من . وتُعطى من خلال الصيغة:
شدة مجال الجاذبية هي خاصية لأي نقطة تقع في مجال ما، سواءً كانت تلامس سطح الجسم الجاذب أم لا.
على كوكب الأرض، عجلة الجاذبية الأرضية تساوي حوالي ٩٫٨ م/ث٢. يمكن تحديد تلك القيمة، التي يُرمز لها بالرمز ، من كتلة الأرض، ، ونصف قطرها، ، على النحو الآتي: وهي تساوي ٩٫٨ لأقرب منزلة عشرية.
لنتناول مثالًا تتحدد فيه نسبة عجلة الجاذبية على الأرض وكوكب آخر.
مثال ٤: المقارنة بين عجلة الجاذبية على الأرض وكوكب آخر
إذا كانت كتلة كوكب تساوي ٣ أمثال كتلة كوكب الأرض، وقطر هذا الكوكب يساوي ٦ أمثال قطر كوكب الأرض، فاحسب النسبة بين عجلة الجاذبية على هذا الكوكب وعلى كوكب الأرض.
الحل
يمكن تحديد عجلة الجاذبية عند سطح الكرة المنتظمة باستخدام الصيغة: حيث كتلة الكرة، نصف قطرها.
باعتبار كتلة الأرض، نصف قطر الأرض، يُعبر عن عجلة الجاذبية على كوكب له كتلة تساوي ٣ أمثال كتلة الأرض وقطر يساوي ٦ أمثال قطر الأرض باستخدام الصيغة: حيث إن ضرب قطر كرة في ثابت ما هو نفسه ضرب نصف قطر الكرة في الثابت نفسه. يمكن التعبير عن مقدار عجلة الجاذبية للكوكب بأنها عجلة الجاذبية على الأرض مضروبة في ثابت، على النحو الآتي:
بما أن عجلة الجاذبية على هذا الكوكب تساوي من عجلة الجاذبية على الأرض، فإن نسبة عجلة الجاذبية على الكوكب إلى عجلة الجاذبية على الأرض هي .
لنتناول مثالًا يتحدد فيه نصف قطر كوكب من عجلة الجاذبية على هذا الكوكب.
مثال ٥: إيجاد نصف قطر كوكب بمعلومية معطيات عن جسم ساقط
أسقط رائد فضاء جسمًا من ارتفاع ٢ ٣٥٢ سم فوق سطح أحد الكواكب، فوصل الجسم إلى سطح الكوكب بعد ٨ ث. كانت كتلة الكوكب كجم، وكانت كتلة كوكب الأرض كجم، ونصف قطر كوكب الأرض م. باعتبار عجلة الجاذبية الأرضية ، أوجد نصف قطر الكوكب الآخر.
الحل
يمكن تقريب العجلة بالقرب من سطح الكوكب باستخدام عجلة جاذبية الكوكب على سطحه. بعد ذلك، يمكن تحديد عجلة الجاذبية عند سطح كرة منتظمة باستخدام الصيغة: حيث كتلة الكرة، نصف قطرها.
ويمكن أن نحدد عجلة الجاذبية على الكوكب التي يزوره رائد الفضاء من حركة الجسم الساقط باستخدام الصيغة: حيث إزاحة الجسم الساقط، السرعة المتجهة الابتدائية للجسم، الزمن الذي يتحرك خلاله الجسم، عجلة الجسم.
يسقط الجسم من نقطة تقع على ارتفاع ٢ ٣٥٢ سم من سطح الكوكب. ولكي تتسق مع ثابت الجذب العام، ستتحول هذه الإزاحة إلى قيمة بوحدة قياس متر تساوي ٢٣٫٥٢ م. أُسقط الجسم من حالة السكون؛ إذن، نحصل على:
يمكننا أن نجعل القيمة المراد إيجادها في الصيغة: ما يعطينا:
بالتعويض بقيمة العجلة المحددة، وكتلة الكوكب المعلومة، وأخذ: نحصل على:
من المهم أن نلاحظ أن السؤال لم يعطنا قيمة لنستخدمها.
يمكن الحصول على طريقة تحديد نصف قطر الكوكب من دون معرفة قيمة من خلال المقارنة بين مقداريّ عجلتيّ الجاذبية على الكوكب وعلى الأرض.
على الأرض، لدينا الصيغة: حيث عجلة الجاذبية على الأرض، كتلة الأرض، نصف قطر الأرض.
بالمثل، لدينا على الكوكب الصيغة: حيث عجلة الجاذبية على الكوكب، كتلة الكوكب، نصف قطر الكوكب.
يمكننا قسمة على لنحصل على:
يمكننا جعل الحد المطلوب إيجاده في المقدار، على النحو الآتي:
بالتعويض بقيم ، ، ، ، ، نحصل على:
تختلف قيمة هذه قليلًا عن القيمة التي حصلنا عليها باستخدام قيمة القياسية، حيث حُسبت القيمة من خلال المقارنة بين مقداري عجلتي الجاذبية على الأرض وعلى الكوكب بناءً على الدقة المستخدمة في تحديد قيمة نصف قطر الأرض وكتلتها بدلًا من قيمة ثابت الجذب العام.
من المهم أن نلاحظ أن معادلة الحركة المستخدمة لتحديد صحيحة تقريبًا، لأن عجلة الجاذبية عند نقطة تقع على ارتفاع ٢٣٫٥٢ م من سطح الكوكب لا تساوي عجلة الجاذبية على سطح الكوكب. ومن ثم فإن قيمة عجلة الجاذبية على الكوكب التي تحددت من خلال إلقاء جسم من نقطة أعلى سطح الكوكب، ستقلل من قيمة العجلة، ومن ثم ستزيد من قيمة نصف قطر الكوكب.
لنلخص بعض المفاهيم الأساسية التي وردت في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يؤثر جسمان بقوتي جاذبية على بعضهما الآخر، حيث يكون اتجاه القوة المؤثرة على كلا الجسمين نحو مركز كتلة الجسم الآخر. نحصل على مقداري القوتين من خلال الصيغة: حيث القوة المقيسة بوحدة قياس نيوتن ، ، كتلتي الجسمين مقاستان بوحدة قياس كيلوجرام، المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين المقيسان بوحدة قياس متر ، عدد ثابت، حيث: يُعرف بثابت الجذب العام.
- يمكن تحديد عجلة الجسم الناتجة عن قوة الجاذبية بينه وجسم آخر من خلال مساواة القوة بين الجسمين والقوة المحصلة المؤثرة على الجسم المطلوب تحديد عجلته: إذن: حيث عجلة الجاذبية الذي كتلته ، المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين ،.
- بالنسبة لجسمين لهما الكتلتين ، ونصفي القطرين ،، تُعطى النسبة بين عجلة جاذبية هذين الجسمين من خلال الصيغة:
