تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: قانون نيوتن للجذب العام الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق قانون نيوتن للجذب العام لإيجاد القوة الجاذبة بين كتلتين.

افترض أن لدينا كتلتان 𞸊١ ،𞸊٢ تفصلهما المسافة 𞸓. ثم، تؤثر كل من هاتين الكتلتين بقوة جذب على الأخرى تسمى قوة الجاذبية. تنشأ هذه القوة بين أي جسمين كتلتيهما لا تساويان صفرًا وتتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بين الكتلتين. تنشأ هذه القوة كنتيجة مباشرة لقانون نيوتن الثالث للحركة.

تعريف: قانون نيوتن الثالث للحركة

ينص قانون نيوتن الثالث للحركة على أنه عند تأثير جسم بقوة على جسم ثان، فإن الجسم الثاني يؤثر في الوقت نفسه بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه على الجسم الأول.

وبالنسبة إلى قوتي الجاذبية التي يؤثر بها جسمان، يمكن استكمال هذه الشروط ببعض الشروط الإضافية، التي تشكل معًا تعريفًا لقانون نيوتن للجذب العام.

لنعرف قانون نيوتن للجذب العام.

تعريف: قانون نيوتن للجذب العام

يؤثر جسمان بقوتي جاذبية على بعضها البعض، بحيث يكون اتجاه القوة المؤثرة على كلا الجسمين نحو مركز كتلة الجسم الآخر.

نحصل على مقداري القوتين من خلال الصيغة: 𞹟=𞸖𞸊𞸊𞸓،١٢٢ حيث 𞹟 هي القوة المقيسة بوحدة نيوتن ،𞸊١ ،𞸊٢ هما كتلتي الجسمين المقاستين بوحدة كيلوجرام، 𞸓 هي المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين المقيسان بوحدة متر، 𞸖 قيمة ثابتة، حيث: 𞸖٧٦٫٦×٠١/.١١٢٢م

يُعرف 𞸖 بأنه ثابت الجذب العام.

ملحوظة: إذا كان لابد من وجود تلامس بين جسمين لكي تؤثر قوة ما، تُعرف هذه القوة باسم قوة التلامس. إذا لم يكن ذلك ضروريًا، فإن القوى تُسمى قوى عدم التلامس. تُعد قوة الجاذبية مثالًا على قوة عدم التلامس. في بعض الأحيان، تؤثر قوى عدم التلامس هذه بين الجسيمات المتلامسة.

لنتناول مثالًا تكون فيه قوة الجاذبية بين جسمين محددة.

مثال ١: حساب قوة الجاذبية بين جسمين

أوجد قوة الجاذبية بين كرتين متطابقتين كتلة كلٍّ منهما ٣٫٠١ كجم، إذا كانت المسافة بين مركزيهما ١٥٫٠٥ سم، وكان ثابت الجذب العام ٧٦٫٦×٠١١١ نيوتن⋅م٢/كجم٢.

الحل

يمكن تحديد القوة باستخدام الصيغة الآتية: 𞹟=𞸖𞸊𞸊𞸓.١٢٢

يجب أن تُقاس المسافة بين مركز كتلة الكرتين،𞸓، بوحدة قياس متر لكي تتسق مع وحدة قياس ثابت الجذب العام، 𞸖. إذن، ستكون قيمة 𞸓 هي ٠٫١٥٠٥ م.

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن: 𞹟=٧٦٫٦×٠١󰃁١٠٫٣٥٠٥١٫٠󰃀=٨٦٦٫٢×٠١.١١٢٢٨

لنتناول مثالًا تُستخدم فيه قوة الجاذبية بين جسمين لتحديد المسافة بين مركزي كتلتيهما.

مثال ٢: حساب المسافة بين جسمين بمعلومية قوة الجاذبية بينهما

إذا كانت قوة الجاذبية بين جسمين كتلتاهما ٤٫٦ كجم و٢٫٩ كجم تساوي ٢٫٣×٠١٠١ نيوتن، فأوجد المسافة بين مركزيهما. ثابت الجذب العام يساوي 𞸖=٧٦٫٦×٠١/١١٢٢م.

الحل

صيغة تحديد قوة الجاذبية بين جسمين هي: 𞹟=𞸖𞸊𞸊𞸓،١٢٢ ويمكن إعادة ترتيبها لنجعل 𞸓 في طرف بمفرده على النحو الآتي: 𞸓=𞸖𞸊𞸊𞹟𞸓=󰋺𞸖𞸊𞸊𞹟.٢١٢١٢

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن: 𞸓=󰋺٧٦٫٦×٠١٦٫٤(٩٫٢)٢٫٣×٠١𞸓=󰋴٧٦٫٦×٠١(٥٧٨٦١٫٤×٠١)𞸓=󰋴٥٢٦٥٥٠٨٧٫٢𞸓=٥٧٦٦٫١.١١٠١١١٠١م

المسافة بين مركزي الجسمين هي: ١٦٦٫٧٥ سم.

لنتناول مثالًا تكون فيه قوة الجاذبية الناشئة بين جسمين مُحددة، بحيث يكون أحد الجسمين هو كوكب الأرض.

مثال ٣: حساب قوة الجاذبية بين الأرض وقمر صناعي

قمر صناعي كتلته ٢‎ ‎٤١٥ كجم يدور على ارتفاع ٥٤٠ كم فوق سطح الأرض. إذا كان ثابت الجذب العام ٧٦٫٦×٠١١١ نيوتن⋅م٢/كجم٢، وكتلة الأرض ونصف قطرها ٦×٠١٤٢ كجم، ٦‎ ‎٣٦٠ كم، على الترتيب، فأوجد قوة الجاذبية التي تبذلها الأرض على القمر الصناعي.

الحل

يمكن تحديد القوة باستخدام الصيغة: 𞹟=𞸖𞸊𞸊𞸓.١٢٢

يجب أن تُقاس المسافة بين الأرض والقمر الصناعي، 𞸓، بوحدة قياس متر لكي تتسق مع قيمة ثابت الجذب العام، 𞸖.

بما أن 𞸓 في الصيغة هو المسافة بين مركزي الكتلتين، تساوي قيمة 𞸓 مجموع المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض ونصف قطر الأرض: 𞸓=(٠٦٣٦+٠٤٥)×٠١=٩٫٦×٠١.٣٦

بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال، نجد أن: 𞹟=٧٦٫٦×٠١󰃭٥١٤٢󰁓٦×٠١󰁒(٩٫٦×٠١)󰃬𞹟=٧٦٫٦×٠١󰃁٩٤٤٫١×٠١(٩٫٦×٠١)󰃀𞹟=٧٦٫٦×٠١󰁓٣٨٧٤٣٤٠٫٣×٠١󰁒=٠٠٣٠٢.١١٤٢٦٢١١٨٢٦٢١١٤١

يمكن تحديد عجلة جسم الناتجة عن قوة الجاذبية بين هذا الجسم وجسم آخر من خلال مساواة القوة بين الجسمين والقوة المحصلة المؤثرة على الجسم المطلوب تحديد عجلته. ومن ثم، نحصل على: 𞹟=𞸖𞸊𞸊𞸓،١٢٢ و: 𞹟=𞸊𞸢،١ حيث تكون للجسم الذي تُحدد عجلته الكتلة 𞸊١. ومن ذلك نحصل على: 𞸊𞸢=𞸖𞸊𞸊𞸓.١١٢٢

بما أن 𞸊٠١، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على 𞸊١. إذن، 𞸢=𞸖𞸊𞸓.٢٢

يمكننا أن نلاحظ أن الجسم الذي له الكتلة 𞸊١ لا يعتمد على قيمة 𞸊١.

تعريف: شدة مجال الجاذبية لكتلة نقطية

شدة مجال الجاذبية هي قوة الجاذبية لكل وحدة كتلة التي تؤثر بها كتلة ما، 𞸊، على جسم مركز كتلته هو المسافة 𞸓 من 𞸊. وتُعطى من خلال الصيغة: 𞸃=𞸖𞸊𞸓.٢

شدة مجال الجاذبية هي خاصية لأي نقطة تقع في مجال ما، سواءً كانت تلامس سطح الجسم الجاذب أم لا.

على كوكب الأرض، عجلة الجاذبية الأرضية تساوي حوالي ٩٫٨ م/ث٢. يمكن تحديد تلك القيمة، التي يُرمز لها بالرمز 𞸃، من كتلة الأرض، 𞸊=٧٩٫٥×٠١٤٢، ونصف قطرها، 𞸓=٧٣٫٦×٠١٦م، على النحو الآتي: 𞸃=٧٦٫٦×٠١󰃁٧٩٫٥×٠١(٧٣٫٦×٠١)󰃀،١١٤٢٦٢ وهي تساوي ٩٫٨ لأقرب منزلة عشرية.

لنتناول مثالًا تتحدد فيه نسبة عجلة الجاذبية على الأرض وكوكب آخر.

مثال ٤: المقارنة بين عجلة الجاذبية على الأرض وكوكب آخر

إذا كانت كتلة كوكب تساوي ٣ أمثال كتلة كوكب الأرض، وقطر هذا الكوكب يساوي ٦ أمثال قطر كوكب الأرض، فاحسب النسبة بين عجلة الجاذبية على هذا الكوكب وعلى كوكب الأرض.

الحل

يمكن تحديد عجلة الجاذبية عند سطح الكرة المنتظمة باستخدام الصيغة: 𞸢=𞸖𞸊𞸓،٢ حيث 𞸊 كتلة الكرة، 𞸓 نصف قطرها.

باعتبار 𞸊 كتلة الأرض، 𞸓 نصف قطر الأرض، يُعبر عن عجلة الجاذبية على كوكب له كتلة تساوي ٣ أمثال كتلة الأرض وقطر يساوي ٦ أمثال قطر الأرض باستخدام الصيغة: 𞸢=𞸖٣𞸊(٦𞸓)،١٢ حيث إن ضرب قطر كرة في ثابت ما هو نفسه ضرب نصف قطر الكرة في الثابت نفسه. يمكن التعبير عن مقدار عجلة الجاذبية للكوكب بأنها عجلة الجاذبية على الأرض مضروبة في ثابت، على النحو الآتي: 𞸢=𞸖٣𞸊٦٣𞸓=𞸖𞸊٢١𞸓=١٢١𞸖𞸊𞸓.١٢٢٢

بما أن عجلة الجاذبية على هذا الكوكب تساوي ١٢١ من عجلة الجاذبية على الأرض، فإن نسبة عجلة الجاذبية على الكوكب إلى عجلة الجاذبية على الأرض هي ١٢١.

لنتناول مثالًا يتحدد فيه نصف قطر كوكب من عجلة الجاذبية على هذا الكوكب.

مثال ٥: إيجاد نصف قطر كوكب بمعلومية معطيات عن جسم ساقط

أسقط رائد فضاء جسمًا من ارتفاع ٢‎ ‎٣٥٢ سم فوق سطح أحد الكواكب، فوصل الجسم إلى سطح الكوكب بعد ٨ ث. كانت كتلة الكوكب ٤٦١٫٧×٠١٤٢ كجم، وكانت كتلة كوكب الأرض ٧٩٫٥×٠١٤٢ كجم، ونصف قطر كوكب الأرض ٤٣٫٦×٠١٦ م. باعتبار عجلة الجاذبية الأرضية 𞸃=٨٫٩/مث٢، أوجد نصف قطر الكوكب الآخر.

الحل

يمكن تقريب العجلة بالقرب من سطح الكوكب باستخدام عجلة جاذبية الكوكب على سطحه. بعد ذلك، يمكن تحديد عجلة الجاذبية عند سطح كرة منتظمة باستخدام الصيغة: 𞸢=𞸖𞸊𞸓،٢ حيث 𞸊 كتلة الكرة، 𞸓 نصف قطرها.

ويمكن أن نحدد عجلة الجاذبية على الكوكب التي يزوره رائد الفضاء من حركة الجسم الساقط باستخدام الصيغة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍،٢ حيث 𞸐 إزاحة الجسم الساقط، 𞸏 السرعة المتجهة الابتدائية للجسم، 𞸍 الزمن الذي يتحرك خلاله الجسم، 𞸢 عجلة الجسم.

يسقط الجسم من نقطة تقع على ارتفاع ٢‎ ‎٣٥٢ سم من سطح الكوكب. ولكي تتسق مع ثابت الجذب العام، ستتحول هذه الإزاحة إلى قيمة بوحدة قياس متر تساوي ٢٣٫٥٢ م. أُسقط الجسم من حالة السكون؛ إذن، نحصل على: ٢٥٫٣٢=١٢𞸢󰁓٨󰁒،𞸢=٢(٢٥٫٣٢)٤٦=٥٣٧٫٠/.٢٢مث

يمكننا أن نجعل 𞸓 القيمة المراد إيجادها في الصيغة: 𞸢=𞸖𞸊𞸓،٢ ما يعطينا: 𞸓=𞸖𞸊𞸢،𞸓=󰋺𞸖𞸊𞸢.٢

بالتعويض بقيمة العجلة المحددة، وكتلة الكوكب المعلومة، وأخذ: 𞸖=٧٦٫٦×٠١/،١١٢م نحصل على: 𞸓=󰋽٧٦٫٦×٠١󰃁٤٦١٫٧×٠١٥٣٧٫٠󰃀،𞸓٥٥٫٢×٠١.١١٤٢٧م

من المهم أن نلاحظ أن السؤال لم يعطنا قيمة 𞸖 لنستخدمها.

يمكن الحصول على طريقة تحديد نصف قطر الكوكب من دون معرفة قيمة 𞸖 من خلال المقارنة بين مقداريّ عجلتيّ الجاذبية على الكوكب وعلى الأرض.

على الأرض، لدينا الصيغة: 𞸢=𞸖𞸊𞸓،ارضارضارض٢ حيث 𞸢ارض عجلة الجاذبية على الأرض، 𞸊ارض كتلة الأرض، 𞸓ارض نصف قطر الأرض.

بالمثل، لدينا على الكوكب الصيغة: 𞸢=𞸖𞸊𞸓،ااا٢ حيث 𞸢ا عجلة الجاذبية على الكوكب، 𞸊ا كتلة الكوكب، 𞸓ا نصف قطر الكوكب.

يمكننا قسمة 𞸢ارض على 𞸢ا لنحصل على: 𞸢𞸢=𞸖󰃁󰃀𞸖󰃁󰃀𞸢𞸢=󰃁󰃀󰃁󰃀𞸢𞸢=󰃭𞸊𞸊󰃬󰃭𞸓𞸓󰃬.ارضاارضاارضاارضااارض𞸊𞸓𞸊𞸓𞸊𞸓𞸊𞸓٢٢ارضارضااارضارضاا٢٢٢٢

يمكننا جعل 𞸓ا الحد المطلوب إيجاده في المقدار، على النحو الآتي: 𞸓=󰃭𞸢𞸢󰃬󰃭𞸊𞸊󰃬𞸓𞸓=󰌁󰌀󰌀󰌂󰃭𞸢𞸢󰃬󰃭𞸊𞸊󰃬𞸓.اارضااارضارضاارضااارضارض٢٢٢

بالتعويض بقيم 𞸢ارض، 𞸊ارض، 𞸓ارض، 𞸊ا، 𞸢ا، نحصل على: 𞸓=󰋽󰃁٨٫٩٥٣٧٫٠󰃀󰃁٤٦١٫٧×٠١٧٩٫٥×٠١󰃀(٤٣٫٦×٠١)𞸓=󰋽󰃁٨٫٩٥٣٧٫٠󰃀󰃁٤٦١٫٧٧٩٫٥󰃀(٤٣٫٦×٠١)𞸓=٦٣٥٫٢×٠١.ااا٤٢٤٢٦٢٦٢٧م

تختلف قيمة 𞸓ا هذه قليلًا عن القيمة التي حصلنا عليها باستخدام قيمة 𞸖 القياسية، حيث حُسبت القيمة من خلال المقارنة بين مقداري عجلتي الجاذبية على الأرض وعلى الكوكب بناءً على الدقة المستخدمة في تحديد قيمة نصف قطر الأرض وكتلتها بدلًا من قيمة ثابت الجذب العام.

من المهم أن نلاحظ أن معادلة الحركة المستخدمة لتحديد 𞸢ا صحيحة تقريبًا، لأن عجلة الجاذبية عند نقطة تقع على ارتفاع ٢٣٫٥٢ م من سطح الكوكب لا تساوي عجلة الجاذبية على سطح الكوكب. ومن ثم فإن قيمة عجلة الجاذبية على الكوكب التي تحددت من خلال إلقاء جسم من نقطة أعلى سطح الكوكب، ستقلل من قيمة العجلة، ومن ثم ستزيد من قيمة نصف قطر الكوكب.

لنلخص بعض المفاهيم الأساسية التي وردت في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يؤثر جسمان بقوتي جاذبية على بعضهما الآخر، حيث يكون اتجاه القوة المؤثرة على كلا الجسمين نحو مركز كتلة الجسم الآخر. نحصل على مقداري القوتين من خلال الصيغة:𞹟=𞸖𞸊𞸊𞸓،١٢٢ حيث 𞹟 القوة المقيسة بوحدة قياس نيوتن ،𞸊١ ،𞸊٢ كتلتي الجسمين مقاستان بوحدة قياس كيلوجرام، 𞸓 المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين المقيسان بوحدة قياس متر ،𞸖 عدد ثابت، حيث: 𞸖٧٦٫٦×٠١/.١١٢م𞸖 يُعرف بثابت الجذب العام.
  • يمكن تحديد عجلة الجسم الناتجة عن قوة الجاذبية بينه وجسم آخر من خلال مساواة القوة بين الجسمين والقوة المحصلة المؤثرة على الجسم المطلوب تحديد عجلته: 𞸊𞸢=𞸖𞸊𞸊𞸓.١١٢٢ إذن: 𞸢=𞸖𞸊𞸓،٢٢ حيث 𞸢 عجلة الجاذبية الذي كتلته 𞸊٢ ،𞸓 المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين 𞸊١ ،𞸊٢.
  • بالنسبة لجسمين لهما الكتلتين 𞸊١ ،𞸊٢ ونصفي القطرين 𞸓١ ،𞸓٢، تُعطى النسبة بين عجلة جاذبية هذين الجسمين من خلال الصيغة: 𞸢𞸢=󰃁𞸊𞸊󰃀󰃁𞸓𞸓󰃀.١٢١٢٢٢١٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.