شارح الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحلُّ بالنسبة إلى زاوية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: إيجاد قياس زاوية مجهولة في مثلث قائم الزاوية

في الشكل الموضَّح، أوجد قياس الزاوية ، بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول ما علينا فعله للإجابة على هذا السؤال هو تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية .

لاحظ هنا أننا رسمنا دائرة حول جـ، و لأن هذين هما الضلعان اللذان نعلم طولَيهما. وإذا رجعنا إلى الاختصار «جا ق و جتا جـ و ظا ق جـ»، فسنجد أن «جتا جـ و» هو الخيار الوحيد الذي يحتوي على الضلعين جـ، و؛ وهو ما يعني أن علينا استخدام نسبة جيب التمام. وتذكَّر أن:

سنعوِّض الآن بقيمتَي جـ، و فنجد أن:

وباستخدام خواصِّ الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن:

إذا حسبنا هذا المقدار بعد ذلك، فسنحصل على:

مثال ٢: إيجاد قياسات جميع الزوايا المجهولة في مثلث قائم الزاوية

في الشكل الموضَّح، أوجد قياس كلٍّ من ، ، بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول ما علينا فعله هو اختيار إحدى الزاويتين المجهولتين لإيجاد قياسها أولًا. في هذه الحالة، سنبدأ بإيجاد قياس التي سنسمِّيها . يمكننا بعد ذلك تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية كما هو موضَّح.

رسمنا دائرة على ق، جـ؛ لأن هذين هما الطولان المعلومان. إذا رجعنا بعد ذلك إلى الاختصار «جا ق و جتا جـ و ظا ق جـ»، فسنجد أن علينا استخدام نسبة الظل؛ حيث «ظا ق جـ» يحتوي على الحرفين ق، جـ. تذكَّر أن:

وبالتعويض عن الطولين ق، جـ نحصل على:

وباستخدام الدالة العكسية للظل، نجد أن:

إذا حسبنا ذلك، يصبح لدينا:

ولإيجاد قياس الزاوية الثانية المجهولة في المثلث، علينا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . وإذا أشرنا إلى بالحرف ، فسنجد أن:

ويمكن تبسيط ذلك إلى: وبطرح ١٢٨٫٦٦ من كِلا الطرفين، نجد أن:

مثال ٣: حل المثلثات باستخدام حساب المثلثات

مثلث قائم الزاوية في ؛ حيث سم، . أوجد الطول ، لأقرب سنتيمتر، وقياس الزاويتين ، ، لأقرب درجة.

الحل

لنبدأ برسم شكل توضيحي. من المفيد عادةً أن نحاول رسم شكل تقريبي بهدف المطابقة. ولا يُعدُّ ذلك ضروريًّا على الإطلاق، لكنه يساعدنا على التحقُّق من أن الإجابات منطقية عند مقارنتها بالشكل. ومن ثَمَّ، نرسم مثلثًا باسم ، ونحدِّد أطوال الحواف التي نعرفها.

أول ما علينا فعله هو إيجاد طول الضلع . ولإجراء ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنصُّ على أن: حيث هو طول الوتر. وفي المثلث الموضَّح هو الوتر. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة نظرية فيثاغورس للمثلث على النحو التالي:

إذن:

وبالتعويض بقيمتي ، ؛ نحصل على:

وبحساب الجذر التربيعي، نحصل على: لأقرب سنتيمتر.

علينا الآن إيجاد قياسات الزوايا عند ، . لفعل ذلك، يمكننا إيجاد قياس إحدى الزوايا، ثم استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي . سوف نوجد قياس ، وهي ما سنشير إليها بالرمز . ولمعرفة النسبة المثلثية التي علينا استخدامها، علينا أولًا تسمية أضلاع المثلث. وكما نعلم، فإن هو الوتر. وبما أننا نفكر في ؛ فإن يُمثِّل الضلع المقابل، ويُمثِّل الضلع المجاور.

وبما أن أطوال جميع الأضلاع معلومة، يمكننا استخدام أيِّ نسبة مثلثية. لكن من الأفضل استخدام طولَي الضلعين المعطيين في السؤال. يوجد سببان وجيهان لذلك. أولًا، هذا يعني أنه إذا أخطأنا في حساب الضلع الثالث، فلن يؤثِّر ذلك على إجابة هذا الجزء من السؤال. ثانيًا، يمكننا بسهولة الوقوع في أخطاء التقريب إذا استخدمنا طول الضلع الثالث؛ لأن صورته الفعلية ليست عددًا صحيحًا. ولذلك، نفضِّل حساب قياس باستخدام الضلع المقابل والوتر. هذا يعني أننا سنستخدم نسبة الجيب:

وبالتعويض بطول الضلع المقابل ()، وطول الوتر ()؛ نحصل على:

وباستخدام الدالة العكسية للجيب، نحصل على:

وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد قيمة ذلك لنجد أن: لأقرب درجة. إذن، لأقرب درجة.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي لإيجاد . وبما أن: يكون لدينا:

وبالتعويض بقيمتَي ، ؛ نحصل على: لأقرب درجة.

مثال ٤: حل مسائل كلامية باستخدام حساب المثلثات

سلم طوله ٥ م يستند على حائط رأسي؛ حيث تبعُد قاعدته ٢ م عن الحائط. أوجد الزاوية بين السلم والأرض، مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول ما علينا فعله لحلِّ سؤال كهذا هو رسم شكل توضيحي لتمثيل هذه الحالة.

في هذا الشكل، بالنسبة إلى الزاوية ، فقد أسمينا أطوال الأضلاع التي نعرفها. نعلم هنا طول كلٍّ من الضلع المجاور والوتر، لذا علينا استخدام نسبة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. ونعلم أن:

إذا عوَّضنا بطولَي الضلعين جـ، و نحصل على:

وإذا استخدمنا بعد ذلك خواصَّ الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن:

وعند حساب ذلك، نجد أن:

مثال ٥: حل مسائل كلامية باستخدام حساب المثلثات

ارتفاع منطقة للتزلُّج على الجليد ١٦ مترًا، وطولها ٢٠ مترًا. أوجد قياس ، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا السؤال، من حسن الحظ أن لدينا رسمًا توضيحيًّا، وهو ما يعني أننا لا نحتاج إلى رسم هذا بأنفسنا. أول ما علينا فعله هو تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية θ.

في هذه الحالة، لدينا طولَا الضلع المقابل والوتر، وعلينا استخدام نسبة الجيب لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. تذكَّر أن: إذا عوَّضنا عن الطولين ق، و نحصل على:

إذا استخدمنا بعد ذلك خواصَّ الدالة العكسية للجيب، نجد أن:

وبحساب ذلك، نجد أن: