تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: نقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى الإحداثي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد نقطة التقاطع بين خطين مستقيمين على النظام الإحداثي، ونستخدم ذلك المفهوم لإيجاد معادلتين لمستقيمين.

نبدأ باسترجاع المقصود بتقاطع خطين مستقيمين.

تعريف: نقطة تقاطع خطين مستقيمين

نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين غير متوازيين هي النقطة الوحيدة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. إنها الزوج المرتب من قيمتَي 𞸎، 𞸑؛ حيث يلتقي المستقيمان على التمثيل البياني، وهو ما يحقِّق معادلتَي المستقيمين.

المستقيمات المختلفة المتوازية هي مستقيمات على المستوى تكون المسافة بينها متساوية دائمًا. وليس لها أي نقاط تقاطع.

في الشكل الآتي، يتقاطع 󰏡𞸁، 𞸔𞸒 عند النقطة 𞸅.

طريقة: إيجاد نقطة تقاطع مستقيمين على المستوى الإحداثي

يمكننا إيجاد نقطة تقاطع مستقيمين على المستوى الإحداثي باستخدام طريقتين؛ وهما الطريقة البيانية والطريقة الجبرية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المستقيمان الممثَّلان بالمعادلتين 𞸑=𞸎+١، 𞸑+٢𞸎=٤، فيمكننا تمثيل كلٍّ منهما بيانيًّا كالآتي:

يمكن إيجاد نقطة التقاطع بيانيًّا بالنظر إلى التمثيل البياني لتحديد النقطة (𞸎،𞸑)؛ حيث يلتقي أو يتقاطع المستقيمان. لكن في المعادلات الأكثر تعقيدًا، يُفضَّل استخدام الطريقة الجبرية. وبالنسبة إلى الطريقة الجبرية، نعلم أن النقطة التي تقع على المستقيمين يجب أن تحقِّق المعادلتين. وهذا يماثل حل نظام مكوَّن من معادلتين خطيَّتين في مجهولين.

في المثال الأول، نتناول كيف يمكن استخدام الطريقة البيانية لإيجاد نقطة التقاطع بين مستقيم أفقي ومستقيم رأسي.

مثال ١: إيجاد نقطة تقاطع مستقيم أفقي ومستقيم رأسي

عند أيِّ نقطة يتقاطع المستقيمان 𞸎=٧، ١٦𞸑=١؟

الحل

نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يتلاقى عندها المستقيمان. إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي رسم المستقيمين. نبدأ بتمثيل 𞸎=٧ بيانيًّا. أيُّ معادلة تحتوي على المتغيِّر 𞸎 ولا تحتوي على المتغيِّر 𞸑 تكون معادلة مستقيم رأسي.

نتناول بعد ذلك التمثيل البياني لـ ١٦𞸑=١. قد يكون من المفيد إعادة ترتيب ذلك لعزل 𞸑 في طرف بمفرده. ومن ثَمَّ، بضرب طرفَي المعادلة ١٦𞸑=١ في ٦، نحصل على: 𞸑=٦.

أيُّ معادلة تحتوي على المتغيِّر 𞸑 فقط هي معادلة مستقيم أفقي. وبما أن 𞸑=٦، إذن المستقيم الرأسي يمر بـ ٦ على المحور 𞸑.

لإيجاد نقطة تقاطع المستقيمين 𞸎=٧، ١٦𞸑=١، نبحث عن النقطة التي يتقاطعان أو يلتقيان عندها. وبالنظر إلى التمثيل البياني، نجد أن نقطة التقاطع هي النقطة التي إحداثياتها: (٧،٦).

في المثال التالي، نتناول كيف يمكن استخدام الطريقة الجبرية لإيجاد نقطة التقاطع بين مستقيمين.

مثال ٢: إيجاد نقطة تقاطع خطين مستقيمين

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين الممثَّلَيْن بالمعادلتَيْن 𞸎+٣𞸑٢=٠، 𞸑+١=٠.

الحل

نتذكَّر أن نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يتلاقى عندها المستقيمان. ولإيجاد نقطة التقاطع هذه، أو النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان، يمكننا استخدام الطريقة الجبرية أو البيانية.

تقع نقطة التقاطع على كلا المستقيمين؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن تُحقِّق معادلتَيْهما. إذن يمكننا إيجاد نقطة التقاطع من خلال حل هاتين المعادلتين باعتبارهما معادلتين آنيتين، وإيجاد قيمتَي 𞸎، 𞸑؛ حيث (𞸎،𞸑) هي نقطة التقاطع.

يمكننا كتابة المعادلتين لدينا:

𞸎+٣𞸑٢=٠،𞸑+١=٠.()()١٢

لحل هاتين المعادلتين باستخدام طريقة التعويض، نُعيد ترتيب المعادلة الثانية؛ أي 𞸑+١=٠، بإضافة 𞸑 إلى طرفَي المعادلة، لنحصل على: 𞸑+١=٠١=𞸑𞸑=١.

بالتعويض بـ 𞸑=١ في المعادلة رقم (١)، ثم إعادة الترتيب، نحصل على: 𞸎+٣(١)٢=٠𞸎+١=٠𞸎=١.

يصبح لدينا الحل 𞸎=١، 𞸑=١. ومن ثَمَّ، نقطة التقاطع هي: (١،١).

بطريقة بديلة، أو للتحقُّق من صحة الطريقة الجبرية، نتناول التمثيل البياني لكلٍّ من المستقيمين.

عرفنا أن المستقيم 𞸑+١=٠ يمكن إعادة ترتيب معادلته لتصبح على الصورة 𞸑=١. ومن ثَمَّ، فإن المستقيم سيكون مستقيمًا أفقيًّا يمر بـ ١ على المحور 𞸑.

يمكننا تمثيل المعادلة 𞸎+٣𞸑٢=٠ بإيجاد نقطتين على المستقيم. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 بالتعويض بـ 𞸎=٠، وأيضًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸎 بالتعويض بـ 𞸑=٠.

عند التعويض بـ 𞸑=٠ في 𞸎+٣𞸑٢=٠، ثم التبسيط، نحصل على: 𞸎+٣(٠)٢=٠𞸎٢=٠𞸎=٢.

عند التعويض بـ 𞸎=٠، ثم التبسيط، نحصل على: ٠+٣𞸑٢=٠٣𞸑٢=٠٣𞸑=٢𞸑=٢٣.

عرفنا الآن أن المستقيم يمر بالنقطتين (٢،٠)، 󰂔٠،٢٣󰂓. قد يصعب قليلًا تمثيل أزواج إحداثية لا تحتوي على قيم صحيحة؛ مثل 󰂔٠،٢٣󰂓؛ لذا، نفضِّل إيجاد زوج آخر من الإحداثيات على المستقيم 𞸎+٣𞸑٢=٠.

عند التعويض بـ 𞸎=٤ في 𞸎+٣𞸑٢=٠، ثم التبسيط، نحصل على: (٤)+٣𞸑٢=٠٦+٣𞸑=٠٣𞸑=٦𞸑=٢.

وهذا يُعطينا زوجًا إحداثيًّا ثالثًا، وهو (٤،٢)، على المستقيم 𞸎+٣𞸑٢=٠. يمكننا تمثيل هذه الأزواج الإحداثية الثلاثة ورسم هذا المستقيم مع التمثيل البياني لـ 𞸑+١=٠، كما هو موضَّح.

إذن، بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا التأكُّد من صحة الحل الجبري المذكور سابقًا؛ حيث تقع نقطة التقاطع عند: (١،١).

في المثال السابق، تناولنا طريقتين مختلفتين مستخدَمتين؛ وهما الطريقة الجبرية والطريقة البيانية. هناك مزايا لكلتا الطريقتين، وتكون الطريقة البيانية عادةً طريقة جيدة للتحقُّق من ناتج الطريقة الجبرية. لكن تجدر الإشارة إلى أن الطريقة البيانية قد لا تكون دقيقة تمامًا؛ لا سيما في الحالات التي يتضمَّن فيها الناتج أعدادًا غير صحيحة. من ناحية أخرى، تُعطينا الطريقة الجبرية دائمًا ناتجًا دقيقًا.

في المثال التالي، نتناول كيف يمكن إيجاد التقاطع بين مستقيمين؛ أحدهما مُعطى في الصورة المتجهة.

مثال ٣: إيجاد الصورة المتجهة لمستقيم يمر بنقطة تقاطع خطين مستقيمين آخرين

أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يوازي المحور 𞸑، ويمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين 󰄮𞸓=𞸊(٦،٤)، ٣𞸎+٥𞸑=٥.

الحل

نتذكَّر أن نقطة تقاطع مستقيمين هي النقطة التي يلتقي أو يتقاطع عندها المستقيمان. ولإيجاد المعادلة المتجهة لمستقيم، علينا تحديد نقطة على المستقيم ومعرفة اتجاهه. بما أن المستقيم يوازي المحور 𞸑، فهو مستقيم رأسي، ومتجه اتجاهه هو (٠،١). إذن علينا تحديد نقطة على المستقيم. وستكون هذه النقطة هي نقطة التقاطع.

يمكننا كتابة المستقيم الذي معادلته المتجهة هي 󰄮𞸓=𞸊(٦،٤) في الصورة الكارتيزية. لأي نقطتين 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁(𞸎،𞸑) على النظام الإحداثي؛ حيث متجه الاتجاه هو 𞸃=(𞸀،𞸁)، وبالنسبة إلى أي كمية قياسية 𞸊، فإن: (𞸎،𞸑)=󰁓𞸎،𞸑󰁒+𞸊(𞸀،𞸁).١١

ومن ثَمَّ، باعتبار أن 󰄮𞸓=(𞸎،𞸑)، يمكننا كتابة المعادلة 󰄮𞸓=𞸊(٦،٤) في الصورة البارامترية كالآتي: 𞸎=٦𞸊،𞸑=٤𞸊.

يمكننا بعد ذلك حذف 𞸊 بإعادة ترتيب كل معادلة بالأعلى لجعل 𞸊 المتغيِّر التابع. وهذا يُعطينا: 𞸎٦=𞸊،𞸑٤=𞸊.

إذن يمكننا مساواة الطرف الأيمن من كل معادلة؛ بحيث يكون: 𞸎٦=𞸑٤.

بإعادة الترتيب، يصبح لدينا: ٤𞸎=٦𞸑٤𞸎٦𞸑=٠٢𞸎٣𞸑=٠.

يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب معادلة المستقيم ٣𞸎+٥𞸑=٥ لتصبح على الصورة ٣𞸎+٥𞸑+٥=٠، كما يمكننا إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين على الصورة الكارتيزية باستخدام طريقة حل المعادلات الآنية:

٣𞸎+٥𞸑+٥=٠،٢𞸎٣𞸑=٠.()()٣٤

يمكن إعادة ترتيب المعادلة الثانية لجعل 𞸎 المتغيِّر التابع على النحو الآتي: ٢𞸎=٣𞸑𞸎=٣٢𞸑.

نعوِّض بهذه القيمة في المعادلة رقم (٣)، لنحصل على: ٣󰂔٣٢𞸑󰂓+٥𞸑+٥=٠٩٢𞸑+٥𞸑+٥=٠١٢𞸑+٥=٠١٢𞸑=٥𞸑=٠١.

يمكننا الآن التعويض بالقيمة 𞸑=٠١ في 𞸎=٣٢𞸑، لنحصل على: 𞸎=٣٢(٠١)=٥١.

ومن ثَمَّ، نقطة تقاطع المستقيمين هي النقطة (٥١،٠١).

لدينا الآن متجه الاتجاه 𞸃، وهو متجه الوحدة (٠،١)، ومتجه الموضع لنقطة التقاطع هو (٥١،٠١).

بكتابة هذه المعادلة على الصورة 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊𞸃٠؛ حيث 𞸊 هو أي مضاعف قياسي، يصبح لدينا: 󰄮𞸓=(٥١،٠١)+𞸊(٠،١).

في المثال التالي، نستخدم قياس زاوية مُعطاة لإيجاد اتجاه خط مستقيم يمر خلال تقاطع مستقيمين آخرين.

مثال ٤: إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بنقطة تقاطع مستقيمين آخرين

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين اللذين معادلتاهما ٥𞸎+٢𞸑=٠، ٣𞸎+٧𞸑+٣١=٠، ويصنع زاوية قياسها ٥٣١ مع الجزء الموجب من المحور 𞸑.

الحل

نتذكَّر أن نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يلتقيان عندها. لدينا مُعطيات عن الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الجزء الموجب من المحور 𞸑، لكن علينا أيضًا إيجاد نقطة على هذا المستقيم لكتابة معادلته. وبما أن نقطة تقاطع المستقيمين الآخرين تقع على هذا المستقيم، إذن هذه هي أفضل نقطة يمكن اختيارها.

نبدأ بإيجاد تقاطع المستقيمين ٥𞸎+٢𞸑=٠، ٣𞸎+٧𞸑+٣١=٠. عند نقطة التقاطع، تكون قيمتا 𞸎، 𞸑 متساويتين لكلتا المعادلتين. ويمكننا إيجاد هاتين القيمتين باستخدام طريقة التعويض.

نُعيد ترتيب المعادلة ٥𞸎+٢𞸑=٠ لجعل 𞸎 المتغيِّر التابع، فيصبح لدينا: ٥𞸎=٢𞸑𞸎=٢٥𞸑.

يمكننا بعد ذلك التعويض بـ 𞸎=٢٥𞸑 في المعادلة ٣𞸎+٧𞸑+٣١=٠، ثم إعادة ترتيبها، لنحصل على: ٣󰂔٢٥𞸑󰂓+٧𞸑+٣١=٠٦٥𞸑+٧𞸑+٣١=٠٩٢٥𞸑=٣١𞸑=٥٦٩٢.

لإيجاد قيمة 𞸎، نعوِّض بـ 𞸑=٥٦٩٢ في المعادلة المُعاد ترتيبها 𞸎=٢٥𞸑. وهذا يُعطينا: 𞸎=٢٥×٥٦٩٢𞸎=٦٢٩٢.

إذن نقطة التقاطع؛ أي (𞸎،𞸑)، هي: 󰂔٦٢٩٢،٥٦٩٢󰂓.

علينا إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقطة 󰂔٦٢٩٢،٥٦٩٢󰂓، ويصنع زاوية قياسها ٥٣١ مع الجزء الموجب من المحور 𞸑. يمكننا رسم مستقيم يكوِّن زاوية قياسها ٥٣١ مع المحور 𞸑. وبما أن الزاوية موجبة، إذن يكون القياس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

لإيجاد ميل المستقيم، علينا حساب قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب من المحور 𞸎. ويمكننا استخدام الزوايا التي تقع على المستقيم والزوايا المتناظرة الناتجة عن المستقيمات المتوازية والقواطع.

نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا التي تقع على خط مستقيم يساوي ٠٨١. ومن ثَمَّ، فإن المستقيم يصنع زاوية قياسها ٠٨١٥٣١=٥٤ مع الجزء الموجب من المحور 𞸑، وتُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة.

إذن يصنع المستقيم زاوية قياسها 𝜃=٠٩٥٤=٥٤ مع الجزء الموجب من المحور 𞸎، وتُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

إذا صنع المستقيم الزاوية 𝜃 مع الجزء الموجب من المحور 𞸎، فيكون ميله هو 𝜃.

الميل؛ أي 𞸌، هو: 𞸌=٥٤=١.

يمكننا استخدام صيغة الميل ونقطة للمستقيم لكتابة معادلة هذا المستقيم. وفي هذه الصيغة، معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، وميله 𞸌، هي: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒.١١

إذن المستقيم الذي يمر بالنقطة 󰂔٦٢٩٢،٥٦٩٢󰂓، وميله ١، هو: 𞸑󰂔٥٦٩٢󰂓=١󰂔𞸎٦٢٩٢󰂓𞸑+٥٦٩٢=𞸎٦٢٩٢.

بإضافة ٦٢٩٢ إلى طرفَي هذه المعادلة، نحصل على: 𞸑+١٩٩٢=𞸎.

وبضرب الحدود في ٢٩، نحصل على: ٩٢𞸑+١٩=٩٢𞸎.

عند كتابة هذه المعادلة على الصورة 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠، نطرح ٩٢𞸑 و٩١ من طرفَي المعادلة، فنحصل على: ٩٢𞸎٩٢𞸑١٩=٠.

يمكننا الآن تناول كيفية كتابة المعادلة العامة للخط المستقيم الذي يمر بنقطة تقاطع مستقيمين مُعطيين.

نحن نعلم أن هناك عددًا لا نهائيًّا من الخطوط المستقيمة التي تمر بأي نقطة محدَّدة. ومن ثَمَّ، يمكننا تعريف المعادلة التي تمثِّل جميع الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة تقاطع خطين مستقيمين كالآتي.

تعريف: معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة تقاطع مستقيمين مُعطيين

المعادلة التي تمثِّل جميع الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة تقاطع المستقيمين 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠١١١، 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠٢٢٢ هي: 𞸌󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒+𞸋󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒=٠،١١١٢٢٢ حيث 𞸌،𞸋𞹇.

إذا كان 𞸌=٠، فسيصبح لدينا معادلة المستقيم الثاني.

وإذا كان 𞸋=٠، فسيصبح لدينا معادلة المستقيم الأول.

عند 𞸌٠، 𞸋٠، يكون لدينا معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة التقاطع، فيما عدا المستقيمات الأصلية. إذن يمكننا كتابة المعادلة الموضَّحة سابقًا على الصورة: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢+𞸊󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒=٠،١١١٢٢٢ لأي 𞸊𞹇.

في المثال التالي، نتناول كيف يمكننا تطبيق هذه المعادلة بطريقة جبرية لإيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطة مُعطاة ونقطة تقاطع مستقيمين.

مثال ٥: إيجاد معادلة مستقيم يمر بتقاطع مستقيمين آخرين

ما معادلة المستقيم المار بالنقطة 󰏡(١،٣)، ونقطة تقاطع المستقيمين ٣𞸎𞸑+٥=٠، ٥𞸎+٢𞸑+٣=٠؟

  1. ٣٢𞸎+٧١𞸑+٧١=٠
  2. ٨𞸎+𞸑+٨=٠
  3. ٧١𞸎٢𞸑+٣٢=٠

الحل

نبدأ بتذكُّر أن نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يتلاقيان عندها.

يمكننا كتابة المعادلة العامة لمستقيم يمر بنقطة تقاطع المستقيمين 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠١١١، 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠٢٢٢ على الصورة: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢+𞸊󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒=٠،١١١٢٢٢ لأي 𞸊𞹇.

بالتعويض بالقيم 𞸀١، 𞸁١، 𞸢١ باعتبارها القيم الخاصة بالمستقيم ٣𞸎𞸑+٥=٠، والقيم 𞸀٢، 𞸁٢، 𞸢٢ الخاصة بالمستقيم ٥𞸎+٢𞸑+٣=٠، يصبح لدينا:

٣𞸎𞸑+٥+𞸊(٥𞸎+٢𞸑+٣)=٠.()٥

بما أن المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها (١،٣)، إذن يمكننا التعويض بـ 𞸎=١، 𞸑=٣ في المعادلة رقم (٥) السابقة. وهذا يُعطينا: ٣(١)٣+٥+𞸊[٥(١)+٢(٣)+٣]=٠١+٤𞸊=٠٤𞸊=١𞸊=١٤.

يمكننا الآن التعويض بـ 𞸊=١٤ في المعادلة رقم (٥). وهذا يُعطينا: ٣𞸎𞸑+٥+١٤(٥𞸎+٢𞸑+٣)=٠٣𞸎𞸑+٥+٥٤𞸎+٢٤𞸑+٣٤=٠٧١٤𞸎٢٤𞸑+٣٢٤=٠٧١𞸎٢𞸑+٣٢=٠.

إذن معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة 󰏡(١،٣) ونقطة تقاطع المستقيمين ٣𞸎𞸑+٥=٠، ٥𞸎+٢𞸑+٣=٠ هي: ٧١𞸎٢𞸑+٣٢=٠.

بطريقة بديلة، يمكننا إيجاد معادلة المستقيم باستخدام نقطتين مختلفتين على المستقيم. لذا، نستخدم نقطة التقاطع والنقطة 󰏡 لإيجاد معادلة المستقيم.

يمكننا إيجاد نقطة تقاطع ٣𞸎𞸑+٥=٠، ٥𞸎+٢𞸑+٣=٠ من خلال حل المعادلتين آنيًّا باستخدام طريقة الحذف. باستخدام طريقة الحذف، يمكننا ترقيم المعادلتين لدينا كالآتي:

٣𞸎𞸑+٥=٠،٥𞸎+٢𞸑+٣=٠.()()٦٧

لحذف المتغيِّر 𞸎 أو 𞸑، لا بد أن تكون قيمته المطلقة متساوية في كلٍّ من المعادلتين. نلاحظ أنه يمكننا ضرب المعادلة رقم (٦) في ٢، للحصول على نفس القيمة المطلقة ٢𞸑 في كل معادلة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

٦𞸎٢𞸑+٠١=٠،٥𞸎+٢𞸑+٣=٠.()()٨٩

نحذف 𞸑 بجمع المعادلتين (٨) و(٩) معًا:٠+٠١٢𞸑=٦𞸎+٠+٣+٢𞸑=٥𞸎٠+٣١=١١𞸎

بإعادة ترتيب ١١𞸎+٣١=٠ من خلال طرح ١٣ من طرفَي المعادلة ثم القسمة على ١١، نحصل على: ١١𞸎=٣١𞸎=٣١١١.

بذلك نكون قد أوجدنا الإحداثي 𞸎 لنقطة التقاطع؛ لذا، فإن التعويض بهذا في المعادلة رقم (٦) أو (٧) سيمكِّننا من إيجاد الإحداثي 𞸑. بالتعويض بـ 𞸎=٣١١١ في المعادلة رقم (٦)، ثم التبسيط، يصبح لدينا: ٣󰂔٣١١١󰂓𞸑+٥=٠٩٣١١𞸑+٥=٠٦١١١𞸑=٠𞸑=٦١١١.

هذا يُعطينا نقطة التقاطع: 󰂔٣١١١،٦١١١󰂓.

علينا الآن إيجاد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين 󰏡(١،٣)، 󰂔٣١١١،٦١١١󰂓.

نتذكَّر أن المستقيم الذي يحتوي على النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، وميله 𞸌، يُعطى باستخدام صيغة الميل ونقطة كالآتي: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒.١١

لاستخدام هذه الصيغة، علينا حساب الميل؛ أي 𞸌، لمستقيم يصل بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وهو يساوي: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

يمكننا القول إن النقطة 󰂔٣١١١،٦١١١󰂓 هي النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، والنقطة (١،٣) هي النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢. بالتعويض بذلك، نحصل على: 𞸌=٣١󰂔󰂓=٣١+=+==٧١٢.٦١١١٣١١١٦١١١٣١١١٣٣١١٦١١١١١١١٣١١١٧١١١٢١١

أصبح لدينا الآن ميل المستقيم، وهو ٧١٢، بالإضافة إلى نقطتين تقعان على المستقيم. نحتاج فقط إلى إحدى هاتين النقطتين لنتمكَّن من استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة المستقيم، بالإضافة إلى الميل.

إذن، بالتعويض بـ 󰏡(١،٣) عن النقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ والميل 𞸌=٧١٢ في المعادلة 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒١١، نحصل على: 𞸑٣=٧١٢(𞸎(١))𞸑٣=٧١٢(𞸎+١).

بتوزيع ٧١٢ على القوس في الطرف الأيسر، ثم إضافة ٣ إلى طرفَي المعادلة، نحصل على: 𞸑٣=٧١٢𞸎+٧١٢𞸑=٧١٢𞸎+٣٢٢.

وهذه معادلة صحيحة للمستقيم. لكن يمكننا أيضًا كتابة ذلك بالصورة العامة لمعادلة المستقيم؛ أي 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠؛ حيث 𞸀،𞸁𞸢𞹇،.

نضرب جميع الحدود في ٢، ثم نطرح ٢𞸑 من طرفَي المعادلة، وهو ما يُعطينا: ٢𞸑=٧١𞸎+٣٢٠=٧١𞸎٢𞸑+٣٢.

وهذا يؤكِّد الإجابة التي حصلنا عليها باستخدام الطريقة الأولى؛ حيث معادلة المستقيم هي: ٧١𞸎٢𞸑+٣٢=٠.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • نقطة التقاطع بين مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يلتقيان أو يتقاطعان عندها. إنها الزوج المرتَّب من قيمتَي 𞸎، 𞸑؛ حيث يلتقي المستقيمان على التمثيل البياني، وهي ما تحقِّق معادلتَي المستقيمين.
  • المستقيمات المختلفة المتوازية هي مستقيمات في المستوى تكون المسافة بينها متساوية دائمًا، وليس لها أي نقاط تقاطع.
  • يمكننا إيجاد تقاطع مستقيمين بيانيًّا أو جبريًّا. والطريقة الجبرية تُعطينا دائمًا ناتجًا دقيقًا.
  • لإيجاد نقطة التقاطع بين مستقيمين غير متوازيين باستخدام الطريقة الجبرية، نحل نظامًا مكوَّنًا من معادلتين. قيمتا الحل لـ 𞸎، 𞸑 تكوِّنان نقطة التقاطع (𞸎،𞸑).
  • المعادلة التي تمثِّل جميع الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة تقاطع المستقيمين 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠١١١، 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠٢٢٢ هي: 𞸌󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒+𞸋󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒=٠،١١١٢٢٢ حيث 𞸌،𞸋𞹇. عند 𞸌٠، 𞸋٠، لأي 𞸊𞹇، يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة التقاطع على الصورة: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢+𞸊󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢󰁒=٠.١١١٢٢٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.