شارح الدرس: نقطة تقاطع خطين مستقيمين على المستوى الإحداثي الرياضيات • الصف الأول الثانوي

مثال ١: إيجاد نقطة تقاطع مستقيم أفقي ومستقيم رأسي

عند أيِّ نقطة يتقاطع المستقيمان ، ؟

الحل

نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يتلاقى عندها المستقيمان. إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي رسم المستقيمين. نبدأ بتمثيل بيانيًّا. أيُّ معادلة تحتوي على المتغيِّر ولا تحتوي على المتغيِّر تكون معادلة مستقيم رأسي.

نتناول بعد ذلك التمثيل البياني لـ . قد يكون من المفيد إعادة ترتيب ذلك لعزل في طرف بمفرده. ومن ثَمَّ، بضرب طرفَي المعادلة في ٦، نحصل على:

أيُّ معادلة تحتوي على المتغيِّر فقط هي معادلة مستقيم أفقي. وبما أن ، إذن المستقيم الرأسي يمر بـ على المحور .

لإيجاد نقطة تقاطع المستقيمين ، ، نبحث عن النقطة التي يتقاطعان أو يلتقيان عندها. وبالنظر إلى التمثيل البياني، نجد أن نقطة التقاطع هي النقطة التي إحداثياتها:

مثال ٢: إيجاد نقطة تقاطع خطين مستقيمين

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين الممثَّلَيْن بالمعادلتَيْن ، .

الحل

نتذكَّر أن نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يتلاقى عندها المستقيمان. ولإيجاد نقطة التقاطع هذه، أو النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان، يمكننا استخدام الطريقة الجبرية أو البيانية.

تقع نقطة التقاطع على كلا المستقيمين؛ ومن ثَمَّ، لا بد أن تُحقِّق معادلتَيْهما. إذن يمكننا إيجاد نقطة التقاطع من خلال حل هاتين المعادلتين باعتبارهما معادلتين آنيتين، وإيجاد قيمتَي ، ؛ حيث هي نقطة التقاطع.

يمكننا كتابة المعادلتين لدينا:

لحل هاتين المعادلتين باستخدام طريقة التعويض، نُعيد ترتيب المعادلة الثانية؛ أي ، بإضافة إلى طرفَي المعادلة، لنحصل على:

بالتعويض بـ في المعادلة رقم (١)، ثم إعادة الترتيب، نحصل على:

يصبح لدينا الحل ، . ومن ثَمَّ، نقطة التقاطع هي:

بطريقة بديلة، أو للتحقُّق من صحة الطريقة الجبرية، نتناول التمثيل البياني لكلٍّ من المستقيمين.

عرفنا أن المستقيم يمكن إعادة ترتيب معادلته لتصبح على الصورة . ومن ثَمَّ، فإن المستقيم سيكون مستقيمًا أفقيًّا يمر بـ ١ على المحور .

يمكننا تمثيل المعادلة بإيجاد نقطتين على المستقيم. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور بالتعويض بـ ، وأيضًا إيجاد الجزء المقطوع من المحور بالتعويض بـ .

عند التعويض بـ في ، ثم التبسيط، نحصل على:

عند التعويض بـ ، ثم التبسيط، نحصل على:

عرفنا الآن أن المستقيم يمر بالنقطتين ، . قد يصعب قليلًا تمثيل أزواج إحداثية لا تحتوي على قيم صحيحة؛ مثل ؛ لذا، نفضِّل إيجاد زوج آخر من الإحداثيات على المستقيم .

عند التعويض بـ في ، ثم التبسيط، نحصل على:

وهذا يُعطينا زوجًا إحداثيًّا ثالثًا، وهو ، على المستقيم . يمكننا تمثيل هذه الأزواج الإحداثية الثلاثة ورسم هذا المستقيم مع التمثيل البياني لـ ، كما هو موضَّح.

إذن، بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا التأكُّد من صحة الحل الجبري المذكور سابقًا؛ حيث تقع نقطة التقاطع عند:

مثال ٣: إيجاد الصورة المتجهة لمستقيم يمر بنقطة تقاطع خطين مستقيمين آخرين

أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يوازي المحور ، ويمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين ، .

الحل

نتذكَّر أن نقطة تقاطع مستقيمين هي النقطة التي يلتقي أو يتقاطع عندها المستقيمان. ولإيجاد المعادلة المتجهة لمستقيم، علينا تحديد نقطة على المستقيم ومعرفة اتجاهه. بما أن المستقيم يوازي المحور ، فهو مستقيم رأسي، ومتجه اتجاهه هو . إذن علينا تحديد نقطة على المستقيم. وستكون هذه النقطة هي نقطة التقاطع.

يمكننا كتابة المستقيم الذي معادلته المتجهة هي في الصورة الكارتيزية. لأي نقطتين ، على النظام الإحداثي؛ حيث متجه الاتجاه هو ، وبالنسبة إلى أي كمية قياسية ، فإن:

ومن ثَمَّ، باعتبار أن ، يمكننا كتابة المعادلة في الصورة البارامترية كالآتي:

يمكننا بعد ذلك حذف بإعادة ترتيب كل معادلة بالأعلى لجعل المتغيِّر التابع. وهذا يُعطينا:

إذن يمكننا مساواة الطرف الأيمن من كل معادلة؛ بحيث يكون:

بإعادة الترتيب، يصبح لدينا:

يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب معادلة المستقيم لتصبح على الصورة ، كما يمكننا إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين على الصورة الكارتيزية باستخدام طريقة حل المعادلات الآنية:

يمكن إعادة ترتيب المعادلة الثانية لجعل المتغيِّر التابع على النحو الآتي:

نعوِّض بهذه القيمة في المعادلة رقم (٣)، لنحصل على:

يمكننا الآن التعويض بالقيمة في ، لنحصل على:

ومن ثَمَّ، نقطة تقاطع المستقيمين هي النقطة .

لدينا الآن متجه الاتجاه ، وهو متجه الوحدة ، ومتجه الموضع لنقطة التقاطع هو .

بكتابة هذه المعادلة على الصورة ؛ حيث هو أي مضاعف قياسي، يصبح لدينا:

مثال ٤: إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بنقطة تقاطع مستقيمين آخرين

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين اللذين معادلتاهما ، ، ويصنع زاوية قياسها مع الجزء الموجب من المحور .

الحل

نتذكَّر أن نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يلتقيان عندها. لدينا مُعطيات عن الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الجزء الموجب من المحور ، لكن علينا أيضًا إيجاد نقطة على هذا المستقيم لكتابة معادلته. وبما أن نقطة تقاطع المستقيمين الآخرين تقع على هذا المستقيم، إذن هذه هي أفضل نقطة يمكن اختيارها.

نبدأ بإيجاد تقاطع المستقيمين ، . عند نقطة التقاطع، تكون قيمتا ، متساويتين لكلتا المعادلتين. ويمكننا إيجاد هاتين القيمتين باستخدام طريقة التعويض.

نُعيد ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع، فيصبح لدينا:

يمكننا بعد ذلك التعويض بـ في المعادلة ، ثم إعادة ترتيبها، لنحصل على:

لإيجاد قيمة ، نعوِّض بـ في المعادلة المُعاد ترتيبها . وهذا يُعطينا:

إذن نقطة التقاطع؛ أي ، هي:

علينا إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقطة ، ويصنع زاوية قياسها مع الجزء الموجب من المحور . يمكننا رسم مستقيم يكوِّن زاوية قياسها مع المحور . وبما أن الزاوية موجبة، إذن يكون القياس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

لإيجاد ميل المستقيم، علينا حساب قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب من المحور . ويمكننا استخدام الزوايا التي تقع على المستقيم والزوايا المتناظرة الناتجة عن المستقيمات المتوازية والقواطع.

نتذكَّر أن مجموع قياسات الزوايا التي تقع على خط مستقيم يساوي . ومن ثَمَّ، فإن المستقيم يصنع زاوية قياسها مع الجزء الموجب من المحور ، وتُقاس في اتجاه دوران عقارب الساعة.

إذن يصنع المستقيم زاوية قياسها مع الجزء الموجب من المحور ، وتُقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.

إذا صنع المستقيم الزاوية مع الجزء الموجب من المحور ، فيكون ميله هو .

الميل؛ أي ، هو:

يمكننا استخدام صيغة الميل ونقطة للمستقيم لكتابة معادلة هذا المستقيم. وفي هذه الصيغة، معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ، وميله ، هي:

إذن المستقيم الذي يمر بالنقطة ، وميله ١، هو:

بإضافة إلى طرفَي هذه المعادلة، نحصل على:

وبضرب الحدود في ٢٩، نحصل على:

عند كتابة هذه المعادلة على الصورة ، نطرح و٩١ من طرفَي المعادلة، فنحصل على:

مثال ٥: إيجاد معادلة مستقيم يمر بتقاطع مستقيمين آخرين

ما معادلة المستقيم المار بالنقطة ، ونقطة تقاطع المستقيمين ، ؟

الحل

نبدأ بتذكُّر أن نقطة تقاطع مستقيمين مختلفين هي النقطة التي يتلاقيان عندها.

يمكننا كتابة المعادلة العامة لمستقيم يمر بنقطة تقاطع المستقيمين ، على الصورة: لأي .

بالتعويض بالقيم ، ، باعتبارها القيم الخاصة بالمستقيم ، والقيم ، ، الخاصة بالمستقيم ، يصبح لدينا:

بما أن المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ، إذن يمكننا التعويض بـ ، في المعادلة رقم (٥) السابقة. وهذا يُعطينا:

يمكننا الآن التعويض بـ في المعادلة رقم (٥). وهذا يُعطينا:

إذن معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ونقطة تقاطع المستقيمين ، هي:

بطريقة بديلة، يمكننا إيجاد معادلة المستقيم باستخدام نقطتين مختلفتين على المستقيم. لذا، نستخدم نقطة التقاطع والنقطة لإيجاد معادلة المستقيم.

يمكننا إيجاد نقطة تقاطع ، من خلال حل المعادلتين آنيًّا باستخدام طريقة الحذف. باستخدام طريقة الحذف. يمكننا ترقيم المعادلتين لدينا كالآتي:

لحذف المتغيِّر أو ، لا بد أن تكون قيمته المطلقة متساوية في كلٍّ من المعادلتين. نلاحظ أنه يمكننا ضرب المعادلة رقم (٦) في ٢، للحصول على نفس القيمة المطلقة في كل معادلة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

نحذف بجمع المعادلتين (٨) و(٩) معًا:

بإعادة ترتيب من خلال طرح ١٣ من طرفَي المعادلة ثم القسمة على ١١، نحصل على:

بذلك نكون قد أوجدنا الإحداثي لنقطة التقاطع؛ لذا، فإن التعويض بهذا في المعادلة رقم (٦) أو (٧) سيمكِّننا من إيجاد الإحداثي . بالتعويض بـ في المعادلة رقم (٦)، ثم التبسيط، يصبح لدينا:

هذا يُعطينا نقطة التقاطع:

علينا الآن إيجاد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، .

نتذكَّر أن المستقيم الذي يحتوي على النقطة ، وميله ، يُعطى باستخدام صيغة الميل ونقطة كالآتي:

لاستخدام هذه الصيغة، علينا حساب الميل؛ أي ، لمستقيم يصل بين النقطتين ، ، وهو يساوي:

يمكننا القول إن النقطة هي النقطة ، والنقطة هي النقطة . بالتعويض بذلك، نحصل على:

أصبح لدينا الآن ميل المستقيم، وهو ، بالإضافة إلى نقطتين تقعان على المستقيم. نحتاج فقط إلى إحدى هاتين النقطتين لنتمكَّن من استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة المستقيم، بالإضافة إلى الميل.

إذن، بالتعويض بـ عن النقطة والميل في المعادلة ، نحصل على:

بتوزيع على القوس في الطرف الأيسر، ثم إضافة ٣ إلى طرفَي المعادلة، نحصل على:

وهذه معادلة صحيحة للمستقيم. لكن يمكننا أيضًا كتابة ذلك بالصورة العامة لمعادلة المستقيم؛ أي ؛ حيث .

نضرب جميع الحدود في ٢، ثم نطرح من طرفَي المعادلة، وهو ما يُعطينا:

وهذا يؤكِّد الإجابة التي حصلنا عليها باستخدام الطريقة الأولى؛ حيث معادلة المستقيم هي: