في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُل التطبيقات الحياتية على المتتابعات والمتسلسلات الهندسية؛ حيث نُوجِد أساس المتتابعة (النسبة المشتركة)، وصيغة الحد الصريحة، ورتبة حد معيَّن وقيمته، ومجموع عدد معيَّن من الحدود.
نتناول متتابعة يمكن إيجاد كل حدٍّ فيها بضرب الحد السابق له في ثابت. على سبيل المثال، المتسلسلة .
نُسمِّي عامل الضرب الثابت هذا أساس المتتابعة أو النسبة المشتركة. هناك طريقة أخرى لوصف المتتابعة، وهي أن نقول إن كل حدٍّ في المتتابعة يساوي الحد السابق مضروبًا في أساس المتتابعة.
وهذا يُعرَف باسم المتتابعة الهندسية؛ ففي هذه الحالة، حد المتتابعة الأول يساوي ٢، وأساسها يساوي ٣. فإذا كانت المتتابعة التي لدينا تتكوَّن فقط من الحدود الستة السابقة (أو بالتأكيد أي عدد محدَّد من الحدود)، فإننا نُسمِّيها متتابعة هندسية منتهية؛ لأن بها عددًا منتهيًا من الحدود. وإذا اتبعت المتتابعة هذا النمط إلى ما لا نهاية، وكُتِبت باستخدام علامة الحذف (النقاط الثلاث) في النهاية، فسنُسمِّيها متتابعة هندسية غير منتهية.
تعريف: المتتابعة الهندسية
المتتابعة الهندسية هي متتابعة لها نسبة مشتركة ، تُسمَّى أساس المتتابعة، بين حدود متتالية. يُرمَز للحد الأول بـ أو ، والحد الثاني بـ ، والحد الثالث بـ ، وهكذا. ويُرمَز للحد بـ .
يمكن إيجاد كل حدٍّ عن طريق ضرب الحد السابق في أساس المتتابعة:
ويمكن التعبير عن هذا الحد بأنه الحد الأول مضروبًا في قوى الأساس: بحيث يكون الحد مُعرَّف بواسطة .
بالعودة إلى المتتابعة الهندسية الابتدائية السابقة، إذا عرفنا الأعداد الموجودة في المتتابعة، يمكننا حساب أساس المتتابعة أو النسبة المشتركة بقسمة قيمة حدٍّ واحد على قيمة الحد السابق. وبما أن النسبة تكون مشتركة بين جميع أزواج الحدود المتتالية، إذن لا يهم أي زوج نختار للعملية الحسابية.
تكون النسبة بين أول حدَّيْن هي ، وتكون النسبة بين ثاني حدَّيْن ، وهكذا.
تعريف: أساس المتتابعة الهندسية
بما أننا نضرب حدًّا واحدًا في أساس المتتابعة أو النسبة المشتركة للحصول على الحد التالي، إذن يمكننا التعبير عن ذلك بصفة عامة على الصورة: وبقسمة طرفَي المعادلة على ، نحصل على:
أو بدلًا من ذلك، في التعريف الذي يقول إن أي حدٍّ هو حاصل ضرب الحد السابق له في أساس المتتابعة، نجد أن:
مجموع الحدود في المتتابعة يُسمَّى متسلسلة. إذا كانت المتتابعة الهندسية ، فيمكن تمثيل المتسلسلة الهندسية المناظرة كالآتي:
في هذه الحالة، بجمع أول ١٠ حدود في المتسلسلة معًا، يمكننا أن نلاحظ أن مجموع هذه الحدود يساوي ٥٩ ٠٤٨.
ونستنتج الآن صيغة مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية.
افترض وجود متتابعة هندسية حدُّها الأول ، وأساسها . يمكن كتابة أول من الحدود على الصورة ؛ ومن ثَمَّ، يمكن كتابة مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية على النحو الآتي:
إذا ضربنا طرفَي المعادلة في ، يكون لدينا:
عندما نطرح الحدود في المعادلة (٢) من الحدود في المعادلة (١)، نحذف كل الحدود باستثناء الحدَّيْن ، :
إذن:
وتحليل من الطرف الأيمن، وتحليل من الطرف الأيسر، يمكِّنانا من تكوين معادلة لـ :
وبدلًا من ذلك، كان يمكننا طرح (١) من المعادلة (٢) للحصول على الصيغة:
تعريف: مجموع متتابعة هندسية منتهية
مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية، التي حدُّها الأول ، وأساسها ، يُرمَز له بواسطة :
بشكل عام، نستخدم الصيغة الأولى عندما يكون ، ونستخدم الصيغة الثانية عندما يكون .
إذا كان ، تكون جميع حدود المتتابعة الهندسية متشابهة؛ لذا، علينا فقط ضرب الحد الأول في عدد الحدود: .
نتناول الآن كيفية تطبيق بعض الصيغ المذكورة سابقًا لحل مسائل حياتية تتضمَّن متتابعات ومتسلسلات هندسية.
مثال ١: حل مسألة تطبيقية باستخدام متتابعات هندسية
انضمَّت أميرة إلى شركة براتب ابتدائي قدره ٢٨ ٠٠٠ دولار أمريكي. تتلقَّى زيادة في الراتب بنسبة بعد كل سنة تقضيها في العمل.
- الإجمالي الذي تحصل عليه أميرة خلال سنة يمثِّل متسلسلة هندسية. ما أساس المتسلسلة الهندسية؟
- اكتب صيغة لـ ، وهو المبلغ الإجمالي بفئة دولار أمريكي، الذي تحصل عليه أميرة في سنة في الشركة.
- بعد مرور ٢٠ سنة من العمل في الشركة، تركت أميرة العمل. استخدِم الصيغة لحساب المبلغ الإجمالي الذي حصلتْ عليه في الشركة.
- اشرح لماذا سيكون المبلغ الفعلي الذي حصلتْ عليه مختلفًا عن المبلغ المحسوب باستخدام الصيغة.
- أنفقتْ جزءًا من المال خلال ٢٠ سنة.
- قيمة الدولار الأمريكي تتغيَّر مع الوقت.
- عند اللزوم، سيُقرَّب الراتب السنوي الجديد.
- ستكون النسبة المئوية للمبلغ الفعلي مختلفة مقارنةً بالمبلغ المحسوب باستخدام الصيغة.
- ستكون القيمة الابتدائية للمبلغ الفعلي مختلفة مقارنةً بالمبلغ المحسوب باستخدام الصيغة.
الحل
ينقسم هذا السؤال إلى أربعة أجزاء، وسنتناول كل جزء منها على حدة.
الجزء الأول
أخبرنا السؤال أن أميرة تتقاضى راتبًا ابتدائيًّا قدره ٢٨ ٠٠٠ دولار أمريكي، وأنها تتلقَّى زيادة في الراتب بنسبة بعد كل سنة كاملة تقضيها في العمل. وهذه المعلومات كافية لتحديد أن المبلغ الذي تحصل عليه في سنة سيكون متسلسلة هندسية. يطلب الجزء الأول من هذا السؤال أن نحسب أساس هذه المتسلسلة أو النسبة المشتركة لهذه المتسلسلة.
عندما نتحدَّث عن النسبة لمتسلسلة هندسية، نعني النسبة المشتركة للمتتابعة الهندسية التي تكوِّن هذه المتسلسلة.
يمكن كتابة أي متتابعة هندسية على الصورة ؛ حيث هو الحد الأول، هي النسبة المشتركة أو أساس المتتابعة. يمكننا حساب الأساس أو النسبة المشتركة من خلال حساب خارج قسمة حدَّيْن متتاليين:
ونحن نعرف أنه في أول سنة ستحصل أميرة على ٢٨ ٠٠٠ دولار أمريكي. في ثاني سنة، ستكون قد تلقَّت زيادة في الراتب. يمكننا إذن حساب مبلغ المال الذي تحصل عليه أميرة في ثاني سنة عن طريق حساب من ٢٨ ٠٠٠ دولار أمريكي، ثم نجمع هذه القيمة.
هناك طريقة بديلة يمكن استخدامها، وهي طريقة عامل الضرب. بما أن راتب أميرة يزيد بنسبة ، إذن علينا ضرب الراتب في ١٫٠٢٥.
في ثاني سنة، ستحصل على .
وهذا يكفي لإيجاد أساس المتتابعة؛ حيث يمكننا ملاحظة أن الحد الأول ، وأساس المتتابعة .
ومع هذا، يمكننا متابعة هذا النمط لتوضيح مقدار المبلغ الذي تحصل عليه أميرة في ثالث سنة، ورابع سنة، وهكذا:
- …
وهذا يعني أنه في السنة رقم ن، ستحصل أميرة على ؛ حيث سيكون الأس أو القوة دائمًا أقل بمقدار ١ من عدد السنوات.
وهذا يرتبط بالمقدار العام للحد للمتتابعة الهندسية .
أساس المتتابعة هو ١٫٠٢٥.
الجزء الثاني
في الجزء الثاني من السؤال، علينا كتابة صيغة لـ ؛ أي المبلغ الإجمالي من فئة دولار أمريكي، الذي تحصل عليه أميرة في سنة في الشركة.
نحن نعلم أن مجموع من الحدود الأولى للمتسلسلة الهندسية، الذي يُرمَز له بـ ، يمكن إيجاده باستخدام الصيغة الآتية: .
بالتعويض بـ ، ، يكون لدينا:
الصيغة الخاصة بـ ؛ أي المبلغ الإجمالي من فئة دولار أمريكي الذي تحصل عليه أميرة في سنة في الشركة، هي .
الجزء الثالث
لكي نحسب مقدار المبلغ الذي ستحصل عليه أميرة بعد ٢٠ سنة في الشركة، علينا التعويض بـ في الإجابة السابقة:
عندما تترك أميرة الشركة بعد ٢٠ سنة تكون قد حصلت على ٧١٥ ٢٥٠٫٤١ دولارًا أمريكيًّا، لأقرب سنت أمريكي.
الجزء الرابع
يطلب الجزء الأخير من السؤال شرح لماذا سيكون المبلغ الفعلي الذي حصلت عليه مختلفًا عن المبلغ المحسوب باستخدام الصيغة؟ يوجد خمس إجابات محتملة لهذا الجزء من السؤال.
هذه جزئية مثيرة للاهتمام، وسنتناول كل خيار على حدة.
على الرغم من صحة أن أميرة من المحتمل أن تكون قد أنفقت جزءًا من المال في مدة ٢٠ سنة، فلن يؤثِّر هذا على مبلغ المال الذي حصلت عليه، بل سيؤثِّر فقط على المبلغ الذي يتبقَّى. ولذا، فإن الخيار (أ) ليس الإجابة الصحيحة.
صحيح أن قيمة الدولار الأمريكي قد تتغيَّر بمرور الوقت، ولكن، بما أن أميرة كانت تحصل على راتبها دائمًا بالدولار الأمريكي طوال هذه الفترة، إذن قيمة الدولار الأمريكي لن يكون لها أي تأثير على المبلغ الذي تحصل أميرة عليه. ومن ثَمَّ، الخيار (ب) غير صحيح أيضًا.
يمثِّل الخيار الثالث جزئية مثيرة للاهتمام، نتناولها بشكل منتظم في الرياضيات: متى نقرِّب الإجابات؟ عندما نستخدم الصيغة لحساب المبلغ الإجمالي الذي حصلت عليه أميرة، نستخدم القيم الفعلية للسنوات ١-٢٠، ونقرِّب الناتج في النهاية فقط. لكن في الواقع، سيكون الراتب مقرَّبًا في كل سنة. على سبيل المثال، في السنة الرابعة حصلت أميرة على . وسنقرِّب هذا لأقرب سنت أمريكي؛ لذا، حصلت أميرة بالفعل على ٣٠ ١٥٢٫٩٤ دولارًا أمريكيًّا. ونتيجة لذلك، عند جمع هاتين القيمتين المقرَّبتين، نحصل على قيمة مختلفة قليلًا عما نحصل عليه عند استخدام الصيغة. وهذا ينطبق على أي مسألة عند التعامل بالعملة؛ لأن هذه القيم يجب تقريبها إلى أقرب منزلتين عشريتين.
يُشير الخياران (د) و(هـ) إلى وجود نسبة مئوية مختلفة وقيمة ابتدائية مختلفة، ولكن لا تُعَد أي عبارة من هاتين العبارتين صحيحة؛ لأن النسبة المئوية للزيادة في الراتب تكون دائمًا ، ودائمًا ما يكون الراتب الابتدائي ٢٨ ٠٠٠ دولار أمريكي. ومن ثَمَّ، فإن كلتا الإجابتين خاطئتان.
المبلغ الفعلي الذي حصلت عليه أميرة سيختلف عن المبلغ المحسوب باستخدام الصيغة؛ لأن الراتب السنوي الجديد سيكون مقربًّا، إذا لزم الأمر. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).
مثال ٢: تمثيل مسألة حياتية باستخدام متتابعة هندسية واستخدامها لحل مسألة
منجم ذهب أنتج ٢ ٢٥٧ كجم في أول سنة، لكن الإنتاج انخفض بمُعدَّل سنويًّا. أوجد مقدار الذهب الناتج في ثالث سنة، وإجمالي الإنتاج في ٣ سنوات. قرِّب إجابتك لأقرب كجم.
الحل
علينا حساب مقدار الذهب الناتج في ثالث سنة، والمبلغ الإجمالي الناتج في جميع السنوات الثلاث. إحدى طرق فعل ذلك هي إيجاد هذه القيم مباشرةً من المعلومات المُعطاة في السؤال.
أخبرنا السؤال أن كمية الذهب المنتجة في أول سنة هي ٢ ٢٥٧ كجم.
في ثاني سنة يوجد انخفاض بمعدَّل . يمكننا حساب من ٢ ٢٥٧ كجم، ثم طرح هذه القيمة من ٢ ٢٥٧ كجم. أو بدلًا من ذلك، يمكننا ضرب ٢ ٢٥٧ كجم في ؛ لأن يمكن كتابته على صورة عدد عشري ٠٫١٤. وهذا يُعطينا عامل ضرب يساوي ٠٫٨٦.
لا تصلح هذه الطرق إلا عندما نحتاج إلى حساب عدد صغير من السنوات.
إذا أردنا الحساب على مدار مدة زمنية أطول، يمكننا الاستفادة من معرفتنا بالمتتابعات الهندسية. نحن نعلم أن أي متتابعة هندسية لها حد أول ، وأساس .
وتكوِّن كمية الذهب التي ينتجها المنجم مثل هذه المتتابعة؛ حيث ، . نحن نعلم أن أساس المتتابعة، ، يساوي ٠٫٨٦؛ فهذا هو الثابت الذي نضرب فيه كل حدٍّ لنحصل على الحد التالي.
ويمكننا حساب الحد العام للمتتابعة الهندسية، ، باستخدام الصيغة . بالتعويض بالقيم الموجودة، يكون لدينا:
ومرةً أخرى، نجد أن كمية الذهب المنتجة في ثالث سنة تساوي ١ ٦٦٩ كجم مقرَّبًا لأقرب كيلوجرام.
مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية، ، يمكن حسابه باستخدام الصيغة . بالتعويض بالقيم الموجودة، يكون لدينا:
إجمالي كمية الذهب المنتجة على مدار السنوات الثلاث يساوي ٥ ٨٦٧ كجم مقرَّبًا لأقرب كيلوجرام.
في المثال التالي، نتناول الموقف الذي يكون فيه مبلغ المال مستثمَرًا في حساب ادخار يكون فيه معدل الفائدة السنوية مركَّبًا شهريًّا.
مثال ٣: حل مسألة مالية تكون الفائدة فيها مركَّبة شهريًّا باستخدام المتتابعات الهندسية
يدَّخر كريم ٢٠ دولارًا أمريكيًّا كل شهر في حسابٍ مقدارُ الفائدة السنوية فيه يتراكم شهريًّا.
- ما المبلغ الذي يكون في حساب كريم بعد مرور ٤ سنوات من الادخار المنتظم؟ قرِّب إجابتك لأقرب سنت.
- إذا تراكمت الفائدة كلَّ ثلاثة أشهر، فما المبلغ الذي يكون في الحساب بعد مرور ٤ سنوات؟
الحل
ينقسم هذا السؤال إلى جزأين، ويمكن تمثيلهما باستخدام المتتابعات الهندسية.
الجزء الأول
أولًا، لدينا هنا حساب يُعطي معدل فائدة سنوية مركبة شهريًّا؛ ومن ثَمَّ، يمكن حساب المعدل الشهري بقسمة على ١٢:
إذن عامل الضرب سيساوي ؛ ومن ثَمَّ، أساس المتتابعة هو .
يدَّخر كريم ٢٠ دولارًا أمريكيًّا كل شهر، وبذلك يكون الحد الأول في المتتابعة الهندسية هو .
على مدار فترة السنوات الأربع، دفعة سداد شهرية، وهو ما يعني أن هناك ٤٨ حدًّا في المتتابعة الهندسية، إذن .
يمكن حساب مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية، ، باستخدام الصيغة . بالتعويض بالقيم الموجودة، يكون لدينا:
وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يمكننا استنتاج أنه يوجد ١ ٠٣٩ دولارًا أمريكيًّا في حساب كريم بعد ٤ سنوات.
الجزء الثاني
ثانيًا، لدينا حساب يُعطي معدل فائدة سنوية مركبة كل ثلاثة أشهر؛ ومن ثَمَّ، يمكن حساب المعدل ربع السنوي بقسمة على أربعة:
إذن عامل الضرب يساوي ؛ ومن ثَمَّ، يكون أساس المتتابعة الهندسية هو .
يدَّخر كريم ٢٠ دولارًا أمريكيًّا كل شهر؛ ومن ثَمَّ، ففي كل ثلاثة أشهر يكون قد ادخر ، إذن يكون الحد الأول في المتتابعة الهندسية هو .
على مدار فترة السنوات الأربع سيكون هناك ١٦ دفعة سداد ربع سنوية، وهو ما يعني أنه يوجد ١٦ حدًّا في المتتابعة الهندسية؛ ومن ثَمَّ .
ويمكن حساب مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية، ، باستخدام الصيغة . بالتعويض بالقيم الموجودة، يكون لدينا:
وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يمكننا استنتاج أنه يوجد ١ ٠٣٥ دولارًا أمريكيًّا في حساب كريم بعد ٤ سنوات.
ومن ثَمَّ، يمكننا استنتاج أنه إذا كانت الفائدة مركَّبة شهريًّا بدلًا من ربع سنوية، فسيحصل كريم إذن على فائدة أكبر بمرور السنوات الأربع.
في المثال الأخير، سنحل مسألة حياتية أخرى تتضمَّن متتابعات هندسية.
مثال ٤: حل مسألة فيزيائية تتضمَّن الحجم باستخدام المتتابعات الهندسية
خزان ماء به ١ ٧٧٨ لترًا. انخفض حجم الماء بداخله بمقدار ١٤، ٢٨، ٥٦ لترًا خلال ثلاثة أيام متتالية. إذا استمر انخفاض منسوب الماء داخل الخزَّان بنفس المُعدَّل، فما الزمن الذي يستغرقه الخزَّان ليُصبِح فارغًا؟
الحل
نلاحظ أن القيم تكوِّن متتابعة هندسية حدُّها الأول ، وأساسها . وللتحقُّق من ذلك، نقسم كل حدٍّ على الحد الذي يسبقه:
يمكن حساب مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية، ، باستخدام الصيغة .
وبما أن إجمالي حجم الماء في الخزان هو ١ ٧٧٨ لترًا، إذن ، ونريد حساب المدة الزمنية، ، بالأيام.
نعوِّض بالقيم التي لدينا:
نحن نعلم أن ١٢٨ هو من قوى العدد ٢؛ ومن ثَمَّ، فإن عدد صحيح.
في الواقع، يساوي ١٢٨؛ ومن ثَمَّ:
لاحظ أنه يمكن أيضًا حل ذلك باستخدام اللوغاريتمات، على الرغم من أن ذلك خارج نطاق هذا الشارح.
ومن ثَمَّ، يصبح خزان المياه فارغًا بعد ٧ أيام.
يمكننا التحقُّق من صحة هذه الإجابة بحساب كمية الماء في الخزان في نهاية كل يوم من خلال طرح كلٌّ على حدة.
نهاية اليوم الأول:
نهاية اليوم الثاني:
نهاية اليوم الثالث:
نهاية اليوم الرابع:
نهاية اليوم الخامس:
نهاية اليوم السادس:
نهاية اليوم السابع:
وهذا يؤكِّد أن خزان الماء سيصبح فارغًا بعد ٧ أيام.
ننهي هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- يتضمَّن الكثير من المسائل الحياتية المتتابعات والمتسلسلات الهندسية. ويمكن أن تساعدنا التعريفات الآتية في حل هذه المسائل.
- المتتابعة الهندسية المنتهية تكون على الصورة ؛ حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة، هو عدد الحدود في المتتابعة.
- الحد في المتتابعة الهندسية هو .
- الأساس أو النسبة المشتركة، ، للمتتابعة الهندسية التي يكون حدها هو يُعطى بواسطة أو .
- مجموع الحدود في المتتابعة يُسمَّى متسلسلة.
- مجموع من الحدود الأولى من المتتابعة الهندسية، التي حدها الأول ، وأساسها ، يُرمَز له بـ ؛ حيث:
