في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحُلُّ المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام.
تخيَّل سؤالًا يطلب منَّا حلَّ المعادلة التربيعية ، ثمَّة العديد من الطُّرق المختلفة التي يُمكننا استخدامها. على سبيل المثال، يُمكننا محاولة تحليل الدالة التربيعية من خلال النظر إلى أزواج عوامل العدد ٣ والبحث عن الزوج الذي مجموعه ٥. ولكن للعدد ٣ زوج عوامل واحد فقط، وهما العددان ١ و٣، ومجموعهما لا يساوي خمسة. ومن ثم، يُمكننا أن نلاحِظ على الفور أن هذا غير مُمكِن، على الأقلِّ فيما يتعلَّق بالقِيَم الصحيحة، وبدلًا من ذلك، يُمكننا تحليل هذه الدالة باستخدام طريقة إكمال المربع.
علينا أن نكتب التعبير التربيعي على الصورة . ويُمكننا أن نفعل ذلك بتنصيف معامل لنحصل على ، إذن . إذن يساوي ، ومن ثمَّ:
وعليه فإن:
وبالتعويض بهذا التعبير في المعادلة التي علينا حلُّها، نحصل على:
يُمكننا الآن حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة ، أولًا: نُضيف إلى كلا طرفي المعادلة لنحصل على:
ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، وسنحصل على جذرٍ موجب وجذرٍ سالب:
وأخيرًا: نطرح من كلا طرفي المعادلة، لنحصل على الجذرين:
يُمكننا تطبيق هذه العملية نفسها لإيجاد جذرَيْ أيِّ معادلة تربيعية؛ دعونا نفترض أن علينا حلَّ المعادلة ؛ حيث . أولًا: نقسم طرفي المعادلة على لنحصل على:
بعد ذلك، نُكمل المربع في الطرف الأيمن للمعادلة لنحصل على:
وعليه بعد توزيع الأُسِّ وإعادة الترتيب، تصبح المعادلة:
ثم نُعيد ترتيب المعادلة لنحصل على:
ونجمع الحدود في الطرف الأيسر من المعادلة بإعادة كتابة الحدود بمقام مُشترَك:
علينا بعد ذلك أن نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. وجدير بالذكر أن هذه الخطوة لا تكون صحيحة إلَّا إذا كان الطرف الأيسر من المعادلة غير سالب. ونجد جذرين جذرًا موجبًا وجذرًا سالبًا، وهذا يُعطينا:
بعد ذلك، نوزِّع الجذر على البسط والمقام، ثم نُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد ، وهذا يُعطينا:
وعليه، إذا كانت هاتان القيمتان موجودتين، فستكونان جذرَيِ المعادلة التربيعية بدلالة المعاملات ، ، . ويُمكننا تلخيص هذه النتيجة على النحو الآتي.
صيغة: القانون العام
جذور المعادلة التربيعية ، تُعطَى من خلال:
يُمكننا استخدام هذه الصيغة لحلِّ المعادلات التربيعية من دون التحليل أو إكمال المربع، وكلُّ ما علينا فعله هو التعويض بقِيَم المعاملات في الصيغة. وهذا يُتيح لنا أن نحلَّ بسهولة بعض المعادلات التربيعية التي كان من الصعب حلُّها سابقًا؛ لأنه لم يكن من السهل تحليل المعادلة التربيعية.
وهذا يُعطينا العملية الآتية التي يُمكن استخدامها في حلِّ المعادلات التربيعية.
خطوات: حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام
- علينا أن نتأكَّد أولًا من أن المعادلة على الصورة ؛ حيث لا يساوي صفرًا. وقد نحتاج إلى توزيع الأقواس أو إعادة ترتيب الحدود لنحصل على هذه الصورة. من المفيد عادة كتابة الحدود في المعادلة المُعطاة بنفس ترتيب المعادلة ؛ بحيث يكون ، ، والحدود الثابتة بهذا الترتيب. ومن شأن كتابة المعادلة بهذه الصورة أن يُفيدنا في التأكُّد من أننا نَستخدِم قِيَم ، ، الصحيحة. وتُفيد أيضًا كتابة القِيَم التي لدينا، ، ، ؛ بحيث يُمكن الرجوع إليها عند التعويض.
- بعد ذلك، علينا كتابة القانون العام بالكامل. وسيُساعِدنا هذا في تجنُّب الأخطاء، والتأكُّد من تطبيق القِيَم الموجبة والسالبة على نحو صحيح طوال خطوات الحلِّ.
- ثم نعوِّض بقِيَم ، ، في القانون العام. من المُهِمِّ كتابة أيِّ أعداد سالبة يُعوَّض بها بين قوسين، حيث إن هذا سيُساعِد في الحفاظ على دقَّة القِيَم الموجبة والسالبة أثناء اتِّباعنا لخطوات الحلِّ.
- وأخيرًا: سنحصل على قيمتين (قيمة واحدة لكلِّ عملية من عمليتَيْ )، وهاتان القيمتان حلَّان للمعادلة.
دعونا نتناول بعض الأمثلة على كيفية تطبيق القانون العام لحلِّ بعض المعادلات.
مثال ١: إيجاد حلول معادلة تربيعية
أوجد مجموعة حلِّ المعادلة ، مقرِّبًا القِيَم لأقرب منزلتين عشريتين.
الحل
يطلب منَّا السؤال حلَّ معادلة تربيعية. وإذا حاولنا حلَّ هذه المعادلة عن طريق التحليل، فسنحتاج إلى عددين حاصل ضربهما ١ ومجموعهما ، ولكن يصعب إيجاد هذين العددين. ثمَّة أمرٌ آخَر يجدر بنا ذكره، وهو أن السؤال يطلب تقريب الجذرين لأقرب منزلتين عشريتين، وهذا يُشير إلى أن الجذرين قد يصعب إيجادهما تحديدًا. في كلتا الحالتين، علينا أن نَستنتج أن القانون العام طريقة جيدة لتجربتها.
لعلنا نتذكَّر أن القانون العام يُخبرنا بأن جذري المعادلة التربيعية يُعطَيان من خلال: بشرط أن يكون .
وأن قِيَم ، ، معاملات التعبير التربيعي؛ حيث ، ، . بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة وتبسيطها، نحصل على:
وهذا يُعطينا تعبيرًا لكلِّ جذر (تعبيرًا واحدًا لكلِّ عملية من عمليتَيْ و). لدينا ، باعتبارهما الجذرين، ويُمكننا إيجاد قيمتَيْهما لأقرب منزلتين عشريتين، لنحصل على ، .
وأخيرًا: نلاحِظ أن مجموعة حلِّ معادلة هي المجموعة المكوَّنة من جميع حلول المعادلة، وعليه نريد المجموعة التي تتضمَّن جميع الجذور مقرَّبة لأقرب منزلتين عشريتين، وهي .
مثال ٢: حلُّ معادلة باستخدام القانون العام
حُلَّ المعادلة .
الحل
يطلب منَّا السؤال حلَّ معادلة تربيعية، إذا حاولنا حلَّها بالتحليل، فسنحتاج إلى عددين حاصل ضربهما ١ ومجموعهما ٧، ولكن يصعب إيجاد مثل هذين العددين. بدلًا من ذلك، سنطبِّق القانون العام، الذي نتذكَّر أنه يُخبرنا بأن جذري المعادلة التربيعية يُعطَيان من خلال:
أمامنا خياران، يُمكننا تطبيق القانون العام على هذه المعادلة التربيعية مباشرة، أو يُمكننا إعادة ترتيب المعادلة لنحصل على الصورة القياسية أولًا عن طريق ضرب كلا طرفي المعادلة في . وهذا سيُعطينا:
وعليه فإن ، ، . بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة وتبسيطها، نحصل على:
إذن الجذران هما ، . وعليه فإن مجموعة حلول هذه المعادلة هي .
في الأمثلة الآتية، سنرى أنه قد يكون علينا إعادة ترتيب المعادلة المُعطاة وتحويلها إلى معادلة تربيعية مكتوبة بالصورة الصحيحة قبل تطبيق القانون العام.
مثال ٣: حلُّ المعادلات التربيعية
أوجد مجموعة حلِّ المعادلة ، مقرِّبًا الناتج لأقرب منزلة عشرية.
الحل
لا يُمكننا حلُّ هذه المعادلة في صورتها الحالية؛ لذا سنبدأ بتوزيع الأقواس والتبسيط:
وبجمع الحدود المتشابهة نحصل على:
أصبح لدينا معادلة تربيعية، ولكن لا يُمكننا تحليل هذه المعادلة بسهولة؛ لذا سنَستخدِم القانون العام. لعلَّنا نتذكَّر أن القانون العام يُخبرنا بأن جذري المعادلة التربيعية يُعطَيان من خلال:
في هذه المعادلة التربيعية، ، ، . بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة وتبسيطها، نحصل على:
وعليه فإن جذري المعادلة التربيعية هما ، . ويُمكننا إيجاد قيمتَيْ هذين التعبيرين مقرَّبتين لأقرب منزلة عشرية لنحصل على ، .
وأخيرًا: نلاحِظ أن مجموعة حلِّ معادلة هي المجموعة المكوَّنة من جميع حلول هذه المعادلة، وعليه نريد المجموعة التي تتضمَّن جميع الجذور مقرَّبة لأقرب منزلة عشرية، وهي .
مثال ٤: إعادة ترتيب معادلة لاستخدام القانون العام
أوجد مجموعة حلِّ المعادلة ، مقرِّبًا القِيَم لأقرب ثلاث منازل عشرية.
الحل
لا يُمكننا حلُّ المعادلة بصورتها الحالية؛ لذا علينا إعادة ترتيب المعادلة لتصبح في صورة يُمكننا حلُّها. لفعل ذلك، علينا أولًا ضرب طرفي المعادلة في لإزالة المقامات في المعادلة.
وقبل أن نفعل ذلك، علينا أن نُدرك أن ضرب طرفي المعادلة في متغيِّر يُمكن أن يقدِّم حلولًا إضافية. وعلى وجه التحديد، يُمكننا تقديم الحلِّ ، بما أن طرفي المعادلة يتضمَّنان العامل . ولكننا نعلم بالفعل أن بما أننا نقسم على في المعادلة، وعليه يُمكننا تجاهل هذا الحلِّ إذا ما توصَّلنا إليه.
بضرب طرفي المعادلة في ، نحصل على:
وبعد ذلك، نحذف العوامل المُشترَكة في الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على:
وأخيرًا: نُعيد ترتيب هذه المعادلة لنحصل على المعادلة التربيعية الآتية:
ومن ثم، أصبح لدينا معادلة تربيعية لا يُمكننا حلُّها بسهولة باستخدام التحليل؛ لذا سنَستخدِم القانون العام.
لعلَّنا نتذكَّر أن القانون العام يُخبرنا بأن جذري المعادلة التربيعية يُعطَيان من خلال:
في هذه المعادلة التربيعية، لدينا ، ، . بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة وتبسيطها، نحصل على:
وهذا يُعطينا جذرين: ، . وبالتقريب لأقرب ثلاث منازل عشرية، نجد هذين الجذرين يساويان ، .
وأخيرًا: نلاحِظ أن مجموعة حلِّ معادلة هي المجموعة المكوَّنة من جميع حلول المعادلة، وعليه نريد المجموعة التي تتضمَّن جميع الجذور مقرَّبة لأقرب ثلاث منازل عشرية، وهي .
في المثالين الأخيرين، سنَستخدِم الخواصَّ المُعطاة للمعادلات التربيعية والقانون العام لتحديد قيمة مجهول.
مثال ٥: إيجاد قيمة مجهول في معادلة تربيعية باستخدام أحد جذرَيْها
إذا كان أحد جذرَيِ المعادلة ، فما مجموعة قِيَم المُمكِنة.
الحل
أول ما نلاحِظه هو أن لدينا معادلة تربيعية في المتغيِّر . لتحديد قيمة ، قد نفكِّر في تطبيق القانون العام على هذه المعادلة مباشرة، ولكن ثمَّة طريقة أسهل، وهي أن نَستخدِم أولًا حقيقة أن جذر لهذه المعادلة.
وبما أن جذر، فإنه يحقِّق المعادلة؛ ومن ثم، يُمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة لنحصل على:
وبإجراء التوزيع والتبسيط، نحصل على:
إذن أصبح لدينا معادلة تربيعية بدلالة ؛ ومن ثم، يُمكننا الحلُّ لإيجاد قيمة من خلال تطبيق القانون العام. تتضمَّن المعادلة حلولًا مُعطاة من خلال:
في هذه المعادلة التربيعية، لدينا ، ، . وبالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة وتبسيطها، نحصل على:
ويُمكننا إجراء المزيد من التبسيط من خلال تبسيط الجذر:
وهذا يُعطينا قيمتين محتملتين لـ ، إمَّا ، وإمَّا . إذن مجموعة قِيَم المُمكِنة هي .
في المثال الأخير، سنَستخدِم مرَّة أخرى أحد جذرَيِ المعادلة لإيجاد قيمة مجهول في معادلة تربيعية ومجموعة الحلِّ الكاملة.
مثال ٦: إيجاد قيمة مجهول في معادلة تربيعية باستخدام العلاقة بين معاملاتها وجذرَيْها
مجموع جذرَيِ المعادلة هو . أوجد قيمة ، ومجموعة حلِّ المعادلة.
الحل
ثمَّة عدَّة طُرق يُمكننا استخدامها لتحديد قيمة ، وسنَستخدِم هنا القانون العام. أولًا: بما أننا نعلم من مُعطَيات السؤال أن المعادلة لها جذران، فإننا نعلم أنه يُمكننا تطبيق القانون العام، الذي يُخبرنا بأن جذرَيِ المعادلة سيكونان . في هذه المعادلة التربيعية، لدينا ، ، . وبالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة وتبسيطها، نحصل على:
إذن أصبح لدينا الجذران ، . وعليه يُعطَى مجموع هذين الجذرين من خلال:
وبما أن مجموع الجذرين يساوي ، فلا بدَّ أن نحصل على:
يُمكننا التعويض بـ مرَّة أخرى في المعادلة الأصلية، ولكننا أوجدنا بالفعل تعبيرًا لإيجاد الجذرين: . وبالتعويض بـ في التعبير وتبسيطه، نحصل على:
ومن ثم، الجذران هما ، .
وعليه فإن قيمة تساوي ٤، ومجموعة حلِّ المعادلة هي .
في المثال السابق، أوضحنا أن مجموع جذرَيْ معادلة تربيعية يساوي سالب خارج قسمة معاملَيْ ، . وجدير بالذكر أن النتيجة المُشابِهة تتحقَّق بوجهٍ عامٍّ؛ فبما أن الجذرين هما ، إذن يُعطَى مجموع الجذرين من خلال:
وعليه فإن مجموع الجذرين يساوي دائمًا سالب خارج قسمة معاملَيْ ، .
دعونا نختم بإلْقاء نظرة على بعض النقاط المُهِمَّة التي وردت في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- إذا كان لدينا معادلة تربيعية في الصورة ؛ حيث ، ، ثوابت، وكان ، يُمكننا استخدام القانون العام، لإيجاد قيمة .
- يُمكن استخدام القانون العام مع الدوال التربيعية التي يصعب تحليلها.
- يُمكننا تطبيق القانون العام على الدوال التربيعية بدلالة أيِّ متغيِّر.
