شارح الدرس: العمليات على الأعداد المركَّبة في الصورة القطبية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُجرِي العمليات الحسابية على الأعداد المُركَّبة في الصورة القطبية.

تعريف الصورة القطبية لعدد مُركَّب

عندما يُكتَب العدد المُركَّب 𞸏 على الصورة: 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)،

حيث المقياس |𞸏|=𞸓، والسعة هي 𞸏=𝜃، يُقال: إنه مكتوب على الصورة القطبية. يُطلَق على هذه الصورة أيضًا الصورة المثلثية أو صورة المقياس-السعة.

يُعَدُّ التحويل من الصورة الجبرية (󰏡+𞸕𞸁) إلى الصورة القطبية للأعداد المُركَّبة أمرًا مفيدًا جدًّا. في هذا الشارح، سوف نكتشف كيف يُمكِن أن يُبسِّط التحويل إلى الصورة القطبية عملياتٍ حسابيةً مُعيَّنة تتضمَّن أعدادًا مُركَّبة. فيما يلي مُلخَّص لكيفية تحويل عدد مُركَّب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية.

كيفية تحويل عدد مُركَّب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية

لتحويل عدد مُركَّب من الصورة الجبرية، 𞸏=󰏡+𞸁𞸕، إلى الصورة القطبية، اتَّبِع الخطوات الآتية:

  1. أوجد المقياس، |𞸏|، للعدد المُركَّب باستخدام الصيغة |𞸏|=󰋴󰏡+𞸁٢٢.
  2. أوجد السعة، 𞸏، للعدد المُركَّب. إذا كان 𞸏 يقع في الربع الأول أو الرابع من مُخطَّط أرجاند؛ أي إن (󰏡>٠)، يُمكِننا ببساطة أن نستخدم الدالة العكسية للظل، وأن نحسب: 𞸏=󰃁𞸁󰏡󰃀.١
    ولكن إذا كان العدد المُركَّب يقع في الربع الثاني؛ أي إن (󰏡<٠، 𞸁>٠)، فعلينا إضافة 𝜋 إلى القيمة التي نحصل عليها باستخدام الدالة العكسية للظل. إذن: 𞸏=󰃁𞸁󰏡󰃀+𝜋،١
    إذا كان العدد المُركَّب يقع في الربع الثالث؛ أي إن (󰏡<٠، 𞸁<٠)، فعلينا طرح 𝜋 من القيمة الموجودة لدينا باستخدام الدالة العكسية للظل. إذن: 𞸏=󰃁𞸁󰏡󰃀𝜋.١
    أخيرًا، إذا كان العدد المُركَّب تخيليًّا بحتًا؛ أي إن (󰏡=٠)، فإن 𞸏=𝜋٢ إذا كان 𞸁>٠، 𞸏=𝜋٢ إذا كان 𞸁<٠. لاحِظْ أنه عندما يكون 󰏡=𞸁=٠، تكون السعة غير محددة.
  3. اكتب العدد بالصورة القطبية: 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)،
    حيث 𞸓=|𞸏| ،𝜃=𞸏.

سنفترض في هذا الشارح أنك بارع بشكل عام في تحويل الأعداد المُركَّبة من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية، والعكس.

لماذا يكون التعامل مع الأعداد المُركَّبة على الصورة القطبية أمرًا مفيدًا؟ ستوضِّح القاعدة التالية التي تتحدَّث عن حاصل ضرب عددين مُركَّبين على الصورة القطبية مدى بساطة عملية الضرب عندما نستخدم الصورة القطبية.

حاصل ضرب عددين مُركَّبين على الصورة القطبية

بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، حاصل ضربهما: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

لإثبات هذه القاعدة، نبدأ بحاصل ضرب العددين 𞸏١، 𞸏٢ المكتوبين بالصورة: 𞸏𞸏=󰁓𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁒󰁓𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁒=𞸓𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒.١٢١١١٢٢٢١٢١١٢٢

بفك القوسين، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃󰁒.١٢١٢١٢١٢٢١٢١٢

باستخدام 𞸕=١٢، وتجميع الحدود المتشابهة معًا، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢١٢٢١

باستخدام المتطابقات المثلثية للجمع والطرح: (󰏡±𞸁)=󰏡𞸁±󰏡𞸁،(󰏡±𞸁)=󰏡𞸁󰏡𞸁،

يُمكِننا إعادة كتابة المعادلة لتكون: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

هذه الصيغة هي نفس الصيغة التي تنُصُّ على أنه بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏١، 𞸏٢: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰁓𞸏𞸏󰁒=󰁓𞸏󰁒+󰁓𞸏󰁒.١٢١٢١٢١٢

أي لضرب عددين مُركَّبين، عليك ضرب المقياسين وجمع السعتين.

سنتناول الآن بضعة أمثلة لنُطبِّق هذه القاعدة.

مثال ١: ضرب عددين مُركَّبين على الصورة القطبية

إذا كان 𞸏=٢󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓١، 𞸏=١󰋴٣󰂔𝜋٣+𞸕𝜋٣󰂓٢، فأوجد 𞸏𞸏١٢.

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى أيِّ عددين مُركَّبين 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، حاصل ضربهما يساوي: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

بالنسبة إلى العددين المعطيين في المسألة، لدينا 𞸓=٢١، 𝜃=𝜋٦١، 𞸓=١󰋴٣٢، 𝜃=𝜋٣٢. بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة، نحصل على: 𞸏𞸏=٢󰋴٣󰂔󰂔𝜋٦+𝜋٣󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+𝜋٣󰂓󰂓.١٢

بإنطاق المقام وتبسيطه، نحصل على: 𞸏𞸏=٢󰋴٣٣󰂔𝜋٢+𞸕𝜋٢󰂓.١٢

علاوةً على ذلك، يُمكِن لقاعدة ضرب عددين مُركَّبين على الصورة القطبية أن تُساعِدنا في حل بعض العمليات الحسابية بطريقة مُبسَّطة كما سيتَّضح في المثال الآتي.

مثال ٢: ضرب عددين مُركَّبين على الصورة القطبية

إذا كان 𞹏=٧󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١، 𞹏=٦١󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢، 𝜃+𝜃=𝜋١٢، فما قيمة 𞹏𞹏١٢؟

الحل

تذكَّر أنه لضرب عددين مُركَّبين، عليك ضرب المقياسين وجمع السعتين. لذا، فإن حاصل الضرب 𞹏𞹏١٢ سعته هي 𝜃+𝜃١٢، والمذكور في المسألة أنها تساوي 𝜋. إذن حاصل الضرب 𞹏𞹏١٢ هو عدد حقيقي سالب. ثانيًا، مقياس 𞹏𞹏١٢ سيساوي حاصل ضرب مقياسَي العددين 𞹏١، 𞹏٢؛ حيث: 󰍸𞹏𞹏󰍸=󰍸𞹏󰍸󰍸𞹏󰍸.١٢١٢

بما أن العددين 𞹏١، 𞹏٢ مُعطيان لنا على الصورة القطبية؛ إذن يُمكِننا قراءة مقياسَيْهما ببساطة على صورة 󰍸𞹏󰍸=٧١، 󰍸𞹏󰍸=٦١٢. بِناءً على ذلك، 󰍸𞹏󰍸󰍸𞹏󰍸=٢١١١٢. إذن: 𞹏𞹏=٢١١،١٢

وهو ما يُمكِننا أيضًا كتابته على الصورة القطبية هكذا: 𞹏𞹏=٢١١(𝜋+𞸕𝜋)١٢.

سنتناول الآن القسمة، وكيف نُوجِد خارج قسمة عددين مُركَّبين على الصورة القطبية. تذكَّر أنه لإيجاد خارج قسمة عددين مُركَّبين، علينا أن نضرب البسط والمقام في مُرافِق المقام، ثم نفك الأقواس في البسط والمقام، ثم نُبسِّطهما. توضِّح القاعدة التالية أنه عندما نتعامل مع الأعداد المُركَّبة على الصورة القطبية، تكون القسمة مُبسَّطة تبسيطًا كبيرًا.

خارج قسمة عددين مُركَّبين على الصورة القطبية

بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يكون خارج قسمتهما: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

لإثبات هذه القاعدة، نبدأ بخارج قسمة العددين 𞸏١، 𞸏٢ المكتوبين بالصورة: 𞸏𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒=𞸓𞸓󰃁𝜃+𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃󰃀.١٢١١١٢٢٢١٢١١٢٢

بضرب البسط والمقام في مُرافِق المقام، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰃭󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃𞸕𝜃󰁒󰃬.١٢١٢١١٢٢٢٢٢٢

بفك الأقواس في البسط والمقام، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰃁𝜃𝜃𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃𞸕𝜃𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃𞸕𝜃𝜃𞸕𝜃󰃀.١٢١٢١٢١٢١٢٢١٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

باستخدام 𞸕=١٢، وتجميع الحدود المتشابهة، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰃭󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒𝜃+𝜃󰃬.١٢١٢١٢١٢١٢١٢٢٢٢٢

بما أن ٢٢𝜃+𝜃=١؛ إذن يُمكِننا إعادة كتابة هذه المعادلة لتكون: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢١٢١٢

باستخدام المتطابقات المثلثية للجمع والطرح: (󰏡±𞸁)=󰏡𞸁±󰏡𞸁،(󰏡±𞸁)=󰏡𞸁󰏡𞸁،

يُمكِننا إعادة كتابة المعادلة بالصورة: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

هذه الصيغة هي نفس الصيغة التي تنُصُّ على أنه بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏١، 𞸏٢: 󰍾𞸏𞸏󰍾=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰃁𞸏𞸏󰃀=󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒.١٢١٢١٢١٢

أي لقسمة عددين مُركَّبين، عليك قسمة المقياسين وطرح السعتين.

باستخدام هذه القاعدة، يُمكِننا ببساطة أن نُوجِد خارج قسمة عددين مُركَّبين، كما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٣: قسمة عددين مُركَّبين على الصورة القطبية

إذا كان 𞸏=٠٢󰂔𝜋٢+𞸕𝜋٢󰂓١، 𞸏=٤󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓٢، فأوجد 𞸏𞸏١٢ على الصورة القطبية.

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، خارج قسمتهما يساوي: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

بالنسبة إلى العددين المعطيين لنا في المسألة، لدينا 𞸓=٠٢١، 𝜃=𝜋٢١، 𞸓=٤٢، 𝜃=𝜋٦٢. بالتعويض بهذه القِيَم في الصيغة، نحصل على: 𞸏𞸏=٠٢٤󰂔󰂔𝜋٢𝜋٦󰂓+𞸕󰂔𝜋٢𝜋٦󰂓󰂓.١٢

بالتبسيط، نحصل على: 𞸏𞸏=٥󰂔𝜋٣+𞸕𝜋٣󰂓.١٢

يُمكِننا أيضًا استخدام قواعد القسمة لإيجاد الصورة العامة لمقلوب عدد مُركَّب، كما سيوضِّح المثال الآتي.

مثال ٤: مقلوب عدد مُركَّب على الصورة القطبية

إذا كان 𞸏=٧𝜋٦+𞸕٧𝜋٦، فأوجد ١𞸏.

الحل

تذكَّر أنه بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸅=𞸊(𝜙+𞸕𝜙)، 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)، خارج قسمتهما يساوي: 𞸅𞸏=𞸊𞸓((𝜙𝜃)+𞸕(𝜙𝜃)).

في حالة المقلوب، 𞸏=١١، ومقياسه يساوي ١، وسعته تساوي ٠. بالتعويض بهذه القِيَم في المعادلة، نحصل على: ١𞸏=١𞸓((𝜃)+𞸕(𝜃)).

بالنسبة إلى العدد المُعطَى لنا في المسألة، 𞸓=١، 𝜃=٧𝜋٦. إذن: ١𞸏=󰂔٧𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٧𝜋٦󰂓.

هذه هي الصورة المنطقية للإجابة. لكننا نُفضِّل غالبًا استخدام السعة الأساسية، وبما أن ٧𝜋٦]𝜋،𝜋]؛ إذن يُمكِننا تحويل ذلك إلى السعة الأساسية من خلال إضافة ٢𝜋. إذن: ١𞸏=󰂔٥𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٦󰂓.

مثال ٥: قسمة عددين مُركَّبين على الصورة القطبية

إذا كان 𞹏=٥(٥𝜃+𞸕٥𝜃)١، 𞹏=٤𝜃+𞸕٤𝜃٢، 𝜃=٤٣، 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂖، فأوجد 𞹏𞹏١٢.

الحل

لقسمة عددين مُركَّبين، عليك قسمة المقياسين وطرح السعتين. بما أن العددين المعطيين لدينا على الصورة القطبية؛ إذن يُمكِننا ببساطة قراءة مقياسَيْهما هكذا: 󰍸𞹏󰍸=٥١، 󰍸𞹏󰍸=١٢. إذن: 󰍾𞸏𞸏󰍾=٥.١٢

بالمثل، يُمكِننا قراءة سعتَيْهما هكذا: 󰁓𞹏󰁒=٥𝜃١، و󰁓𞹏󰁒=٤𝜃٢. بِناءً على ذلك: 󰃁𞸏𞸏󰃀=٥𝜃٤𝜃=𝜃.١٢

إذن: 𞸏𞸏=٥(𝜃+𞸕𝜃).١٢

لكننا نعلم أيضًا أن 𝜃=٤٣. بِناءً على هذه الحقيقة، يُمكِننا إيجاد نسبتَي الجيب وجيب التمام. نبدأ برسم مثلث يحتوي على زاوية ثيتا؛ حيث طول الضلع المُقابِل لها يساوي أربعة، وطول الضلع المُجاوِر لها يساوي ثلاثة. باستخدام نظرية فيثاغورس، يُمكِننا تحديد طول الوتر الذي يساوي خمسة.

باستخدام هذا المثلث، نجد أن: 𝜃=٤٥،𝜃=٣٥.

بالتعويض بهذه القِيَم في المعادلة، نحصل على: 𞸏𞸏=٥󰂔٣٥+٤٥𞸕󰂓=٣+٤𞸕.١٢

سيوضِّح المثال الأخير كيف يُمكِننا استخدام صيغة حاصل ضرب عددين مُركَّبين على الصورة القطبية لإيجاد صِيَغ لقوى الأعداد المُركَّبة.

مثال ٦: قوى الأعداد المُركَّبة على الصورة القطبية

انظر العدد المُركَّب 𞸏=١+𞸕󰋴٣.

  1. أوجد مقياس 𞸏.
  2. أوجد سعة 𞸏.
  3. من ثم، استخدم خواص ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية لإيجاد مقياس وسعة العدد 𞸏٣.
  4. من ثم، أوجد قيمة 𞸏٣.

الحل

الجزء الأول

باستخدام تعريف مقياس العدد المُركَّب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕؛ حيث: |𞸏|=󰋴󰏡+𞸁،٢٢

يُمكِننا أن نحسب: |𞸏|=󰋴١+٣=󰋴٤=٢.

الجزء الثاني

لحساب السعة، علينا أن نُفكِّر أولًا في أيِّ ربع يقع العدد المُركَّب. بما أن جزأَيْهِ الحقيقي والتخيلي موجبان، فإنه يقع في الربع الأول، ويُمكِننا حساب سعته عن طريق إيجاد قيمة الدالة العكسية للظل كما يأتي: (𞸏)=󰃁𞸁󰏡󰃀=󰂔󰋴٣󰂓=𝜋٣.١١

الجزء الثالث

تذكَّر أنه بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يكون حاصل ضربهما: 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

إذا كان 𞸏=𞸏=𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃)١٢، يُمكِننا إعادة كتابة المعادلة على صورة: 𞸏=𞸓((٢𝜃)+𞸕(٢𝜃)).٢٢

بإجراء عملية الضرب مرة أخرى في العدد 𞸏، واستخدام الخواص نفسها، نحصل على: 𞸏=𞸓((٣𝜃)+𞸕(٣𝜃))٣٣

الذي يساوي مقياسه 𞸓٣، وتساوي سعته ٣𝜃. إذن بالنسبة إلى العدد 𞸏 المُعطَى لنا، مقياس 𞸏٣ سيساوي ٢=٨٣، وسعته ستساوي 󰁓𞸏󰁒=٣×𝜋٣=𝜋٣.

الجزء الرابع

من ذلك، يُمكِننا كتابة 𞸏٣ على الصورة القطبية هكذا: 𞸏=٨(𝜋+𞸕𝜋)=٨.

في المثال الأخير، رأينا أنه بالنسبة إلى العدد المُركَّب 𞸏=𞸓(𝜃+𞸕𝜃): 𞸏=𞸓((٣𝜃)+𞸕(٣𝜃)).٣٣

هذا المثال يُمثِّل قاعدةً أعمَّ لقوى الأعداد المُركَّبة التي يُطلَق عليها نظرية ديموافر.

النقاط الرئيسية

  • العمليات الحسابية التي تتضمَّن ضرب وقسمة عددين مُركَّبين تكون عادةً أبسط عندما نتعامل مع الأعداد المُركَّبة على الصورة القطبية.
  • بالنسبة إلى العددين المُركَّبين 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸓󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، تنطبق عليهما القاعدتان الآتيتان:
    • 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒١٢١٢١٢١٢،
    • 𞸏𞸏=𞸓𞸓󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒١٢١٢١٢١٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.