شارح الدرس: العمليات على الأعداد المركَّبة في الصورة القطبية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية

إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

تذكر أنه إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا ، ، يكون حاصل ضربهما:

لدينا الصورة القطبية للعددين المركبين ، . من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا الحصول على ، بالنسبة إلى ، بينما يكون ، . بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يكون لدينا:

بإنطاق المقام، وتجميع الكسور، نحصل على:

مثال ٢: ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية

إذا كان ، ، ، فما حاصل ضرب ؟

الحل

تذكر أنه لأي عددين مركبين لا يساويان صفرًا ، :

في هذا المثال، لدينا العددان المركبان ، على الصورة القطبية. نتذكر أن العدد المركب الذي لا يساوي صفرًا له الصورة القطبية:

من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا ملاحظة أن ، ، وهو ما يعني:

يمكننا أيضًا ملاحظة أن ، . إذن:

بما أن لدينا ، يكون لدينا . وهذا يؤدي إلى الصورة القطبية لحاصل ضرب:

نحن نعرف أن ، . بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة السابقة، يكون لدينا:

ومن ثَمَّ، هو العدد الحقيقي .

مثال ٣: إيجاد خارج قسمة عددين مركبين على الصورة القطبية

إذا كانت ، ، فأوجد في الصورة القطبية.

الحل

تذكر أنه إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا على الصورة القطبية ، ، يمكن كتابة خارج قسمتهما على الصورة القطبية كما يأتي:

في هذا المثال، لدينا الصورة القطبية للعددين المركبين: ، . من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا تحديد ، بالنسبة إلى ، بينما يكون ، . بالتعويض بهذه القيم في صيغة الصورة القطبية لخارج القسمة، يكون لدينا:

بالتبسيط، يكون لدينا:

مثال ٤: قسمة الأعداد المركبة على الصورة القطبية وإيجاد خارج قسمتها على الصورة الكارتيزية

إذا كان ، ، ، ، فأوجد .

الحل

تذكر أنه إذا كان عددين مركبين لا يساويان صفرًا ، :

في هذا المثال، العددان المركبان ، معطيان على الصورة القطبية. نتذكر أن العدد المركب الذي لا يساوي صفرًا له الصورة القطبية:

من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا إيجاد المقياسين ، . إذن:

وكذلك من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا إيجاد ، . إذن:

ومن ثَمَّ، فإن الصورة القطبية لخارج قسمة هي:

لكي ننهي حل المسألة، علينا إيجاد النسب المثلثية ، من المعلومات المعطاة حول دالة الظل. علمنا أن . بما أن دالة الظل معرَّفة عند ، بينما دالة الظل غير معرَّفة عند ، نعرف أن . وهذا يعني أن . بعبارة أخرى، هي زاوية حادة. بالنسبة إلى الزاوية الحادة، يمكننا ربط النسب المثلثية بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. تذكر النسب المثلثية للزاوية الحادة :

لدينا في المعطيات ، وعليه يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية وبه زاوية ثيتا، التي طول ضلعها المقابل يساوي ٤ وطول ضلعها المجاور يساوي ٣. باستخدام نظرية فيثاغورس، لا بد أن طول الوتر يساوي:

باستخدام هذا المثلث، نجد أن:

بالتعويض بهاتين القيمتين في الصورة القطبية لخارج القسمة، يكون لدينا:

هذا يؤدي إلى الخيار (ب).

مثال ٥: مقلوب العدد المركب على الصورة القطبية

إذا كان ، فأوجد .

الحل

تذكر أنه إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا على الصورة القطبية ، ، يمكن كتابة خارج القسمة على الصورة القطبية كما يأتي:

في هذا المثال، علينا إيجاد المقلوب . لاحظ أن المقلوب هو أيضًا كسر حيث ، . في هذه الحالة، هو العدد الحقيقي، وهو ما يعني أن مقياسه ١ وسعته صفر. بعبارة أخرى، يمكن التعبير عن العدد ١ على الصورة القطبية كما يأتي:

وهذا يؤدي إلى ، . من ناحية أخرى، المقام معطى على الصورة القطبية؛ ومن ثَمَّ، يمكننا الحصول على ، . بالتعويض بهاتين القيمتين في معادلة الصورة القطبية لخارج القسمة، يكون لدينا:

وعلى الرغم من أن هذه إجابة صحيحة، فإننا نتذكر أيضًا أنه، وفقًا للمتعارف عليه، يجب أن تقع سعة العدد المركب في المدى بوحدة راديان. مثل هذه السعة تسمى السعة الأساسية. السعة المعطاة في الصورة القطبية السابقة، لا تقع ضمن المدى ؛ لذا علينا جمع مضاعف الدورة الكاملة أو طرحه. بما أن السعة المعطاة تقع أسفل الحد السفلي ، نضيف لنحصل على سعة مكافئة:

هذه السعة تقع في المدى ، وهو ما يجعلها السعة الأساسية. وباستخدام السعة الأساسية، تكون الصورة القطبية للمقلوب هي:

مثال ٦: استخدام المقياس والسعة لحساب قوى الأعداد المركبة على الصورة الكارتيزية

لدينا العدد المركب .

1. أوجد مقياس .
2. أوجد سعة .
3. من ثَمَّ، استخدم خواص ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية لإيجاد مقياس وسعة العدد .
4. من ثَمَّ، أوجد قيمة .

الحل

الجزء الأول

نتذكر أن مقياس العدد المركب في الصورة الكارتيزية هو:

في هذا المثال، ، ، وعليه نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن مقياس يساوي ٢.

الجزء الثاني

لحساب السعة، دعونا نفكر بدايةً في الربع الذي يقع فيه العدد المركب على مخطط أرجاند. بما أن الجزأين الحقيقي والتخيُّلي موجبان، إذن يقع العدد المركب في الربع الأول من مخطط أرجاند. نتذكر أن سعة العدد المركب في الربع الأول تُعطى بالصيغة . وعليه:

من ثَمَّ، فإن سعة تساوي .

الجزء الثالث

نتذكر خواص ضرب الأعداد المركبة بالنسبة إلى مقياس الأعداد المركبة وسعتها: لأي عددين مركبين لا يساويان صفرًا ، ، يكون لدينا:

في هذا المثال، علينا حساب ، الذي يمكن الحصول عليه عن طريق ضرب ثلاث مرات:

بما أنه يمكننا الحصول على مقياس حاصل الضرب من خلال أخذ حاصل ضرب مقاييس الأعداد المركبة، فهذا يعني إننا نحصل على:

في الجزء الأول، حصلنا على المقياس ، إذن:

ومن ثَمَّ، فإن مقياس يساوي ٨.

وبالمثل، نعلم أن سعة حاصل ضرب عدد مركب هي مجموع سعات كل عدد مركب. إذن:

في الجزء الثاني، حصلنا على ، إذن:

ومن ثَمَّ، فإن سعة تساوي .

الجزء الرابع

نتذكر أن العدد المركب الذي لا يساوي صفرًا ومقياسه وسعته له الصورة القطبية:

في الجزء السابق، لقد حسبنا أن مقياس يساوي ٨؛ لذا . وجدنا أيضًا أن سعة تساوي ؛ ومن ثَمَّ . بالتعويض بهاتين القيمتين في الصورة القطبية:

بما أن ، ، يكون لدينا:

ومن ثَمَّ، .