تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: العمليات على الأعداد المركَّبة في الصورة القطبية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيفية إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركَّبة في الصورة القطبية.

نتذكر أنه عند ضرب عددين مركَّبين على الصورة الكارتيزية، يمكننا تبسيط العدد المركَّب الناتج على الصورة الكارتيزية من خلال ضرب الأقواس وجمع الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية كل على حدة. أيضًا، عند قسمة عددين مركَّبين على الصورة الكارتيزية، يمكننا أن نجعل مقام الكسر عددًا حقيقيًّا بضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق العدد المركب للمقام. يمكننا بعد ذلك ضرب الأقواس وتجميع الأجزاء الحقيقية والتخيُّلية، كلٍّ على حدة، للتعبير عن العدد المركَّب الناتج على الصورة الكارتيزية.

تكون هذه العملية أسهل بكثير إذا فهمنا الصورة القطبية للأعداد المركَّبة عندما نستخدم خواص ضرب الأعداد المركَّبة وقسمتها بالنسبة إلى مقياس الأعداد المركَّبة وسعتها. في هذا الشارح، سنبرهن على العلاقات بين ضرب الأعداد المركبة وقسمتها، وسعاتها ومقاييسها باستخدام الصور القطبية. نبدأ بتذكُّر الصورة القطبية للعدد المركب.

تعريف: الصورة القطبية للعدد المركب

يمكن التعبير عن عدد مركب 𞸏 لا يساوي صفرًا ومقياسه |𞸏|=𞸋 وسعته 𞸏=𝜃 على الصورة القطبية: 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃).

نتذكر هنا أنه يمكننا تحويل الصورة الكارتيزية لعدد مركب إلى الصورة القطبية بحساب مقياسه وسعته. يمكننا أيضًا تحويل الصورة القطبية للعدد المركب إلى الصورة الكارتيزية عن طريق ضرب القوسين وإيجاد قيمة النسب المثلثية.

دعونا نبدأ بتوضيح العلاقة في سياقات عمليات ضرب الأعداد المركبة.

نظرية: ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية

لنفترض أن 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢ عددان مركبان لا يساويان صفرًا. إذن، حاصل ضربهما 𞸏𞸏١٢ على الصورة القطبية يُكتب على الصورة: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

دعونا نثبت هذه النظرية. يُكتب حاصل ضرب 𞸏١، 𞸏٢ على الصورة: 𞸏𞸏=󰁓𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁒󰁓𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁒=𞸋𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒.١٢١١١٢٢٢١٢١١٢٢

بضرب الأقواس، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃󰁒.١٢١٢١٢١٢٢١٢١٢

باستخدام 𞸕=١٢ وتجميع الحدود الحقيقية والتخيُّلية، يكون لدينا:

𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢١٢٢١()١

نذكر متطابقتي مجموع زاويتين لدالتي الجيب وجيب التمام: (󰏡+𞸁)=󰏡𞸁󰏡𞸁،(󰏡+𞸁)=󰏡𞸁+󰏡𞸁.

يمكننا تطبيق متطابقة مجموع زاويتين لجيب التمام على الجزء الحقيقي، ومتطابقة مجموع زاويتين للجيب على الجزء التخيلي داخل أقواس المعادلة (١). وعليه، يمكننا إعادة كتابة: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

وهذا يثبت النظرية.

في المثال الأول، سنطبق هذه النظرية على ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية.

مثال ١: ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية

إذا كان 𞸏=٢󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓١، 𞸏=١󰋴٣󰂔𝜋٣+𞸕𝜋٣󰂓٢، فأوجد 𞸏𞸏١٢.

الحل

تذكر أنه إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يكون حاصل ضربهما: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

لدينا الصورة القطبية للعددين المركبين 𞸏١، 𞸏٢. من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا الحصول على 𞸋=٢١، 𝜃=𝜋٦١ بالنسبة إلى 𞸏١، بينما يكون 𞸋=١󰋴٣٢، 𝜃=𝜋٣٢. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يكون لدينا: 𞸏𞸏=٢󰋴٣󰂔󰂔𝜋٦+𝜋٣󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+𝜋٣󰂓󰂓.١٢

بإنطاق المقام، وتجميع الكسور، نحصل على: 𞸏𞸏=٢󰋴٣٣󰂔𝜋٢+𞸕𝜋٢󰂓.١٢

في المثال السابق، حسبنا حاصل ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية. نلاحظ أن هذه العملية أبسط من ضرب الأعداد المركبة على الصورة الكارتيزية، وهو ما يتضمَّن ضرب الأقواس وتجميع الحدود الحقيقية والتخيُّلية.

دعونا نتناول الصورة القطبية لحاصل ضرب: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

من هذه الصورة القطبية، نلاحظ أن مقياس حاصل ضرب 𞸏𞸏١٢ هو 𞸋𞸋١٢، وهو حاصل ضرب مقياسي 𞸏١، 𞸏٢. أيضًا، سعة حاصل الضرب 𞸏𞸏١٢ هي مجموع سعتي 𞸏١، 𞸏٢. هذا يؤدي إلى الحقيقة الآتية.

حقيقة: العلاقة بين حاصل ضرب الأعداد المركبة ومقاييسها وسعاتها

لأي عددين مركَّبين لا يساويان صفرًا 𞸏١، 𞸏٢، يكون لدينا: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰁓𞸏𞸏󰁒=𞸏+𞸏.١٢١٢١٢١٢

في المثال التالي، سنطبِّق هذه الحقيقة لإيجاد مقياس حاصل ضرب عددين مركبين.

مثال ٢: ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية

إذا كان 𞸏=٧󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١، 𞸏=٦١󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢، 𝜃+𝜃=𝜋١٢، فما حاصل ضرب 𞸏𞸏١٢؟

الحل

تذكر أنه لأي عددين مركبين لا يساويان صفرًا 𞸏١، 𞸏٢: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰁓𞸏𞸏󰁒=𞸏+𞸏.١٢١٢١٢١٢

في هذا المثال، لدينا العددان المركبان 𞸏١، 𞸏٢ على الصورة القطبية. نتذكر أن العدد المركب الذي لا يساوي صفرًا 𞸏 له الصورة القطبية: 𞸏=|𞸏|((𞸏)+𞸕(𞸏)).

من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا ملاحظة أن 󰍸𞸏󰍸=٧١، 󰍸𞸏󰍸=٦١٢، وهو ما يعني: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸=٧×٦١=٢١١.١٢١٢

يمكننا أيضًا ملاحظة أن 𞸏=𝜃١١، 𞸏=𝜃٢٢. إذن: 𞸏𞸏=𝜃+𝜃.١٢١٢

بما أن لدينا 𝜃+𝜃=𝜋١٢، يكون لدينا 𞸏𞸏=𝜋١٢. وهذا يؤدي إلى الصورة القطبية لحاصل ضرب: 𞸏𞸏=٢١١(𝜋+𞸕𝜋).١٢

نحن نعرف أن 𝜋=١، 𝜋=٠. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة السابقة، يكون لدينا: 𞸏𞸏=٢١١(١+𞸕٠)=٢١١.١٢

ومن ثَمَّ، 𞸏𞸏١٢ هو العدد الحقيقي ٢١١.

في المثالين السابقين، أوجدنا حاصل ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية. ننتقل الآن إلى القسمة وخارج قسمة عددين مركبين على الصورة القطبية.

تعريف: خارج قسمة الأعداد المركبة على الصورة القطبية

إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يمكن كتابة خارج قسمتهما على الصورة القطبية: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

دعونا نثبت هذه النظرية. نبدأ بخارج قسمة 𞸏١، 𞸏٢ مكتوبًا على الصورة: 𞸏𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒=𞸋𞸋󰃁𝜃+𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃󰃀.١٢١١١٢٢٢١٢١١٢٢

لجعل مقام هذا الكسر عددًا حقيقيًّا، نضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام للحصول على: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰃭󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒󰁓𝜃𞸕𝜃󰁒󰃬.١٢١٢١١٢٢٢٢٢٢

بضرب الأقواس، نحصل على: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰃁𝜃𝜃𞸕𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃𞸕𝜃𝜃𝜃+𞸕𝜃𝜃𞸕𝜃𝜃𞸕𝜃󰃀.١٢١٢١٢١٢١٢٢١٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

باستخدام 𞸕=١٢ وتجميع الحدود الحقيقية والتخيُّلية، يكون: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰃭󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒𝜃+𝜃󰃬.١٢١٢١٢١٢١٢١٢٢٢٢٢

باستخدام المتطابقة المثلثية ٢٢𝜃+𝜃=١، يمكننا تبسيط هذا التعبير إلى:

𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢١٢١٢()٢

وأخيرًا، نذكر متطابقتي الفرق بين زاويتين للجيب وجيب التمام: (󰏡𞸁)=󰏡𞸁+󰏡𞸁،(󰏡𞸁)=󰏡𞸁󰏡𞸁.

نطبق متطابقة الفرق بين زاويتين لجيب التمام على الجزء الحقيقي، ومتطابقة الفرق بين زاويتين للجيب على الجزء التخيلي من العدد المركب داخل الأقواس في الطرف الأيسر من المعادلة (٢). وعليه، يمكننا إعادة كتابة: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

وهذا يثبت النظرية.

دعونا نتناول مثالًا سنوجد فيه خارج قسمة عددين مركبين على الصورة القطبية باستخدام هذه الطريقة.

مثال ٣: إيجاد خارج قسمة عددين مركبين على الصورة القطبية

إذا كانت 𞸏=٠٢󰂔𝜋٢+𞸕𝜋٢󰂓١، 𞸏=٤󰂔𝜋٦+𞸕𝜋٦󰂓٢، فأوجد 𞸏𞸏١٢ في الصورة القطبية.

الحل

تذكر أنه إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يمكن كتابة خارج قسمتهما على الصورة القطبية كما يأتي: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

في هذا المثال، لدينا الصورة القطبية للعددين المركبين: 𞸏١، 𞸏٢. من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا تحديد 𞸋=٠٢١، 𝜃=𝜋٢١ بالنسبة إلى 𞸏١، بينما يكون 𞸋=٤٢، 𝜃=𝜋٦٢. بالتعويض بهذه القيم في صيغة الصورة القطبية لخارج القسمة، يكون لدينا: 𞸏𞸏=٠٢٤󰂔󰂔𝜋٢𝜋٦󰂓+𞸕󰂔𝜋٢𝜋٦󰂓󰂓.١٢

بالتبسيط، يكون لدينا: 𞸏𞸏=٥󰂔𝜋٣+𞸕𝜋٣󰂓.١٢

في المثال السابق، حسبنا خارج قسمة عددين مركَّبين على الصورة القطبية. نلاحظ أن هذه العملية أبسط من قسمة الأعداد المركبة على الصورة الكارتيزية، التي تتضمَّن ضرب البسط والمقام في مرافق المقام ثم ضرب الأقواس. باستخدام هذه الطريقة، يمكننا ملاحظة أن قسمة الأعداد المركبة أبسط بكثير على الصورة القطبية.

دعونا نتناول الصورة القطبية لخارج القسمة: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

من هذه الصورة القطبية، نلاحظ أن مقياس خارج قسمة 𞸏𞸏١٢ يساوي 𞸋𞸋١٢، وهو خارج قسمة مقياسي 𞸏١، 𞸏٢. أيضًا سعة خارج قسمة 𞸏𞸏١٢ هو الفرق بين سعتي 𞸏١، 𞸏٢. وهذا يؤدي إلى الحقيقة الآتية.

حقيقة: العلاقة بين خارج قسمة الأعداد المركبة ومقاييسها وسعاتها

لأي عددين مركبين لا يساويان صفرًا 𞸏١، 𞸏٢، يكون لدينا: 󰍾𞸏𞸏󰍾=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰃁𞸏𞸏󰃀=𞸏𞸏.١٢١٢١٢١٢

في المثال الآتي، سنستخدم هذه الحقائق لإيجاد الصورة القطبية لخارج قسمة عددين مركبين.

مثال ٤: قسمة الأعداد المركبة على الصورة القطبية وإيجاد خارج قسمتها على الصورة الكارتيزية

إذا كان 𞸏=٥(٥𝜃+𞸕٥𝜃)١، 𞸏=٤𝜃+𞸕٤𝜃٢، 𝜃=٤٣، 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂖، فأوجد 𞸏𞸏١٢.

  1. ٤+٣𞸕
  2. ٣+٤𞸕
  3. ٣٥+٤٥𞸕
  4. ٤٥+٣٥𞸕

الحل

تذكر أنه إذا كان عددين مركبين لا يساويان صفرًا 𞸏١، 𞸏٢: 󰍾𞸏𞸏󰍾=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰃁𞸏𞸏󰃀=𞸏𞸏.١٢١٢١٢١٢

في هذا المثال، العددان المركبان 𞸏١، 𞸏٢ معطيان على الصورة القطبية. نتذكر أن العدد المركب 𞸏 الذي لا يساوي صفرًا له الصورة القطبية: 𞸏=|𞸏|((𞸏)+𞸕(𞸏)).

من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا إيجاد المقياسين 󰍸𞸏󰍸=٥١، 󰍸𞸏󰍸=١٢. إذن: 󰍾𞸏𞸏󰍾=٥١=٥.١٢

وكذلك من الصورة القطبية المعطاة، يمكننا إيجاد 󰁓𞸏󰁒=٥𝜃١، 󰁓𞸏󰁒=٤𝜃٢. إذن: 󰃁𞸏𞸏󰃀=󰁓𞸏󰁒󰁓𞸏󰁒=٥𝜃٤𝜃=𝜃.١٢١٢

ومن ثَمَّ، فإن الصورة القطبية لخارج قسمة 𞸏𞸏١٢ هي: 𞸏𞸏=٥(𝜃+𞸕𝜃).١٢

لكي ننهي حل المسألة، علينا إيجاد النسب المثلثية 𝜃، 𝜃 من المعلومات المعطاة حول دالة الظل. علمنا أن 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂖. بما أن دالة الظل معرَّفة عند 𝜃، بينما دالة الظل غير معرَّفة عند 𝜋٢، نعرف أن 𝜃𝜋٢. وهذا يعني أن 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂖. بعبارة أخرى، 𝜃 هي زاوية حادة. بالنسبة إلى الزاوية الحادة، يمكننا ربط النسب المثلثية بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. تذكر النسب المثلثية للزاوية الحادة 𝜃: اااوراااور𝜃=،𝜃=،𝜃=.

لدينا في المعطيات 𝜃=٤٣، وعليه يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية وبه زاوية ثيتا، التي طول ضلعها المقابل يساوي ٤ وطول ضلعها المجاور يساوي ٣. باستخدام نظرية فيثاغورس، لا بد أن طول الوتر يساوي: 󰋴٣+٤=󰋴٥٢=٥.٢٢

باستخدام هذا المثلث، نجد أن: اااورا𝜃==٤٥،𝜃==٣٥.

بالتعويض بهاتين القيمتين في الصورة القطبية لخارج القسمة، يكون لدينا: 𞸏𞸏=٥󰂔٣٥+٤٥𞸕󰂓=٣+٤𞸕.١٢

هذا يؤدي إلى الخيار (ب).

في المثالين السابقين، أوجدنا خارج قسمة الأعداد المركبة باستخدام الصورة القطبية. يمكننا أيضًا استخدام قواعد القسمة لإيجاد الصورة العامة لمقلوب العدد المركَّب كما هو موضح في المثال الآتي.

مثال ٥: مقلوب العدد المركب على الصورة القطبية

إذا كان 𞸏=󰂔٧𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٧𝜋٦󰂓، فأوجد ١𞸏.

الحل

تذكر أنه إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يمكن كتابة خارج القسمة على الصورة القطبية كما يأتي: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

في هذا المثال، علينا إيجاد المقلوب ١𞸏. لاحظ أن المقلوب هو أيضًا كسر حيث 𞸏=١١، 𞸏=𞸏٢. في هذه الحالة، 𞸏=١١ هو العدد الحقيقي، وهو ما يعني أن مقياسه ١ وسعته صفر. بعبارة أخرى، يمكن التعبير عن العدد ١ على الصورة القطبية كما يأتي: ١=١(٠+𞸕٠).

وهذا يؤدي إلى 𞸋=١١، 𝜃=٠١. من ناحية أخرى، المقام 𞸏=𞸏٢ معطى على الصورة القطبية؛ ومن ثَمَّ، يمكننا الحصول على 𞸋=١٢، 𝜃=٧𝜋٦٢. بالتعويض بهاتين القيمتين في معادلة الصورة القطبية لخارج القسمة، يكون لدينا: ١𞸏=١١󰂔󰂔٠٧𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٠٧𝜋٦󰂓󰂓=󰂔٧𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٧𝜋٦󰂓.

وعلى الرغم من أن هذه إجابة صحيحة، فإننا نتذكر أيضًا أنه، وفقًا للمتعارف عليه، يجب أن تقع سعة العدد المركب في المدى ]𝜋،𝜋] بوحدة راديان. مثل هذه السعة تسمى السعة الأساسية. السعة المعطاة في الصورة القطبية السابقة، ٧𝜋٦ لا تقع ضمن المدى ]𝜋،𝜋]؛ لذا علينا جمع مضاعف الدورة الكاملة ٢𝜋 أو طرحه. بما أن السعة المعطاة تقع أسفل الحد السفلي 𝜋، نضيف ٢𝜋 لنحصل على سعة مكافئة: ٧𝜋٦+٢𝜋=٧𝜋٦+٢١𝜋٦=٥𝜋٦.

هذه السعة تقع في المدى ]𝜋،𝜋]، وهو ما يجعلها السعة الأساسية. وباستخدام السعة الأساسية، تكون الصورة القطبية للمقلوب هي: ١𞸏=󰂔٥𝜋٦󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٦󰂓.

في المثال السابق، أوجدنا مقلوب عدد مركب على الصورة القطبية باستخدام صيغة خارج القسمة باستخدام الصورة القطبية. بتطبيق طريقة مماثلة، يمكننا إيجاد صيغة عامة للصورة القطبية لمقلوب العدد المركب.

تعريف: الصورة القطبية لمقلوب عدد مركب

إذا كان لدينا عدد مركب لا يساوي صفرًا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)، يمكن كتابة المقلوب على الصورة القطبية كما يأتي: ١𞸏=١𞸋((𝜃)+𞸕(𝜃)).

يوضح المثال الأخير كيف يمكننا استخدام صيغة حاصل ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية لإيجاد صيغ قوى الأعداد المركبة.

مثال ٦: استخدام المقياس والسعة لحساب قوى الأعداد المركبة على الصورة الكارتيزية

لدينا العدد المركب 𞸏=١+󰋴٣𞸕.

  1. أوجد مقياس 𞸏.
  2. أوجد سعة 𞸏.
  3. من ثَمَّ، استخدم خواص ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية لإيجاد مقياس وسعة العدد 𞸏٣.
  4. من ثَمَّ، أوجد قيمة 𞸏٣.

الحل

الجزء الأول

نتذكر أن مقياس العدد المركب 𞸏=󰏡+𞸁𞸕 في الصورة الكارتيزية هو: |𞸏|=󰋴󰏡+𞸁.٢٢

في هذا المثال، 󰏡=١، 𞸁=󰋴٣، وعليه نحصل على: |𞸏|=󰋺١+󰂔󰋴٣󰂓=󰋴٤=٢.٢٢

ومن ثَمَّ، فإن مقياس ١+󰋴٣𞸕 يساوي ٢.

الجزء الثاني

لحساب السعة، دعونا نفكر بدايةً في الربع الذي يقع فيه العدد المركب على مخطط أرجاند. بما أن الجزأين الحقيقي والتخيُّلي موجبان، إذن يقع العدد المركب ١+󰋴٣𞸕 في الربع الأول من مخطط أرجاند. نتذكر أن سعة العدد المركب 󰏡+𞸁𞸕 في الربع الأول تُعطى بالصيغة ١󰃁𞸁󰏡󰃀. وعليه: رادن(𞸏)=󰃁𞸁󰏡󰃀=󰂔󰋴٣󰂓=𝜋٣.١١

من ثَمَّ، فإن سعة ١+󰋴٣𞸕 تساوي 𝜋٣.

الجزء الثالث

نتذكر خواص ضرب الأعداد المركبة بالنسبة إلى مقياس الأعداد المركبة وسعتها: لأي عددين مركبين لا يساويان صفرًا 𞸏١، 𞸏٢، يكون لدينا: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰁓𞸏𞸏󰁒=𞸏+𞸏.١٢١٢١٢١٢

في هذا المثال، علينا حساب 𞸏٣، الذي يمكن الحصول عليه عن طريق ضرب 𞸏 ثلاث مرات: 𞸏=𞸏×𞸏×𞸏.٣

بما أنه يمكننا الحصول على مقياس حاصل الضرب من خلال أخذ حاصل ضرب مقاييس الأعداد المركبة، فهذا يعني إننا نحصل على: 󰍸𞸏󰍸=|𞸏×𞸏×𞸏|=|𞸏|×|𞸏|×|𞸏|=|𞸏|.٣٣

في الجزء الأول، حصلنا على المقياس |𞸏|=٢، إذن: 󰍸𞸏󰍸=٢=٨.٣٣

ومن ثَمَّ، فإن مقياس 𞸏٣ يساوي ٨.

وبالمثل، نعلم أن سعة حاصل ضرب عدد مركب هي مجموع سعات كل عدد مركب. إذن: 󰁓𞸏󰁒=𞸏+𞸏+𞸏=٣𞸏.٣

في الجزء الثاني، حصلنا على 𞸏=𝜋٣، إذن: 󰁓𞸏󰁒=٣×𝜋٣=𝜋.٣

ومن ثَمَّ، فإن سعة 𞸏٣ تساوي 𝜋.

الجزء الرابع

نتذكر أن العدد المركب الذي لا يساوي صفرًا 𞸏 ومقياسه 𞸋 وسعته 𝜃 له الصورة القطبية: 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕(𝜃)󰁒.

في الجزء السابق، لقد حسبنا أن مقياس 𞸏٣ يساوي ٨؛ لذا 𞸋=٨. وجدنا أيضًا أن سعة 𞸏٣ تساوي 𝜋؛ ومن ثَمَّ 𝜃=𝜋. بالتعويض بهاتين القيمتين في الصورة القطبية: 𞸏=٨(𝜋+𞸕𝜋).٣

بما أن 𝜋=١، 𝜋=٠، يكون لدينا: 𞸏=٨(١+𞸕٠)=٨.٣

ومن ثَمَّ، 𞸏=٨٣.

دعونا نختم بتذكر بعض المفاهيم المهمة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • عادة ما يكون ضرب الأعداد المركبة وقسمتها أسهل عند التعامل مع الأعداد المركبة على الصورة القطبية.
  • إذا كان عددان مركبان لا يساويان صفرًا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢.
    • يكون حاصل ضرب العددين المركبين على الصورة القطبية هو: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒،١٢١٢١٢١٢
    • يكون خارج قسمة العددين المركبين على الصورة القطبية هو: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢
  • لأي عددين مركبين لا يساويان صفرًا 𞸏١ و𞸏٢، يكون لدينا: 󰍸𞸏𞸏󰍸=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰁓𞸏𞸏󰁒=𞸏+𞸏،󰍾𞸏𞸏󰍾=󰍸𞸏󰍸󰍸𞸏󰍸،󰃁𞸏𞸏󰃀=𞸏𞸏.١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢
  • إذا كان لدينا عدد مركب لا يساوي صفرًا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)، يمكن كتابة المقلوب على الصورة القطبية كما يأتي: ١𞸏=١𞸋((𝜃)+𞸕(𝜃)).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.