شارح الدرس: قاعدة باسكال الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم قاعدة باسكال لتحليل مقدار واتجاه ضغط المائع على جسم.

تنص قاعدة باسكال على أنه عند نقطةٍ ما في مائعٍ، ينتقل الضغط المؤثِّر على هذه النقطة انتقالًا متساويًا في جميع الاتجاهات.

لكي نفهم معنى ذلك، علينا أن نفهم المقصود بالضغط عند نقطةٍ ما.

لعلنا نتذكَّر أن ثمة علاقة بين الضغط المؤثِّر على مساحة والقوة المؤثِّرة عموديًّا على هذه المساحة.

يمكننا حساب الضغط المؤثِّر على مساحة معيَّنة، لكننا لا نعرف تحديدًا كيف يمكننا حساب الضغط عند نقطة بعينها؛ لأن مساحة النقطة تساوي صفرًا.

هيا نفكِّر في الضغط المؤثِّر على سطح جسم ما داخل المائع.

يوضِّح الشكل الآتي مجموعة من الأجسام داخل مائع.

نلاحظ أن الجوانب العلوية من هذه الأجسام تقع جميعها عند العمق نفسه أسفلَ سطح المائع.

وزن المائع أعلى الجسم مباشرةً هو القوة المؤثِّرة على الجانب العلوي من كل جسم.

ويتناسب حجم المائع أعلى الجسم مباشرةً مع مساحة الجانب العلوي من الجسم، كما هو موضَّح بالشكل الآتي:

يمكننا استخدام المعادلة: حيث وزن المائع أعلى الجسم مباشرةً، و مساحة الجانب العلوي من الجسم.

نلاحظ أن وزن المائع المؤثِّر على مساحة الجوانب العلوية من الأجسام الصغيرة أقل نسبيًّا. إذن لا بد أن يكون الضغط المؤثِّر على الجوانب العلوية من جميع هذه الأجسام متساويًا.

وهذا يعني أنه يمكننا التفكير في مساحة جسم ما في مائع ومقارنته بجسم آخر مطابق ذي مساحة أصغر. نلاحظ أن الضغط المؤثِّر على المساحة لا يتغيَّر بتناقص المساحة. وهذا ينطبق أيضًا على النقطة الواحدة.

ونستنتج إذن أن الضغط المؤثِّر على نقطة بعينها يساوي الضغط المؤثِّر على مساحة معيَّنة.

يمكننا الآن التفكير في جسم معلَّق في مائع، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

مساحة الجانب العلوي من الجسم وقاعدته . ووزن الجسم . وبما أن الجسم معلَّق، إذن فهذا يعني أنه لا يتحرَّك بعجلة. والقوة المحصلة المؤثِّرة على الجسم تساوي صفرًا.

وزن المائع أعلى الجسم مباشرةً . وتؤثِّر رأسيًّا لأسفل. والقوة لا بد أن تؤثر رأسيًّا لأعلى؛ بحيث لا توجد قوة محصلة تؤثِّر على الجسم، طبقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة.

القوة ناتجة عن ضغط الماء أسفل الجسم.

الضغط المؤثِّر على الجانب العلوي من الجسم . والضغط المؤثِّر على قاعدة الجسم .

من ذلك نستنتج أن:

باستخدام المعادلة: نستنتج أن: و:

ويمكننا ملاحظة أن:

وهذا يعني أن: إذن:

ضغط المائع المؤثِّر من أسفل إلى أعلى على قاعدة الجسم أكبر من الضغط المؤثِّر على الجانب العلوي من الجسم.

هيا الآن نفكِّر في جسمين معلَّقين في مائع، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

الجسمان عند ارتفاعين غير متساويين، و.

يقع الجانب العلوي من كل جسم على العمق نفسه. إذن يؤثِّر على الجانب العلوي من كلا الجسمين الضغط .

ولا بد أن يكون الضغط المؤثِّر على قاعدة كل جسم منهما أكبر من . يمكننا ملاحظة أن الضغط المؤثِّر على قاعدة الجسم الذي له الارتفاع يتجاوز قيمة بمقدار أكبر مقارنةً بالضغط المؤثِّر على قاعدة الجسم الذي له الارتفاع . وهذا يعني أنه كلما قلَّ ارتفاع الجسم المعلَّق، قلَّ الفرق بين الضغط المؤثِّر على الجانب العلوي له والضغط المؤثِّر على قاعدته.

إذا افترضنا أن ارتفاع الجسم يساوي صفرًا، فإن الضغط المؤثِّر على الجانب العلوي يساوي الضغط المؤثِّر على الجانب السفلي للجسم.

علمنا سابقًا أن الضغط المؤثِّر على نقطة تقع على العمق نفسه تحت سطح المائع يساوي الضغط المؤثِّر على مساحةٍ ما عند هذا العمق. وهذا يعني أنه يمكننا الآن النظر في نقطة مساحتها تساوي صفرًا، واستنتاج أن الضغط المؤثِّر على هذه النقطة من أعلى يساوي الضغط المؤثِّر عليها من أسفل.

وإذا كان الضغط المؤثِّر على النقطة من أعلى يساوي الضغط المؤثِّر عليها من أسفل، فإن القوة المؤثِّرة على هذه النقطة لأسفل تساوي القوة المؤثِّرة عليها لأعلى، وهذا ما يوضِّحه الشكل الآتي:

وبما أن هاتين القوتين تؤثِّران على نقطة، وأيُّ نقطة لها ارتفاع يساوي صفرًا، إذن نستنتج أن تؤثِّر على أي شيء أسفل النقطة مباشرةً، وأن تؤثِّر على أي شيء أعلى النقطة مباشرةً.

يوضِّح الشكل الآتي القوتين المؤثِّرتين بدايةً من النقطة التي في الاتجاه الرأسي.

نستنتج من ذلك حقيقتين مهمتين عن الضغط في الاتجاه الرأسي.

أولًا، نلاحظ أن الضغط الذي يؤثِّر به المائع على نقطة إلى أعلى يساوي الضغط الذي يؤثِّر به المائع على هذه النقطة إلى أسفل.

ثانيًا، نلاحظ أن الضغط الذي يؤثِّر به مائع من نقطة ما متساوٍ إلى أعلى وإلى أسفل. وعند نقطة معيَّنة، يؤثِّر الضغط نفسه لأعلى ولأسفل على أي شيء يلامس هذه النقطة.

وما ذكرناه عن القوتين الرأسيتين عند نقطة، وكذلك الضغط الذي يؤثِّر لأعلى ولأسفل عند نقطة معيَّنة، ينطبق أيضًا على القوى الأفقية، وكذلك على الضغط المؤثِّر على يسار النقطة ويمينها.

يمكننا التفكير في حجم مائع داخل وعاء يُوجَد ثقب بأحد جوانبه الرأسية، فيتسرَّب منه تيار مائع. وهذا ما يوضِّحه الشكل الآتي:

نلاحظ وجود قوتين و تؤثِّران على نقطة داخل المائع تقع عند نفس ارتفاع الثقب الموجود في الجانب الرأسي من الوعاء.

تعبِّر القوة عن وزن المائع فوق الارتفاع الذي يقع عنده الثقب ويؤثِّر الوزن رأسيًّا لأسفل.

وتؤثِّر القوة أفقيًّا. وتَنتج عن هذه القوة مركبة أفقية لحركة السائل الذي يتسرَّب من خلال الثقب.

والآن، نفكِّر في ثقبين مماثلين في وعاء عند ارتفاعين مختلفين. وهذا ما يوضِّحه الشكل الآتي:

نلاحظ أن تيار المائع المتسرِّب من كل ثقب يقطع المسافة الأفقية نفسها، ويقطع التيار المتسرِّب من الثقب السفلي مسافة رأسية أقل.

وهذا يعني أن السرعة المتجهة الأفقية للمائع المتسرِّب من الثقب السفلي أكبر من السرعة المتجهة الأفقية للمائع المتسرِّب من الثقب العلوي.

وفي حالة عدم وجود ثقوب، لا تُوجَد سرعة متجهة أفقية للمائع بالطبع. وعند نقطةٍ ما في المائع، تتساوى القوى المؤثِّرة من جميع الاتجاهات، وهذا ما يوضِّحه الشكل الآتي:

وفي حالة وجود ثقب في الوعاء، فإن العجلة الأفقية التي يتحرَّك بها المائع خلال الثقب تُشير إلى أن المائع لا بد أن يؤثِّر بقوة أفقية محصلة عند موضع الثقب وذلك لأن النقطة الواقعة عند موضع الثقب لا تؤثِّر بقوة إلى اليمين لموازنة القوة التي يؤثِّر بها المائع إلى اليسار كما تفعل بقية النقاط الواقعة داخل الوعاء.

نلاحظ أنه كلما قلَّ ارتفاع الثقب، زاد الوزن المؤثِّر على النقطة التي تقع داخل المائع إلى جانب الثقب، وزادت القوة الأفقية التي يؤثِّر بها المائع عند موضع الثقب.

وطبقًا لقاعدة باسكال، فإن الوزن والقوة الأفقية عند هذه النقطة متساويان في المقدار؛ فالقوة المؤثِّرة عند نقطة ما متساوية من جميع الاتجاهات.

هيا نُلقِ نظرة الآن على مثال يتضمَّن قاعدة باسكال.

مثال ١: تحديد التغيُّرات في الضغط الذي يؤثِّر به مائع على وعائه

لدينا حاوية مياه مكعَّبة الشكل. يمكن دفع غطاء الحاوية لأسفل ليؤثِّر بضغط على الماء في الحاوية. أيُّ العبارات الآتية تَصِف وصفًا صحيحًا كيفية تغيُّر الضغط المؤثِّر بواسطة الماء عند دفع الغطاء لأسفل؟

1. زاد الضغط المؤثِّر على قاعدة الحاوية وجوانبها الرأسية الأربعة والغطاء.
2. زاد الضغط المؤثِّر على قاعدة الحاوية.
3. زاد الضغط المؤثِّر على قاعدة الحاوية والغطاء.
4. زاد الضغط المؤثِّر على قاعدة الحاوية وجوانبها الرأسية الأربعة.
5. زاد الضغط المؤثِّر على الجوانب الرأسية الأربعة للحاوية.

الحل

يقول السؤال إن هناك حاوية مكعَّبة تحتوي على بعض الماء. وعند دفع الغطاء لأسفل، فإنه يؤثِّر بضغط على السطح العلوي للماء.

تنص قاعدة باسكال على أنه عند نقطة ما في مائع، ينتقل الضغط عند هذه النقطة في جميع الاتجاهات بمقدار متساوٍ.

يمكننا التفكير في القوة المؤثِّرة على مركز السطح العلوي للماء، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يتضح لنا جليًّا أن السطح العلوي للماء عند النقطة التي تؤثِّر عليها القوة سينقل القوة رأسيًّا لأسفل، وهذا ما يوضِّحه الشكل الآتي:

وطبقًا لقاعدة باسكال، فإن القوة المؤثِّرة على السطح العلوي للماء ستَنتج عنها أيضًا قوة تؤثِّر في جميع الاتجاهات في الماء بدايةً من النقطة التي تؤثِّر عندها القوة. يوضِّح الشكل الآتي بعض الاتجاهات التي تنتقل فيها القوة أفقيًّا.

ورغم ذلك، فالقوى تؤثِّر في كل اتجاه؛ رأسيًّا وأفقيًّا. ويوضِّح الشكل الآتي بعض الاتجاهات التي تنتقل فيها القوة رأسيًّا وأفقيًّا.

نستنتج من ذلك أنه لا بد من وجود قوة تؤثِّر على كل جانب من جوانب الحاوية. وهذا يعني زيادة الضغط الذي يؤثِّر على كل جانب من جوانب الحاوية. وهذا يشمل الغطاء نفسه؛ فالسطح العلوي للماء سيؤثِّر بقوة رأسيًّا لأعلى على الغطاء.

إذن الإجابة الصحيحة هي الاختيار الأول: زاد الضغط المؤثِّر على قاعدة الحاوية المكعَّبة وجوانبها الرأسية الأربعة والغطاء.

تُشير قاعدة باسكال إلى أن القوة يمكنها أن تنتقل خلال المائع وتغيِّر اتجاهها أثناء انتقالها.

ويمكن لقوة تتحرَّك رأسيًّا لأسفل أن تؤثِّر على سطح أفقي لمائع عند أحد طرفَي أنبوب. وتولِّد هذه القوة ضغطًا ينتقل ويؤثِّر في جميع أجزاء المائع. ونتيجة لهذا الضغط المُطبَّق، يمكن أن تؤثِّر القوة التي تتحرَّك رأسيًّا لأسفل على سطح المائع عند الطرف الآخر من الأنبوب.

يوضِّح الشكل الآتي هذه العملية في أنبوبين متشابهين.

من المهم أن نلاحظ أن طرفَي كل أنبوب يقعان عند الارتفاع نفسه.

مساحتا مقطع طرفَي كل أنبوب متساويتان.

وبالنسبة إلى الأنبوب المستقيم، فمساحة الأنبوب ثابتة بطول الأنبوب. أما في الأنبوب المنحني، فتزيد مساحة مقطع الأنبوب عند مواضع انحناء الأنبوب. بالنسبة إلى كلا النوعين المستقيم والمنحني، علينا فقط التفكير في مساحة مقطع طرفَي كل أنبوب.

وفي كلا النوعين، تُعطى العلاقة بين مقدارَي القوتين المؤثِّرتين على طرفَي الأنبوب بالصيغة:

وفي كلا النوعين، تتساوى مساحة مقطع أحد طرفَي الأنبوب مع مساحة مقطع الطرف الآخر؛ ومن ثَمَّ يجب أن:

وفي كلا النوعين، يتساوى الضغط المؤثِّر على أحد طرفَي الأنبوب مع الضغط المؤثِّر على الطرف الآخر؛ نظرًا لأن الطرفين لهما الارتفاع نفسه.

وفي كلا النوعين، نلاحظ أن مقدار القوة التي يؤثِّر بها المائع على الطرف الأيسر من الأنبوب يساوي مقدار القوة التي يؤثِّر بها المائع على الطرف الأيمن من الأنبوب. إذن:

ولا يُشترط أن يكون لطرفَي الأنبوب مساحة المقطع نفسها.

فإذا كانت مساحتا مقطع طرفَي الأنبوب غير متساويتين، فإن القوتين المؤثِّرتين على طرفَيْه لن تكونا متساويتين.

ويمكننا تطبيق المعادلتين: على أنبوب يتساوى فيه الضغط المؤثِّر على كلا طرفَي الأنبوب. ومن ثَمَّ، يمكننا ملاحظة وجود علاقة تربط بين مساحتَي مقطع طرفَي الأنبوب والقوتين المؤثِّرتين على هاتين المساحتين.

هيا نتناول الآن مثالًا يتضمَّن قوة تنتقل بواسطة ضغط المائع.

مثال ٢: تحديد القوة المؤثِّرة على مساحةٍ من مائع نتيجة القوة المؤثِّرة على مساحة مختلفة من المائع

تتكوَّن مضخة هيدروليكية من أسطوانة رفيعة مساحة مقطعها 0.15 m²، وأسطوانة سميكة مساحة مقطعها 1.2 m²، كما هو موضَّح في الشكل. ويوجد مكبسان يُمكِن دفعهما عند قمتَي الأسطوانتين. وتؤثِّر القوة على المكبس في الأسطوانة الرفيعة، ويؤثِّر ضغط المائع الهيدروليكي بالقوة على المكبس في الأسطوانة السميكة. أوجد مقدار .

الحل

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكَّر أن الضغط الذي يؤثِّر على إحدى قاعدتَي المكبسين، والناتج عن ضغط المائع المحصور، يساوي الضغط المؤثِّر على القاعدة الأخرى.

وهذا يعني أنه بالنسبة إلى قاعدة كل مكبس، تنطبق المعادلة: حيث مقدار القوة المؤثِّرة على قاعدة المكبس، و مساحة مقطع المكبس.

وتؤثِّر على كل مكبس قوة مختلفة؛ نظرًا لاختلاف مساحتَي المقطع العرضي. ويمكننا معرفة العلاقة بين القوتين المؤثِّرتين على مساحتَي مقطع كلا المكبسين الصغير والكبير من خلال المعادلة:

يطلب منا السؤال إيجاد مقدار ، إذن علينا أن نجعل في طرف بمفردها كالآتي.

ينص السؤال على أن . وسنعوِّض بهذه القيمة للحصول على:

نلاحظ من المثال أنه بتطبيق قوة مقدارها 85 N على أحد المكبسين، فإن قوة مقدارها 680 N تؤثِّر على المكبس الآخر.

تُشير قاعدة باسكال إلى أنه يمكن تطبيق قوة على مساحة صغيرة حتى تؤثِّر بقوة أكبر على مساحة أكبر. وتُعرَف الآلة التي تستخدم قاعدة باسكال لمضاعفة قوة بهذه الطريقة باسم المكبس الهيدروليكي.

وتُعرَف النسبة بين القوة المؤثِّرة على المكبس ذي المساحة الصغيرة والقوة التي يؤثِّر بها المكبس ذو المساحة الكبيرة باسم الفائدة الآلية، ، للمكبس الهيدروليكي. والفائدة الآلية للمكبس الهيدروليكي تساوي النسبة بين مساحتَي مقطع المكبسين. وبالنسبة إلى الضغط الهيدروليكي المذكور في المثال، .

هيا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.