شارح الدرس: القدرة باعتبارها معدَّل الشغل الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نعرِّف قدرة قوة في صورة مشتقة الشغل المبذول بواسطة القوة.

إذا كانت القوة المحصلة المؤثِّرة على جسم تبذل شغلًا عليه، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة المؤثِّرة على الجسم يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم.

وطاقة الحركة التي تنتقل إلى الجسم نتيجة للشغل المبذول بواسطة القوة المحصلة قد تتحوَّل إلى طاقة وضع الجاذبية، وقد تُفقَد أيضًا بواسطة قوى مقاومة مؤثِّرة على الجسم. وللتوضيح، يقتصر هذا الشارح على الحالات التي تتضمَّن قوى تُغيِّر طاقة حركة الأجسام دون تحوُّل أنواع أخرى من الطاقة.

هيا نُعرِّف الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة.

هيا نُعرِّف طاقة الحركة.

عندما تؤثِّر قوة على جسم لتغيير طاقة حركته، فإن طاقة حركة الجسم تتغيَّر أثناء الفترة الزمنية التي تؤثِّر خلالها القوة. تبذل القوة شغلًا على الجسم بمعدَّل معيَّن. ومعدَّل التغيُّر في الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة هو القدرة التي توفِّرها هذه القوة.

إن القوة المحصلة الثابتة التي تؤثِّر على جسم تَنتج عنها عجلة للجسم؛ أي ، في اتجاه . وبالنسبة إلى جسم في حالة سكون عند النقطة قبل أن تؤثِّر عليه القوة، فإن إزاحة الجسم بدءًا من في اتجاه تُعطَى بالعلاقة: حيث إزاحة الجسم خلال فترة زمنية، وهي تساوي صفرًا عند .

يمكن التعويض بقيمة عن إزاحة الجسم في اتجاه القوة، لنحصل على: حيث هو الشغل المبذول بين واللحظة .

يوضِّح التمثيل البياني الآتي تغيُّر بتغيُّر من إلى . مقدار كلٍّ من ، يساوي ١.

المعدَّل الذي يزداد به الشغل المبذول بين واللحظة يساوي ميل المنحنى عند اللحظة . وميل المنحنى هو المشتقة بالنسبة إلى لـ: وهو ما يمكن كتابته على صورة مشتقة المعادلة السابقة بالنسبة إلى الزمن كالآتي:

بما أن معدَّل الشغل الذي تبذله القوة على جسم هو القدرة التي توفِّرها القوة، إذن هذه المعادلة تعبِّر عن القدرة اللحظية التي تُزوِّدها القوة الثابتة للجسم. وتمثِّل القدرة اللحظية دالة في .

إذا لم تكن القوة ثابتة، فإنها لا تُنتِج عجلة ثابتة؛ ولذلك، فإن القدرة اللحظية؛ أي ، التي توفِّرها القوة، يمكن كتابتها في صورة أعم كالآتي: حيث سرعة الجسم.

قد يبدو للوهلة الأولى أن القوة الثابتة المؤثِّرة على جسم يجب أن تمد الجسم بقدرة ثابتة. لكن يتضح أن هذه الفكرة غير صحيحة عند مقارنة الزيادة في السرعة بالزيادة في طاقة الحركة بفعل الزيادة في السرعة.

افترض أن جسمًا يتحرَّك بعجلة منتظمة من السكون. في الفترة ، تُوجَد زيادة في سرعة الجسم؛ أي ؛ حيث السرعة الابتدائية تساوي صفرًا:

تزداد طاقة حركة الجسم بمقدار مكافئ ؛ حيث:

نفترض أن هناك زيادة أخرى في السرعة تساوي الزيادة الأولى، وتحدث أيضًا في الفترة :

بافتراض: فإن:

الزيادة في السرعة بالمقدار تقابلها زيادة في طاقة الحركة بمقدار مكافئ ؛ حيث:

إذن:

إن الزيادتين في طاقة الحركة غير متساويتين؛ ومن ثَمَّ يكون معدَّل الشغل المبذول على الجسم غير متساوٍ في كلٍّ من الفترتين الزمنيتين المتساويتين.

بدلًا من ذلك، افترض أنه في فترتين زمنيتين متتاليتين ومتساويتين، بُذِل مقدار متساوٍ من الشغل على الجسم؛ ومن ثَمَّ:

مرةً أخرى، بافتراض أن الجسم في حالة سكون ابتدائيًّا، عند ، تكون سرعة الجسم: وعند ، تكون سرعة الجسم:

لبذل شغل على الجسم بمعدَّل ثابت: وهذا لا يمكن أن يحدث مع قيمة موجبة لا تساوي الصفر لـ ، فللجسم المتحرِّك بعجلة بفعل قوة محصلة ثابتة، يجب أن تكون قيمة موجبة لا تساوي الصفر. وإذا كانت قيمة موجبة لا تساوي الصفر، فيجب أن يكون:

لذا، إذا بُذِل شغل متساوٍ خلال فترات زمنية متتالية ومتساوية على جسم كتلته ثابتة، فيجب أن تقل عجلة الجسم؛ ومن ثَمَّ، القوة المؤثِّرة عليه، في كل فترة زمنية تالية. تعني القدرة الثابتة أن القوة المؤثِّرة التي توفِّر القدرة تمثِّل دالة في الزمن.

وبالإضافة إلى القدرة اللحظية التي توفِّرها القوة، يمكن إيجاد القدرة المتوسطة التي توفِّرها القوة. القدرة المتوسطة المزوَّدة لجسم خلال فترة زمنية تساوي الشغل المبذول خلال مقسومًا على .

على منحنى الشغل-الزمن، تساوي القدرة المتوسطة ميل الخط المستقيم الذي يقطع منحنى عند قيمتَي الزمن الابتدائي والنهائي لفترة زمنية، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي باستخدام الخط المتقطِّع؛ حيث هي الفترة الزمنية من إلى .

تبذل القوة الثابتة شغلًا على الجسم باعتبارها دالة في الزمن الذي تؤثِّر خلاله القوة. وإذا لم تكن القوة ثابتة، ولكنها دالة في الزمن، فإن المعدَّل الذي تبذل به القوة شغلًا على الجسم يمكن أن يكون ثابتًا. وتوفِّر مثل هذه القوة قدرة ثابتة.

إذا كانت القوة توفِّر قدرة لحظية متساوية عند جميع اللحظات التي تؤثِّر فيها القوة، فإن القدرة المتوسطة التي توفِّرها القوة تساوي القدرة اللحظية لهذه القوة عند كل لحظة. من ثَمَّ، يكون لمنحنى الشغل-الزمن ميل ثابت للقوة التي توفِّر قدرة ثابتة، تمامًا مثلما تُعطَى القدرة المتوسطة للقوة بميل خط مستقيم.

هيا نتناول مثالًا تُستخدم فيه القيمة الثابتة للقدرة.

هيا الآن نتناول مثالًا نستخدم فيه القدرة اللحظية.

مثال ٢: حساب القدرة باستخدام الشغل والزمن

تُعطَى قدرة آلة بالعلاقة ؛ حيث الزمن المُستغرَق بالثانية. أوجد الشغل المبذول بعد مرور ٨ ثوانٍ من بداية الحركة.

الحل

تتغيَّر القدرة التي توفِّرها الآلة بتغيُّر الزمن وفقًا للمعادلة: إذن الشغل الذي تبذله الآلة هو الشغل المبذول بين واللحظة .

مطلوب في السؤال إيجاد الشغل الذي تبذله الآلة في فترة زمنية تبلغ ٨ ثوانٍ تبدأ من . بما أن القدرة هي المعدَّل الزمني للشغل، إذن الشغل هو حاصل ضرب القدرة والزمن. لذا، فإن الشغل المبذول خلال فترة زمنية يساوي المساحة تحت منحنى القدرة-الزمن الآتي:

معادلة الخط المستقيم هي:

يمكن إيجاد الشغل عن طريق حساب تكامل بالنسبة إلى :

وبدلًا من استخدام التكامل، يمكن إيجاد المساحة على النحو الآتي:

نحسب القدرة عند :

تتكوَّن المساحة تحت المنحنى من مساحة مستطيل طولا ضلعيه ٨ و٧، مضافًا إليها مساحة مثلث قائم الزاوية طول قاعدته ٨ وارتفاعه . يمكن إيجاد المساحات كالآتي: فتكون المساحة الكلية:

وحدة القدرة غير مذكورة في السؤال؛ لذا، تُكتَب الإجابة على النحو الآتي:

في المثال السابق، كان من الممكن حل السؤال دون استخدام التكامل. لكن هيا الآن نتناول مثالًا مشابهًا للمثال السابق؛ حيث يجب استخدام التكامل.

مثال ٣: حساب القدرة باستخدام الشغل والزمن

تُعطَى قدرة محرِّك عند اللحظة ثانية بالعلاقة . أوجد الشغل المبذول بواسطة المحرِّك بين ، .

الحل

تتغيَّر القدرة التي يوفِّرها المحرِّك بتغيُّر الزمن. وبما أن القدرة هي المعدَّل الزمني للشغل، إذن الشغل هو حاصل ضرب القدرة والزمن. الشغل المبذول خلال فترة زمنية يساوي المساحة المحصورة بين المنحنى والمحور والخطين المتقطعين، كما هو موضَّح في منحنى القدرة-الزمن الآتي:

المساحة المطلوب حسابها ليست مساحة شكل منتظم، ولكن يمكن إيجادها باستخدام التكامل كالآتي:

ومن ثَمَّ، الشغل المبذول بواسطة المحرِّك بين ، يساوي ٩٦ جول.