شارح الدرس: خواص المحدِّدات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدد خواصَّ المحدِّدات، وكيف نستخدم هذه الخواص لتبسيط المسائل.

بالإضافة إلى كوْن محدِّد المصفوفة المربَّعة مُثيرًا للاهتمام من الناحية العملية، فإنه يضمُّ مجموعة من الخواصِّ الجبرية المهمة. فقيمة محدِّد المصفوفة المربَّعة هي كمية تُعطينا معلومات موجزة عن المصفوفة، مثل إذا ما كانت قابلة للعكس، ومن المُفيد أن نعرف هذه المعلومات قبل محاولة إجراء أيِّ عملية جبرية تتضمَّن المصفوفة. إذا كنَّا مهتمِّين فقط بمعرفة معلومات موجزة عن بعض المصفوفات عند دمجها باستخدام العمليات الجبرية التقليدية، فإنَّنا نفضِّل تقليل عدد العمليات الحسابية التي نحتاجها لتحقيق ذلك. عملية حساب قيمة المحدِّد قابلة للتبسيط بشكلٍ يكاد يكون فريدًا من نوعه؛ حيث تُتيح العديد من الخيارات، وخاصةً للمصفوفات المربَّعة ذات الرُّتب العُليا. كما يتضمَّن المحدِّد أيضًا سلسلة من الخواص الجبرية المثيرة للانتباه التي ترتبط بالعديد من المفاهيم الأساسية الأخرى في الجبر الخطي.

في هذا الشارح، سوف نَوضِّح عدَّة خواصَّ أساسية للمحدِّد. وقبل أن نفعل ذلك، علينا أن نتعرَّف على العديد من المفاهيم التي تُتيح لنا التحقُّق من النظريات التي ندَّعي أنها صحيحة. في كلِّ مرحلة، سنقدِّم توضيحًا بسيطًا لكلِّ مفهومٍ جديد نتناوله، ومن المتوقَّع أن نكون على دراية معقولة بكلٍّ منها في النهاية. على الرغم من أن النظريات التي سنوضِّحها تنطبق على جميع المصفوفات المربَّعة، فإنها قد تُشتِّت انتباهنا عن النقاط الرئيسية إذا كنَّا بحاجة إلى إجراء عدد من العمليات الحسابية المطلوبة عند حساب قيمة محدِّد لمصفوفة من الرُّتبة أو أعلى من ذلك. ومن ثَمَّ، سنكتفي فقط باستخدام مصفوفات من الرُّتبة ، . وقبل البدء، سنراجع باختصار كيفية حساب قِيَم محدِّدات هذين النوعين من المصفوفات، بدءًا بالمصفوفات من الرُّتبة .

بعد المصفوفة من الرُّتبة ، يحتلُّ محدِّد المصفوفة من الرُّتبة المركز الثاني من حيث سهولة حساب قيمته، وهي عملية بسيطة، إن لم تكن بديهية. وفي الواقع، القدرة على حساب قِيَم محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة عملية من المُهمِّ أن نُتقِنَها؛ لأنها طريقة ضرورية لحساب قِيَم محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة أو الأعلى من ذلك. افترض أن لدينا المصفوفة: حيث قمنا بتمييز كلِّ عنصر لتوضيح العملية. تُحسَب قيمة محدِّد على النحو الآتي:

سوف نستخدم هذا المفهوم عند حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة . وعلى عكس المصفوفة من الرُّتبة ، فعند حساب قيمة محدِّد مصفوفة من رُتبة أعلى، يُوجَد أكثر من خيار لمتابعة العملية الحسابية. لن نتناول الطريقة العامة لحساب قيمة محدِّد مصفوفة مربَّعة من رُتبة أعلى في هذا الشارح، وبدلًا من ذلك، اخترنا استخدام قاعدة ساروس باعتبارها الطريقة المفضَّلة لدينا. تعتمد عملية حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة باستخدام قاعدة ساروس على القدرة على حساب قِيَم محدِّدات مصفوفات من الرُّتبة تتكوَّن من عناصر معيَّنة من المصفوفة الأصلية. هذا يُعطينا ثلاث «مصفوفات صُغرى» من المصفوفة الأصلية التي رتبتها ، وتُستخدَم على النحو الآتي.

تَستخدِم قاعدة ساروس العناصر الموجودة في الصفِّ العلوي لمصفوفة من الرُّتبة بالاقتران مع محدِّدات جميع المصفوفات الصُّغرى التي تستبعد الصفَّ الأول. سنوضِّح كيف نستخدم قاعدة ساروس من خلال حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة :

لمُساعدتنا في إجراء العمليات الحسابية، نُميّز العناصر الموجودة في الصفِّ العلوي من المصفوفة:

بعد ذلك، باستخدام قاعدة ساروس، نحسب قيمة المحدِّد، كما يأتي:

وبذلك نكون قد أوضحنا كيفية حساب قِيَم محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة ، ، وسنبدأ في النظر إلى بعضٍ من أهمِّ النتائج التي توضِّح الخواصَّ الجبرية للمحدِّد. يمكن القول إن النتيجة الأولى هي إحدى أهم هذه النتائج؛ حيث يُمكننا استخدام هذه النتيجة لاستنتاج العديد من النتائج الأخرى المُثيرة للاهتمام. نظرًا لأن حساب قيمة محدِّد مصفوفة سيتطلَّب العديد من العمليات الحسابية، ويُمكن أن يتطلَّب ضرب المصفوفات عددًا كبيرًا من العمليات الحسابية كذلك، تُعَدُّ النتيجة الآتية التي تربط بين العمليتين هي إحدى النتائج الدقيقة والمُنَظَّمة بشكلٍ مُدهِش، وتترتَّب عليها نتائج مُهِمَّة من الناحيتين الحسابية والمجرَّدة.

تُوجَد نتيجة مباشِرة لهذه النظرية. وهي أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا؛ أيْ إن . لكن، إذا كان ، إذن:

سنوضِّح هذه النتيجة من خلال المصفوفتين:

من المنطقي أن نبدأ بحساب قيمتَيْ محدِّدَيْ كلٍّ من ، . وبتذكُّر التعريف المذكور سابقًا، نجد أن:

ثم نحسب قيمة محدِّد :

للتحقُّق من خاصية الضرب للمحدِّد، علينا أيضًا إجراء عمليتَيْ ضرب المصفوفتين ، . يُمكننا التحقُّق من ذلك على النحو الآتي:

بعد ذلك، نُوجِد:

وكما ذكرنا من قبل، ففي هذه الحالة . لكن النظرية التي توصَّلنا إليها لا تتطلَّب أن يكون لكي تتحقَّق المعادلة . والآن، بعد أن حصلنا على ، ، سنحسب قيمتَيْ محدِّدَيْهما. وهذا يَجرِي بالطريقة نفسها التي اتَّبعناها في المعادلتين (١)، (٢). أولًا، نحسب:

هذا أمرٌ مشجِّع للغاية؛ لأنه يُمكننا استخدام المعادلات من (١) - (٣) للتحقُّق من أن ، وهذا صحيح في هذه الحالة؛ حيث . كما نتوقَّع أيضًا، يجب أن نحصل على القيمة عند حساب قيمة المحدِّد . ومثلما توقَّعنا، يصبح لدينا:

بذلك نكون وجدنا ما توقَّعناه، وقدَّمنا طريقة للتحقُّق من أنه يُمكن توزيع المحدِّد على ضرب المصفوفات. يُمكننا بعد ذلك استخدام هذه الخاصية عندما نرغب في الحصول على قِيَم محدِّدات المصفوفات التي تتكوَّن من مصفوفات أخرى عن طريق عملية الضرب. كما سنلاحِظ في الأسئلة الآتية، فبمجرَّد معرفة أن ، لن نحتاج إلى إجراء عملية ضرب المصفوفتين من أجل إيجاد قيمة محدِّد هذه المصفوفة. هذا سيقلِّل من عدد الخطوات اللازمة لحساب قيمة المحدِّد، وهو أمرٌ إيجابي بوجهٍ عام.

يُمكننا التحقُّق من صحة هذا الناتج، إذا رغبنا في ذلك، عن طريق إجراء عملية ضرب المصفوفتين: ومن ثَمَّ نصبح قادرين على التحقُّق من أن:

ويُمكننا أيضًا إجراء الشيء نفسه مع المصفوفة ، وسنجد أنه على الرغم من أن ، فإن .

ستتَّضِح خواصُّ النظرية المذكورة سابقًا بشكل أكبر عندما نبدأ التعامل مع مصفوفات ذات رُتبة أعلى. في المثال الآتي، سنتناول مصفوفتين من الرُّتبة . لاحِظ أن عملية ضرب مصفوفتين معًا من هذه المصفوفات تعتبر عملية حسابية طويلة نفضِّل تجنُّبها، إنْ أمْكن. وإذا أردنا الحصول على قيمة المحدِّد فقط، وليست المصفوفة نفسها، فلن نحتاج إلى إجراء هذه العملية الحسابية بعد أن توصَّلنا إلى هذه النتيجة الفعّالة التي استخدمناها الآن.

إحدى طُرق التحقُّق من صحة الناتج هي إجراء عملية ضرب المصفوفتين:

يُمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة ساروس على هذه المصفوفة لتوضيح أن:

يُمكننا توسيع نطاق نتيجة خاصية الضرب للمحدِّد هذه؛ بحيث تُغطِّي الحالات التي نضرب فيها أكثر من مصفوفتين معًا. ونحن نعلم أن ضرب المصفوفات يتميَّز بخاصية الدمج؛ أيْ إن: لأيِّ مصفوفات ، ، ذات رُتَب متوافقة. يُمكننا بعد ذلك أخْذ محدِّد كلا طرفَيْ هذه المعادلة، وهو ما يُعطينا:

بما أنه معلوم لدينا أن ، نحصل على النتيجة الكاملة: التي يُمكننا من خلالها أن نستنتج الصورة العامة للنتيجة، كما يلي.

النظرية المذكورة سابقًا ليست سوى نتيجة واحدة يُمكن استنتاجها من خاصية الضرب للمحدِّد. وهذه النتيجة فعالة جدًّا، لدرجة أنها تُعطي العديد من النتائج المحدَّدة التي تتَّسِم بأهمِّيتها وتعدُّد استخداماتها. يُمكننا توسيع نطاق النظرية المذكورة سابقًا إلى عملية أخرى موضع اهتمام في الجبر الخطي، وهي إيجاد قوة صحيحة موجبة لمصفوفة مربَّعة. نظرًا لأن رفع المصفوفة لقوة عبارة عن عمليات متكررة لضرب المصفوفة في نفسها، يُمكن استخدام النظرية المذكورة سابقًا لتبسيط عدد العمليات الحسابية المطلوبة لإيجاد قيمة محدِّد مصفوفة مرفوعة إلى قوة صحيحة موجبة. قبل أن نُثبت النتيجة الآتية، يجب أن نتذكَّر أنه بالنسبة للمصفوفة المربَّعة ، والعدد الصحيح الموجب ، تُعرَّف «القوة» للمصفوفة كما يأتي: حيث يُوجَد عدد من المصفوفة في الطرف الأيسر. إذا كانت عملية ضرب المصفوفات تتضمَّن عادةً العديد من العمليات الحسابية، فسوف يتضمَّن رفع المصفوفة إلى قوة مزيدًا من العمليات الحسابية حتى بالنسبة إلى القِيَم الصغيرة لـ . وإذا تمكَّنَّا من الحصول على قيمة المحدِّد دون الحاجة إلى حساب ، فستكون هذه ميزة كبيرة. وكالعادة، تُوجَد نظرية تساعدنا في تحقيق ذلك.

يُمكننا التحقُّق من صحة هذا الناتج بإجراء عملية ضرب المصفوفة:

ثم نحسب قيمة المحدِّد:

إذا أردنا حساب ، وكان يساوي أيَّ عدد أكبر من اثنين، فسوف يتضح لنا سبب تجنَّب حساب ، إنْ أمْكن. وهذا ينطبق تحديدًا عندما تكون مصفوفة مربَّعة ذات رُتبة كبيرة. إذا لم يُوجَد سبب وجيه لفعل خلاف ذلك، وكان ما يعنينا هو المحدِّد فقط، فسنستخدم النظرية المذكورة سابقًا باعتبارها طريقة مختصرة لإجراء ذلك. فكلما زادت قيمة ورُتبة ، كانت هذه النتيجة أكثر فائدة.

يُمكننا التحقُّق من هذا الناتج بالطريقة العادية، من خلال حساب ، ثم باستخدام قاعدة ساروس لإثبات أن ، على الرغم من أن هذه العملية ستستغرق وقتًا أطول بكثير من الحلِّ المختصَر الفعال الذي أوضحناه في المثال السابق. مرَّة أخرى، إذا لم تكن هناك حاجة فعلية إلى حساب ، فلن نختار إجراء ذلك. وبوجهٍ عام، يُمكن أن يكون الجبر الخطي مُثيرًا للقلق من حيث عدد العمليات الحسابية التي يُمكن أن نُجرِيَها؛ ومن ثَمَّ فإن أيَّ طريقة مختصَرة للحصول على النتائج مطلوبة بالتأكيد.

سننظر الآن إلى تطبيق آخَر مُهمٍّ لخاصية الضرب للمحدِّد من شأنه أن يوفِّر الجهد الذي نبذله لإجراء العديد من العمليات الحسابية. نتذكَّر أنه بالنسبة إلى المصفوفة المربَّعة من الرُّتبة ، فإن معكوس هذه المصفوفة (إنْ وُجد) هو مصفوفة مربَّعة من نفس الرُّتبة؛ بحيث ؛ حيث هي مصفوفة الوحدة من الرُّتبة . وبما أن معكوس المصفوفة مُعرَّف بدلالة المصفوفة الأصلية ، وبعملية ضرب المصفوفات، نتوقَّع أن تنطبق النظرية السابقة على معكوس المصفوفة.

يُمكننا إثبات هذه النتيجة كما يأتي. بتذكُّر أن معكوس المصفوفة يحقِّق النتيجة: نأخذ محدِّد كلا طرفَيْ هذه المعادلة. ومن ثَمَّ، نحصل على:

من المعروف أن محدِّد مصفوفة الوحدة يساوي واحدًا، وهو ما يُعطينا:

وخاصية الضرب للمحدِّد تعني أنه يُمكن كتابة الطرف الأيمن في صورة بديلة كما يلي:

إذن، يصبح من السهل توضيح أن: كما هو مطلوب. هذه النتيجة مُفيدة لهذا السبب نفسه، كما في حالة ضرب المصفوفات ورفع المصفوفات إلى قوى؛ حيث يُمكننا توفير الكثير من الجهد إذا أردنا إيجاد قيمة محدِّد معكوس المصفوفة، ولم نكن بحاجة إلى إيجاد هذه المصفوفة. ويُمكن وصْف معكوس مصفوفة من الرُّتبة دون بذل جهد كبير. فبالنسبة إلى المصفوفة: معكوس هذه المصفوفة هو:

ويُمكننا التحقُّق مباشرةً من أن ؛ حيث مصفوفة وحدة من الرُّتبة . بمعلومية أن مصفوفة من الرُّتبة ، إذن ، وهذا يسمح لنا بأن نكتب المعادلة السابقة بشكل مكافئ على الصورة:

بالنسبة إلى المصفوفات المربَّعة من الرُّتبة أو أعلى من ذلك، من المُمكِن كتابة صِيَغ واضحة لمعكوس المصفوفة بدلالة المصفوفات الصُّغرى باستخدام طريقة المصفوفة المرافقة. وبدلًا من ذلك، يُمكن حساب المعكوس باستخدام عمليات صفية أولية للحصول على الصيغة الدرجية المختزلة لمصفوفة معيَّنة. وعلى الرغم من أن هاتين الطريقتين تتضمَّنان حالات يُفضَّل فيها استخدام إحداهما على الأخرى، فإنهما يتضمَّنان درجة من التعقيد الحسابي يُفضَّل تجنُّبه، إنْ أمكن. لذلك، لن نوضِّح أيَّ استنتاج لمعكوسات المصفوفات في المثال التالي. على الرغم من أن حساب محدِّدات المصفوفات المربَّعة ذات الرُّتب الأكبر سيوضِّح قوة النظرية المذكورة سابقًا بطريقة ما، فإنها عملية طويلة وتَصرِف الانتباه عن الغرض من التدريب.

يُمكننا استخدام طريقة جاوس-جوردان للحذْف أو طريقة المصفوفة المرافقة لحساب المعكوس: والتحقق من أن ؛ حيث مصفوفة الوحدة من الرُّتبة . ومن ثَمَّ، يُمكن حساب قيمة محدِّد المصفوفة باستخدام قاعدة ساروس:

وهذا يؤكِّد الناتج الذي حصلنا عليه في المثال.

النتائج التي توصَّلنا إليها في هذا الشارح جميعها مُستنتَجة من النظرية الأصلية، التي تنصُّ على إمكانية استخدام خاصية الضرب للمحدِّدات بالنسبة إلى ضرب المصفوفات‎:

ونتيجةً لذلك، توصَّلنا إلى نظريتين لاحقتين تتعلَّقان برفع المصفوفة إلى قوة ومعكوس المصفوفة. يُوجَد العديد من النتائج الأخرى التي تربط المحدِّد بمفاهيم أخرى في الجبر الخطي. على سبيل المثال، لمدوِّر المصفوفة خاصية مُثيرة للاهتمام ومُفيدة نسبيًّا بالنسبة إلى المحدِّد. إذا كانت مصفوفة مربَّعة، هو مدوِّر هذه المصفوفة، فإن أخْذ قيمة محدِّد أيٍّ من المصفوفتين سيُعطينا النتيجة نفسها. بعبارة أخرى:

تُوجَد نتائج أخرى أيضًا. على سبيل المثال، افترض أن مصفوفة من الرُّتبة ، وأن عدد ثابت. إذن، في هذه الحالة:

لم نتناول هاتين النتيجتين في هذا الشارح، لكن يُوجَد العديد من الحالات يكون من المُفيد فيها استخدامهما.

بما أن المحدِّد له عدَّة نتائج مترابطة تتعلَّق بضرب المصفوفات ورفعها إلى قوة، فقد نتوقَّع الحصول على نتائج مماثِلة لعمليتَيِ الجمع والطرح. لكن هذا الافتراض مضلِّل بعض الشيء؛ حيث يُمكن بسهولة توضيح أن قيمة محدِّد مجموع مصفوفتين لا يساوي مجموع قيمتَيْ محدِّدَيِ المصفوفتين. بعبارة أخرى، عادةً ما يكون:

على الرغم من وجود بعض المصفوفات التي ينطبق ذلك على محدِّداتها (كما في الحالة التي تكون فيها أيٌّ من أو مصفوفة صفرية)، يُمكن تأكيد العبارة المذكورة سابقًا بسهولة من خلال تحديد مصفوفتين عشوائيتين من الرُّتبة ، ثم حساب كلٍّ من ، على حِدة. ومن شبه المؤكَّد أن القيمتين لن تكونا متساويتين.