شارح الدرس: خواص المحدِّدات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدد خواصَّ المحدِّدات، وكيف نستخدم هذه الخواص لتبسيط المسائل.

بالإضافة إلى كوْن محدِّد المصفوفة المربَّعة مُثيرًا للاهتمام من الناحية العملية، فإنه يضمُّ مجموعة من الخواصِّ الجبرية المهمة. فقيمة محدِّد المصفوفة المربَّعة هي كمية تُعطينا معلومات موجزة عن المصفوفة، مثل إذا ما كانت قابلة للعكس، ومن المُفيد أن نعرف هذه المعلومات قبل محاولة إجراء أيِّ عملية جبرية تتضمَّن المصفوفة. إذا كنَّا مهتمِّين فقط بمعرفة معلومات موجزة عن بعض المصفوفات عند دمجها باستخدام العمليات الجبرية التقليدية، فإنَّنا نفضِّل تقليل عدد العمليات الحسابية التي نحتاجها لتحقيق ذلك. عملية حساب قيمة المحدِّد قابلة للتبسيط بشكلٍ يكاد يكون فريدًا من نوعه؛ حيث تُتيح العديد من الخيارات، وخاصةً للمصفوفات المربَّعة ذات الرُّتب العُليا. كما يتضمَّن المحدِّد أيضًا سلسلة من الخواص الجبرية المثيرة للانتباه التي ترتبط بالعديد من المفاهيم الأساسية الأخرى في الجبر الخطي.

في هذا الشارح، سوف نَوضِّح عدَّة خواصَّ أساسية للمحدِّد. وقبل أن نفعل ذلك، علينا أن نتعرَّف على العديد من المفاهيم التي تُتيح لنا التحقُّق من النظريات التي ندَّعي أنها صحيحة. في كلِّ مرحلة، سنقدِّم توضيحًا بسيطًا لكلِّ مفهومٍ جديد نتناوله، ومن المتوقَّع أن نكون على دراية معقولة بكلٍّ منها في النهاية. على الرغم من أن النظريات التي سنوضِّحها تنطبق على جميع المصفوفات المربَّعة، فإنها قد تُشتِّت انتباهنا عن النقاط الرئيسية إذا كنَّا بحاجة إلى إجراء عدد من العمليات الحسابية المطلوبة عند حساب قيمة محدِّد لمصفوفة من الرُّتبة ٤×٤ أو أعلى من ذلك. ومن ثَمَّ، سنكتفي فقط باستخدام مصفوفات من الرُّتبة ٢×٢، ٣×٣. وقبل البدء، سنراجع باختصار كيفية حساب قِيَم محدِّدات هذين النوعين من المصفوفات، بدءًا بالمصفوفات من الرُّتبة ٢×٢.

تعريف: محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢

لأي مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢: 󰏡=󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀، يُشار إلى المحدِّد 󰏡 بالرمز |󰏡|، وتُعطَى قيمته بالصيغة: |󰏡|=󰍾𞸀𞸁𞸢𞸃󰍾=𞸀𞸃𞸁𞸢.

بعد المصفوفة من الرُّتبة ١×١، يحتلُّ محدِّد المصفوفة من الرُّتبة ٢×٢ المركز الثاني من حيث سهولة حساب قيمته، وهي عملية بسيطة، إن لم تكن بديهية. وفي الواقع، القدرة على حساب قِيَم محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة ٢×٢ عملية من المُهمِّ أن نُتقِنَها؛ لأنها طريقة ضرورية لحساب قِيَم محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة ٣×٣ أو الأعلى من ذلك. افترض أن لدينا المصفوفة: 󰏡=󰂔١٥٣٧󰂓، حيث قمنا بتمييز كلِّ عنصر لتوضيح العملية. تُحسَب قيمة محدِّد 󰏡 على النحو الآتي: |󰏡|=󰍻١٥٣٧󰍻=١×٧(٥)×٣=٢٢.

سوف نستخدم هذا المفهوم عند حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٣×٣. وعلى عكس المصفوفة من الرُّتبة ٢×٢، فعند حساب قيمة محدِّد مصفوفة من رُتبة أعلى، يُوجَد أكثر من خيار لمتابعة العملية الحسابية. لن نتناول الطريقة العامة لحساب قيمة محدِّد مصفوفة مربَّعة من رُتبة أعلى في هذا الشارح، وبدلًا من ذلك، اخترنا استخدام قاعدة ساروس باعتبارها الطريقة المفضَّلة لدينا. تعتمد عملية حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٣×٣ باستخدام قاعدة ساروس على القدرة على حساب قِيَم محدِّدات مصفوفات من الرُّتبة ٢×٢ تتكوَّن من عناصر معيَّنة من المصفوفة الأصلية. هذا يُعطينا ثلاث «مصفوفات صُغرى» من المصفوفة الأصلية التي رتبتها ٣×٣، وتُستخدَم على النحو الآتي.

تعريف: قاعدة ساروس

افترض أن لدينا المصفوفة 󰏡 من الرُّتبة ٣×٣، تتضمَّن العناصر الآتية: 󰏡=𞸀𞸀𞸀𞸀𞸀𞸀𞸀𞸀𞸀.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

إذن، المحدِّد |󰏡| يُمكن حساب قيمته باستخدام قاعدة ساروس على النحو الآتي: |󰏡|=𞸀󰍾𞸀𞸀𞸀𞸀󰍾𞸀󰍾𞸀𞸀𞸀𞸀󰍾+𞸀󰍾𞸀𞸀𞸀𞸀󰍾=𞸀󰁓𞸀𞸀𞸀𞸀󰁒𞸀󰁓𞸀𞸀𞸀𞸀󰁒+𞸀󰁓𞸀𞸀𞸀𞸀󰁒.١١٢٢٢٣٣٢٣٣١٢٢١٢٣٣١٣٣١٣٢١٢٢٣١٣٢١١٢٢٣٣٢٣٣٢١٢٢١٣٣٢٣٣١١٣٢١٣٢٣١٢٢

تَستخدِم قاعدة ساروس العناصر الموجودة في الصفِّ العلوي لمصفوفة من الرُّتبة ٣×٣ بالاقتران مع محدِّدات جميع المصفوفات الصُّغرى التي تستبعد الصفَّ الأول. سنوضِّح كيف نستخدم قاعدة ساروس من خلال حساب قيمة محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٣×٣: 󰏡=󰃭١١٠٤٠٢٣٣١󰃬.

لمُساعدتنا في إجراء العمليات الحسابية، نُميّز العناصر الموجودة في الصفِّ العلوي من المصفوفة: 󰏡=󰃭١١٠٤٠٢٣٣١󰃬.

بعد ذلك، باستخدام قاعدة ساروس، نحسب قيمة المحدِّد، كما يأتي: |󰏡|=(١)×󰍻٠٢٣١󰍻(١)×󰍻٤٢٣١󰍻+(٠)×󰍻٤٠٣٣󰍻=(١)×(٦)(١)×(٠١)+(٠)×(٢١)=٦١.

وبذلك نكون قد أوضحنا كيفية حساب قِيَم محدِّدات المصفوفات من الرُّتبة ٢×٢، ٣×٣، وسنبدأ في النظر إلى بعضٍ من أهمِّ النتائج التي توضِّح الخواصَّ الجبرية للمحدِّد. يمكن القول إن النتيجة الأولى هي إحدى أهم هذه النتائج؛ حيث يُمكننا استخدام هذه النتيجة لاستنتاج العديد من النتائج الأخرى المُثيرة للاهتمام. نظرًا لأن حساب قيمة محدِّد مصفوفة سيتطلَّب العديد من العمليات الحسابية، ويُمكن أن يتطلَّب ضرب المصفوفات عددًا كبيرًا من العمليات الحسابية كذلك، تُعَدُّ النتيجة الآتية التي تربط بين العمليتين هي إحدى النتائج الدقيقة والمُنَظَّمة بشكلٍ مُدهِش، وتترتَّب عليها نتائج مُهِمَّة من الناحيتين الحسابية والمجرَّدة.

نظرية: خاصية ضرب المحدِّدات بالنسبة إلى ضرب المصفوفات‎‎

افترض أن لدينا المصفوفتان المربَّعتان 󰏡، 𞸁، وكلتاهما من الرُّتبة 𞸍×𞸍. إذن، يُمكن استخدام خاصية ضرب المحدِّدات عند ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁. بعبارة أخرى: |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|.

تُوجَد نتيجة مباشِرة لهذه النظرية. وهي أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا؛ أيْ إن 󰏡𞸁𞸁󰏡. لكن، إذا كان |𞸁󰏡|=|𞸁||󰏡|=|󰏡||𞸁|=|󰏡𞸁|، إذن: |󰏡𞸁|=|𞸁󰏡|.

سنوضِّح هذه النتيجة من خلال المصفوفتين: 󰏡=󰂔١٠٢٤󰂓،𞸁=󰂔٣١٢٧󰂓.

من المنطقي أن نبدأ بحساب قيمتَيْ محدِّدَيْ كلٍّ من 󰏡، 𞸁. وبتذكُّر التعريف المذكور سابقًا، نجد أن:

|󰏡|=󰍻١٠٢٤󰍻=١×٤٠×(٢)=٤.()١

ثم نحسب قيمة محدِّد 𞸁:

|𞸁|=󰍻٣١٢٧󰍻=٣×(٧)(١)×٢=٩١.()٢

للتحقُّق من خاصية الضرب للمحدِّد، علينا أيضًا إجراء عمليتَيْ ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁، 𞸁󰏡. يُمكننا التحقُّق من ذلك على النحو الآتي: 󰏡𞸁=󰂔١٠٢٤󰂓󰂔٣١٢٧󰂓=󰂔٣١٢٦٢󰂓.

بعد ذلك، نُوجِد: 𞸁󰏡=󰂔٣١٢٧󰂓󰂔١٠٢٤󰂓=󰂔٥٤٦١٨٢󰂓.

وكما ذكرنا من قبل، ففي هذه الحالة 󰏡𞸁𞸁󰏡. لكن النظرية التي توصَّلنا إليها لا تتطلَّب أن يكون 󰏡𞸁=𞸁󰏡 لكي تتحقَّق المعادلة |󰏡𞸁|=|𞸁󰏡|. والآن، بعد أن حصلنا على 󰏡𞸁، 𞸁󰏡، سنحسب قيمتَيْ محدِّدَيْهما. وهذا يَجرِي بالطريقة نفسها التي اتَّبعناها في المعادلتين (١)، (٢). أولًا، نحسب:

|󰏡𞸁|=󰍻٣١٢٦٢󰍻=٣×(٦٢)(١)×٢=٦٧.()٣

هذا أمرٌ مشجِّع للغاية؛ لأنه يُمكننا استخدام المعادلات من (١) - (٣) للتحقُّق من أن |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|، وهذا صحيح في هذه الحالة؛ حيث ٦٧=٤×(٩١). كما نتوقَّع أيضًا، يجب أن نحصل على القيمة ٦٧ عند حساب قيمة المحدِّد |𞸁󰏡|. ومثلما توقَّعنا، يصبح لدينا: |𞸁󰏡|=󰍻٥٤٦١٨٢󰍻=٥×(٨٢)(٤)×٦١=٦٧.

بذلك نكون وجدنا ما توقَّعناه، وقدَّمنا طريقة للتحقُّق من أنه يُمكن توزيع المحدِّد على ضرب المصفوفات. يُمكننا بعد ذلك استخدام هذه الخاصية عندما نرغب في الحصول على قِيَم محدِّدات المصفوفات التي تتكوَّن من مصفوفات أخرى عن طريق عملية الضرب. كما سنلاحِظ في الأسئلة الآتية، فبمجرَّد معرفة أن |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|، لن نحتاج إلى إجراء عملية ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁 من أجل إيجاد قيمة محدِّد هذه المصفوفة. هذا سيقلِّل من عدد الخطوات اللازمة لحساب قيمة المحدِّد، وهو أمرٌ إيجابي بوجهٍ عام.

مثال ١: خاصية الضرب لمحدِّد مصفوفتين من الرُّتبة ٢×٢

انظر المصفوفتين: 󰏡=󰂔٢٣١٣󰂓،𞸁=󰂔٠٢٤٩󰂓.

دون إجراء عملية ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁، أوجد قيمة المحدِّد |󰏡𞸁|.

الحل

نعلم أنه يُمكن استخدام خاصية الضرب للمحدِّدات بالنسبة إلى ضرب المصفوفات. بعبارة أخرى:

|󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|.()٤

لكي نحسب |󰏡𞸁|، ما علينا سوى حساب |󰏡|، |𞸁| كلٍّ على حدةٍ. ومن ثَمَّ، نجد أن:

|󰏡|=󰍻٢٣١٣󰍻=٢×(٣)٣×١=٩.()٥

نحسب أيضًا:

|𞸁|=󰍻٠٢٤٩󰍻=٠×٩٢×٤=٨.()٦

بمعلومية المعادلة (٤)، يُمكننا استخدام ناتجي المعادلتين (٥) و(٦) لنحصل على: |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|=(٩)×(٨)=٢٧.

يُمكننا التحقُّق من صحة هذا الناتج، إذا رغبنا في ذلك، عن طريق إجراء عملية ضرب المصفوفتين: 󰏡𞸁=󰂔٢٣١٣󰂓󰂔٠٢٤٩󰂓=󰂔٢١١٣٢١٥٢󰂓، ومن ثَمَّ نصبح قادرين على التحقُّق من أن: |󰏡𞸁|=󰍻٢١١٣٢١٥٢󰍻=٢١×(٥٢)١٣×(٢١)=٢٧.

ويُمكننا أيضًا إجراء الشيء نفسه مع المصفوفة 𞸁󰏡، وسنجد أنه على الرغم من أن 󰏡𞸁𞸁󰏡، فإن |󰏡𞸁|=|𞸁󰏡|.

ستتَّضِح خواصُّ النظرية المذكورة سابقًا بشكل أكبر عندما نبدأ التعامل مع مصفوفات ذات رُتبة أعلى. في المثال الآتي، سنتناول مصفوفتين من الرُّتبة ٣×٣. لاحِظ أن عملية ضرب مصفوفتين معًا من هذه المصفوفات تعتبر عملية حسابية طويلة نفضِّل تجنُّبها، إنْ أمْكن. وإذا أردنا الحصول على قيمة المحدِّد |󰏡𞸁| فقط، وليست المصفوفة 󰏡𞸁 نفسها، فلن نحتاج إلى إجراء هذه العملية الحسابية بعد أن توصَّلنا إلى هذه النتيجة الفعّالة التي استخدمناها الآن.

مثال ٢: خاصية الضرب لمحدِّد مصفوفتين من الرُّتبة ٣ × ٣

انظر المصفوفتين: 󰏡=󰃭١٠١٢٢٦٠١٣󰃬،𞸁=󰃭٠٥٢١٣٠١٠١󰃬.

دون إجراء عملية ضرب المصفوفتين 󰏡𞸁، أوجد قيمة المحدِّد |󰏡𞸁|.

الحل

سنستخدم قاعدة ساروس لحساب قيمتَيْ محدِّدَيِ المصفوفتين. نبدأ بتمييز الصفِّ الأول في كلِّ مصفوفة: 󰏡=󰃭١٠١٢٢٦٠١٣󰃬،𞸁=󰃭٠٥٢١٣٠١٠١󰃬.

إذن، محدِّد المصفوفة 󰏡 هو: |󰏡|=(١)×󰍻٢٦١٣󰍻(٠)×󰍻٢٦٠٣󰍻+(١)×󰍻٢٢٠١󰍻=(١)×(٢١)(٠)×(٦)+(١)×(٢)=٠١.

ومحدِّد المصفوفة 𞸁 هو: |𞸁|=(٠)×󰍻٣٠٠١󰍻(٥)×󰍻١٠١١󰍻+(٢)×󰍻١٣١٠󰍻=(٠)×(٣)(٥)×(١)+(٢)×(٣)=١١.

إذا علمنا أن |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|، يُصبح لدينا: |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|=٠١×(١١)=٠١١.

إحدى طُرق التحقُّق من صحة الناتج هي إجراء عملية ضرب المصفوفتين: 󰏡𞸁=󰃭١٠١٢٢٦٠١٣󰃬󰃭٠٥٢١٣٠١٠١󰃬=󰃭١٥٣٤٤٠١٤٣٣󰃬.

يُمكننا بعد ذلك استخدام قاعدة ساروس على هذه المصفوفة لتوضيح أن: |󰏡𞸁|=(١)×󰍻٤٠١٣٣󰍻(٥)×󰍻٤٠١٤٣󰍻+(٣)×󰍻٤٤٤٣󰍻=(١)×(٨١)(٥)×(٨٢)+(٣)×(٤)=٠١١.

يُمكننا توسيع نطاق نتيجة خاصية الضرب للمحدِّد هذه؛ بحيث تُغطِّي الحالات التي نضرب فيها أكثر من مصفوفتين معًا. ونحن نعلم أن ضرب المصفوفات يتميَّز بخاصية الدمج؛ أيْ إن: 󰏡𞸁𞸢=󰏡(𞸁𞸢) لأيِّ مصفوفات 󰏡، 𞸁، 𞸢 ذات رُتَب متوافقة. يُمكننا بعد ذلك أخْذ محدِّد كلا طرفَيْ هذه المعادلة، وهو ما يُعطينا: |󰏡𞸁𞸢|=|󰏡||𞸁𞸢|.

بما أنه معلوم لدينا أن |𞸁𞸢|=|𞸁||𞸢|، نحصل على النتيجة الكاملة: |󰏡𞸁𞸢|=|󰏡||𞸁||𞸢|، التي يُمكننا من خلالها أن نستنتج الصورة العامة للنتيجة، كما يلي.

نظرية: خاصية الضرب العامة للمحدِّدات

افترض أن لدينا المصفوفات 󰏡،󰏡،،󰏡١٢𞸌، وجميعها من الرُّتبة 𞸍×𞸍. إذن في هذه الحالة: |󰏡󰏡󰏡|=|󰏡||󰏡||󰏡|.١٢𞸌١٢𞸌

مثال ٣: خاصية الضرب للمحدِّد باستخدام أكثر من مصفوفتين

افترض أن المصفوفات المربَّعة 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 لها نفس الرُّتبة. وافترض أن قِيَم بعض المحدِّدات معلومة: |󰏡𞸁𞸢𞸃|=٦١،|󰏡|=٣،|𞸁|=١٩،|𞸢|=٢١.

استخدم هذه المُعطَيَات لحساب |𞸃|.

الحل

نعلم أنه يُمكن استخدام خاصية الضرب للمحدِّدات؛ ومن ثَمَّ: |󰏡𞸁𞸢𞸃|=|󰏡||𞸁||𞸢||𞸃|.

باستخدام المُعطَيَات الموجودة في السؤال، يصبح لدينا: ٦١=٣×١٩×٢١×|𞸃|.

وبحلِّ ذلك، نجد أن |𞸃|=٤.

النظرية المذكورة سابقًا ليست سوى نتيجة واحدة يُمكن استنتاجها من خاصية الضرب للمحدِّد. وهذه النتيجة فعالة جدًّا، لدرجة أنها تُعطي العديد من النتائج المحدَّدة التي تتَّسِم بأهمِّيتها وتعدُّد استخداماتها. يُمكننا توسيع نطاق النظرية المذكورة سابقًا إلى عملية أخرى موضع اهتمام في الجبر الخطي، وهي إيجاد قوة صحيحة موجبة لمصفوفة مربَّعة. نظرًا لأن رفع المصفوفة لقوة عبارة عن عمليات متكررة لضرب المصفوفة في نفسها، يُمكن استخدام النظرية المذكورة سابقًا لتبسيط عدد العمليات الحسابية المطلوبة لإيجاد قيمة محدِّد مصفوفة مرفوعة إلى قوة صحيحة موجبة. قبل أن نُثبت النتيجة الآتية، يجب أن نتذكَّر أنه بالنسبة للمصفوفة المربَّعة 󰏡، والعدد الصحيح الموجب 𞸊، تُعرَّف «القوة» 𞸊 للمصفوفة كما يأتي: 󰏡=󰏡×󰏡××󰏡،𞸊 حيث يُوجَد عدد 𞸊 من المصفوفة 󰏡 في الطرف الأيسر. إذا كانت عملية ضرب المصفوفات تتضمَّن عادةً العديد من العمليات الحسابية، فسوف يتضمَّن رفع المصفوفة إلى قوة مزيدًا من العمليات الحسابية حتى بالنسبة إلى القِيَم الصغيرة لـ 𞸊. وإذا تمكَّنَّا من الحصول على قيمة المحدِّد |󰏡|𞸊 دون الحاجة إلى حساب 󰏡𞸊، فستكون هذه ميزة كبيرة. وكالعادة، تُوجَد نظرية تساعدنا في تحقيق ذلك.

نظرية: المحدِّد ورفع المصفوفة لقوة

افترض أن لدينا المصفوفة 󰏡 من الرُّتبة 𞸍×𞸍، 𞸊 عدد صحيح موجب. إذن: |󰏡|=|󰏡|.𞸊𞸊

مثال ٤: رفع المصفوفة لقوة وإيجاد محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢

انظر المصفوفة: 󰏡=󰂔٨٤١٢󰂓.

دون حساب 󰏡٢، أوجد |󰏡|٢.

الحل

يُمكننا الاستعانة بالنتيجة التي تخبرنا أن |󰏡|=|󰏡|𞸊𞸊. هذا يعني أن علينا فقط حساب قيمة المحدِّد |󰏡|. باستخدام صيغة محدِّد المصفوفة من الرُّتبة ٢×٢، يصبح لدينا: |󰏡|=󰍻٨٤١٢󰍻=٨×٢(٤)×(١)=٢١.

يُمكننا بعد ذلك حساب: |󰏡|=|󰏡|=٢١=٤٤١.٢٢٢

يُمكننا التحقُّق من صحة هذا الناتج بإجراء عملية ضرب المصفوفة: 󰏡=󰏡×󰏡=󰂔٨٤١٢󰂓󰂔٨٤١٢󰂓=󰂔٨٦٠٤٠١٨󰂓.٢

ثم نحسب قيمة المحدِّد: |󰏡|=󰍻٨٦٠٤٠١٨󰍻=٨٦×٨(٠٤)×(٠١)=٤٤١.٢

إذا أردنا حساب |󰏡|𞸊، وكان 𞸊 يساوي أيَّ عدد أكبر من اثنين، فسوف يتضح لنا سبب تجنَّب حساب 󰏡𞸊، إنْ أمْكن. وهذا ينطبق تحديدًا عندما تكون 󰏡 مصفوفة مربَّعة ذات رُتبة كبيرة. إذا لم يُوجَد سبب وجيه لفعل خلاف ذلك، وكان ما يعنينا هو المحدِّد |󰏡|𞸊 فقط، فسنستخدم النظرية المذكورة سابقًا باعتبارها طريقة مختصرة لإجراء ذلك. فكلما زادت قيمة 𞸊 ورُتبة 󰏡، كانت هذه النتيجة أكثر فائدة.

مثال ٥: رفع المصفوفة لقوة وإيجاد محدِّد مصفوفة من الرُّتبة ٣×٣

انظر المصفوفة: 󰏡=󰃭١٠١٢١٣٠١١󰃬.

دون حساب 󰏡٦، أوجد |󰏡|٦.

الحل

قبل حساب |󰏡|٦، سنحسب قيمة محدِّد 󰏡. سنستخدم قاعدة ساروس، وسنُميّز أولًا الصفَّ العلوي من 󰏡: 󰏡=󰃭١٠١٢١٣٠١١󰃬.

بعد ذلك، سنستخدم قاعدة ساروس لنجد أن: |󰏡|=(١)×󰍻١٣١١󰍻(٠)×󰍻٢٣٠١󰍻+(١)×󰍻٢١٠١󰍻=(١)×(٤)(٠)×(٢)+(١)×(٢)=٢.

إذا كان |󰏡|=|󰏡|𞸊𞸊، وكان 𞸊 عددًا صحيحًا موجبًا، يُمكننا حساب: |󰏡|=|󰏡|=(٢)=٤٦.٦٦٦

يُمكننا التحقُّق من هذا الناتج بالطريقة العادية، من خلال حساب 󰏡٦، ثم باستخدام قاعدة ساروس لإثبات أن |󰏡|=٤٦٦، على الرغم من أن هذه العملية ستستغرق وقتًا أطول بكثير من الحلِّ المختصَر الفعال الذي أوضحناه في المثال السابق. مرَّة أخرى، إذا لم تكن هناك حاجة فعلية إلى حساب 󰏡٦، فلن نختار إجراء ذلك. وبوجهٍ عام، يُمكن أن يكون الجبر الخطي مُثيرًا للقلق من حيث عدد العمليات الحسابية التي يُمكن أن نُجرِيَها؛ ومن ثَمَّ فإن أيَّ طريقة مختصَرة للحصول على النتائج مطلوبة بالتأكيد.

سننظر الآن إلى تطبيق آخَر مُهمٍّ لخاصية الضرب للمحدِّد من شأنه أن يوفِّر الجهد الذي نبذله لإجراء العديد من العمليات الحسابية. نتذكَّر أنه بالنسبة إلى المصفوفة المربَّعة 󰏡 من الرُّتبة 𞸍×𞸍، فإن معكوس هذه المصفوفة 󰏡١ (إنْ وُجد) هو مصفوفة مربَّعة من نفس الرُّتبة؛ بحيث 󰏡󰏡=󰏡󰏡=𝐼١١𞸍؛ حيث 𝐼𞸍 هي مصفوفة الوحدة من الرُّتبة 𞸍×𞸍. وبما أن معكوس المصفوفة مُعرَّف بدلالة المصفوفة الأصلية 󰏡، وبعملية ضرب المصفوفات، نتوقَّع أن تنطبق النظرية السابقة على معكوس المصفوفة.

نظرية: محدِّد المعكوس الضربي للمصفوفة

افترض أن لدينا المصفوفة 󰏡 من الرُّتبة 𞸍×𞸍، ومعكوسها 󰏡١. إذن، في هذه الحالة: |󰏡|=|󰏡|.١١

يُمكننا إثبات هذه النتيجة كما يأتي. بتذكُّر أن معكوس المصفوفة 󰏡١ يحقِّق النتيجة: 󰏡󰏡=𝐼،١𞸍 نأخذ محدِّد كلا طرفَيْ هذه المعادلة. ومن ثَمَّ، نحصل على: |󰏡󰏡|=|𝐼|.١𞸍

من المعروف أن محدِّد مصفوفة الوحدة يساوي واحدًا، وهو ما يُعطينا: |󰏡󰏡|=١.١

وخاصية الضرب للمحدِّد تعني أنه يُمكن كتابة الطرف الأيمن في صورة بديلة كما يلي: |󰏡||󰏡|=١.١

إذن، يصبح من السهل توضيح أن: |󰏡|=|󰏡|،١١ كما هو مطلوب. هذه النتيجة مُفيدة لهذا السبب نفسه، كما في حالة ضرب المصفوفات ورفع المصفوفات إلى قوى؛ حيث يُمكننا توفير الكثير من الجهد إذا أردنا إيجاد قيمة محدِّد معكوس المصفوفة، ولم نكن بحاجة إلى إيجاد هذه المصفوفة. ويُمكن وصْف معكوس مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢ دون بذل جهد كبير. فبالنسبة إلى المصفوفة: 󰏡=󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀، معكوس هذه المصفوفة هو: 󰏡=١𞸀𞸃𞸁𞸢󰃁𞸃𞸁𞸢𞸀󰃀.١

ويُمكننا التحقُّق مباشرةً من أن 󰏡󰏡=󰏡󰏡=𝐼١١٢؛ حيث 𝐼٢ مصفوفة وحدة من الرُّتبة ٢×٢. بمعلومية أن 󰏡 مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢، إذن |󰏡|=𞸀𞸃𞸁𞸢، وهذا يسمح لنا بأن نكتب المعادلة السابقة بشكل مكافئ على الصورة: 󰏡=١|󰏡|󰃁𞸃𞸁𞸢𞸀󰃀.١

مثال ٦: إيجاد قيمة المحدِّد ومعكوس مصفوفة من الرُّتبة ٢×٢

انظر المصفوفة: 󰏡=󰂔٣١١٢󰂓.

بعد حساب قيمة المحدِّد |󰏡|، ومعكوس المصفوفة 󰏡١، هل تؤكِّد النتائج أن |󰏡|=|󰏡|١١؟

الحل

نحسب قيمة محدِّد المصفوفة 󰏡 على النحو الآتي:

|󰏡|=󰍻٣١١٢󰍻=٣×٢(١)×(١)=٥.()٧

إذا كان |󰏡|=|󰏡|١١، نتوقَّع أن |󰏡|=١٥١. يُمكن التأكُّد من ذلك عن طريق إيجاد معكوس المصفوفة 󰏡١ أولًا باستخدام النتيجة العامة: 𞸌=󰃁𞸀𞸁𞸢𞸃󰃀،𞸌=١|𞸌|󰃁𞸃𞸁𞸢𞸀󰃀.١

بالنسبة إلى المصفوفة 󰏡، نحسب معكوس المصفوفة باستخدام المعادلة (٧): 󰏡=١|󰏡|󰂔٢١١٣󰂓=١٥󰂔٢١١٣󰂓=٢٥١٥١٥٣٥.١

بعد ذلك، نحسب قيمة المحدِّد: |󰏡|=|||||٢٥١٥١٥٣٥|||||=٢٥×٣٥١٥×١٥=١٥.١

وهذا يؤكِّد الناتج الذي حصلنا عليه سابقًا، والذي أوجدناه دون الحاجة إلى حساب 󰏡١.

بالنسبة إلى المصفوفات المربَّعة من الرُّتبة ٣×٣ أو أعلى من ذلك، من المُمكِن كتابة صِيَغ واضحة لمعكوس المصفوفة بدلالة المصفوفات الصُّغرى باستخدام طريقة المصفوفة المرافقة. وبدلًا من ذلك، يُمكن حساب المعكوس باستخدام عمليات صفية أولية للحصول على الصيغة الدرجية المختزلة لمصفوفة معيَّنة. وعلى الرغم من أن هاتين الطريقتين تتضمَّنان حالات يُفضَّل فيها استخدام إحداهما على الأخرى، فإنهما يتضمَّنان درجة من التعقيد الحسابي يُفضَّل تجنُّبه، إنْ أمكن. لذلك، لن نوضِّح أيَّ استنتاج لمعكوسات المصفوفات في المثال التالي. على الرغم من أن حساب محدِّدات المصفوفات المربَّعة ذات الرُّتب الأكبر سيوضِّح قوة النظرية المذكورة سابقًا بطريقة ما، فإنها عملية طويلة وتَصرِف الانتباه عن الغرض من التدريب.

مثال ٧: إيجاد قيمة المحدِّد ومعكوس مصفوفة من الرُّتبة ٣×٣

انظر المصفوفة: 󰏡=󰃭١١٢١٠١٢٢٥󰃬.

دون حساب 󰏡١، أوجد |󰏡|١.

الحل

لا نعرف حتى الآن إذا ما كانت المصفوفة 󰏡 قابلة للعكس، وهو ما يعني أن 󰏡١ قد لا يكون موجودًا بالفعل. أسرع طريقة لمعرفة ذلك هي حساب قيمة المحدِّد |󰏡|. يُمكننا تمييز العناصر الموجودة في الصفِّ الأول من 󰏡: 󰏡=󰃭١١٢١٠١٢٢٥󰃬.

بعد ذلك، نستخدم قاعدة ساروس لنحصل على: |󰏡|=(١)×󰍻٠١٢٥󰍻(١)×󰍻١١٢٥󰍻+(٢)×󰍻١٠٢٢󰍻=(١)×(٢)(١)×(٣)+(٢)×(٢)=١.

وبما أن |󰏡|٠، فإننا نعلم أن معكوس المصفوفة موجود. إذن، نستخدم النظرية المعروفة التي تخبرنا أن |󰏡|=|󰏡|١١، وبذلك نستنتج أن |󰏡|=(١)=١١١.

يُمكننا استخدام طريقة جاوس-جوردان للحذْف أو طريقة المصفوفة المرافقة لحساب المعكوس: 󰏡=󰃭٢١١٣١١٢٠١󰃬١ والتحقق من أن 󰏡󰏡=󰏡󰏡=𝐼١١٣؛ حيث 𝐼٣ مصفوفة الوحدة من الرُّتبة ٣×٣. ومن ثَمَّ، يُمكن حساب قيمة محدِّد المصفوفة 󰏡 باستخدام قاعدة ساروس: |󰏡|=(٢)×󰍻١١٠١󰍻(١)×󰍻٣١٢١󰍻+(١)×󰍻٣١٢٠󰍻=(٢)×(١)(١)×(١)+(١)×(٢)=١.

وهذا يؤكِّد الناتج الذي حصلنا عليه في المثال.

النتائج التي توصَّلنا إليها في هذا الشارح جميعها مُستنتَجة من النظرية الأصلية، التي تنصُّ على إمكانية استخدام خاصية الضرب للمحدِّدات بالنسبة إلى ضرب المصفوفات‎: |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|.

ونتيجةً لذلك، توصَّلنا إلى نظريتين لاحقتين تتعلَّقان برفع المصفوفة إلى قوة ومعكوس المصفوفة. يُوجَد العديد من النتائج الأخرى التي تربط المحدِّد بمفاهيم أخرى في الجبر الخطي. على سبيل المثال، لمدوِّر المصفوفة خاصية مُثيرة للاهتمام ومُفيدة نسبيًّا بالنسبة إلى المحدِّد. إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربَّعة، 󰏡 هو مدوِّر هذه المصفوفة، فإن أخْذ قيمة محدِّد أيٍّ من المصفوفتين سيُعطينا النتيجة نفسها. بعبارة أخرى: |󰏡|=|󰏡|.

تُوجَد نتائج أخرى أيضًا. على سبيل المثال، افترض أن 󰏡 مصفوفة من الرُّتبة 𞸍×𞸍، وأن 𞸢 عدد ثابت. إذن، في هذه الحالة: |𞸢󰏡|=𞸢|󰏡|.𞸍

لم نتناول هاتين النتيجتين في هذا الشارح، لكن يُوجَد العديد من الحالات يكون من المُفيد فيها استخدامهما.

بما أن المحدِّد له عدَّة نتائج مترابطة تتعلَّق بضرب المصفوفات ورفعها إلى قوة، فقد نتوقَّع الحصول على نتائج مماثِلة لعمليتَيِ الجمع والطرح. لكن هذا الافتراض مضلِّل بعض الشيء؛ حيث يُمكن بسهولة توضيح أن قيمة محدِّد مجموع مصفوفتين لا يساوي مجموع قيمتَيْ محدِّدَيِ المصفوفتين. بعبارة أخرى، عادةً ما يكون: |󰏡+𞸁||󰏡|+|𞸁|.

على الرغم من وجود بعض المصفوفات التي ينطبق ذلك على محدِّداتها (كما في الحالة التي تكون فيها أيٌّ من 󰏡 أو 𞸁 مصفوفة صفرية)، يُمكن تأكيد العبارة المذكورة سابقًا بسهولة من خلال تحديد مصفوفتين عشوائيتين من الرُّتبة ٢×٢، ثم حساب كلٍّ من |󰏡+𞸁|، |󰏡|+|𞸁| على حِدة. ومن شبه المؤكَّد أن القيمتين لن تكونا متساويتين.

النقاط الرئيسية

  • يُمكن استخدام خاصية الضرب للمحدِّدات بالنسبة إلى ضرب المصفوفات. بعبارة أخرى: |󰏡𞸁|=|󰏡||𞸁|.
  • إذا كان 𞸊 عددًا صحيحًا موجبًا، ففي هذه الحالة: |󰏡|=|󰏡|𞸊𞸊.
  • إذا كانت 󰏡 مصفوفة مربَّعة، والمعكوس 󰏡١ موجودًا، تكون العلاقة بين المحدِّدَيْن على النحو الآتي: |󰏡|=|󰏡|١١.
  • قيمة محدِّد مجموع مصفوفتين لا يساوي مجموع قيمتَيْ محدِّدَيِ المصفوفتين (أيْ |󰏡+𞸁||󰏡|+|𞸁| بشكل عام).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.