في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواص التناسب لإيجاد قيمة مجهولة في علاقة تناسب، وإثبات عبارات جبرية.
نقول إن عددين أو أكثر في تناسب إذا كانت النسب بين أزواج الأعداد متساوية. ويُطبَّق هذا النوع من العلاقات في مجالات الطبيعة والعلوم. على سبيل المثال، تكون حدود البسط والمقام للكسور المتكافئة متناسبة.
ويمكننا استخدام خاصية التناسب بين أزواج الأعداد المُعطاة لإيجاد القيم المجهولة الناقصة. على سبيل المثال، إذا علمنا أن النسبة تساوي النسبة ، فيمكننا إيجاد قيمة . وإحدى طرق فعل ذلك هي حساب معامل تناسب النسبة الأولى على الصورة:
ومن ثَمَّ، لا بد أن يكون معامل التناسب هو نفسه في النسبة الثانية، إذن:
يمكننا بعد ذلك ضرب طرفَي هذه المعادلة في ٢١ للحصول على:
يمكننا تمثيل هذه المعلومات بيانيًّا باستخدام خطين من خطوط الأعداد.
في خط الأعداد الأول، لدينا الكمية الأولى في كل نسبة، وفي خط الأعداد الثاني، لدينا الكمية الثانية في كل نسبة. وبما أن النسبتين متساويتان، إذن يمكننا الضرب في الثابت نفسه ، للتحويل من الكمية الأولى إلى الثانية. كما يمكننا أيضًا إضافة معدل الوحدة إلى هذا الشكل لتحديد معدل التحويل للوحدة الواحدة؛ وهذا سيساوي .
يمكننا إيجاد ؛ أي معامل التناسب، بملاحظة أن ، إذن . وهذا يمكِّننا بعد ذلك من تحويل ٢١ بالضرب في ٢. تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكننا التحويل في الاتجاه الآخر للسهم باستخدام عامل . وتُعرَف أزواج الأعداد على هذه الصورة بأنها متناسبة. هذا مثال على القول بأن الأعداد ٧ و١٤ و٢١ و٤٢ متناسبة. يمكننا وصف هذه العلاقة بطريقة منهجية على النحو الآتي.
تعريف: الأعداد المتناسبة
إذا كانت النسبة تساوي النسبة ، فإننا نقول إن ، ، ، قيم متناسبة.
وعلى وجه التحديد، بما أن ، فإننا نحصل على .
ويُطلَق على القيم ، ، ، حدود التناسب، ونُسمِّيها الأول المتناسب، والثاني المتناسب، والثالث المتناسب، والرابع المتناسب. ويُطلَق على الحدين (، ) الطرفان، وعلى الحدين (، ) الوسطان.
إذن يمكن أيضًا التفكير في المعادلة باعتبارها «حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين».
هيا الآن نتناول مثالًا آخر لدينا فيه ثلاثة أعداد وقيمة مجهولة في تناسب، وعلينا إيجاد قيمة المجهول.
مثال ١: إيجاد قيمة حد مجهول في تناسب باستخدام الجبر
إذا كانت النسبة بين ٨ و٣ هي نفس النسبة بين ٩٦، ، فأوجد قيمة .
الحل
نبدأ بتذكُّر أنه إذا كانت النسبة بين زوجين من الأعداد هي نفسها، فإن نسبتَيْهما متساويتان. ومن ثَمَّ، يكون خارج قسمة كل زوج من الأعداد متساويًا، وهو ما يُعطينا:
يمكننا ضرب كلا الطرفين في لنحصل على: ثم نقسم كلا الطرفين على ٨ لإيجاد قيمة :
هيا الآن نتناول حالة خاصة تضم أزواجًا من الأعداد في علاقة التناسب نفسها. تخيَّل أننا عَلِمنا أن لدينا ثلاثة أعداد في التناسب نفسه. إذن النسبة بين ، تساوي النسبة بين ، . يمكننا تطبيق المنطق نفسه الذي استخدمناه في الأمثلة السابقة لإيجاد معادلات تتضمَّن هذه القيم. على سبيل المثال، نحن نعلم أن ، ؛ ومن ثَمَّ لا بد أن يكون لدينا:
يمكننا بعد ذلك ضرب طرفَي هذه المعادلة في ، لنحصل على:
وبالمثل، بما أن ، متناسبان طرديًّا، إذن يصبح لدينا ، وبما أن ، متناسبان طرديًّا، إذن يصبح لدينا . بالتعويض بهذا التعبير عن في معادلة التناسب للحد ، نحصل على:
هذا النوع من التناسب يُسمَّى التناسب المتسلسل؛ وهو ينطبق على أي عدد من الحدود، لكننا عادةً ما نرى ثلاثة حدود في أي تناسب متسلسل.
على سبيل المثال، الأعداد ١ و٤ و١٦ في تناسب متسلسل؛ لأن كل زوج من الأعداد المتتالية له النسبة نفسها. ويمكننا حساب خارج القسمة لهما على هذه الصورة:
يمكننا استخدام ذلك لتعريف التناسب المتسلسل وبعض الحدود المفيدة بطريقة منهجية لمساعدتنا في وصف التناسب المتسلسل.
تعريف: التناسب المتسلسل
نقول إن قائمة حدود تكون في تناسب متسلسل إذا كانت النسبة بين الحدين المتتاليين ثابتة. ويمكن أن يكون أي عدد من الكميات في تناسب متسلسل. لكن يكون لدينا عادةً ثلاثة أو أربعة حدود في أي تناسب متسلسل.
إذا كان ، ، في تناسب متسلسل، فإن: وهو ما يخبرنا بأن:
ويُطلَق على الحد الأوسط الوسط المتناسب بين ، ؛ حيث هو الأول المتناسب، و هو الثاني المتناسب، و هو الثالث المتناسب. ويُعرَف أيضًا ، بالطرفين، كما يُعرَف بالوسط.
وإذا كان ، ، ، في تناسب متسلسل، فإن:
ويُعرَف ، بالطرفين، ويُعرَف ، بالوسطين. يمكننا أيضًا تسمية الحدود بالأول المتناسب، والثاني المتناسب، والثالث المتناسب، والرابع المتناسب.
نتناول بعض الأمثلة على حل المسائل التي تتضمَّن تناسبًا متسلسلًا.
مثال ٢: استخدام خواص التناسب المتسلسل لإيجاد تعبيرات متكافئة
إذا كان الوسط المتناسب بين ، ، فأيٌّ من الآتي يساوي ؟
الحل
نبدأ بتذكُّر أن القول بأن هو الوسط المتناسب بين ، يعني أن ، ، في تناسب متسلسل. وهذا يعني أن النسبة بين الحدين المتتاليين يجب أن تكون متساوية. ومن ثَمَّ:
بضرب طرفَي المعادلة في ، نحصل على:
يمكننا التعويض بقيمة في التعبير المُعطى، لنحصل على:
يحتوي البسط على عامل مشترك هو ، والمقام به عامل مشترك هو . بإخراج هذين العاملين، نحصل على:
وبحذف العامل المشترك في البسط والمقام، ينتج:
وهذا هو الخيار (أ).
مثال ٣: استخدام خواص التناسب لإيجاد تعبيرات متكافئة
إذا كان هو وسط التناسب بين ، ، فأيٌّ من الآتي يساوي ؟
الحل
نبدأ بتذكُّر أن القول بأن هو وسط التناسب بين ، يعني أن ، ، في تناسب متسلسل، وهو ما يعني أن النسبة بين الحدين المتتاليين يجب أن تكون متساوية. ومن ثَمَّ: لثابت ما .
بإعادة ترتيب كل معادلة، نحصل على ، . يمكننا التعويض بهذين التعبيرين في المعادلة المُعطاة:
وبتوزيع الأسس باستخدام القاعدة يصبح لدينا:
يحتوي البسط على عامل مشترك هو ، والمقام به عامل مشترك هو . ومن ثَمَّ، يمكننا إخراج هذين العاملين، ليصبح لدينا:
يمكننا الآن حذف العامل المشترك ، لنحصل على:
بعد ذلك، نضع الأس خارج التعبير:
وهذا هو الخيار (ج).
يمكننا أيضًا استخدام خواص أربعة أعداد متناسبة لتبسيط التعبيرات بالطريقة نفسها، كما سنرى في المثال الآتي.
مثال ٤: استخدام خواص التناسب لإيجاد تعبيرات متكافئة
إذا كانت ، ، ، قيمًا متناسبة، فأيٌّ من الاختيارات الآتية يساوي ؟
الحل
نبدأ بتذكُّر أن القول بأن ، ، ، قيم متناسبة يكافئ القول بأن يساوي . وعلى وجه التحديد، سيكون معاملا التناسب متكافئين، إذن: لثابت ما .
ثم نعوِّض بهما في التعبير المُعطى في السؤال، لنحصل على:
بعد ذلك، نوزِّع الأسس على الأقواس، ليصبح لدينا:
يحتوي الحدان الموجودان في البسط على عامل مشترك ، والحدان الموجودان في المقام لهما عامل مشترك . بإخراجهما يصبح لدينا:
يمكننا الآن حذف العامل المشترك ، لنحصل على:
ويمكننا الآن أخذ الجذر التربيعي لكلٍّ من البسط والمقام كلٌّ على حدة، لنحصل على:
ربما نلاحظ أن هذا ليس أحد الخيارات المُعطاة؛ لذا علينا إعادة كتابة هذا التعبير. يمكننا فعل ذلك بقسمة معادلات التناسب. لدينا:
بحذف العامل المشترك ، يصبح لدينا:
إذن الإجابة هي ، وهو الخيار (ب).
هناك العديد من خواص التناسب والتناسب المتسلسل التي يمكن استخدامها لتبسيط التعبيرات التي تتضمَّن هذه المفاهيم. على سبيل المثال، إذا كانت ، ، ، قيمًا متناسبة، فإن:
بجمع هاتين المعادلتين معًا، نحصل على:
وبإخراج العامل الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة، يصبح لدينا:
وبقسمة كلا الطرفين على ، فإنها تُعطينا:
لكن هو معامل التناسب، إذن:
هذه الخاصية مثيرة للاهتمام؛ لأنها تسمح لنا بتكوين كسور متكافئة. على سبيل المثال، نحن نعرف أن ، وهذا يخبرنا أيضًا بأن ١ و٢ و٣ و٦ قيم متناسبة. إذن توضِّح هذه الخاصية أن:
يمكننا فعل الأمر نفسه مع الطرح؛ فإذا طرحنا معادلات التناسب، يصبح لدينا:
ثم نُخرِج العامل ونُعيد الترتيب، لنحصل على:
بتطبيق هذه الخاصية على الكسور، نجد أن:
ونلاحظ أن هاتين القيمتين قد تكونان سالبتين؛ ولذا سنحتاج فقط إلى نتيجة مجموع النسبتين. وهذا يُعطينا النتيجة الآتية.
خاصية: تناسب المجموع
إذا كانت ، ، ، قيمًا متناسبة، فإن:
يمكننا ببساطة جمع بسوط الكسور المتكافئة ومقاماتها على حدة دون التأثير على قيمتها.
هيا نَرَ مثالًا على استخدام هذه الخاصية لإيجاد قيمة مجهول.
مثال ٥: استخدام خواص التناسب لإيجاد تعبيرات متكافئة
إذا كان ، فأوجد قيمة .
الحل
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا تذكُّر أنه إذا كانت ، ، ، قيمًا متناسبة، فإن:
نلاحظ أن لدينا ثلاثة كسور متكافئة، ، والمطلوب إيجاد قيمة مجهول في الكسر الرابع.
لا يمكننا تطبيق هذه الخاصية مباشرةً، وإلا فسنحصل على: وبذلك لا يمكننا إيجاد قيمة . بدلًا من ذلك، هيا نوجد الكسور المتكافئة لكلٍّ من ، ، ؛ بحيث تُطابِق بسوطها كلَّ حدٍّ في .
نضرب الكسر الأول في ، لنحصل على:
ونضرب الكسر الثاني في ، لنحصل على:
ونضرب الكسر الثالث في ، لنحصل على:
يُصبح لدينا الآن:
بتطبيق الخاصية التي ذكرناها سابقًا، يصبح لدينا:
يمكننا تبسيط مقام الطرف الأيمن، لنحصل على:
وبما أن البسطين في طرفَي المعادلة متساويان، فإن المقامين لا بد أن يكونا متساويين أيضًا. إذن:
نقسم طرفَي هذه المعادلة على ثلاثة، لنجد أن:
هيا نختتم الآن باسترجاع بعض النقاط المهمة المستخلَصة من هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- نقول إن الكمية تتناسب طرديًّا مع الكمية عند تَساوي النسبة بينهما في جميع الحالات. إذن ؛ حيث مقدار ثابت. يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة . ويكون الثابت هو معامل التناسب.
- إذا كانت النسبة تساوي النسبة ، فإننا نقول إن ، ، ، قيم متناسبة. وهذا يكافئ قولنا إن .
- إذا كانت ، ، ، قيمًا متناسبة، فإن:
- القيم ، ، ، يُطلَق عليها حدود التناسب، ونُسمِّيها الأول المتناسب، والثاني المتناسب، والثالث المتناسب، والرابع المتناسب. ويُطلَق على الحدين (، ) الطرفان، وعلى الحدين (، ) الوسطان.
- .
- .
- نقول إن قائمة حدود في تناسب متسلسل إذا كانت النسبة بين الحدين المتتاليين ثابتة. لأيِّ ثلاثة حدود، فإن هذا يكافئ قولنا إن .
- إذا كان ، ، في تناسب متسلسل، فإن:
- الحد الأوسط يُطلَق عليه الوسط المتناسب بين ، ، ويكون هو الأول المتناسب، ويكون هو الثاني المتناسب، ويكون هو الثالث المتناسب. ويُعرَف أيضًا ، بالطرفين، كما يُعرَف بالوسط.
- .
