شارح الدرس: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنًى ومستقيمٍ الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نطبِّق التكامل لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة وخطٍّ مستقيمٍ أفقي أو رأسي.

يمثِّل إيجاد مساحة المنطقة الواقعة أسفل منحنى الدالة طريقة مُفيدة جدًّا لها العديد من التطبيقات. على سبيل المثال، إيجاد مساحة المنطقة المحصورة أسفل منحنى السرعة-الزمن لجسم يتحرَّك بين نقطتين من الزمن يُعطينا المسافة الكلية المقطوعة خلال هذا الزمن.

حساب المساحة أسفل خطٍّ مستقيمٍ ممثَّل بيانيًّا عمليةٌ سهلةٌ ومباشرة. على سبيل المثال، انظر المساحة المحدَّدة بمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٧، والمحور 𞸎 بين النقطتين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁.

يُمكننا إيجاد المساحة المحدَّدة باستخدام الصيغة القياسية لمساحة شبه المنحرف: اف=𞸋+𞸒٢×𞸏، حيث 𞸋، 𞸒 طولا الضلعين المتوازيين، 𞸏 المسافة بينهما. بتطبيق هذه الصيغة على المنطقة المحدَّدة على التمثيل البياني، يكون طولا الضلعين المتوازيين 󰎨(󰏡)، 󰎨(𞸁)، والارتفاع 𞸏=𞸁󰏡. إذن نحصل على: اف=󰎨(󰏡)+󰎨(𞸁)٢×(𞸁󰏡).

عند 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٧، فإنه يصبح لدينا: اف=٤󰏡+٧+٤𞸁+٧٢×(𞸁󰏡)=(٢󰏡+٢𞸁+٧)(𞸁󰏡)=٢󰏡𞸁٢󰏡+٢𞸁٢󰏡𞸁+٧𞸁٧󰏡=٢𞸁+٧𞸁󰁓٢󰏡+٧󰏡󰁒.٢٢٢٢

تَصلُح هذه الطريقة جيدًا عندما يكون لدينا دالة خطية 󰎨(𞸎)، ويُمكننا استخدام الهندسة البسيطة، لكنها لن تَصلُح للدوال الأكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، إذا كانت السرعة المتجهة لجسم لا تتغيَّر بمعدَّل ثابت (أيْ إن عجلته ليستْ ثابتة)، فإن منحنى السرعة-الزمن لن يكون خطًّا مستقيمًا، ولا يُمكننا بسهولة إيجاد المساحة بهذه الطريقة.

لأيِّ منحنًى عامٍّ للدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، تُعطَى مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى والمحور 𞸎، وبين المستقيمين الرأسيين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

نحدِّد دالة جديدة 𞸌(𞸎) لتمثِّل مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى 󰎨(𞸎) والمحور 𞸎 والمستقيمين الرأسيين 𞸎=٠، 𞸎=𞸎، لأيِّ قيمةٍ عامة لـ 𞸎.

بزيادة الحدِّ العُلوي للمساحة بمقدار صغير، 𞸃𞸎، فإن الزيادة في دالة المساحة 𞸃𞸌 تُعطَى بالعلاقة: 𞸃𞸌=󰎨(𞸎)𞸃𞸎.

بإعادة الترتيب، نحصل على التغيُّر في 𞸌 مقسومًا على التغيُّر في 𞸎: 𞸃𞸌𞸃𞸎=󰎨(𞸎).

هذه هي مشتقة𞸌 بالنسبة إلى 𞸎. يُمكن إيجاد دالة المساحة الأصلية 𞸌(𞸎)؛ أي المساحة أسفل المنحنى بين ٠، 𞸎، بعكس عملية الاشتقاق لطرفي المعادلة. في الطرف الأيسر، نحصل على المشتقة العكسية 𞸕 لـ 󰎨: 𞸌(𞸎)=𞸕(𞸎)، حيث 𞸃𞸕𞸃𞸎=󰎨(𞸎).

والآن، فكِّر في السيناريو نفسه، لكن بإيجاد قيمة مساحة المنطقة المحصورة أسفل المنحنى بين قيمتين محدَّدتين لـ 𞸎: 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁.

المساحة 𝛽 أسفل المنحنى وبين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: 𝛽=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

يُطلَق على إيجاد قيمة المشتقة العكسية 𞸕 عند النقطتين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، وحساب الفرق اسم التكامل المحدَّد بين 󰏡، 𞸁، ونرمز لذلك كما يأتي: 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡

إذن المساحة 𝛽=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡) أسفل المنحنى وبين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: 𝛽=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).𞸁󰏡

نرمز إلى الطرف الأيسر عادة كما يأتي: 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)=[𞸕(𞸎)]،𞸁󰏡 حيث يُشير القوسان المربعان مع 󰏡 في الجانب الأيسر السُّفلي، 𞸁 في الجانب الأيسر العُلوي إلى إيجاد قيمة 𞸕(𞸎) عند 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، ثم حساب الفرق بينهما 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡). يُحذَف الثابت الاختياري للتكامل +𞸖، في التكامل المحدَّد؛ لأنه هو نفسه لكلٍّ من 𞸕(󰏡)، 𞸕(𞸁)؛ ومن ثَمَّ يُلغَى.

نظرية: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى 󰎨(𞸎) والمحور 𞸎 والمستقيمين الرأسيين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: ا=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)،𞸁󰏡 حيث 𞸕المشتقة العكسية لـ 󰎨. ويُرمَز إلى الطرف الأيسر عادة كما يأتي: 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)=[𞸕(𞸎)]،𞸁󰏡 حيث يُشير القوسان المربعان مع 󰏡 في الجانب الأيسر السُّفلي، 𞸁 في الجانب الأيسر العُلوي إلى إيجاد قيمة 𞸕(𞸎) عند 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، ثم حساب الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

دعونا نرجع إلى الدالة في المثال السابق، 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٧، وهذه المرة، سنستخدم التكامل لإيجاد المساحة أسفل المنحنى بين النقطتين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

باستخدام صيغة المساحة أسفل المنحنى، 󰎨(𞸎) بين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁: ا=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)=[𞸕(𞸎)].𞸁󰏡𞸁󰏡

في هذه الحالة، لدينا 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٧، وهو ما يُعطينا: ا=󰏅(٤𞸎+٧)𞸃𞸎.𞸁󰏡

بحساب التكامل بالنسبة إلى 𞸎، نحصل على: ا=󰁖٢𞸎+٧𞸎󰁕.٢𞸁󰏡

بإيجاد القيمة عند 𞸎=𞸁، 𞸎=󰏡، وحساب الفرق: ا=٢𞸁+٧𞸁󰁓٢󰏡+٧󰏡󰁒.٢٢

يتوافق هذا الناتِج بدقَّة مع الناتِج الذي أوجدناه سابقًا لمساحة شبه المنحرف. لكن الفائدة الكبرى من استخدام التكامل في إيجاد المساحة أسفل المنحنى هي أن نطاق هذا يمتدُّ ليشمل دوالَّ أكثر تعقيدًا، يكون خلالها من المستحيل بطريقة أخرى حساب المساحة.

دعونا نتناول مثالًا على استخدام التكامل لإيجاد المساحة أسفل منحنًى أكثر تعقيدًا.

مثال ١: إيجاد المساحة أسفل منحنى دالة تربيعية

افترض أن 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٣٢. أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎)، والمحور 𞸎، والمستقيمين 𞸎=١، 𞸎=٥.

الحل

قد يكون من المُفيد رسم المساحة المطلوب حسابها. في هذه الحالة، هذه هي مساحة المنطقة المحصورة بين المستقيمين 𞸎=١، 𞸎=٥ والمنحنى 𞸑=٢𞸎+٣٢.

لعلَّنا نتذكَّر أن مساحة المنطقة بين منحنى الدالة 󰎨(𞸎)، والمحور 𞸎، والمستقيمين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالتكامل المحدَّد: ا=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)،𞸁󰏡 حيث 𞸕 المشتقة العكسية لـ 󰎨؛ بحيث إن 𞸃𞸕𞸃𞸎=󰎨(𞸎). بالتعويض في الدالة المُعطاة، 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٣٢، والحدَّيْن 𞸎=١، 𞸎=٥: ا=󰏅󰁓٢𞸎+٣󰁒𞸃𞸎.٥١٢

بحساب التكامل بالنسبة إلى 𞸎، نحصل على: ا=󰂗٢٣𞸎+٣𞸎󰂖،٣٥١ وبإيجاد قيمة ذلك بين الحدَّيْن 𞸎=١، 𞸎=٥، نحصل على: اوة=󰂔٢٣×٥+٣×٥󰂓󰂔٢٣×(١)+٣(١)󰂓=󰂔٠٥٢٣+٥١󰂓󰂔٢٣٣󰂓=٢٠١.٣٣

في بعض الدوال، تكون هناك مناطق يَقَع فيها المنحنى أسفل المحور 𞸎. وفقًا لطبيعة طريقة إيجاد قيمة المساحة المحصورة بين أيِّ منحنًى والمحور 𞸎؛ بما أن الزيادة 𞸃𞸎 فإنها تكون دائمًا موجبة، فإن عنصر المساحة: 𞸃𞸌=󰎨(𞸎)𞸃𞸎 سيكون بالطبع سالبًا إذا كانت قيمة الدالة 󰎨(𞸎) سالبة عند هذه النقطة.

ومن ثَمَّ، أيُّ مساحة محدَّدة بالمنحنى أسفل المحور 𞸎 ستكون قيمتها سالبة. وبما أن المساحة كمية موجبة فقط، فيُمكننا غالبًا التعامل مع ذلك بأخْذ القيمة المُطلَقة للتكامل المحدَّد لكلِّ منطقة.

دعونا نلقِ نظرةً على مثال حول كيفية استخدام التكامل لإيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بمنحنًى أسفل المحور 𞸎.

مثال ٢: استخدام التكامل المحدَّد لإيجاد المساحة بين مستقيمين أسفل المحور الأفقي

المنحنى الموضَّح هو 𞸑=١𞸎. ما مساحة الجزء المظلَّل؟ اكتب إجابة دقيقة.

الحل

لعلَّنا نتذكَّر أن مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى 󰎨(𞸎) والمحور 𞸎، والمستقيمين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالتكامل المحدَّد: ا=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)،𞸁󰏡 حيث 𞸕 المشتقة العكسية لـ 󰎨؛ بحيث إن 𞸃𞸕𞸃𞸎=󰎨(𞸎). بالتعويض في الدالة المُعطاة 󰎨(𞸎)=١𞸎، والحدَّيْن 𞸎=١، 𞸎=١٣: ا=󰏅١𞸎𞸃𞸎.١٣١

بحساب التكامل بالنسبة إلى 𞸎، نحصل على: ا؛=󰁖|𞸎|󰁕𞸤١١٣ نتذكَّر أن اللوغاريتم الطبيعي 𞸤(𞸎) غير معرَّف لقِيَم 𞸎 السالبة؛ لذا نأخذ القيمة المُطلَقة.

بإيجاد قيمة ذلك بين الحدَّيْن 𞸎=١، 𞸎=١٣: =󰍻١٣󰍻|١|=󰁓٣󰁒٠=(٣)٩٩٠٫١󰁓󰁒.ثزل𞸤𞸤𞸤١𞸤

لاحِظ أن الناتج سالب. وهذا لأن مساحة المنطقة بين المنحنى والمحور 𞸎 تقع أسفل المحور 𞸎. بحساب القيمة المُطلَقة، نَجِد أن القيمة الحقيقية التي تحدِّد مساحة المنطقة المظلَّلة هي 𞸤(٣)٩٩٠٫١ وحدة مربعة (لثلاث منازل عشرية).

أحيانًا لا يكون استنتاج القيمة الحقيقية لمساحة منطقة محدَّدة بمنحنًى عملية سهلة ومباشِرة مثل حساب القيمة المُطلَقة للتكامل المحدَّد. دعونا نلقِ نظرةً على مثال علينا أن نكون خلاله أكثر حرصًا لهذه الطريقة.

مثال ٣: استخدام التكامل المحدَّد لإيجاد مساحة المناطق التي تقع أعلى المحور الأفقي وأسفله

يوضِّح التمثيل البياني الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٨𞸎٣. أوجد قيمة مساحة الجزء المظلَّل.

الحل

لعلَّنا نتذكَّر أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة 󰎨(𞸎)، والمحور 𞸎، والمستقيمين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالتكامل المحدَّد: ا=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)،𞸁󰏡 حيث 𞸕 المشتقة العكسية لـ 󰎨؛ بحيث إن 𞸃𞸕𞸃𞸎=󰎨(𞸎).

في هذا المثال، الدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٨𞸎٣ دالة فردية. وهو ما يعني أنها غير متماثِلة تمامًا حول المحور 𞸑؛ وعليه فإن 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎). هذا بدوره يعني أن مساحة المنطقة المحصورة بين 𞸎=٠ وأيِّ قيمة 𞸎=󰏡 ستُماثل تمامًا مساحة المنطقة بين 𞸎=󰏡، 𞸎=٠. ومع ذلك، عند استخدام التكامل المحدَّد لإيجاد المساحة، فإن التكامل على أحد جانبي المحور 𞸑 سيكون له إشارة مختلفة عن التكامل على الجانب الآخَر.

، هذا يعني أنه عند حساب التكامل بين قيمتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الإشارة، كما في حالتنا هنا، بين ٢ و+٢، سنَجِد أن التكامل في أحد طرفي المحور 𞸑 سيُلغي التكامل في الطرف الآخَر، وهو ما يُعطينا قيمة إجمالية تساوي صفرًا: ا=󰏅󰁓٢𞸎٨𞸎󰁒𞸃𞸎.٢٢٣

بحساب التكامل بالنسبة إلى 𞸎، نحصل على: ا=󰂗١٢𞸎٤𞸎󰂖.٤٢٢٢

نحن الآن نُوجِد قيمة دالة زوجية (أيْ 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)) عند قيمتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الإشارة قبل حساب الفرق، سيكون الناتِج يساوي صفرًا: ا=١٢×٢٤×٢󰂔١٢×(٢)٤×(٢)󰂓=٨٦١(٨٦١)=٠.٤٢٤٢

لكنْ من الواضح أن مساحة المنطقة المظلَّلة كاملة لا تساوي صفرًا. لحلِّ هذه المسألة، علينا إيجاد قيمة مساحة كلِّ جزء في المنطقة المظلَّلة على حِدَةٍ.

في هذا المثال، لدينا منطقتان منفصلتان محصورتان بين المنحنى 󰎨(𞸎)، والمحورين 𞸎، 𞸑.

لذا، علينا إيجاد قيمة التكامل بين 𞸎=٢، 𞸎=٠، والتكامل بين 𞸎=٠، 𞸎=٢، كلٍّ على حِدَةٍ، وأخْذ القيمة المُطلَقة لكلِّ تكاملٍ كيْ نحصل على المساحة، ثم نجمعهما معًا لنحصل على مساحة المنطقة المظلَّلة كاملة.

بالنسبة إلى المنطقة الأولى، نحصل على: ا١=󰂗١٢𞸎٤𞸎󰂖=٠󰂔١٢×(٢)٤×(٢)󰂓=٠(٨٦١)=٨.٤٢٠٢٤٢

وبالنسبة إلى المنطقة الثانية: ا٢=󰂗١٢𞸎٤𞸎󰂖=󰂔١٢×٢٤×٢󰂓٠=٨٦١٠=٨.٤٢٢٠٤٢

توقَّعنا أن تكون القيمة سالبة؛ لأن المنطقة المحصورة بين 𞸎=٠، 𞸎=٢ تقع أسفل المحور 𞸎. بأخْذ القيمة المُطلَقة، نحصل على المساحة: ا٢=|٨|=٨.

ومن ثَمَّ، فإن المساحة الكلية للمنطقة المظلَّلة كاملة هي مجموع هاتين المساحتين: اااوة=١+٢=٨+٨=٦١.

بطبيعة الحال، لا تقتصر النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل على الدوال ذات المتغيِّر المستقلِّ (عادة 𞸎). ويُمكن استخدامها أيضًا لإيجاد المساحة المحدَّدة بدالة في المتغيِّر 𞸑.

نظرية: مساحة المنطقة المحدَّدة بمنحنى دالة في المتغيِّر 𝑦

المساحة المحصورة بين المنحنى 󰎨(𞸑)، والمحور 𞸑، والمستقيمين الأفقيين 𞸑=󰏡، 𞸑=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: ا=󰏅󰎨(𞸑)𞸃𞸑=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)،𞸁󰏡 حيث 𞸕 يمثِّل المشتقة العكسية لـ 󰎨. يُشار إلى الطرف الأيسر عادة كما يأتي: 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)=[𞸕(𞸑)]،𞸁󰏡 حيث يُشير القوسان المربعان مع 󰏡 في الجانب الأيسر السُّفلي، 𞸁 في الجانب الأيسر العُلوي إلى إيجاد قيمة 𞸕(𞸑) عند 𞸑=󰏡، 𞸑=𞸁، ثم حساب الفرق 𞸕(𞸁)𞸕(󰏡).

في المثال الآتي، المساحة المطلوب إيجادها محدَّدة بدالة في المتغيِّر 𞸑 ومستقيمين أفقيين.

مثال ٤: استخدام التكامل المحدَّد لإيجاد المساحة بين دالة ضمنية ومستقيمين أفقيين

أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى 𞸎=٩𞸑٢، والمحور 𞸑، والمستقيمين 𞸑=٣، 𞸑=٣.

الحل

قد يكون من المُفيد رسم المساحة المطلوب حسابها. في هذه الحالة، هذه هي مساحة المنطقة المحدَّدة بالمستقيمين 𞸑=٣، 𞸑=٣ والمنحنى 𞸎=٩𞸑٢.

𞸎 دالة تربيعية سالبة في المتغيِّر 𞸑؛ أيْ إن المنحنى عبارة عن قطع مكافئ على شكل n حول المحور 𞸎. لإيجاد الجزء المقطوع من المحور 𞸎، نعوِّض بـ 𞸑=٠ في معادلة الدالة، ونحلُّها لإيجاد قيمة 𞸎، وهو ما يُعطينا: 𞸎=٩.

إذن يقطع المنحنى المحور 𞸎 عند 𞸎=٩. بعد ذلك، لإيجاد الجزأين المقطوعين من المحور 𞸑 في المنحنى، نعوِّض بـ 𞸎=٠ في معادلة الدالة، ونحلُّها لإيجاد قيمة 𞸑، وهو ما يُعطينا: ٠=٩𞸑𞸑=±٣.٢

ومن ثَمَّ، يقطع المنحنى المحور 𞸑 عند 𞸑=٣، 𞸑=٣. لدينا الآن معلومات كافية لرسم المنحنى.

لعلَّنا نتذكَّر أن مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى 󰎨(𞸎)، والمحور 𞸎، والمستقيمين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالتكامل المحدَّد: ا=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𞸕(𞸁)𞸕(󰏡)،𞸁󰏡 حيث 𞸕 المشتقة العكسية لـ 󰎨؛ بحيث إن 𞸃𞸕𞸃𞸎=󰎨(𞸎).

لكنْ في هذه الحالة، لا يُمكننا بسهولة إعادة ترتيب دالة المنحنى في المتغيِّر 𞸑، والتكامل بالنسبة إلى 𞸎؛ حيث المساحة أعلى المحور 𞸎 تساوي المساحة أسفله، وسيكون ناتِج التكامل صفرًا.

إذا حاولنا المتابعة بهذه الطريقة، نبدأ بـ: 𞸑=󰋴٩𞸎،=󰏅󰋴٩𞸎𞸃𞸎.ا٩٠

المشكلة في هذه الحالة تحديدًا أن 𞸑=󰋴٩𞸎 ليست دالة أحادية؛ لأن الجذر التربيعي إمَّا أن يكون موجبًا وإمَّا أن يكون سالبًا. إذا لم تكن الدالة تمثِّل دالة أحادية، فإنها لن تحوِّل قيمة واحدة فريدة إلى قيمة واحدة أخرى؛ وبذلك يكون من المستحيل معرفة المساحة التي نحسبها.

في هذه الحالة، يحوِّل 𞸑=󰋴٩𞸎 قيمة واحدة فريدة لـ 𞸎 إلى كلٍّ من الجذر التربيعي الموجب +󰋴٩𞸎، والجذر التربيعي السالب 󰋴٩𞸎.

باستخدام الجذر التربيعي الموجب، نحصل على مساحة المنطقة المحدَّدة بالمنحنى أعلى المحور 𞸎.

بما أننا غيَّرنا الدالة إلى دالة أحادية، يُمكننا الآن إيجاد قيمة هذه المساحة بالطريقة المعتادة بالتكامل المحدَّد: ا=󰏅+󰋴٩𞸎𞸃𞸎=󰂗٢٣(٩𞸎)󰂖=٨١.٩٠٩٠٣٢

وبالمثل، باستخدام الجذر التربيعي السالب، نحصل على مساحة المنطقة المحدَّدة بالمنحنى أسفل المحور 𞸎.

إذن يُمكننا مرة أخرى إيجاد قيمة هذه المساحة بالتكامل المحدَّد: ا=󰏅󰋴٩𞸎𞸃𞸎=󰂗٢٣(٩𞸎)󰂖=٨١.٩٠٩٠٣٢

بجمع هاتين المساحتين معًا، نحصل على صفر، لكنْ يُمكننا الاستفادة من معلوماتنا بأن المساحة الحقيقية تساوي مجموع هاتين القيمتين المُطلَقتين: =|٨١|+|٨١|=٦٣.اوة

هناك طريقة بديلة أبسط، وهي التكامل بالنسبة إلى 𞸑. وهذا في الأساس يُغيِّر المتغيِّرات.

يُمكننا تخيُّلُ ذلك من خلال التمثيل البياني الأصلي للدالة، لكنْ بعد انعكاسه حول المستقيم 𞸑=𞸎.

يُمكننا حساب تكامل ذلك بالنسبة إلى 𞸑؛ لأنه ليس هناك شيء مُميَّز في 𞸑 مقارنة بـ 𞸎، ومن المُتعارَف عليه أن 𞸎 هو المتغيِّر المستقل. علاوة على ذلك، أصبحت هذه الدالة الآن دالةً أحادية، وبذلك يُمكن تكاملها دون الحاجة إلى تقسيم التكامل إلى مناطق منفصلة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 𞸎=󰎨(𞸑)=٩𞸑.٢

إذن يُمكن إيجاد المساحة بدلًا من ذلك عن طريق التكامل بالنسبة إلى 𞸑: ا=󰏅󰁓٩𞸑󰁒𞸃𞸑.٣٣٢

بحساب التكامل بالنسبة إلى 𞸑، نحصل على: اوة=󰂗٩𞸑١٣𞸑󰂖=󰂔٩×٣١٣×٣󰂓󰂔٩×(٣)١٣×(٣)󰂓=٧٢٩(٧٢+٩)=٦٣.٣٣٣٣٣

يُمكننا أيضًا استخدام التكامل المحدَّد لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة 𞸑=󰎨(𞸎) ومنحنى دالة أخرى 𞸑=𞸓(𞸎)، بالاستفادة من حقيقة أن مؤثِّر التكامل، مثل المؤثِّر التفاضلي، يمثِّل تحويلًا خطيًّا، وهو ما يعني أنه مُغلَق في عملية الجمع:󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=󰏅(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎))𞸃𞸎.

هذا يمتدُّ ليشمل الطرح أيضًا؛ لأن التكامل أيضًا مُغلَق في عملية الضرب في كمية قياسية:󰏅𝛼󰎨(𞸎)𞸃𞸎=𝛼󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎، حيث 𝛼 كمية قياسية. بأخْذ الحالة الخاصة لـ 𝛼=١: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎، وجمع ذلك مع الخاصية الأولى، فإنه يُمكننا التعبير عن الفرق بين تكاملين على صورة تكامل واحد: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+󰏅𞸓(𞸎)𞸃𞸎=󰏅(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))𞸃𞸎.

في أبسط حالة للدالة الثانية يُوجَد الخط الأفقي الثابت 𞸑=𞸓(𞸎)=𞸊، عندئذٍ نحصل على: 󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎󰏅𞸊𞸃𞸎=󰏅(󰎨(𞸎)𞸊)𞸃𞸎.

ومن ثَمَّ، يُمكننا إيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بالمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) والمستقيم الأفقي 𞸑=𞸊، بين النقطتين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، باستخدام الصيغة: ا=󰏅(󰎨(𞸎)𞸊)𞸃𞸎.𞸁󰏡

دعونا نتناول مثالًا على كيفية استخدام ذلك لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنًى وخطٍّ مستقيمٍ.

مثال ٥: استخدام التكامل المحدَّد لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنًى وخطٍّ أفقيٍّ

أوجد مساحة الجزء المظلَّل.

الحل

يُمكن إيجاد مساحة هذه المنطقة المظلَّلة بإيجاد قيمة التكامل المحدَّد للمنحنى 𞸑=٣𞸎+٤𞸎٢٢ بين الحدَّيْن 𞸎=١، 𞸎=٢، ثم نطرح مساحة المستطيل أسفله، وهي ما يُمكننا بسهولة إيجادها باستخدام الصيغة القياسية لمساحة المستطيل.

لكنْ تذكَّر أنه يُمكننا أيضًا إيجاد مساحة المنطقة المحدَّدة بالمنحنى 𞸑=󰎨(𞸎) والمستقيم الأفقي 𞸑=𞸊، بين النقطتين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁، باستخدام الصيغة: ا=󰏅(󰎨(𞸎)𞸊)𞸃𞸎.𞸁󰏡

في هذه الحالة، لدينا المنحنى 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٤𞸎٢٢، والمستقيم الأفقي 𞸑=٥. بالتعويض بذلك في الصيغة السابقة، نحصل على: ا=󰏅󰁓٣𞸎+٤𞸎٢٥󰁒𞸃𞸎=󰏅󰁓٣𞸎+٤𞸎٧󰁒𞸃𞸎.٢١٢٢١٢

بحساب التكامل بالنسبة إلى 𞸎: اوات=󰁖𞸎+٢𞸎٧𞸎󰁕=󰁓٢+٢×٢٧×٢󰁒󰁓١+٢×١٧×١󰁒=٨+٨٤١(١+٢٧)=٦.٣٢٢١٣٢٣٢

دعونا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المستخلَصة من هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، والمحور 𞸎، والمستقيمين الأفقيين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: 𞸌=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎.𞸁󰏡
  • مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى 𞸎=󰎨(𞸑)، والمحور 𞸑، والمستقيمين الرأسيين 𞸑=󰏡، 𞸑=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: 𞸌=󰏅󰎨(𞸑)𞸃𞸑.𞸁󰏡
  • المنطقة المحصورة أعلى المحور 𞸎، أو المحور 𞸑 تُعطينا تكاملًا موجبًا، والمنطقة المحصورة أسفل المحور 𞸎، أو المحور 𞸑 تُعطينا تكاملًا سالبًا. وبما أن المساحة كمية موجبة فقط، فإنه لإيجاد المساحة المحصورة نحسب القيمة المُطلَقة للتكامل لكلِّ منطقة محصورة على حِدَةٍ.
  • مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎)، ومستقيم أفقي آخَر 𞸑=𞸊، والمستقيمين 𞸎=󰏡، 𞸎=𞸁 تُعطَى بالعلاقة: 𞸌=󰏅(󰎨(𞸎)𞸊)𞸃𞸎.𞸁󰏡

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.