تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الكميات والوحدات في الميكانيكا الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد الكميات الأساسية والمشتقة المستخدَمة في الميكانيكا؛ مثل الطول، والزمن، والسرعة، وكذلك كيف نُحدِّد وحداتها وتحويلات الوحدات.

تعريف: وحدة القياس

وحدة القياس هي مقدار مُعرَّف لكمية ما. ويمكن التعبير عن أي مقدار آخر من الكمية نفسها على أنه مضاعف للوحدة.

على سبيل المثال، الكيلوجرام هو وحدة قياس للكتلة. وأيُّ كتلة أخرى يمكن تعريفها على أنها عدد معيَّن من الكيلوجرامات.

وتُحدَّد وحدات القياس اختياريًّا؛ حيث يمكن تعريفها بحسب الملاءمة. فعلى سبيل المثال، وحدتا القياس الراديان والدرجة تُحدَّدان اختياريًّا وفقًا للاستخدام في حالات معيَّنة. وعادةً ما يكون الراديان أكثر استخدامًا في مسائل حساب المثلثات؛ نظرًا لأن الدالتين الأساسيتين للجيب وجيب التمام تتناسبان أكثر مع الراديان. ومع ذلك، فالكميات المقيسة بوحدات الدرجة والدقيقة والثانية يجب تحويلها أولًا إلى راديان قبل إدخالها في الدوال المثلثية، لكن من البديهي عادةً بالنسبة إلى البشر أن يستخدموا هذه الوحدات لتخيُّل الزوايا.

ومع ذلك، فإن كلًّا من هذه الوحدات تَصِف الكمية نفسها، وتُعرَف أيضًا باسم البُعد. وكل نظام من الوحدات يُخصِّص وحدة لكل كمية فيزيائية، والنظام الأكثر استخدامًا هو النظام الدولي للوحدات (SI) الذي يُحدِّد ٧ كميات أساسية قد تُشتَق منها جميع الكميات الفيزيائية الأخرى.

تعريف: النظام الدولي للوحدات (SI)

يتكوَّن النظام الدولي للوحدات (SI) من ٧ وحدات أساسية للكميات الأساسية الآتية:

الكميةرمز البُعدوحدة القياس
الكتلة𞸊كيلوجرام (كجم)
الزمن𞸍ثانية (ث)
الطول𞸋متر (م)
التيار الكهربي𞸕أمبير
كمية المادة𞸌مول
شدة الإضاءة𞸔كانديلا (كانديلا)
درجة الحرارة المطلقةΘكلفن

ويمكن التعبير عن أي كميات فيزيائية لا تتضمَّنها الكميات الأساسية على أنها حاصل ضرب الوحدات الأساسية السبع بعد رفع كلٍّ منها لقوة ما. نُلقي نظرة على مثال بسيط على كيفية اشتقاق إحدى وحدات النظام الدولي لكمية ليست ضمن الكميات المقيسة بالوحدات الأساسية السبع للنظام الدولي.

مثال ١: اشتقاق وحدات السرعة

السرعة تساوي المسافة المقطوعة في فترة زمنية. أيٌّ من الآتي ليس وحدةً للسرعة؟

  1. سم/ث
  2. م/ث
  3. م/ث٢
  4. م/د
  5. كم/س

الحل

إذا قطع جسمٌ مسافةً ما (أو إزاحةً ما باعتبارها كمية متجهة) خلال فترة زمنية معيَّنة، فإن السرعة تُحسَب من خلال المعادلة: 𞸏=𞸐𞸍، حيث 𞸐 الإزاحة، 𞸍 الزمن المستغرَق. نلاحظ أن الطرف الأيسر يتضمَّن البُعد الطول/الزمن 𞸋𞸍؛ ومن ثَمَّ، يجب أن يتضمَّن الطرف الأيمن، السرعة، البُعد الطول/الزمن.

نتناول الإجابات:

(أ) الوحدة سم/ث تتكوَّن من وحدة طول، سم، مقسومة على وحدة زمن، ث، إذن هذه وحدة قياس للسرعة.

(ب) الوحدة م/ث تتكوَّن من وحدة طول، م، مقسومة على وحدة زمن، ث، إذن هذه وحدة قياس للسرعة.

(ج) الوحدة م/ث٢ تتكوَّن من وحدة طول، م، مقسومة على وحدة زمن مربعة، ث٢، إذن هذه ليست وحدة قياس للسرعة.

واستكمالًا للخيارات، (د) الوحدة م/د تتكوَّن أيضًا من وحدة طول، م، مقسومة على وحدة زمن، د، إذن فهي أيضًا وحدة قياس للسرعة.

(هـ) الوحدة كم/س تتكوَّن من وحدة طول، كم، مقسومة على وحدة زمن، س، إذن فهي وحدة قياس للسرعة.

إذن الإجابة هي الخيار (ج)؛ حيث م/ث٢  ليست وحدة قياس للسرعة.

في واقع الأمر، بعض الكميات مثل الزاوية أو النسبة المئوية أو الميل، يُقال عنها إنها «بلا أبعاد» أو «أحادية البعد»؛ لأنها حاصل ضرب الكميات الأساسية الكل أس صفر.

على سبيل المثال، ميل المنحدر يكون بلا أبعاد؛ لأنه يساوي طولًا مقسومًا على آخر؛ ومن ثَمَّ، يكون له البعد 𞸋𞸋=١.

وفي بعض الأحيان، قد نحتاج إلى إجراء أكثر من خطوة لاشتقاق وحدة النظام الدولي لكمية ليست ضمن الكميات الأساسية السبع. وعادةً ما تُمنَح مثل هذه الكميات اسمًا خاصًّا. ويتضمَّن النظام الدولي أيضًا ٢٢ كمية إضافية مشتقة لها أسماء خاصة. على سبيل المثال، الوحدة المشتقة للقوة في النظام الدولي للوحدات هي وحدة النيوتن المتعارف عليها. نُلقي نظرة على مثال على كيفية اشتقاق هذه الوحدات الأكثر تعقيدًا من الوحدات الأساسية السبع للنظام الدولي.

مثال ٢: استخدام الصيغ لاشتقاق الوحدات

يُحسَب مقدار قوة مؤثِّرة على جسمٍ ما باستخدام الصيغة 𞹒=𞸊𞸢؛ حيث 𞸢 عجلة الجسم (مقيسة بالمتر لكل ثانية مربعة أو م/ث٢𞸊 كتلة الجسم (مقيسة بالكيلوجرام، أو كجم). وتُقاس القوة بالنيوتن. أيٌّ ممَّا يلي يمثِّل وحدة النيوتن بدلالة الوحدات الأساسية: الكيلوجرام، والمتر، والثانية؟

  1. 󰁓/󰁒مث٢
  2. كجم⋅ث٢
  3. كجم⋅م/ث٢
  4. كجم⋅م٢٢
  5. كجم⋅م/ث

الحل

انظر إلى معادلة إيجاد القوة: 𞹒=𞸊𞸢.

في المعادلات التي تربط بين الكميات الفيزيائية، لا بد أن تكون أبعاد كلا طرفَي المعادلة متطابقة؛ أي إن بُعد القوة يجب أن يساوي بُعد الكتلة مضروبًا في بُعد العجلة.

والكتلة هي إحدى الكميات الأساسية في النظام الدولي للوحدات، ولها وحدة أساسية في النظام الدولي للوحدات هي الكيلوجرام. لكن العجلة ليست إحدى الكميات الأساسية في النظام الدولي للوحدات، ولكن يمكن أيضًا اشتقاقها باستخدام معادلة قياسية: 𞸢=𞸏𞸍، حيث 𞸏 السرعة، 𞸍 الزمن المستغرَق. أكرِّر مرة أخرى، يجب أن يكون بُعدا كلا طرفَي المعادلة متطابقين. في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، لدينا إحدى الكميات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، وهي الزمن، لكن لا تزال هناك كمية أخرى مشتقة، وهي السرعة. ومع ذلك، يمكن التعبير عن السرعة باستخدام معادلة قياسية: 𞸏=𞸐𞸍، حيث 𞸐 الإزاحة، 𞸍 الزمن. والآن، أصبحت لدينا معادلة يكون فيها الطرف الأيسر معبَّرًا عنه بالكامل بوحدات النظام الدولي؛ أي الطول والزمن. وبالعمل بطريقة عكسية من هذه المعادلة، يمكننا إعادة كتابة معادلة العجلة كالآتي: 𞸢=𞸍=𞸐𞸍.𞸐𞸍٢

مرةً أخرى، بالعمل بطريقة عكسية من هذه المعادلة، يمكننا إعادة كتابة معادلة القوة كالآتي: 𞹒=𞸊𞸐𞸍.٢

أصبحت القوة الآن معبَّرًا عنها بالكامل بالكميات الأساسية للنظام الدولي للوحدات. وبالتعويض بأبعاد كلٍّ من هذه الكميات، نجد أن: 𞹒=𞸊𞸋𞸍=𞸊×𞸋/𞸍،٢٢ وبالتعويض بوحدات النظام الدولي عن هذه الكميات، نحصل على وحدة القوة بالنظام الدولي للوحدات وهي النيوتن، بدلالة الوحدات الأساسية للنظام الدولي: 𞹒=/،مث٢ وهي الإجابة (ج).

يمكننا اتباع هذه الطريقة لإيجاد وحدة النظام الدولي المشتقة لأي كمية فيزيائية. نتناول مثالًا آخر أكثر تعقيدًا.

مثال ٣: استخدام الصيغ لاشتقاق وحدات طاقة الحركة

طاقة الحركة، المقيسة بالجول، تُعطَى بالقاعدة 𞸈=١٢𞸊𞸏٢. أيُّ الوحدات الآتية تساوي الجول؟

  1. كجم/م/ث٢
  2. كجم⋅م/ث
  3. كجم⋅م٢٢
  4. كجم/م٢٢
  5. كجم⋅م/ث٢

الحل

انظر إلى معادلة طاقة الحركة: 𞸈=١٢𞸊𞸏.٢

في المعادلات التي تربط بين الكميات الفيزيائية، لا بد أن تكون أبعاد طرفَي المعادلة متطابقة، ومن ثَمَّ، يجب أن يكون بُعد الطاقة مساويًا لبُعد ١٢ مضروبًا في بُعد الكتلة، مضروبًا في بُعد مربع السرعة.

الكمية ١٢ كمية بلا أبعاد، و𞸊 إحدى الكميات الأساسية للنظام الدولي للوحدات؛ لذا، كل ما علينا فعله هو إيجاد بُعد 𞸏٢.

السرعة هي التغيُّر في الإزاحة، أو الطول باعتباره أحد الكميات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، خلال فترة زمنية: 𞸏=𞸋𞸍.

ومن ثَمَّ، فإن مربع السرعة يُحسَب من خلال العلاقة: 𞸏=𞸋𞸍.٢٢٢

إذن 𞸈=١٢𞸊𞸏٢ تُعطى بدلالة الكميات الأساسية للنظام الدولي للوحدات من خلال العلاقة: 𞸈=١٢𞸊𞸋𞸍.٢٢

وباستخدام وحدات النظام الدولي، الكيلوجرام لقياس الكتلة، والمتر لقياس الطول، والثانية لقياس الزمن، فإن الطرف الأيسر، ومن ثَمَّ وحدة قياس 𞸈؛ أي الجول، لها البُعد: لوامثمث=١=١/.٢٢٢٢

إذن الإجابة هي (ج).

يمكن التعبير عن الكميات غير المتضمَّنة في الكميات الأساسية السبع أو الكميات المشتقة التي عددها ٢٢ على أنها حاصل ضرب الوحدات الأساسية، أو الوحدات المشتقة، أو كلتيهما. فعلى سبيل المثال، يمكن التعبير عن وحدة قياس عزم الدوران، 𝜏، على النحو الآتي: 𝜏==/.ممث٢٢

وفي بعض الأحيان، يكون من الأفضل استخدام وحدات ذات مقادير مختلفة. على سبيل المثال، وحدة السرعة في النظام الدولي هي متر لكل ثانية، ولكن عند التفكير في سرعة مركبة متحرِّكة، يكون من الأفضل استخدام كيلومتر لكل ساعة.

لكن عادةً ما يكون من الضروري استخدام كميات مُعطاة بوحدات مختلفة. في مثل هذه الحالات، عادةً ما نحوِّل جميع الكميات إلى وحدات النظام الدولي أولًا. نتناول مثالًا على كيفية تحويل وحدات ذات مقادير مختلفة إلى وحدات النظام الدولي.

مثال ٤: تحويل الداين إلى نيوتن

ما قيمة ٧٨٫٢×٠١٧ داين بالنيوتن؟

الحل

في البداية، تذكَّر أن داين واحدًا يُعرَّف بالعلاقة: داواث=١/.٢

وبما أن النيوتن إحدى الوحدات المشتقة للنظام الدولي؛ حيث وامث=١/٢، يمكننا الآن الاستمرار في الحل بتحويل جميع الوحدات الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة إلى وحدات النظام الدولي: ١=٠١،١=٠١.م٣٢

إذن: داوامث=󰁓٠١󰁒×󰁓٠١󰁒/.٣٢٢

وبجمع قوى العدد ١٠، نحصل على: داوامث=٠١/=٠١.٥٢٥

وبضرب كلا الطرفين في المقدار المُعطى، نحصل على: ٧٨٫٢×٠١=٧٨٫٢×٠١×٠١=٧٨٢.٧٧٥دا

في بعض الأحيان، قد لا يكون تحويل الوحدات إلى وحدات النظام الدولي عملية مباشرة مثل الضرب في إحدى قوى العدد ١٠. في المثال الأخير، نُلقي نظرة على كيفية التحويل من وحدات لها مقادير غير قياسية إلى وحدات النظام الدولي، والعكس.

مثال ٥: التحويل بين وحدات السرعة

أيٌّ من الآتي خطأ؟

  1. ٧٢ كم/س = ٢٠ م/ث
  2. ٣ كم/د = ٥٠ سم/ث
  3. ١٥ م/ث = ٥٤ كم/س
  4. ٤٢ م/د = ٧٠ سم/ث

الحل

للتحقُّق من كل معادلة، يمكننا تحويل الوحدات الموجودة في الطرف الأيمن إلى الوحدات الموجودة في الطرف الأيسر.

نبدأ بالخيار (أ)، علينا أن نُحوِّل كيلومترًا لكل ساعة إلى متر لكل ثانية. قد يساعدنا في ذلك كتابة الوحدات في صورة كسور: ٢٧/=٢٧=٢٧󰁓٠١󰁒٠٠٦٣=٠٠٠٢٧٠٠٦٣=٠٢/.سسمثمثمث٣

إذن الخيار (أ) صحيح.

بعد ذلك، بالنسبة إلى الخيار (ب)، علينا تحويل كيلومتر لكل دقيقة إلى سنتيمتر لكل ثانية: ٣/=٣=٣󰁓٠١󰁒٠٦=٠٠٠٣٠٦=٠٠٠٣󰁓٠١󰁒٠٦=٠٠٠٥/.ددمثمثثث٣٢

إذن الخيار (ب) خطأ. سنواصل التحقُّق من الخيارات الأخرى للتأكُّد من صحتها.

بالنسبة إلى الخيار (ج)، علينا تحويل متر لكل ثانية إلى كيلومتر لكل ساعة: ٥١/=٥١=٥١󰁓٠١󰁒=٠٠٦٣×٥١×٠١=٤٥/.مثمثسسس٣١٠٠٦٣٣

إذن الخيار (ج) صحيح.

وأخيرًا، بالنسبة إلى الخيار (د)، علينا تحويل متر لكل دقيقة إلى سنتيمتر لكل ثانية: ٢٤/=٢٤=٢٤󰁓٠١󰁒٠٦=٠٠٢٤٠٦=٠٧/.مدمدثثث٢

إذن الخيار (د) صحيح.

نختتم بتلخيص بعض النقاط الأساسية التي تناولها هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يتكوَّن النظام الدولي للوحدات (SI) من ٧ وحدات أساسية للكميات الفيزيائية. كل كمية فيزيائية أخرى لها وحدة يمكن التعبير عنها بدلالة حاصل ضرب هذه الوحدات الأساسية السبع مع رفع كلٍّ منها إلى قوة ما.
  • يمكن إيجاد وحدة أي كمية فيزيائية بدلالة وحدات النظام الدولي باستخدام معادلة لهذه الكمية عن طريق تحويل جميع الكميات الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة إلى الكميات الأساسية، واستبدالها بوحدات النظام الدولي المناسبة، لنحصل على حاصل ضربها؛ حيث يكون كلٌّ منها مرفوعًا لقوة ما.
  • يمكن تحويل الوحدات ذات المقادير غير القياسية إلى وحدات النظام الدولي بالضرب في المعامل المناسب. على سبيل المثال، يمكن تحويل ساعة إلى ثانية عن طريق الضرب في ٣‎ ‎٦٠٠.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.