شارح الدرس: حلُّ معادلات مقلوب الدوال المثلثية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحُلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن القاطع وقاطع التمام وظلَّ التمام على فترات مختلفة باستخدام الدرجات والراديان.

تُستخدَم معادلات مقلوب الدوال المثلثية في العديد من التطبيقات الحياتية في مجالات متنوِّعة، مثل الفيزياء والهندسة والعمارة وعلم الروبوت ونظرية الموسيقى والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. ففي الفيزياء، يُمكن استخدامها في دراسة حركة المقذوفات، وتمثيل آلية الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتبادلة والمباشرة، وتحديد مسار كتلةٍ حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

لنبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية، التي سندرس مقلوبها في هذا الشارح. لنرسم مثلثًا قائم الزاوية.

يُمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كما يأتي:

تحقِّق هذه الدوال المتطابقة المثلثية الآتية:

ونلاحِظ أن هذه النِّسَب المثلثية معرَّفة للزوايا الحادَّة ، وتكون الدوال المثلثية معرَّفة لجميع قِيَم على دائرة الوحدة باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

افترض أن نقطة تتحرَّك على طول دائرة الوحدة عكس اتجاه عقارب الساعة. عند الموضع المعيَّن على دائرة الوحدة بالزاوية ، تُعرَّف دالة الجيب عند ، وتُعرَّف دالة جيب التمام عند ، كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارة أخرى: تُعرَّف الدوال المثلثية باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي لـ في الوضع القياسي.

ومجال الدالة هو مجموعة القِيَم المُدخَلة المحتملة، أمَّا المدى فهو مجموعة القِيَم المُخرَجة المحتملة، بمعلومية المجال. وبالنسبة إلى الدوال المثلثية، تُعطَى هذه القِيَم كما يأتي:

وبما أن دالة الظلِّ تُعرَّف بأنها النسبة بين دالتي الجيب وجيب التمام، فإنها غير مُعرَّفة عندما يساوي ، وهو المقام، صفرًا. بعبارة أخرى: يجب ألَّا تشمل دالة الظلِّ قِيَم عند ، لتكون مُعرَّفة بدِقَّة. لهذا السبب، فإن مجال دالة الظلِّ هو ، وهذا يعني أن علينا طرح قِيَم عند من مجموعة الأعداد الحقيقية لاستبعاد ذلك من القِيَم المُدخَلة.

والدوال المثلثية دوال دورية، وهو ما يعني أننا إذا أضفنا أحد مضاعفات ، بالراديان، أو إلى الزاوية ، تظلُّ قيمة الدالة كما هي:

يُمكننا أن نلاحِظ ذلك مباشرة من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. في الحقيقة، دالة الظل دالة دورية تتكرَّر كلَّ بالراديان، أو كلَّ ، بما أن:

وهذه الحقيقة مُهِمَّة لإيجاد حلول عامَّة للدوال المثلثية. ويجب أن تقتصر مجالات الدوال المثلثية على مجموعة جزئية معيَّنة، تُعرَف بالفرع الرئيسي، لكي تتضمَّن دوال عكسية.

ويُعرَّف مقلوب الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية القياسية كما سيأتي.

وبالمثل، بالنسبة إلى مقلوب الدوال المثلثية، لدينا:

وكما هو الحال في دالة الظلِّ، تُعرَّف دالتا ظلِّ التمام وقاطع التمام عندما يكون في المقام؛ ومن ثَمَّ يجب استبعاد قِيَم عند من القِيَم المُدخَلة. ولدالة القاطع مجال دالة الظلِّ نفسه؛ لأنه يتضمَّن في المقام.

والدوال المثلثية المقلوبة دوال دورية أيضًا:

وكما هو الحال في دالة الظلِّ، فإن دالة ظلِّ التمام دالة دورية تتكرَّر كلَّ بالراديان، أو كلَّ ، بما أن:

ودورية الدوال المثلثية مُهِمَّة لإيجاد حلول عامَّة للدوال المثلثية. ويجب أن تقتصر مجالات الدوال المثلثية على مجموعة فرعية معيَّنة، تُعرَف بالفرع الرئيسي، لكي تتضمَّن دوال عكسية.

والدوال المثلثية العكسية المُشار إليها بالرموز ، ، هي الدوال العكسية للدوال المثلثية ، ، . وهذا يعني أنها تعمل في الاتجاه المعاكس للدوال المثلثية المعتادة. وتُعرَّف كما يأتي:

ويُمكن كتابتها أيضًا على الصورة: ، ، . الجدول الآتي يوضِّح مجال الدوال المثلثية العكسية ومداها.

ويتحقَّق مدى هذه الدوال العكسية عندما تقتصر الدوال المثلثية ومقلوبات الدوال المثلثية على الفرع الرئيسي. وهذا للتأكُّد من أن هذه الدوال دوال أحادية؛ فتكون للدوال العكسية قيمة وحيدة، تُعرَف بالقيمة الأساسية.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة مثلثية معيَّنة، مثل: يُمكننا إيجاد الحلول في المدى بتطبيق المعادلة المثلثية العكسية:

ولكنْ إذا أردنا إيجاد جميع الحلول المُمكِنة، فعلينا إيجاد الحلول العامَّة المُعطاة بدلالة العدد الصحيح ، والتي يُمكن الحصول عليها باستخدام دورية الدوال المثلثية ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.

دعونا نتذكَّر ما مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.

مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية

• في الربع الأول، كلُّ الدوال المثلثية موجبة.
• في الربع الثاني، دالة الجيب موجبة.
• في الربع الثالث، دالة الظلِّ موجبة.
• في الربع الرابع، دالة جيب التمام موجبة.

هيَّا نتذكَّر كيف يُمكننا إيجاد حلول للمعادلات المثلثية.

حلول المعادلات المثلثية

يُساعدنا مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية على تذكُّر إشارات الدوال المثلثية لكلِّ رُبع.

وعلى وجه التحديد، يُمكِّنُنا مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية من إيجاد حلول للمعادلات المثلثية، كما يأتي.

• إذا كان ، : حيث ، أو بوحدة الراديان: حيث .
• وإذا كان ، ، إذن يُمكننا التعبير عن الزاوية بدلالة الدالة العكسية لجيب التمام بالدرجات، كما يأتي: حيث ، أو في حالة الراديان كما يأتي: حيث .
• وإذا كان ، إذن يُمكننا التعبير عن الزاوية بدلالة الدالة العكسية للظلِّ بالدرجات كما يأتي: حيث ، أو بالراديان، كما يأتي: حيث .

ويُمكن استنتاج مدى من مدى الدوال المثلثية العكسية.

يُمكننا أن نلاحِظ ذلك أيضًا على دائرة الوحدة، كما هو موضَّح.

وتُشير الرموز ، ، إلى الدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية ، ، . ويُمكن تعريفها كما يأتي:

يوضِّح الجدول الآتي مجال الدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية ومداها.

وبالمثل، إذا كان لدينا معادلة مقلوب الدالة المثلثية، مثل: يُمكننا إيجاد الحلول في المدى بتطبيق المعادلة المثلثية العكسية:

يُمكننا أيضًا إعادة كتابة المعادلة بدلالة المعادلات المثلثية القياسية واستخدام الحلول العامة لها: وهذه يُمكن استنتاجها من تعريف دالة قاطع التمام. ويُمكننا إيجاد الحلول في المدى بتطبيق الدالة العكسية للجيب؛ أيْ يُمكننا كتابة الحلِّ كما يأتي:

والسبب وراء عدم وجود حلول للمعادلة المثلثية الأصلية في المدى الكامل للدالة العكسية للجيب (أيْ ) هو أن دالة قاطع التمام تُعرَّف بأنها مقلوب دالة الجيب؛ لذا علينا استبعاد النقاط التي يكون عندها ، وهذا يَظهَر في المقام.

وهكذا، باستخدام حلول المعادلات المثلثية، يُمكننا أيضًا إيجاد حلول لمعادلات مقلوب الدوال المثلثية، إمَّا باستخدام تعريفاتها مباشرة، وإمَّا باستخدام الدوال المثلثية العكسية والدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية، التي تربطها العلاقات الآتية: حيث . وهذا يعني أنه يُمكننا استخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لحلِّ مقلوب الدوال المثلثية.

والآن لنتناول مثالًا للتدرُّب على إيجاد حلول لمعادلة مثلثية تتضمَّن مقلوب الدالة المثلثية باستخدام الحلول من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.

وكما ذكرنا سابقًا، فعلى الرغم من أن هذه تُعطِي حلولًا للمعادلات المثلثية، علينا أن ننتبه جيدًا إلى معادلات مقلوب الدوال المثلثية؛ حيث يكون علينا تجنُّب الحلول التي تكون فيها الدالة أو في مقام تعبير يتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية. ويُمكننا استعمال الحلول نفسها في خطوات حلِّ معادلة مثلثية، لكنْ علينا فقط الحرص على التنبُّه لذلك عند إيجاد الحلِّ النهائي.

في المثال الآتي، سنحلُّ معادلة مثلثية عن طريق تغيير الفترة التي تتضمَّن الحلول.

يُمكننا إيجاد الحلول العامة للمعادلات المثلثية من الحلول التي نتوصَّل إليها باستخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية أو الدوال المثلثية العكسية ، عن طريق إضافة مضاعفات ، أو ، بالراديان. وعلينا فعل ذلك لجميع الحلول التي نتوصَّل إليها، باعتبار الدوال المثلثية دوال دورية. ومن ثَمَّ، فإنه، عندما يكون هو ، يكون الحلُّ العامُّ هو: بالدرجات، أو: بالراديان.

وعند حلِّ المعادلات المثلثية، عادة ما يكون لدينا مدًى معيَّن للزاوية لإيجاد الحلول، وهو ما يعني أننا قد ننتبه فقط لبعض قِيَم ، عند الاقتضاء. ومجموعة الحلِّ هي مجموعة القِيَم التي تتضمَّن حلولًا للمعادلة المثلثية في المدى المطلوب.

والآن لنتناول مثالًا آخَر؛ حيث علينا إيجاد الحلول باستخدام الدالة العكسية للجيب، ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، ودورية الدوال.

والآن لنتناول مثالًا آخَر نستخدم فيه مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لتحديد الحلول العامَّة لمعادلة مقلوب الدالة المثلثية، ولكنْ لمدًى معيَّن.

والآن لنتناول مثالًا؛ حيث علينا إيجاد أصغر زاوية موجبة باستخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لمعادلة مقلوب الدالة المثلثية.

وأخيرًا: لنتناول مثالًا؛ حيث علينا تبسيط معادلة مثلثية مُعطاة أولًا، ومن ثَمَّ إيجاد الحلول العامَّة لمعادلة مقلوب الدالة المثلثية، لكنْ لمدًى معيَّن.

هيَّا نختم بتلخيص بعض النقاط الأساسية التي تناولها هذا الشارح.