تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: حلُّ معادلات مقلوب الدوال المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحُلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن القاطع وقاطع التمام وظلَّ التمام على فترات مختلفة باستخدام الدرجات والراديان.

تُستخدَم معادلات مقلوب الدوال المثلثية في العديد من التطبيقات الحياتية في مجالات متنوِّعة، مثل الفيزياء والهندسة والعمارة وعلم الروبوت ونظرية الموسيقى والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. ففي الفيزياء، يُمكن استخدامها في دراسة حركة المقذوفات، وتمثيل آلية الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتبادلة والمباشرة، وتحديد مسار كتلةٍ حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

لنبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية، التي سندرس مقلوبها في هذا الشارح. لنرسم مثلثًا قائم الزاوية.

يُمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث كما يأتي: 𝜃=𞸒𞸅،𝜃=𞸂𞸅،𝜃=𞸒𞸂.

تحقِّق هذه الدوال المتطابقة المثلثية الآتية: 𝜃=𝜃𝜃.

ونلاحِظ أن هذه النِّسَب المثلثية معرَّفة للزوايا الحادَّة ٠<𝜃<٠٩، وتكون الدوال المثلثية معرَّفة لجميع قِيَم 𝜃 على دائرة الوحدة باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

افترض أن نقطة تتحرَّك على طول دائرة الوحدة عكس اتجاه عقارب الساعة. عند الموضع المعيَّن (𞸎،𞸑) على دائرة الوحدة بالزاوية 𝜃، تُعرَّف دالة الجيب عند 𞸑=𝜃، وتُعرَّف دالة جيب التمام عند 𞸎=𝜃، كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارة أخرى: تُعرَّف الدوال المثلثية باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي لـ 𝜃 في الوضع القياسي.

ومجال الدالة هو مجموعة القِيَم المُدخَلة المحتملة، أمَّا المدى فهو مجموعة القِيَم المُخرَجة المحتملة، بمعلومية المجال. وبالنسبة إلى الدوال المثلثية، تُعطَى هذه القِيَم كما يأتي:

المجالالمدى
𝜃𞹇[١،١]
𝜃𞹇[١،١]
𝜃𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖𞹇

وبما أن دالة الظلِّ تُعرَّف بأنها النسبة بين دالتي الجيب وجيب التمام، فإنها غير مُعرَّفة عندما يساوي 𝜃، وهو المقام، صفرًا. بعبارة أخرى: يجب ألَّا تشمل دالة الظلِّ قِيَم 𝜃 عند 𝜃=٠، لتكون مُعرَّفة بدِقَّة. لهذا السبب، فإن مجال دالة الظلِّ هو 𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖، وهذا يعني أن علينا طرح قِيَم 𝜃 عند 𝜃=٠ من مجموعة الأعداد الحقيقية لاستبعاد ذلك من القِيَم المُدخَلة.

والدوال المثلثية دوال دورية، وهو ما يعني أننا إذا أضفنا أحد مضاعفات ٢𝜋، بالراديان، أو ٠٦٣ إلى الزاوية 𝜃، تظلُّ قيمة الدالة كما هي: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

يُمكننا أن نلاحِظ ذلك مباشرة من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. في الحقيقة، دالة الظل دالة دورية تتكرَّر كلَّ 𝜋 بالراديان، أو كلَّ ٠٨١، بما أن: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

وهذه الحقيقة مُهِمَّة لإيجاد حلول عامَّة للدوال المثلثية. ويجب أن تقتصر مجالات الدوال المثلثية على مجموعة جزئية معيَّنة، تُعرَف بالفرع الرئيسي، لكي تتضمَّن دوال عكسية.

ويُعرَّف مقلوب الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية القياسية كما سيأتي.

تعريف: مقلوب الدوال المثلثية

تُعرَّف دوال قاطع التمام والقاطع وظلِّ التمام كما يأتي: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃=𝜃𝜃.

وبالمثل، بالنسبة إلى مقلوب الدوال المثلثية، لدينا:

المجالالمدى
𝜃𞹇[𞸍𝜋،𞸍𞹑]]،١][١،[
𝜃𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖]،١][١،[
𝜃𞹇[𞸍𝜋،𞸍𞹑]𞹇

وكما هو الحال في دالة الظلِّ، تُعرَّف دالتا ظلِّ التمام وقاطع التمام عندما يكون 𝜃 في المقام؛ ومن ثَمَّ يجب استبعاد قِيَم 𝜃 عند 𝜃=٠ من القِيَم المُدخَلة. ولدالة القاطع مجال دالة الظلِّ نفسه؛ لأنه يتضمَّن 𝜃 في المقام.

والدوال المثلثية المقلوبة دوال دورية أيضًا: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

وكما هو الحال في دالة الظلِّ، فإن دالة ظلِّ التمام دالة دورية تتكرَّر كلَّ 𝜋 بالراديان، أو كلَّ ٠٨١، بما أن: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

ودورية الدوال المثلثية مُهِمَّة لإيجاد حلول عامَّة للدوال المثلثية. ويجب أن تقتصر مجالات الدوال المثلثية على مجموعة فرعية معيَّنة، تُعرَف بالفرع الرئيسي، لكي تتضمَّن دوال عكسية.

والدوال المثلثية العكسية المُشار إليها بالرموز ١، ١، ١ هي الدوال العكسية للدوال المثلثية ، ، . وهذا يعني أنها تعمل في الاتجاه المعاكس للدوال المثلثية المعتادة. وتُعرَّف كما يأتي: 𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑.١١١

ويُمكن كتابتها أيضًا على الصورة: ١𞸎، ١𞸎، ١𞸎. الجدول الآتي يوضِّح مجال الدوال المثلثية العكسية ومداها.

المجالالمدى
١𝜃[١،١]󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖
١𝜃[١،١][٠،𝜋]
١𝜃𞹇󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗

ويتحقَّق مدى هذه الدوال العكسية عندما تقتصر الدوال المثلثية ومقلوبات الدوال المثلثية على الفرع الرئيسي. وهذا للتأكُّد من أن هذه الدوال دوال أحادية؛ فتكون للدوال العكسية قيمة وحيدة، تُعرَف بالقيمة الأساسية.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة مثلثية معيَّنة، مثل: 𝜃=𞸑، يُمكننا إيجاد الحلول في المدى 𝜃󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖 بتطبيق المعادلة المثلثية العكسية: 𝜃=(𞸑).١

ولكنْ إذا أردنا إيجاد جميع الحلول المُمكِنة، فعلينا إيجاد الحلول العامَّة المُعطاة بدلالة العدد الصحيح 𞸍𞹑، والتي يُمكن الحصول عليها باستخدام دورية الدوال المثلثية ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.

دعونا نتذكَّر ما مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.

مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية

  • في الربع الأول، كلُّ الدوال المثلثية موجبة.
  • في الربع الثاني، دالة الجيب موجبة.
  • في الربع الثالث، دالة الظلِّ موجبة.
  • في الربع الرابع، دالة جيب التمام موجبة.

هيَّا نتذكَّر كيف يُمكننا إيجاد حلول للمعادلات المثلثية.

حلول المعادلات المثلثية

يُساعدنا مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية على تذكُّر إشارات الدوال المثلثية لكلِّ رُبع.

وعلى وجه التحديد، يُمكِّنُنا مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية من إيجاد حلول للمعادلات المثلثية، كما يأتي.

  • إذا كان 𝜃=𞸎، ١𞸎١: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٨١𞸎󰁒،١١ حيث 𝜃[٠٩،٠٧٢]، أو بوحدة الراديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓𝜋𞸎󰁒،١١ حيث 𝜃󰂗𝜋٢،٣𝜋٢󰂖.
  • وإذا كان 𝜃=𞸎، ١𞸎١، إذن يُمكننا التعبير عن الزاوية 𝜃 بدلالة الدالة العكسية لجيب التمام بالدرجات، كما يأتي: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٦٣𞸎󰁒،١١ حيث 𝜃[٠،٠٦٣]، أو في حالة الراديان كما يأتي: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٢𝜋𞸎󰁒،١١ حيث 𝜃[٠،٢𝜋].
  • وإذا كان 𝜃=𞸎، إذن يُمكننا التعبير عن الزاوية 𝜃 بدلالة الدالة العكسية للظلِّ بالدرجات كما يأتي: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٨١+𞸎󰁒،١١ حيث 𝜃]٠٩،٠٩[]٠٩،٠٧٢[، أو بالراديان، كما يأتي: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓𝜋+𞸎󰁒،١١ حيث 𝜃󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗󰂖𝜋٢،٣𝜋٢󰂗.

ويُمكن استنتاج مدى 𝜃 من مدى الدوال المثلثية العكسية.

يُمكننا أن نلاحِظ ذلك أيضًا على دائرة الوحدة، كما هو موضَّح.

وتُشير الرموز ١، ١، ١ إلى الدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية ، ، . ويُمكن تعريفها كما يأتي: 𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑.١١١

يوضِّح الجدول الآتي مجال الدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية ومداها.

المجالالمدى
١𝜃]،١][١،[󰂗𝜋٢،٠󰂗󰂖٠،𝜋٢󰂖
١𝜃]،١][١،[󰂗٠،𝜋٢󰂗󰂖𝜋٢،𝜋󰂖
١𝜃𞹇]٠،𝜋[

وبالمثل، إذا كان لدينا معادلة مقلوب الدالة المثلثية، مثل: 𝜃=𞸎،𞸎٠، يُمكننا إيجاد الحلول في المدى 𝜃󰂗𝜋٢،٠󰂗󰂖٠،𝜋٢󰂖 بتطبيق المعادلة المثلثية العكسية: 𝜃=(𞸎).١

يُمكننا أيضًا إعادة كتابة المعادلة بدلالة المعادلات المثلثية القياسية واستخدام الحلول العامة لها: 𝜃=𞸎،١𝜃=١𞸎،𝜃=١𞸎، وهذه يُمكن استنتاجها من تعريف دالة قاطع التمام. ويُمكننا إيجاد الحلول في المدى 𝜃󰂗𝜋٢،٠󰂗󰂖٠،𝜋٢󰂖 بتطبيق الدالة العكسية للجيب؛ أيْ يُمكننا كتابة الحلِّ كما يأتي: 𝜃=󰃁١𞸎󰃀.١

والسبب وراء عدم وجود حلول للمعادلة المثلثية الأصلية في المدى الكامل للدالة العكسية للجيب (أيْ 𝜃󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖) هو أن دالة قاطع التمام تُعرَّف بأنها مقلوب دالة الجيب؛ لذا علينا استبعاد النقاط التي يكون عندها 𝜃=٠، وهذا يَظهَر في المقام.

وهكذا، باستخدام حلول المعادلات المثلثية، يُمكننا أيضًا إيجاد حلول لمعادلات مقلوب الدوال المثلثية، إمَّا باستخدام تعريفاتها مباشرة، وإمَّا باستخدام الدوال المثلثية العكسية والدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية، التي تربطها العلاقات الآتية: إذانإذان١١١١١١١𞸎=󰃁١𞸎󰃀،𞸎=󰃁١𞸎󰃀،𞸎=󰃁١𞸎󰃀𞸎>٠،󰃁١𞸎󰃀𝜋𞸎<٠، حيث 𞸎٠. وهذا يعني أنه يُمكننا استخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لحلِّ مقلوب الدوال المثلثية.

والآن لنتناول مثالًا للتدرُّب على إيجاد حلول لمعادلة مثلثية تتضمَّن مقلوب الدالة المثلثية باستخدام الحلول من مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية.

مثال ١: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة ومتطابقات نسبية

أوجد مجموعة القِيَم التي تحقِّق 𝜃𝜃=١٢؛ حيث ٠𝜃٠٩.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد مجموعة القِيَم التي تحقِّق معادلة مثلثية.

لحلِّ المعادلة المثلثية، سنستخدم تعريف دالة ظلِّ التمام: 𝜃=𝜃𝜃.

إذن باستخدام ذلك مع المعادلة المثلثية المُعطاة، نحصل على: 𝜃𝜃=𝜃×𝜃𝜃=𝜃.

والآن علينا حلُّ المعادلة المثلثية: 𝜃=١٢.

وباستخدام الدالة العكسية لجيب التمام ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية نحصل على الحلَّيْن: 𝜃=󰂔١٢󰂓=٠٢١١𝜃=󰂔٠٦٣󰂔١٢󰂓󰂓=٠٦٣٠٢١=٠٤٢.١

نلاحِظ أنه لا تُوجَد حلول في المدى المطلوب. ومن ثَمَّ، فإن مجموعة القِيَم هي المجموعة الفارغة: .

وكما ذكرنا سابقًا، فعلى الرغم من أن هذه تُعطِي حلولًا للمعادلات المثلثية، علينا أن ننتبه جيدًا إلى معادلات مقلوب الدوال المثلثية؛ حيث يكون علينا تجنُّب الحلول التي تكون فيها الدالة 𝜃=٠ أو 𝜃=٠ في مقام تعبير يتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية. ويُمكننا استعمال الحلول نفسها في خطوات حلِّ معادلة مثلثية، لكنْ علينا فقط الحرص على التنبُّه لذلك عند إيجاد الحلِّ النهائي.

مثال ٢: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة

أوجد قيمة 𝜃 التي تحقِّق 𝜃󰋴٢=٠؛ حيث 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂗.

الحل

في هذا المثال، سنحلُّ معادلة مثلثية تتضمَّن زوايا خاصة.

يُمكننا إعادة ترتيب المعادلة المثلثية المُعطاة لتصبح كما يأتي: 𝜃=󰋴٢.

ويُمكننا حلُّ هذه المعادلة باستخدام تعريف دالة قاطع التمام بدلالة دالة الجيب: 𝜃=١𝜃، حتى يُمكننا بدلًا من ذلك إيجاد حلول للدالة: 𝜃=󰋴٢٢..

وبما أن 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂗، التي تتضمَّن زوايا حادَّة وتمثِّل مجموعة فرعية من مدى الدالة العكسية لقاطع التمام، يُمكننا تطبيق الدالة العكسية لقاطع التمام مباشرة للحصول على: 𝜃=󰃭󰋴٢٢󰃬=٥٤.١

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𝜃 هي ٥٤.

في المثال الآتي، سنحلُّ معادلة مثلثية عن طريق تغيير الفترة التي تتضمَّن الحلول.

مثال ٣: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة

أوجد مجموعة الحلِّ للزاوية 𝜃 التي تحقِّق 󰋴٣(٠٩𝜃)٢=٠؛ حيث 𝜃[٠،٠٨١].

الحل

في هذا المثال، سنحلُّ معادلة مثلثية تتضمَّن زوايا خاصة.

لنفترض أن 𝛼=٠٩𝜃، إذن يُمكن تحديد أن الحلَّ هو: 𝛼=٢󰋴٣،

يُمكننا حلُّ هذه المعادلة باستخدام تعريف دالة قاطع التمام بدلالة دالة الجيب: 𝛼=١𝛼، حتى يُمكننا بدلًا من ذلك إيجاد حلول للدالة: 𝛼=󰋴٣٢.

ويُمكننا تطبيق الدالة العكسية للجيب عندما تكون 𝛼[٠٩،٠٩] مباشرةً، كما يأتي: 𝛼=󰃭󰋴٣٢󰃬=٠٦.١

والآن يُمكننا تحديد قيمة 𝜃 من 𝜃=٠٩𝛼 لنحصل على: 𝜃=٠٩٠٦=٠٣.

ومن ثَمَّ، مجموعة الحلِّ هي {٠٣}.

يُمكننا إيجاد الحلول العامة للمعادلات المثلثية من الحلول التي نتوصَّل إليها باستخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية أو الدوال المثلثية العكسية 𝜃، عن طريق إضافة مضاعفات ٠٦٣، أو ٢𝜋، بالراديان. وعلينا فعل ذلك لجميع الحلول التي نتوصَّل إليها، باعتبار الدوال المثلثية دوال دورية. ومن ثَمَّ، فإنه، عندما يكون ̂𝜃 هو 𞸍𞹑، يكون الحلُّ العامُّ هو: ̂𝜃=𝜃+٠٦٣𞸍 بالدرجات، أو: ̂𝜃=𝜃+٢𝜋𞸍 بالراديان.

وعند حلِّ المعادلات المثلثية، عادة ما يكون لدينا مدًى معيَّن للزاوية 𝜃 لإيجاد الحلول، وهو ما يعني أننا قد ننتبه فقط لبعض قِيَم 𞸍، عند الاقتضاء. ومجموعة الحلِّ هي مجموعة القِيَم التي تتضمَّن حلولًا للمعادلة المثلثية في المدى المطلوب.

والآن لنتناول مثالًا آخَر؛ حيث علينا إيجاد الحلول باستخدام الدالة العكسية للجيب، ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، ودورية الدوال.

مثال ٤: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة ومتطابقات نسبية

أوجد مجموعة القِيَم التي تحقِّق ٢𝜃+𝜃𝜃=٠؛ حيث ٠𝜃<٠٦٣.

الحل

في هذا المثال، علينا إيجاد مجموعة القِيَم التي تحقِّق معادلة مثلثية.

لحلِّ المعادلة المثلثية، سنستخدم تعريف دالة القاطع: 𝜃=١𝜃.

ومن ثَمَّ، باستخدام ذلك مع المعادلة المثلثية المُعطاة، يصبح لدينا: ٢𝜃+𝜃𝜃=٢𝜃+𝜃×١𝜃=٢𝜃+١.

والآن علينا حلُّ المعادلة المثلثية: ٢𝜃+١=٠𝜃=١٢.

وباستخدام الدالة العكسية للجيب ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، يُمكن إيجاد الحلَّيْن العامَّيْن الآتيين: 𝜃=󰂔١٢󰂓+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍١، 𝜃=٠٨١󰂔١٢󰂓=٠٨١+٠٣+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍.١

التعبير الأول يُعطينا 𝜃=٠٣٣ عند 𞸍=١، والتعبير الثاني يُعطينا 𞸎=٠١٢ عند 𞸍=٠. وبالنسبة إلى الأعداد الصحيحة الأخرى 𞸍، فقد نحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، فإن مجموعة القِيَم هي {٠١٢،٠٣٣}.

والآن لنتناول مثالًا آخَر نستخدم فيه مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لتحديد الحلول العامَّة لمعادلة مقلوب الدالة المثلثية، ولكنْ لمدًى معيَّن.

مثال ٥: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة

أوجد مجموعة القِيَم التي تحقِّق 󰋴٣𝜃=١، إذا كانت ٠<𝜃<٠٦٣.

الحل

في هذا المثال، علينا حلُّ معادلة مثلثية تتضمَّن زوايا خاصة.

يُمكننا إعادة ترتيب المعادلة المثلثية المُعطاة لتصبح كما يأتي: 𝜃=١󰋴٣.

ويُمكننا حلُّ هذه المعادلة باستخدام تعريف دالة ظلِّ التمام بدلالة دالة الظل: 𝜃=١𝜃، حتى يُمكننا بدلًا من ذلك إيجاد حلول للدالة: 𝜃=󰋴٣.

وباستخدام الدالة العكسية للظلِّ ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، يُمكن إيجاد الحلَّيْن العامَّيْن الآتيين: 𝜃=󰂔󰋴٣󰂓+٠٦٣𞸍=٠٦+٠٦٣𞸍١𝜃=󰂔󰋴٣󰂓+٠٨١+٠٦٣𞸍=٠٦+٠٨١+٠٦٣𞸍=٠٤٢+٠٦٣𞸍.١

التعبير الأول يُعطينا 𝜃=٠٦، والتعبير الثاني يُعطينا 𝜃=٠٤٢ عند 𞸍=٠. وبالنسبة إلى الأعداد الصحيحة الأخرى 𞸍، فقد نحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، فإن مجموعة القِيَم هي {٠٦،٠٤٢}.

والآن لنتناول مثالًا؛ حيث علينا إيجاد أصغر زاوية موجبة باستخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لمعادلة مقلوب الدالة المثلثية.

مثال ٦: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة ومتطابقات دورية

أوجد 𝜃 بالدرجات، إذا كان (٠٨١+𝜃)=٢󰋴٣٣؛ حيث 𝜃 قياس أصغر زاوية موجبة.

الحل

في هذا المثال، سنحلُّ معادلة مثلثية تكون فيها 𝜃 أصغر زاوية.

يُمكننا حلُّ هذه المعادلة باستخدام تعريف دالة القاطع بدلالة دالة جيب التمام: 𝜃=١𝜃، حتى يُمكننا بدلًا من ذلك إيجاد حلول للدالة: (٠٨١+𝜃)=󰋴٣٢.

وباستخدام الدالة العكسية لجيب التمام ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، يُمكن إيجاد الحلَّيْن الآتيين: ٠٨١+𝜃=󰃭󰋴٣٢󰃬+٠٦٣𞸍=٠٥١+٠٦٣𞸍𝜃=٠٥١٠٨١+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍١٠٨١+𝜃=٠٦٣󰃭󰋴٣٢󰃬+٠٦٣𞸍=٠٦٣٠٥١+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍𝜃=٠١٢٠٨١+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍.١

وبما أن 𝜃 أصغر زاوية موجبة، فإن التعبير الثاني يُعطينا 𝜃=٠٣، عند 𞸍=٠. وبالنسبة إلى التعبير الأول والأعداد الصحيحة الأخرى 𞸍، فسنحصل على زوايا أكبر أو سالبة.

ومن ثَمَّ، فإن أصغر زاوية موجبة للمعادلة المثلثية المُعطاة هي ٠٣.

وأخيرًا: لنتناول مثالًا؛ حيث علينا تبسيط معادلة مثلثية مُعطاة أولًا، ومن ثَمَّ إيجاد الحلول العامَّة لمعادلة مقلوب الدالة المثلثية، لكنْ لمدًى معيَّن.

مثال ٧: حلُّ المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة

أوجد مجموعة القِيَم التي تحقِّق ٢(𝜃)(𝜃)+(𝜃)(𝜃)=٠، إذا كانت ٠𝜃<٠٦٣.

الحل

في هذا المثال، سنحلُّ معادلة مثلثية تتضمَّن زوايا خاصة.

لحلِّ المعادلة المثلثية، سنستخدم تعريف دوال قاطع التمام والقاطع وظل التمام: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=𝜃𝜃.

ومن ثَمَّ، باستخدام هذه الدوال وبمعلومية المعادلة المثلثية المُعطاة، نجد أن: ٢𝜃𝜃+𝜃𝜃=٢𝜃×١𝜃+١𝜃×𝜃𝜃=٢+𝜃.

إذن علينا حلُّ المعادلة المثلثية: ٢+𝜃=٠𝜃=٢.

ويُمكننا حلُّ هذه المعادلة باستخدام تعريف دالة قاطع التمام بدلالة دالة الجيب حتى يُمكننا بدلًا من ذلك إيجاد حلول للدالة: 𝜃=١٢.

وباستخدام الدالة العكسية لجيب التمام ومخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، يُمكن إيجاد الحلَّيْن العامَّيْن الآتيين: 𝜃=󰂔١٢󰂓+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍١، 𝜃=٠٨١󰂔١٢󰂓=٠٨١+٠٣+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍.١

التعبير الأول يُعطينا 𝜃=٠٣٣، عند 𞸍=١، والتعبير الثاني يُعطينا 𞸎=٠١٢، عند 𞸍=٠. وبالنسبة إلى الأعداد الصحيحة الأخرى 𞸍، فقد نحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، فإن مجموعة القِيَم هي {٠١٢،٠٣٣}.

هيَّا نختم بتلخيص بعض النقاط الأساسية التي تناولها هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • لحلِّ معادلات مقلوب الدوال المثلثية، يُمكننا استخدام تعريفات دوال قاطع التمام والقاطع وظلِّ التمام: 𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃،𝜃=١𝜃=𝜃𝜃.
  • في معادلات مقلوب الدوال المثلثية، يُمكننا إيجاد حلٍّ، إمَّا باستخدام المعادلة العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية، وإمَّا بمعرفة العلاقة بينها وبين الدوال المثلثية القياسية وتطبيق الدالة المثلثية العكسية.
  • بعد إيجاد القيمة الأساسية، بالدرجات، أو بالراديان، يُمكننا إيجاد الحلِّ العامِّ للدوال المثلثية، عند 𞸍𞹑، باستخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية ودورية الدوال المثلثية.
  • ترتبط الدوال المثلثية العكسية بالدوال العكسية لمقلوبات الدوال المثلثية أيضًا، وهو ما يعني أنه يُمكننا استخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية لإيجاد حلولها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.