شارح الدرس: معامل ارتباط الرُّتَب لسبيرمان الرياضيات

مثال ١: التعرُّف على صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان

أيٌّ ممَّا يلي صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان؟

الحل

صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان (ويُشار إليه أحيانًا بارتباط الرُّتب فقط) هي ، وفيها هو المعامل، وعدد عناصر مجموعة البيانات هو . مربع الفرق بين رُتبتَي إحداثيَّي كل نقطة نُشير إليه بـ ، والتعبير يعني أن علينا إيجاد مجموع كلٍّ من هذه المربعات. وَضَع هذه الصيغة تشارلز سبيرمان، وهو عالم نفس إنجليزي عُرِف بمساهماته في مجال علم الإحصاء. حساب ارتباط الرُّتب هذا يكافئ إيجاد معامل ارتباط بيرسون لمجموعة متغيِّرات جديدة: القيم المرتَّبة للبيانات.

مثال ٢: تحديد الحالات التي يكون فيها معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان واحدًا

صواب أم خطأ: عندما تكون رُتبة كلِّ عنصرين مُتناظِرين في مجموعتَي البيانات ، متطابقة، فإن مُعامِل ارتباط الرُّتب لسبيرمان يساوي ١؟

الحل

للمساعدة في الإجابة عن هذا السؤال، هيا نتناول مثالًا من الحياة اليومية. نفترض في الجدول الآتي أن ، يمثِّلان رُتب خمسة كلاب مشارِكة في عرضٍ للكلاب وضعها الحكمان ، ؛ حيث ١ هو الكلب الأعلى رُتبة، و٥ هو الكلب الأقل رُتبة. الرُّتب التي وضعها الحكمان متطابقة؛ ولذلك نرى أن الفرق بين رُتبتَي كل كلب، ويمثِّله التعبير أو الرمز ، يساوي صفرًا. وبما أن ، إذن أيضًا يساوي صفرًا لكل كلب.

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان هي ؛ حيث هو المعامل، و هو عدد أزواج البيانات، هو مربع الفرق بين رُتبتَي متغيِّرَي كل زوج من البيانات.

نَعرِف هنا أن قيمة هي ٥؛ لأن هناك ٥ أزواج بيانات، وقيمة تساوي:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تُعطى بالصيغة:

قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لن تساوي ١ في هذا المثال فقط، بل تساوي ١ أيضًا في أي مثال تكون فيه رُتب المتغيِّرَيْن متطابقة. وهذا لأنه في الصيغة، قيمة ؛ ومن ثَمَّ قيمة الكسر ، تساوي صفرًا دائمًا، . وبذلك، يمكننا القول إنه عندما تتطابق رُتبتا كلِّ عنصرين مُتناظِرين في مجموعتَي البيانات ، ، فإن معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان يساوي ١.

مثال ٣: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان للبيانات الكمية

أوجد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين سعر المنتج وعمره الافتراضي من البيانات المُعطاة. قرِّب الإجابة لأقرب أربع منازل عشرية.

الحل

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط سبيرمان تنص على أن ؛ حيث هو المعامل، هو عدد أزواج البيانات، هو مربع الفرق بين رُتبتَي إحداثيَّي كل زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن الأعمار الافتراضية للمنتجات وأسعارها تكوِّن مجموعة بيانات كمية ثنائية المتغيِّرات. أولًا، هيا نُحدِّد رُتب الأعمار الافتراضية للمنتجات. عندما نرتِّب الأعمار الافتراضية للمنتجات من الأقصر عمرًا إلى الأطول عمرًا، نحصل على:

أصغر عمر افتراضي هو سنة واحدة؛ ومن ثَمَّ، يمكن تعيينه إلى أقل رُتبة (١)، أو أكبر رُتبة (٦). من المفترض أن نحصل على نفس معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان في كلتا الحالتين، ما دمنا سنرتِّب الأعمار الافتراضية للمنتجات وأسعارها بطريقة مماثلة. في هذه الحالة، سنُعطي الرُّتبة ١ للعمر الافتراضي سنة واحدة؛ ومن ثَمَّ، يحصل العمر الافتراضي سنتان على الرُّتبة ٢، ويحصل العمر الافتراضي ٣ سنوات على الرُّتبة ٣، وهكذا، وصولًا إلى العمر الافتراضي ٦ سنوات الذي يحصل على الرُّتبة ٦.

والآن، هيا نُكرِّر هذه العملية مع السعر. بترتيب الأسعار من الأقل إلى الأعلى سعرًا، نحصل على:

وفي هذه الحالة، يحصل السعر ٧٩ دولارًا أمريكيًّا على الرُّتبة ١؛ ومن ثَمَّ، يحصل السعر ١٠٤ دولارات أمريكية على الرُّتبة ٢، ويحصل السعر ١٠٥ دولارات أمريكية على الرُّتبة ٣، وهكذا وصولًا إلى السعر ٢١٦ دولارًا أمريكيًّا الذي يحصل على الرُّتبة ٦. فيما يلي الأعمار الافتراضية للمنتجات وأسعارها ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين الرُّتب ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب الأعمار الافتراضية للمنتجات بـ ، وإلى رُتب الأسعار بـ . لاحِظ أن مجموع الفروق بين هذه الرُّتب، ، هو:

في الواقع، سيكون مجموع الفروق بين الرُّتب صفرًا دائمًا. ومن ثَمَّ، فإن إيجاد مجموع الفروق طريقة جيدة للتحقُّق من صحة خطوات الحل.

يجب أن نعوِّض بقيمتَي ، في الصيغة ؛ لكي نُوجِد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. نَعرِف أن قيمة هي ٦؛ لأن هناك ٦ أزواج بيانات، وقيمة تساوي:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي:

بالتقريب إلى ٤ منازل عشرية، تُصبح قيمة المعامل ٠٫٩٤٢٩. هذه القيمة قريبة جدًّا من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب تتوافق بقوة. وبذلك، نستنتج أن العمر الافتراضي الأطول للمنتجات يرتبط بأسعار أعلى، والعكس صحيح.

مثال ٤: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لبيانات كمية

أوجد معامل ارتباط سبيرمان بين ، . قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

لحساب معامل ارتباط سبيرمان، نستخدم الصيغة ؛ حيث هو المعامل، هو عدد أزواج البيانات، هو مربع الفرق بين رُتبتَي الإحداثيين في زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن الجدول يوضِّح مجموعة بيانات كمية ثنائية المتغيِّرات. أولًا، هيا نُحدِّد رُتبًا لقيم . بترتيب القيم من الأصغر إلى الأكبر، نحصل على:

أصغر قيمة ضمن البيانات هي ٤؛ ومن ثَمَّ، يمكن تعيينها إلى أقل رُتبة (١) أو أعلى رُتبة (٦). ما دمنا سنُعيِّن رُتب قيم ، بالطريقة نفسها، فسنتوصَّل إلى نفس قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. هنا، سنُعيِّن العدد ٤ إلى أقل رُتبة: ١. وهذا يعني أن ٥ سيحصل على الرُّتبة ٢، و٧ يحصل على الرُّتبة ٣.

بما أن ٨ يتكرَّر في المركزين الرابع والخامس من القائمة المرتَّبة التي لدينا، إذن نُعطي كل تكرار منهما رُتبة تساوي متوسط مركزَيْهما في القائمة، أو الرُّتبة:

نَعرِف أيضًا أن ١٢ يجب أن يحصل على الرُّتبة ٦؛ لأن ١٢ يقع في المركز السادس في القائمة.

والآن، هيا نُكرِّر هذه العملية مع قيم . بترتيب هذه القيم من الأصغر إلى الأكبر، نحصل على:

وهنا، يحصل ٤ على الرُّتبة ١. يتكرَّر العدد ٦ في المراكز الثانية والثالثة والرابعة من القائمة المرتَّبة. مرة أخرى، نُعطي كل تكرار للعدد ٦ في القائمة رُتبة تساوى متوسط مراكزه في القائمة، أو الرُّتبة:

نَعرِف أيضًا أن ٧ يجب أن يحصل على الرُّتبة ٥؛ لأن ٧ يقع في المركز الخامس في القائمة، ويجب أن يحصل ١٠ على الرُّتبة ٦؛ لأن ١٠ يقع في المركز السادس. يوضِّح الجدول الآتي قيم ، ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب قيم بـ ، ويُشار إلى رُتب قيم بـ .

يجب أن نعوِّض بقيمتَي ، في الصيغة لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. نَعرِف هنا أن قيمة هي ٦؛ لأن هناك ٦ أزواج بيانات، وقيمة هي:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تُعطى بالصيغة:

بالتقريب إلى أقرب ٣ منازل عشرية، فإن قيمة المعامل تُصبح ٠٫٣٨٦. وهذه القيمة بعيدة عن ١؛ لذا، يمكننا القول إنه لا يوجد توافق قوي بين الرُّتب. وبذلك، نستنتج أن قيم المتغيِّر الأعلى لا ترتبط بقيم أعلى للمتغيِّر ، والعكس صحيح.

مثال ٥: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان للبيانات النوعية

في دراسة العلاقة بين تقديرات الطلاب في مادتَي الرياضيات والعلوم، وُجِدَت النتائج الآتية لستة طلاب.

أوجد مُعامِل ارتباط سبيرمان. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط سبيرمان هي ؛ حيث هو المعامل، هو عدد أزواج البيانات، هو مربع الفرق بين رُتبتَي المتغيِّرَيْن في كل زوج من البيانات.

نلاحظ أن تقديرات الطلاب الستة تكوِّن مجموعة من البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات، التي يمكن ترتيبها. وبالرغم من أن قيم البيانات ليست عددية، يظل بإمكاننا تعيين رُتبة لكل قيمة منها؛ وبهذا نتمكَّن من إيجاد الفروق بين رُتب هذه القيم. أولًا، هيا نُعيِّن رُتبًا لتقديرات الرياضيات. بترتيب التقديرات من الأعلى إلى الأقل، نحصل على:

أعلى تقدير هو (أ)؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تعيين (أ) إلى أقل رُتبة أو أعلى رُتبة. من المفترض أن نصل إلى نفس قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان في كلتا الحالتين، ما دمنا سنُعيِّن رُتب تقديرات الرياضيات والعلوم بالطريقة نفسها هنا. سنُعطي الرُّتبة ١ للتقدير (أ).

بما أن التقدير (ب) يتكرَّر في المركزين الثاني والثالث من القائمة المرتَّبة للتقديرات، فإننا نعلم أن كلا التقديرين (ب) يجب أن تكون لهما رُتبة تساوي متوسط العددين ٢ و٣، أو الرُّتبة:

بما أننا استخدمنا الرُّتبتين ٢ و٣، إذن تكون الرُّتبة الآتية هي ٤، وبما أن التقدير (د) يتكرَّر في المركز الرابع والخامس والسادس من القائمة، يمكننا أن نُعيِّن لكل تكرار رُتبة تساوي متوسط هذه المراكز، أو الرُّتبة:

والآن، هيا نُعيِّن رُتبًا لتقديرات العلوم. بترتيب التقديرات من الأعلى إلى الأقل، نحصل على:

هنا، سنُعطي (أ) الرُّتبة ١، ونُعطي (ب) الرُّتبة ٢. بما أن التقدير (ج) يتكرَّر في المراكز الثالث والرابع والخامس من القائمة المرتَّبة للتقديرات، إذن نعلم أن كل تكرار يجب أن يأخذ رُتبة تساوي: أو رُتبة تساوي متوسط الأعداد ٣ و٤ و٥. يشغل التقدير (هـ) المركز الأخير في القائمة؛ ولذا، يمكننا أن نُعطيه الرُّتبة ٦.

يوضِّح الجدول الآتي التقديرات ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب تقديرات الرياضيات بـ ، ويُشار إلى تقديرات العلوم بـ .

لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، علينا التعويض بقيمتَي ، في الصيغة . نَعرِف أن قيمة هي ٦؛ لأن هناك ٦ أزواج من البيانات، وقيمة هي:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي:

بالتقريب إلى أقرب ٣ منازل عشرية، تصبح قيمة المعامل ٠٫٧٥٧. هذه القيمة قريبة من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب بينها توافق قوي. وبذلك، نستنتج أن الطلاب الذين يحصلون على تقديرات عالية في الرياضيات، عادةً ما يحصلون على درجات عالية في العلوم أيضًا، والعكس صحيح.

مثال ٦: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لبيانات نوعية

باستخدام البيانات المُعطاة في الجدول، أوجد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين المتغيِّرَيْن ، . اكتب الإجابة لأقرب أربع منازل عشرية.

الحل

لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين المتغيِّرَيْن، نستخدم الصيغة ؛ حيث هو معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، هو عدد أزواج البيانات، هو مربع الفرق بين رُتبتَي المتغيِّرَيْن في زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن التقديرات تُكوِّن مجموعة من البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات، التي يمكن ترتيبها. نبدأ بتعيين رُتبة إلى كل عنصر من عناصر البيانات، بدءًا بقيم . بترتيب التقديرات من الأفضل إلى الأسوأ، نحصل على:

بما أن التقدير «امتياز» يتكرَّر في المراكز ١ و٢ و٣ و٤، إذن نُعطي لكل تكرار رُتبة تساوي متوسط هذه المراكز، أو الرُّتبة:

وبما أن التقدير «جيد» يتكرَّر في المركزين الخامس والسادس، إذن نُعطي لكل تكرار منهما الرُّتبة:

والآن، هيا نُعيِّن رُتبًا لقيم . بترتيب القيم من الأفضل إلى الأسوأ، نحصل على:

وهنا، نُعطي التقدير «امتياز» الرُّتبة ١، ونُعطي التقدير «جيد جدًّا» الرُتبة ٢. وبما أن التقدير «جيد» يتكرَّر في المركزين الثالث والرابع في القائمة المرتَّبة، إذن نعرف أن كل تكرار لهذا التقدير تكون رُتبته:

وأيضًا بما أن التقدير «ضعيف» يتكرَّر في المركزين الخامس والسادس، إذن نعيِّن لكل تكرار منهما الرُّتبة:

يوضِّح الجدول الآتي التقديرات ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب تقديرات المتغيِّر بـ ، ويُشار إلى رُتب تقديرات المتغيِّر بـ .

علينا الآن التعويض بقيمتَي ، في الصيغة لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. وبما أنه يوجد من أزواج البيانات، إذن . وأيضًا، بما أن هي مجموع مربعات الفروق في الجدول، إذن:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي:

بالتقريب إلى ٤ منازل عشرية، فإن قيمة المعامل تُصبح ٠٫٨٧١٤. هذه القيمة قريبة إلى حدٍّ ما من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب بينها توافق قوي. وبذلك، نستنتج أن ارتفاع تقديرات المتغيِّر يرتبط عادةً بارتفاع تقديرات المتغيِّر ، والعكس صحيح.

مثال ٧: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان للبيانات النوعية

يمثِّل الجدول الآتي العلاقة بين نتائج تقييم الموظفين هذه السنة والسنة الماضية.

أوجد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين نتيجة السنة الماضية، وهذه السنة.

الحل

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط سبيرمان تنص على أن ؛ حيث هو المعامل، هو عدد أزواج البيانات، هو مربع الفرق بين رُتب المتغيِّرَيْن في كل زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن النتائج تُكوِّن مجموعة من البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات، التي يمكن ترتيبها. يمكننا تعيين رُتبة لكل قيمة من قيم البيانات، بدءًا من نتائج السنة الماضية. بترتيب النتائج من الأسوأ إلى الأفضل، نحصل على:

يمكننا تعيين التقييم «بحاجة إلى التحسُّن» إلى الرُّتبة ١. وبما أن التقييم «يفي بالتوقعات» يشغل المركزين الثاني والثالث في القائمة المرتبة، إذن نعلم أن كل تكرار لها سيحصل على رُتبة تساوي متوسط المركزين، أو الرُّتبة: ومن ثَمَّ، يحصل التقييم «يفوق التوقعات» على الرُّتبة ٤، والتقييم «استثنائي» على الرُّتبة ٥.

الآن، هيا نُعيِّن رُتبًا إلى نتائج هذه السنة. بترتيب النتائج من الأسوأ إلى الأفضل، نحصل على:

يمكننا تعيين التقييم «بحاجة إلى التحسُّن» إلى الرُّتبة ١، والتقييم «يفي بالتوقعات» إلى الرُّتبة ٢. بما أن التقييم «يفوق التوقعات» يشغل المركزين الثالث والرابع في القائمة المرتَّبة، إذن يمكننا أن نُعيِّن إلى هذين التقييمين رُتبة تساوي متوسط المركزين، أو الرُّتبة: وبذلك، يحصل التقييم «استثنائي» على الرُّتبة ٥. يوضِّح الجدول الآتي النتائج ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى تقييمات السنة الماضية بـ ، ويُشار إلى تقييمات هذه السنة بـ .

بعد ذلك، هيا نعوِّض بقيمتَي ، في الصيغة لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. نعلم أن قيمة هي ٥؛ وذلك لأن هناك ٥ أزواج من البيانات، وقيمة تساوي مجموع قيم الصف الأخير من الجدول، أو:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي:

قيمة معامل سبيرمان، وهي ٠٫٧٧٥، قريبة من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب بينها توافق قوي إلى حدٍّ ما. وبذلك، نستنتج أن الموظفين الذين حصلوا على أعلى تقييمات السنة الماضية غالبًا ما سيحصلون على أعلى تقييمات هذه السنة، والعكس صحيح.