تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: معامل ارتباط الرُّتَب لسبيرمان الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان.

وكذلك نُوجِد قيمته لمجموعات البيانات الكمية والنوعية الثنائية المتغيِّرات. قد تكون البيانات التي يصفها معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان متقطِّعة أو متصلة إذا كانت البيانات كمية.

تعريف: البيانات الثنائية المتغيِّرات

البيانات الثنائية المتغيِّرات هي بيانات عن متغيِّرَيْن؛ حيث تقترن كل قيمة لأحد المتغيِّرَيْن بقيمة للمتغيِّر الآخر.

تعريف: البيانات الكمية والنوعية

البيانات الكمية هي بيانات عددية. أحد الأمثلة على مجموعة بيانات كمية ثنائية المتغيِّرات هو: {(١١،٠٣١)،(٣١،٩٢١)،(٩،٤٢١)،(٥١،٨٣١)،(٧،١٢١)}. قد تَصِف هذه البيانات عمر شخص بالسنوات، وطول الشخص نفسه بالسنتيمترات. ويُعتبر عُمر الشخص من البيانات المتقطِّعة إذا أمكن التعبير عنه في صورة عدد صحيح من السنوات فقط، ويُعتبر طول الشخص من البيانات المتصلة إذا أمكن التعبير عنه في صورة أي كسر للسنتيمتر.

البيانات النوعية (ويُشار إليها أيضًا بالبيانات الوصفية أو الفئوية) هي بيانات غير عددية. ومن أمثلة مجموعة البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات: {(كبير، كبير)، (متوسط، كبير)، (صغير، صغير)، (متوسط، متوسط)، (كبير، متوسط)}. قد تَصِف هذه البيانات مقاس قميص الشخص من علامتين تجاريتين مختلفتين. لحساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بالنسبة إلى البيانات النوعية، لا بد من ترتيب البيانات (على سبيل المثال: صغير، متوسط، كبير).

معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، ويُشار إليه بالرمز 𞸓، هو مقياس لميل أحد المتغيِّرَيْن للزيادة أو النقصان، في حين يزيد أو ينقص المتغيِّر الآخر في علاقة رتيبة (تتزايد كليًّا أو تتناقص كليًّا)؛ حيث: ١𞸓١.

إذا كان أحد المتغيِّرَيْن يزداد دائمًا بزيادة المتغيِّر الآخر، فيمكننا القول إن قيمة 𞸓 موجبة، وإن هناك ارتباطًا طرديًّا بين المتغيِّرَيْن. من ناحية أخرى، إذا كان أحد المتغيِّرَيْن يتناقص دائمًا كلما ازداد المتغيِّر الآخر، فيمكننا القول إن قيمة 𞸓 سالبة، وهذا يُشير إلى وجود ارتباط عكسي بين المتغيِّرَيْن. تَصِف قيمتا معامل ارتباط الرُّتب: ١ أو ١ علاقة رتيبة مرتبطة ارتباطًا تامًّا. وهذا يعني أن الرُّتب إما أنها تتوافق تمامًا (𞸓=١)، وإما أنها تختلف تمامًا (𞸓=١). على عكس معامل ارتباط بيرسون، يمكن أن نحصل على قيمة 𞸓 التامة: ١ أو ١، بغض النظر عمَّا إذا كانت أزواج البيانات الكمية في مجموعة ما مترابطة خطيًّا أو لا.

قيمة 𞸓 لا تقتصر على ١ أو ١، بل يمكن أن تقبل أي قيمة بين ١ و١. قيمة 𞸓 التي تساوي صفرًا تعني أنه لا يوجد أي ارتباط بين المتغيِّرَيْن. كلما اقتربت قيمة 𞸓 من ١ أو ١، كان الارتباط أقوى، وكلما اقتربت القيمة من صفر، كان الارتباط أضعف.

تعريف: معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان

معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، ويُشار إليه بالرمز 𞸓، هو قيمة عددية؛ حيث ١𞸓١. وهو يُعطي قياسًا لاحتمالية زيادة أحد المتغيِّرَيْن عندما يزداد المتغيِّر الآخر (ارتباط طردي)، أو تناقُص أحد المتغيِّرَيْن عندما يزداد المتغيِّر الآخر (ارتباط عكسي). ويُشار إلى الارتباطات الطردية بقيم موجبة، وإلى الارتباطات العكسية بقيم سالبة. ويُشار إلى عدم وجود ارتباط بالصفر. كلما كان الارتباط أقوى، اقتربت قيمة 𞸓 من ١ أو ١، وكلما كان الارتباط أضعف، اقتربت قيمته من الصفر. تعني قيمتا معامل الرُّتب ١ أو ١ أن الرُّتب تتوافق تمامًا (𞸓=١)، أو تختلف تمامًا (𞸓=١).

خطوتنا الأولى في إيجاد قيمة 𞸓 لمجموعة مكوَّنة من 𞸍 من أزواج البيانات الثنائية المتغيِّرات هي ترتيب قيم كل متغيِّر. بالنسبة إلى مجموعة من البيانات الكمية، يمكن تعيين أصغر رتبة للمتغيِّر إلى أكبر أو أصغر قيمة للبيانات، ولكن مع ترتيب كلا المتغيِّرَيْن بالطريقة نفسها. وهذا يعني أنه يجب ترتيب رُتب كلا المتغيِّرَيْن إما من الأصغر إلى الأكبر وإما من الأكبر إلى الأصغر. وكذلك إذا تساوت قيمتان من قيم البيانات، فلا بد أن تكون رُتبتاهما متساويتين أيضًا. ومن ثَمَّ، فإن رُتب قيمتين متطابقتين أو أكثر من البيانات تساوي أرقام هذه القيم في قائمة مرتَّبة. ونقول إن قيم البيانات المتطابقة لها رُتب مرتبطة.

نفترض أن لدينا مجموعة بيانات مكوَّنة من النقاط الآتية: (٢،٣)،(٥،٤)،(٦،١).

يُشار إلى المتغيِّرَيْن بالحرف 𞹎، بالقيم الممثَّلة 𞸎،𞸎،،𞸎١٢𞸍، وبالحرف 𞹑 بالقيم الممثَّلة 𞸑،𞸑،،𞸑١٢𞸍، بحيث يُشار إلى العنصر الثنائي المتغيِّرات العام بـ 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸕𞸕. في مجموعة البيانات هذه، 𞸕=١،٢،٣؛ لأن هناك ٣ أزواج بيانات. قيم 𞸎𞸕 هي: ٢، ٥، ٦، وقيم 𞸑𞸕 هي: ٣، ٤، ١. بترتيب قيم 𞸎𞸕 من الأصغر إلى الأكبر، نحصل على الآتي: ٦،٢،٥.

وبفعل الشيء نفسه لقيم 𞸑𞸕، نحصل على الآتي: ٣،١،٤.

هذا يعني أنه بالنسبة إلى قيم 𞸎𞸕، إذا كانت رُتبة ٦ هي ١، فإن رُتبة ٢ هي ٢، ورُتبة ٥ هي ٣. يجب ترتيب قيم 𞸑𞸕 بالطريقة نفسها؛ أي إن رُتبة ٣ هي ١، ورُتبة ١ هي ٢، ورُتبة ٤ هي ٣. لكل نقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸕𞸕، يمكن الإشارة إلى الفرق بين رُتبتَي الإحداثيين بـ 𞸐𞸕، والإشارة إلى مربع الفرق بـ 𞸐٢𞸕. وهذا موضَّح في الجدول الآتي؛ حيث رُتب قيم 𞸎𞸕 مُشار إليها بـ 𞸓𞹎، ورُتب قيم 𞸑𞸕 مُشار إليها بـ 𞸓𞹑.

𞸎𞸕٢٥٦
𞸓𞹎٢٣١
𞸑𞸕٣٤١
𞸓𞹑١٣٢
𞸓𞸓󰁓𞸐󰁒𞹎𞹑𞸕١٠١
𞸐٢𞸕١٠١

فور أن نُوجِد قيم 𞸐٢𞸕، يمكننا استخدامها مع قيمة 𞸍؛ أي عدد أزواج البيانات، في الصيغة العامة لمعامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. في المثال الأول، سنتعرَّف على هذه الصيغة.

مثال ١: التعرُّف على صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان

أيٌّ ممَّا يلي صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان؟

  1. 𞸓=١٦󰌄𞸐(𞸍١)٢٢
  2. 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢٣
  3. 𞸓=٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢٢
  4. 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢٢
  5. 𞸓=١󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢٢

الحل

صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان (ويُشار إليه أحيانًا بارتباط الرُّتب فقط) هي 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢٢، وفيها 𞸓 هو المعامل، وعدد عناصر مجموعة البيانات هو 𞸍. مربع الفرق بين رُتبتَي إحداثيَّي كل نقطة (𞸎،𞸑) نُشير إليه بـ 𞸐٢، والتعبير 󰌇𞸐٢ يعني أن علينا إيجاد مجموع كلٍّ من هذه المربعات. وَضَع هذه الصيغة تشارلز سبيرمان، وهو عالم نفس إنجليزي عُرِف بمساهماته في مجال علم الإحصاء. حساب ارتباط الرُّتب هذا يكافئ إيجاد معامل ارتباط بيرسون لمجموعة متغيِّرات جديدة: القيم المرتَّبة للبيانات.

صيغة: معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان

صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان هي 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، 𞸍 هو عدد عناصر مجموعة البيانات. لكل نقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸕𞸕، يُشار إلى مربع الفرق بين رُتبتَي الإحداثيين بالرمز 𞸐٢𞸕، ويُشار إلى مجموع كل هذه المربعات بالتعبير 󰌇𞸐٢𞸕.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا صيغة عامة، يمكننا استخدامها لحل المسائل. نبدأ بالتفكير في قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان إذا كانت العناصر المتناظرة في مجموعتَي بيانات لها الرُّتب نفسها.

مثال ٢: تحديد الحالات التي يكون فيها معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان واحدًا

صواب أم خطأ: عندما تكون رُتبة كلِّ عنصرين مُتناظِرين في مجموعتَي البيانات 𞹎، 𞹑 متطابقة، فإن مُعامِل ارتباط الرُّتب لسبيرمان يساوي ١؟

الحل

للمساعدة في الإجابة عن هذا السؤال، هيا نتناول مثالًا من الحياة اليومية. نفترض في الجدول الآتي أن 𞸓𞹎، 𞸓𞹑 يمثِّلان رُتب خمسة كلاب مشارِكة في عرضٍ للكلاب وضعها الحكمان 𞹎، 𞹑؛ حيث ١ هو الكلب الأعلى رُتبة، و٥ هو الكلب الأقل رُتبة. الرُّتب التي وضعها الحكمان متطابقة؛ ولذلك نرى أن الفرق بين رُتبتَي كل كلب، ويمثِّله التعبير 𞸓𞸓𞹎𞹑 أو الرمز 𞸐𞸕، يساوي صفرًا. وبما أن ٠=٠٢، إذن 𞸐٢𞸕 أيضًا يساوي صفرًا لكل كلب.

الكلب رُتبة
الحكم 𞹎󰁓𞸓󰁒𞹎
رُتبة
الحكم 𞹑󰁓𞸓󰁒𞹑
𞸓𞸓󰁓𞸐󰁒𞹎𞹑𞸕𞸐٢𞸕
داشهند٢٢٢٢=٠٠
سانت برنارد٤٤٤٤=٠٠
بيجل١١١١=٠٠
سيتر الأيرلندي٥٥٥٥=٠٠
بودل٣٣٣٣=٠٠

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان هي 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، و𞸍 هو عدد أزواج البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتبتَي متغيِّرَي كل زوج من البيانات.

نَعرِف هنا أن قيمة 𞸍 هي ٥؛ لأن هناك ٥ أزواج بيانات، وقيمة 󰌇𞸐٢𞸕 تساوي: ٠+٠+٠+٠+٠=٠.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تُعطى بالصيغة: 𞸓=١٦(٠)٥(٥١)=١٦(٠)٥(٥٢١)=١٦(٠)٥(٤٢)=١٠٠٢١=١٠=١.٢

قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لن تساوي ١ في هذا المثال فقط، بل تساوي ١ أيضًا في أي مثال تكون فيه رُتب المتغيِّرَيْن متطابقة؛ وهذا لأنه في الصيغة، قيمة 𞸐٢𞸕؛ ومن ثَمَّ قيمة الكسر ٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢، تساوي صفرًا دائمًا، ١٠=١. وبذلك، يمكننا القول إنه عندما تتطابق رُتبتا كلِّ عنصرين مُتناظِرين في مجموعتَي البيانات 𞹎، 𞹑، فإن معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان يساوي ١.

بعد ذلك، هيا نُلقِ نظرة على مزيد من المسائل التي يجب علينا فيها إيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لمجموعة بيانات ثنائية المتغيِّرات نوعية أو كمية. في هذه المسائل، لن تكون الرُّتب مُعطاة لنا. نتناول مثالًا على البيانات الكمية أولًا.

مثال ٣: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان للبيانات الكمية

أوجد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين سعر المنتج وعمره الافتراضي من البيانات المُعطاة. قرِّب الإجابة لأقرب أربع منازل عشرية.

العمر الافتراضي (سنة)١٥٤٢٦٣
السعر (دولار أمريكي)٧٩١٦٠١٢٥١٠٥٢١٤١٠٣

الحل

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط سبيرمان تنص على أن 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، 𞸍 هو عدد أزواج البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتبتَي إحداثيَّي كل زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن الأعمار الافتراضية للمنتجات وأسعارها تكوِّن مجموعة بيانات كمية ثنائية المتغيِّرات. أولًا، هيا نُحدِّد رُتب الأعمار الافتراضية للمنتجات. عندما نرتِّب الأعمار الافتراضية للمنتجات من الأقصر عمرًا إلى الأطول عمرًا، نحصل على: ١،٢،٣،٤،٥،٦.

أصغر عمر افتراضي هو سنة واحدة؛ ومن ثَمَّ، يمكن تعيينه إلى أقل رُتبة (١)، أو أكبر رُتبة (٦). من المفترض أن نحصل على نفس معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان في كلتا الحالتين، ما دمنا سنرتِّب الأعمار الافتراضية للمنتجات وأسعارها بطريقة مماثلة. في هذه الحالة، سنُعطي الرُّتبة ١ للعمر الافتراضي سنة واحدة؛ ومن ثَمَّ، يحصل العمر الافتراضي سنتان على الرُّتبة ٢، ويحصل العمر الافتراضي ٣ سنوات على الرُّتبة ٣، وهكذا، وصولًا إلى العمر الافتراضي ٦ سنوات الذي يحصل على الرُّتبة ٦.

والآن، هيا نُكرِّر هذه العملية مع السعر. بترتيب الأسعار من الأقل إلى الأعلى سعرًا، نحصل على: ٩٧،٣٠١،٥٠١،٥٢١،٠٦١،٤١٢.

وفي هذه الحالة، يحصل السعر ٧٩ دولارًا أمريكيًّا على الرُّتبة ١؛ ومن ثَمَّ، يحصل السعر ١٠٤ دولارات أمريكية على الرُّتبة ٢، ويحصل السعر ١٠٥ دولارات أمريكية على الرُّتبة ٣، وهكذا وصولًا إلى السعر ٢١٦ دولارًا أمريكيًّا الذي يحصل على الرُّتبة ٦. فيما يلي الأعمار الافتراضية للمنتجات وأسعارها ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين الرُّتب ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب الأعمار الافتراضية للمنتجات بـ 𞸓𞸏، وإلى رُتب الأسعار بـ 𞸓𞸎. لاحِظ أن مجموع الفروق بين هذه الرُّتب، 󰁓𞸐󰁒𞸕، هو: ٠+٠+٠+(١)+٠+١=٠.

في الواقع، سيكون مجموع الفروق بين الرُّتب صفرًا دائمًا. ومن ثَمَّ، فإن إيجاد مجموع الفروق طريقة جيدة للتحقُّق من صحة خطوات الحل.

العمر الافتراضي (سنة)١٥٤٢٦٣
𞸓𞸏١٥٤٢٦٣
السعر (دولار أمريكي)٧٩١٦٠١٢٥١٠٥٢١٤١٠٣
𞸓𞸎١٥٤٣٦٢
𞸓𞸏𞸓𞸎󰁓𞸐󰁒𞸕٠٠٠١٠١
𞸐٢𞸕٠٠٠١٠١

يجب أن نعوِّض بقيمتَي 𞸍، 󰌇𞸐٢𞸕 في الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ لكي نُوجِد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. نَعرِف أن قيمة 𞸍 هي ٦؛ لأن هناك ٦ أزواج بيانات، وقيمة 󰌇𞸐٢𞸕 تساوي: ٠+٠+٠+١+٠+١=٢.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي: 𞸓=١٦(٢)٦(٦١)=١٦(٢)٦(٥٣)=١٢١٠١٢=١٢٤١٧٥٠٫٠=٨٥٨٢٤٩٫٠.٢

بالتقريب إلى ٤ منازل عشرية، تُصبح قيمة المعامل ٠٫٩٤٢٩. هذه القيمة قريبة جدًّا من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب تتوافق بقوة. وبذلك، نستنتج أن العمر الافتراضي الأطول للمنتجات يرتبط بأسعار أعلى، والعكس صحيح.

مرة أخرى، نُوجِد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لمجموعة من البيانات الكمية في المثال الآتي. ولكن هذه المرة، نحسب رُتبًا مرتبطة؛ وهي تعني الرُّتب المرتبطة بعناصر البيانات ذات القيمة نفسها.

مثال ٤: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لبيانات كمية

أوجد معامل ارتباط سبيرمان بين 𞸎، 𞸑. قرِّب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

𞸎٤٧٨٥٨١٢
𞸑٧٦٦٤٦١٠

الحل

لحساب معامل ارتباط سبيرمان، نستخدم الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، 𞸍 هو عدد أزواج البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتبتَي الإحداثيين في زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن الجدول يوضِّح مجموعة بيانات كمية ثنائية المتغيِّرات. أولًا، هيا نُحدِّد رُتبًا لقيم 𞸎. بترتيب القيم من الأصغر إلى الأكبر، نحصل على: ٤،٥،٧،٨،٨،٢١.

أصغر قيمة ضمن البيانات هي ٤؛ ومن ثَمَّ، يمكن تعيينها إلى أقل رُتبة (١) أو أعلى رُتبة (٦). ما دمنا سنُعيِّن رُتب قيم 𞸎، 𞸑 بالطريقة نفسها، فسنتوصَّل إلى نفس قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. هنا، سنُعيِّن العدد ٤ إلى أقل رُتبة: ١. وهذا يعني أن ٥ سيحصل على الرُّتبة ٢، و٧ يحصل على الرُّتبة ٣.

بما أن ٨ يتكرَّر في المركزين الرابع والخامس من القائمة المرتَّبة التي لدينا، إذن نُعطي كل تكرار منهما رُتبة تساوي متوسط مركزَيْهما في القائمة، أو الرُّتبة: ٤+٥٢=٩٢=٥٫٤.

نَعرِف أيضًا أن ١٢ يجب أن يحصل على الرُّتبة ٦؛ لأن ١٢ يقع في المركز السادس في القائمة.

والآن، هيا نُكرِّر هذه العملية مع قيم 𞸑. بترتيب هذه القيم من الأصغر إلى الأكبر، نحصل على: ٤،٦،٦،٦،٧،٠١.

وهنا، يحصل ٤ على الرُّتبة ١. يتكرَّر العدد ٦ في المراكز الثانية والثالثة والرابعة من القائمة المرتَّبة. مرة أخرى، نُعطي كل تكرار للعدد ٦ في القائمة رُتبة تساوى متوسط مراكزه في القائمة، أو الرُّتبة: ٢+٣+٤٣=٩٣=٣.

نَعرِف أيضًا أن ٧ يجب أن يحصل على الرُّتبة ٥؛ لأن ٧ يقع في المركز الخامس في القائمة، ويجب أن يحصل ١٠ على الرُّتبة ٦؛ لأن ١٠ يقع في المركز السادس. يوضِّح الجدول الآتي قيم 𞸎، 𞸑 ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب قيم 𞸎 بـ 𞸓𞸎، ويُشار إلى رُتب قيم 𞸑 بـ 𞸓𞸑.

𞸎𞸕٤٧٨٥٨١٢
𞸓𞸎١٣٤٫٥٢٤٫٥٦
𞸑𞸕٧٦٦٤٦١٠
𞸓𞸑٥٣٣١٣٦
𞸓𞸓󰁓𞸐󰁒𞸎𞸑𞸕٤٠١٫٥١١٫٥٠
𞸐٢𞸕١٦صفر٢٫٢٥١٢٫٢٥٠

يجب أن نعوِّض بقيمتَي 𞸍، 󰌇𞸐٢𞸕 في الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢ لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. نَعرِف هنا أن قيمة 𞸍 هي ٦؛ لأن هناك ٦ أزواج بيانات، وقيمة 󰌇𞸐٢𞸕 هي: ٦١+٠+٥٢٫٢+١+٥٢٫٢+٠=٥٫١٢.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تُعطى بالصيغة: 𞸓=١٦(٥٫١٢)٦(٦١)=١٦(٥٫١٢)٦(٥٣)=١٩٢١٠١٢=١٥٨٢٤١٦٫٠=٤١٧٥٨٣٫٠.٢

بالتقريب إلى أقرب ٣ منازل عشرية، فإن قيمة المعامل تُصبح ٠٫٣٨٦. وهذه القيمة بعيدة عن ١؛ لذا، يمكننا القول إنه لا يوجد توافق قوي بين الرُّتب. وبذلك، نستنتج أن قيم المتغيِّر 𞸎 الأعلى لا ترتبط بقيم أعلى للمتغيِّر 𞸑، والعكس صحيح.

في المثالين السابقين، تعلَّمنا كيفية حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لمجموعة بيانات كمية. يمكننا تطبيق طريقة الحل نفسها على البيانات النوعية؛ وذلك بتعيين رُتب لقيم البيانات أولًا. كما فعلنا من قبل، في هذا المثال، نحسب رُتبًا مرتبطة.

مثال ٥: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان للبيانات النوعية

في دراسة العلاقة بين تقديرات الطلاب في مادتَي الرياضيات والعلوم، وُجِدَت النتائج الآتية لستة طلاب.

الرياضياتدبأبدد
العلومججبأجهـ

أوجد مُعامِل ارتباط سبيرمان. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط سبيرمان هي 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، 𞸍 هو عدد أزواج البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتبتَي المتغيِّرَيْن في كل زوج من البيانات.

نلاحظ أن تقديرات الطلاب الستة تكوِّن مجموعة من البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات، التي يمكن ترتيبها. وبالرغم من أن قيم البيانات ليست عددية، يظل بإمكاننا تعيين رُتبة لكل قيمة منها؛ وبهذا نتمكَّن من إيجاد الفروق بين رُتب هذه القيم. أولًا، هيا نُعيِّن رُتبًا لتقديرات الرياضيات. بترتيب التقديرات من الأعلى إلى الأقل، نحصل على: أببججج،،،،،.

أعلى تقدير هو (أ)؛ ومن ثَمَّ، يمكننا تعيين (أ) إلى أقل رُتبة أو أعلى رُتبة. من المفترض أن نصل إلى نفس قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان في كلتا الحالتين، ما دمنا سنُعيِّن رُتب تقديرات الرياضيات والعلوم بالطريقة نفسها هنا، سنُعطي الرُّتبة ١ للتقدير (أ).

بما أن التقدير (ب) يتكرَّر في المركزين الثاني والثالث من القائمة المرتَّبة للتقديرات، فإننا نعلم أن كلا التقديرين (ب) يجب أن تكون لهما رُتبة تساوي متوسط العددين ٢ و٣، أو الرُّتبة: ٢+٣٢=٥٢=٥٫٢.

بما أننا استخدمنا الرُّتبتين ٢ و٣، إذن تكون الرُّتبة الآتية هي ٤، وبما أن التقدير (د) يتكرَّر في المركز الرابع والخامس والسادس من القائمة، يمكننا أن نُعيِّن لكل تكرار رُتبة تساوي متوسط هذه المراكز، أو الرُّتبة: ٤+٥+٦٣=٥١٣=٥.

والآن، هيا نُعيِّن رُتبًا لتقديرات العلوم. بترتيب التقديرات من الأعلى إلى الأقل، نحصل على: أبدددـ،،،،،.

هنا، سنُعطي (أ) الرُّتبة ١، ونُعطي (ب) الرُّتبة ٢. بما أن التقدير (ج) يتكرَّر في المراكز الثالث والرابع والخامس من القائمة المرتَّبة للتقديرات، إذن نعلم أن كل تكرار يجب أن يأخذ رُتبة تساوي: ٣+٤+٥٣=٢١٣=٤، أو رُتبة تساوي متوسط الأعداد ٣ و٤ و٥. يشغل التقدير (هـ) المركز الأخير في القائمة؛ ولذا، يمكننا أن نُعطيه الرُّتبة ٦.

يوضِّح الجدول الآتي التقديرات ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب تقديرات الرياضيات بـ 𞸓𞸌، ويُشار إلى تقديرات العلوم بـ 𞸓𞸏.

الرياضياتدبأبدد
𞸓𞸌٥٢٫٥١٢٫٥٥٥
العلومججبأجهـ
𞸓𞸏٤٤٢١٤٦
𞸓𞸌𞸓𞸏󰁓𞸐󰁒𞸕١٥٫١١١٫٥١١
𞸐٢𞸕١٢٫٢٥١٢٫٢٥١١

لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، علينا التعويض بقيمتَي 𞸍، 󰌇𞸐٢𞸕 في الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢. نَعرِف أن قيمة 𞸍 هي ٦؛ لأن هناك ٦ أزواج من البيانات، وقيمة 󰌇𞸐٢𞸕 هي: ١+٥٢٫٢+١+٥٢٫٢+١+١=٥٫٨.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي: 𞸓=١٦(٥٫٨)٦(٦١)=١٦(٥٫٨)٦(٥٣)=١١٥٠١٢=١٧٥٨٢٤٢٫٠=٢٤١٧٥٧٫٠.٢

بالتقريب إلى أقرب ٣ منازل عشرية، تصبح قيمة المعامل ٠٫٧٥٧. هذه القيمة قريبة من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب بينها توافق قوي. وبذلك، نستنتج أن الطلاب الذين يحصلون على تقديرات عالية في الرياضيات، عادةً ما يحصلون على درجات عالية في العلوم أيضًا، والعكس صحيح.

والآن، هيا نُلقِ نظرة على مثال آخر يتضمَّن بيانات نوعية بها رُتب مرتبطة.

مثال ٦: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لبيانات نوعية

باستخدام البيانات المُعطاة في الجدول، أوجد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين المتغيِّرَيْن 𞸎، 𞸑. اكتب الإجابة لأقرب أربع منازل عشرية.

𞸎جيدامتيازجيدامتيازامتيازامتياز
𞸑ضعيفجيدضعيفامتيازجيد جدًّاجيد

الحل

لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين المتغيِّرَيْن، نستخدم الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، 𞸍 هو عدد أزواج البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتبتَي المتغيِّرَيْن في زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن التقديرات تُكوِّن مجموعة من البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات، التي يمكن ترتيبها. نبدأ بتعيين رُتبة إلى كل عنصر من عناصر البيانات، بدءًا بقيم 𞸎. بترتيب التقديرات من الأفضل إلى الأسوأ، نحصل على: ازازازاز،،،،،.

بما أن التقدير «امتياز» يتكرَّر في المراكز ١ و٢ و٣ و٤، إذن نُعطي لكل تكرار رُتبة تساوي متوسط هذه المراكز، أو الرُّتبة: ١+٢+٣+٤٤=٠١٤=٥٫٢.

وبما أن التقدير «جيد» يتكرَّر في المركزين الخامس والسادس، إذن نُعطي لكل تكرار منهما الرُّتبة: ٥+٦٢=١١٢=٥٫٥.

والآن، هيا نُعيِّن رُتبًا لقيم 𞸑. بترتيب القيم من الأفضل إلى الأسوأ، نحصل على: ازاﺿﺿ،،،،،.

وهنا، نُعطي التقدير «امتياز» الرُّتبة ١، ونُعطي التقدير «جيد جدًّا» الرُتبة ٢. وبما أن التقدير «جيد» يتكرَّر في المركزين الثالث والرابع في القائمة المرتَّبة، إذن نعرف أن كل تكرار لهذا التقدير تكون رُتبته: ٣+٤٢=٧٢=٥٫٣.

وأيضًا بما أن التقدير «ضعيف» يتكرَّر في المركزين الخامس والسادس، إذن نعيِّن لكل تكرار منهما الرُّتبة: ٥+٦٢=١١٢=٥٫٥.

يوضِّح الجدول الآتي التقديرات ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى رُتب تقديرات المتغيِّر 𞸎 بـ 𞸓𞸎، ويُشار إلى رُتب تقديرات المتغيِّر 𞸑 بـ 𞸓𞸑.

𞸎جيدامتيازجيدامتيازامتيازامتياز
𞸓𞸎٥٫٥٢٫٥٥٫٥٢٫٥٢٫٥٢٫٥
𞸑ضعيفجيدضعيفامتيازجيد جدًّاجيد
𞸓𞸑٥٫٥٣٫٥٥٫٥١٢٣٫٥
𞸓𞸓󰁓𞸐󰁒𞸎𞸑𞸕٠١٠١٫٥٠٫٥١
𞸐٢𞸕٠١٠٢٫٢٥٠٫٢٥١

علينا الآن التعويض بقيمتَي 𞸍، 󰌇𞸐٢𞸕 في الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢ لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. وبما أنه يوجد 𞸍 من أزواج البيانات، إذن 𞸍=٦. وأيضًا، بما أن 󰌇𞸐٢𞸕 هي مجموع مربعات الفروق في الجدول، إذن: 󰌇𞸐=٠+١+٠+٥٢٫٢+٥٢٫٠+١=٥٫٤.٢𞸕

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي: 𞸓=١٦(٥٫٤)٦(٦١)=١٦(٥٫٤)٦(٥٣)=١٧٢٠١٢=١١٧٥٨٢١٫٠=٨٢٤١٧٨٫٠.٢

بالتقريب إلى ٤ منازل عشرية، فإن قيمة المعامل تُصبح ٠٫٨٧١٤. هذه القيمة قريبة إلى حدٍّ ما من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب بينها توافق قوي. وبذلك، نستنتج أن ارتفاع تقديرات المتغيِّر 𞸎 يرتبط عادةً بارتفاع تقديرات المتغيِّر 𞸑، والعكس صحيح.

يتضمَّن المثال الآتي أيضًا بيانات نوعية بها رُتب مرتبطة. فمرةً أخرى، نحسب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان لتحديد مستوى الارتباط بين المتغيِّرَيْن.

مثال ٧: حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان للبيانات النوعية

يمثِّل الجدول الآتي العلاقة بين نتائج تقييم الموظفين هذه السنة والسنة الماضية.

السنة الماضيةيفي بالتوقعاتبحاجة إلى التحسُّناستثنائييفي بالتوقعاتيفوق التوقعات
هذه السنةيفوق التوقعاتيفي بالتوقعاتاستثنائيبحاجة إلى التحسُّنيفوق التوقعات

أوجد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان بين نتيجة السنة الماضية، وهذه السنة.

الحل

تذكَّر أن صيغة معامل ارتباط سبيرمان تنص على أن 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، 𞸍 هو عدد أزواج البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتب المتغيِّرَيْن في كل زوج من أزواج البيانات.

نلاحظ أن النتائج تُكوِّن مجموعة من البيانات النوعية الثنائية المتغيِّرات، التي يمكن ترتيبها. يمكننا تعيين رُتبة لكل قيمة من قيم البيانات، بدءًا من نتائج السنة الماضية. بترتيب النتائج من الأسوأ إلى الأفضل، نحصل على: إاتتقاتا،،،،.

يمكننا تعيين التقييم «بحاجة إلى التحسُّن» إلى الرُّتبة ١. وبما أن التقييم «يفي بالتوقعات» يشغل المركزين الثاني والثالث في القائمة المرتبة، إذن نعلم أن كل تكرار لها سيحصل على رُتبة تساوي متوسط المركزين، أو الرُّتبة: ٢+٣٢=٥٢=٥٫٢. ومن ثَمَّ، يحصل التقييم «يفوق التوقعات» على الرُّتبة ٤، والتقييم «استثنائي» على الرُّتبة ٥.

الآن، هيا نُعيِّن رُتبًا إلى نتائج هذه السنة. بترتيب النتائج من الأسوأ إلى الأفضل، نحصل على: إاتقاتقاتا،،،،.

يمكننا تعيين التقييم «بحاجة إلى التحسُّن» إلى الرُّتبة ١، والتقييم «يفي بالتوقعات» إلى الرُّتبة ٢. بما أن التقييم «يفوق التوقعات» يشغل المركزين الثالث والرابع في القائمة المرتَّبة، إذن يمكننا أن نُعيِّن إلى هذين التقييمين رُتبة تساوي متوسط المركزين، أو الرُّتبة: ٣+٤٢=٧٢=٥٫٣. وبذلك، يحصل التقييم «استثنائي» على الرُّتبة ٥. يوضِّح الجدول الآتي النتائج ورُتبها، بالإضافة إلى الفروق بين هذه الرُّتب، ومربعات هذه الفروق. يُشار إلى تقييمات السنة الماضية بـ 𞸓𞸏، ويُشار إلى تقييمات هذه السنة بـ 𞸓𞸆.

السنة الماضيةيفي بالتوقعاتبحاجة إلى التحسُّناستثنائييفي بالتوقعاتيفوق التوقعات
𞸓𞸏٢٫٥١٥٢٫٥٥
هذه السنةيفوق التوقعاتيفي بالتوقعاتاستثنائيبحاجة إلى التحسُّنيفوق التوقعات
𞸓𞸆٣٫٥٢٥١٣٫٥
𞸓𞸏𞸓𞸆󰁓𞸐󰁒𞸕١١٠١٫٥٠٫٥
𞸐٢𞸕١١٠٢٫٢٥٠٫٢٥

بعد ذلك، هيا نعوِّض بقيمتَي 𞸍، 󰌇𞸐٢𞸕 في الصيغة 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢ لإيجاد معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان. نعلم أن قيمة 𞸍 هي ٥؛ وذلك لأن هناك ٥ أزواج من البيانات، وقيمة 󰌇𞸐٢𞸕 تساوي مجموع قيم الصف الأخير من الجدول، أو: ١+١+٠+٥٢٫٢+٥٢٫٠=٥٫٤.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان تساوي: 𞸓=١٦(٥٫٤)٥(٥١)=١٦(٥٫٤)٥(٤٢)=١٧٢٠٢١=١٥٢٢٫٠=٥٧٧٫٠.٢

قيمة معامل سبيرمان، وهي ٠٫٧٧٥، قريبة من ١؛ لذا، يمكننا القول إن الرُّتب بينها توافق قوي إلى حدٍّ ما. وبذلك، نستنتج أن الموظفين الذين حصلوا على أعلى تقييمات السنة الماضية غالبًا ما سيحصلون على أعلى تقييمات هذه السنة، والعكس صحيح.

والآن، هيا ننهِ هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • البيانات الثنائية المتغيِّرات هي بيانات عن متغيِّرَيْن؛ حيث تقترن كل قيمة لأحد المتغيِّرَيْن بقيمة للمتغيِّر الآخر.
  • معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان هو مقياس لمدى ارتباط البيانات الثنائية المتغيِّرات. يُشير معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان الموجب إلى وجود ارتباط طردي، ويُشير المعامل السالب إلى وجود ارتباط عكسي.
  • صيغة معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان هي 𞸓=١٦󰌄𞸐𞸍(𞸍١)٢𞸕٢؛ حيث 𞸓 هو المعامل، 𞸍 هو عدد عناصر البيانات، 𞸐٢𞸕 هو مربع الفرق بين رُتبتَي إحداثيَّي كل نقطة 󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸕𞸕.
  • رُتب قيمتين متطابقتين أو أكثر من البيانات تساوي متوسط ترتيب مراكز هذه القيم في قائمة مرتَّبة. ونقول إن قيم البيانات هذه لها رُتب مرتبطة.
  • عند حساب معامل ارتباط الرُّتب لسبيرمان، فإن مجموع الفروق 󰁓𞸐󰁒𞸕 يساوي صفرًا دائمًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.