في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نرسم دائرة بمعلومية نقطة واحدة أو نقطتين أو ثلاث نقاط.
تذكَّر أننا نُعرِّف الدائرة رياضيًّا باعتبارها مجموعة من النقاط في مستوًى تقع على مسافة ثابتة من نقطة في المركز، والتي نُشير إليه عادة بالرمز .
تُسمَّى أيُّ قطعة مستقيمة تمتدُّ من مركز الدائرة إلى حافتها نصف قطر الدائرة، والتي رمزنا هنا إلى طولها بالرمز .
في البداية، دعونا نتناول الحالة التي يكون لدينا فيها النقطة ، ونريد رسم دائرة تمرُّ بها. تذكَّر أنه لفعل أيٍّ من الآتي على الورق، سنحتاج إلى فرجار وقلم رصاص.
طريقة العمل: رسم دائرة بمعلومية نقطة واحدة تقع عليها
- في البداية، دعونا نخترِ النقطة المحدَّدة لتكون مركز الدائرة. يُمكن أن تكون هذه النقطة في أيِّ مكان نريده بالنسبة إلى .
- علينا بعد ذلك استخدام الفرجار، ووضْع سن الفرجار على النقطة ، وضبط الفرجار؛ بحيث تكون النقطة الأخرى (حيث يقع سن القلم الرصاص) عند . ستمثِّل المسافة بين هاتين النقطتين نصف القطر للدائرة.
- وأخيرًا، نحرِّك الفرجار في دائرة حول ، وهو ما يُعطينا دائرة نصف قطرها .
كما نرى، عملية رسم دائرة تمرُّ بالنقطة عملية سهلة ومباشرة جدًّا. وبما أنه يُمكننا اختيار أيِّ نقطة مختلفة لتكون مركز الدائرة، فهذا يعني أن هناك عددًا لا نهائيًّا من الدوائر تمرُّ بالنقطة .
السؤال الطبيعي الذي يطرح نفسه هو: ماذا لو فكَّرنا فقط في الدوائر التي لها نصف القطر نفسه (أيِ الدوائر المتطابقة)؟ بعبارة أخرى، نفترض أننا نريد فقط التفكير في الدوائر التي تمرُّ بالنقطة ، ونصف قطرها . إذا كان نصف قطر الدائرة التي تمرُّ بالنقطة يساوي ، فهذا يعني أن المسافة من مركز الدائرة إلى النقطة يساوي . ومن ثَمَّ، إذا فكَّرنا في جميع النقاط الممكنة التي يُمكننا عندها وضع مركز هذه الدائرة، فإن نفس هذه المجموعة من النقاط تكوِّن دائرة حول النقطة ، كما هو موضح فيما يأتي.
أيُّ دائرة نرسمها يكون مركزها في مكان ما على هذه الدائرة (الدائرة الزرقاء) لا بدَّ أن تمرَّ بالنقطة . نوضِّح ذلك باستخدام النقطتين ، ، كما هو موضَّح فيما يأتي.
كما نرى، الدوائر الثلاث جميعها متطابقة (متساوية في القياس والشكل)، وكلها يقع مركزها على دائرة نصف قطرها ، يكون مركزها في . في الواقع، هناك عدد لا نهائي من الدوائر التي يُمكن رسمها وتمرُّ بنقطة واحدة؛ لأنه كما نرى سابقًا، يُمكن وضع مراكز هذه الدوائر في أيِّ مكان على محيط الدائرة التي مركزها عند تلك النقطة.
والآن، ماذا لو كان لدينا نقطتان مختلفتان، وأردنا رسم دائرة تمرُّ بهما؟ نلاحِظ أن أيَّ دائرة تمرُّ بنقطتين لا بدَّ أن يكون مركزها على مسافة متساوية (أيِ المسافة نفسها) من النقطتين. يُمكننا استخدام هذه الحقيقة لتحديد المراكز الممكنة لهذه الدائرة. ومن ثَمَّ، يكون لدينا الطريقة الآتية لرسم دائرة تمرُّ بنقطتين مختلفتين.
كيفية رسم دائرة بمعلومية نقطتين مختلفتين عليها
دعونا نبدأ بالنقطتين المختلفتين ، اللتين نريد ربطهما بدائرة.
لا يجب أن تكون هاتان النقطتان في وضع أفقي، لكن يُمكننا دائمًا قلب الصفحة؛ بحيث تكونان في وضع أفقي إذا أردنا.
- أولًا: نرسم القطعة المستقيمة من إلى .
- بعد ذلك، نُوجِد نقطة المنتصف لهذه القطعة المستقيمة.
- والآن، دعونا نرسم خطًّا عموديًّا يمرُّ بالنقطة .
- نختار نقطة على الخط، نفترض أنها . يُمكننا بعد ذلك رسم دائرة بوضْع سن الفرجار عند والنقطة الأخرى (باستخدام القلم الرصاص) عند أيٍّ من ، أو ، ورسم دائرة حول النقطة . هذا هو الشكل الموضَّح الآتي.
نلاحِظ أن أيَّ نقطة على الخط العمودي على تكون على مسافة متساوية من ، . ومن ثم، إذا أخذنا أي نقطة على هذا الخط، فيمكن أن تكون مركزًا لدائرة تمر بالنقطتين ، .
نلاحِظ أنه يُمكننا اختيار أيِّ نقطة تقع على الخط العمودي لتكون مركز الدائرة؛ لذلك فإن هناك عددًا لا نهائيًّا من الدوائر الممكنة التي تمرُّ بالنقطتين المحدَّدتين. نوضِّح بعض الاحتمالات الأخرى الآتية.
وكما نرى، فإن نصف قطر الدائرة يعتمد على بُعْد مسافة نقطة المنتصف عن المستقيم . دعونا نتناول مثالًا يختبر فهمنا لرسم الدائرة.
مثال ١: التعرُّف على خواص رسم الدائرة
لدينا النقطتان ، . ما نصف قطر أصغر دائرة يُمكن رسمها بحيث تمرُّ بالنقطتين؟
الحل
تذكَّر أن كلَّ نقطة على الدائرة تقع على مسافة متساوية من مركزها. ومن ثَمَّ، مركز الدائرة التي تمرُّ بالنقطتين ، يجب أن يكون على مسافة متساوية منهما. نتذكَّر أيضًا أن جميع النقاط التي تقع على مسافة متساوية من النقطتين ، تقع على الخط العمودي الذي ينصِّف . ومن ثَمَّ، يجب أن يقع المركز على هذا الخط. بأخذ لتكون نقطة المنتصف، ونوضِّح ذلك فيما يأتي.
نصف قطر أيِّ دائرة على هذا الخط يساوي المسافة بين مركز الدائرة والنقطة (أو ). نوضِّح ذلك فيما يأتي.
لدينا هنا أربعة مراكز محتملة للدوائر التي تمرُّ بالنقطتين ، ، والتي نرمز لها بالرموز ، ، ، . أنصاف أقطارها تساوي ، ، ، . نلاحِظ أن النقطتين اللتين تبعدان أكثر عن نقطة المنتصف (أيْ ، ) يكون نصفا قطرَيْهما أطول، والنقطة الأقرب يكون نصف قطرها أصغر. ونلاحِظ أن النقطة التي تبلغ المسافة عندها الحد الأدنى تكون عند نقطة المنتصف نفسها. إذا رسمنا دائرة حول هذه النقطة، فإننا نحصل على ما يأتي:
هنا، نجد أن نصف القطر يساوي نصف المسافة . إذن باستخدام الترميز الذي يوضِّح أن يمثِّل طول ، نحصل على .
لقد رأينا حتى الآن كيف نرسم دائرة تمرُّ بنقطة أو نقطتين. يُمكننا بعد ذلك طرح السؤال الآتي: هل يُمكن فعل ذلك أيضًا بالنسبة إلى ثلاث نقاط؟
تذكَّر أنه في حالة الدوائر التي تمرُّ بالنقطتين المختلفتين ، ، يجب أن تكون مراكز هذه الدوائر على مسافة متساوية من النقطتين. في حالة النقاط الثلاث المختلفة ، ، ، يجب أن يكون المركز على مسافة متساوية من النقاط الثلاث جميعها. ومن ثَمَّ، لرسم دائرة تمرُّ بثلاث نقاط، يجب أن نتبع أولًا طريقة لإيجاد النقاط التي تقع على مسافة متساوية من نقطتين، وفعل ذلك مرتين. وعلى وجه التحديد، نُوجِد الخطين اللذين يقعان على مسافة متساوية من مجموعتين من النقاط ، ، وكذلك ، ، (أو ، ). ثم نُوجِد نقطة تقاطع هذين الخطين، وهي نقطة واحدة تقع على مسافة متساوية من النقاط الثلاث جميعها في الوقت ذاته.
دعونا نوضِّح كيف نُوجِد هذا المركز في دليل «كيفية الرسم» الآتي.
كيفية رسم دائرة بمعلومية ثلاث نقاط
- دعونا نبدأ بالنظر إلى النقاط الثلاث ، ، .
- نرسم قطعتين مستقيمتين بين أيِّ نقطتين. سنرسم هنا قطعتين مستقيمتين من إلى ، ومن إلى ، (لكننا نلاحِظ أن إلى يصلح أيضًا).
- نُوجِد نقطتَيِ المنتصف لهاتين القطعتين المستقيمين. ونحدِّدهما بالرمزين ، .
- وكما فعلنا من قبلُ، نرسم خطين عموديين على هذين المستقيمين يمرَّان بالنقطتين ، . نُوجِد، إذا أمْكن، نقطة تقاطع هذين الخطين، التي نرمز لها بالرمز .
- وأخيرًا، نضع سن الفرجار عند النقطة ، وهي تمثِّل مركز الدائرة والنقطة الأخرى (باستخدام القلم الرصاص) عند ، أو ، أو ، ونرسم الدائرة.
نلاحظ أنه بما أن الخطين لا يُمكنهما أن يتقاطعا إلا عند نقطة واحدة، فهذا يعني أنه يُمكن أن تكون هناك دائرة واحدة على الأكثر تمرُّ بالنقاط الثلاث. تقودنا هذه الحقيقة إلى السؤال الآتي.
مثال ٢: معرفة حقائق عن رسم الدائرة
صواب أم خطأ: إذا كانت دائرة تمرُّ بثلاث نقاط، فإن النقاط الثلاث يجب أن تنتمي إلى نفس الخط المستقيم.
الحل
أولًا: إذا كانت النقاط الثلاث لا تنتمي إلى الخط المستقيم نفسه، فهل يُمكن لدائرة أن تمرَّ بها؟ لننظر إلى الدائرة الموضَّحة الآتية، ونأخذ النقاط الثلاث العشوائية ، ، .
نلاحِظ هنا أنه على الرغم من أننا يُمكننا رسم مستقيم يمرُّ بأيِّ زوج منها، فإن جميعها لا تنتمي إلى الخط المستقيم نفسه. لذا يُمكننا مباشرة القول إن العبارة الواردة في السؤال خطأ؛ لا يجب أن تكون النقاط الثلاث على الخط المستقيم نفسه حتى تمرَّ دائرة بها.
ماذا يحدث إذا كانت جميعًا على خط مستقيم واحد؟ دعونا نأخذ ثلاث نقاط على نفس المستقيم على النحو الآتي.
إذا طبَّقنا طريقة رسم دائرة من ثلاث نقاط، فسنرسم قطعتين مستقيمتين بينها، ونُوجِد نقطتَيِ المنتصف لنحصل على الآتي.
بعد ذلك، نرسم خطين عموديين يمرَّان بنقطتَيِ المنتصف ، .
نلاحِظ هنا أن النقاط التي تقع على مسافة متساوية من ، تقع على الخط الذي ينصِّف (الخط المتقطِّع الأزرق)، والنقاط التي تقع على مسافة متساوية من ، تقع على الخط الذي ينصِّف (الخط المتقطِّع الأخضر). لكنْ يتبقَّى لدينا مشكلة. بما أن الخطين اللذين ينصِّفان ، متوازيان، فإنهما لن يتقاطعا أبدًا. ومن ثَمَّ، ليس هناك أيُّ نقطة تقع على مسافة متساوية من النقاط الثلاث. وهذا يوضِّح أنه لا يُمكننا بالفعل رسم دائرة تمرُّ بها.
نتيجة لذلك، يكون الجواب: خطأ؛ لأن العكس هو الصحيح. إذا كانت دائرة تمرُّ بثلاث نقاط، فإنه لا يُمكنأن تقع على الخط المستقيم نفسه.
يقودنا هذا المثال إلى النتيجة الآتية، التي قد نحتاجها في الأمثلة الآتية.
قاعدة: رسم دائرة تمرُّ بثلاث نقاط مختلفة
يُمكننا رسم دائرة واحدة فقط تمرُّ بثلاث نقاط مختلفة، ما دام أن هذه النقاط لا تقع على الخط المستقيم نفسه (أيْ يجب أن تكون النقاط ليست على استقامة واحدة).
دعونا نختبر أكثر معرفتنا برسم الدوائر، وكيفية عمل ذلك.
مثال ٣: معرفة حقائق عن رسم الدائرة
صواب أم خطأ: يُمكن رسم دائرة تمرُّ برءوس أيِّ مثلث.
الحل
تذكَّر أنه يُمكننا رسم دائرة واحدة تمرُّ بأيِّ ثلاث نقاط مختلفة، بشرط ألَّا تقع على الخط المستقيم نفسه. من الممكن أيضًا رسم قِطَع مستقيمة تمرُّ بثلاث نقاط مختلفة لتكوين مثلث كما يأتي.
وهذا ممكن لأيِّ ثلاث نقاط مختلفة، بشرط ألَّا تقع على خط مستقيم واحد. إذا كانت تقع على خط مستقيم واحد، فإن رسم قِطَع مستقيمة بينها يَنتُج عنه رسم مستقيم، لا مثلث.
نتذكَّر الآن أنه لأيِّ ثلاث نقاط مختلفة، ما دامت لا تقع على الخط المستقيم نفسه، فإنه يُمكننا رسم دائرة تمرُّ بها. ومن ثَمَّ، نحصل على ما يأتي:
- يُمكن تفكيك المثلث إلى ثلاث نقاط مختلفة (أيْ رءوسه) لا تقع على الخط نفسه.
- يُمكننا رسم دائرة تمرُّ بثلاث نقاط مختلفة لا تقع على الخط نفسه.
ومن ثَمَّ، يُمكننا استنتاج أن عبارة «يُمكن رسم دائرة تمرُّ برءوس أيِّ مثلث» يجب أن تكون صحيحة.
يقودنا هذا المثال إلى قاعدة أخرى مُفيدة علينا أخذها في الاعتبار.
قاعدة: رسم دائرة تمرُّ برءوس مثلث
لكلِّ مثلث، هناك دائرة واحدة فقط تمرُّ بكلِّ رءوس المثلث. وهذه تُعرَف باسم الدائرة المارَّة برءوس المضلَّع.
بمراعاة القاعدة السابقة، لنتناول مثالًا آخَر يرتبط بذلك.
مثال ٤: فهم كيفية رسم دائرة تمرُّ بثلاث نقاط
في الشكلين الآتيين، يُوجَد نوعان من الإنشاءات التي أُجريت على نفس المثلث . ما النقطة التي تكون مركز الدائرة المارَّة برءوس المثلث؟
الحل
نتذكَّر أنه لكلِّ مثلث، يُمكننا رسم دائرة تمرُّ برءوس هذا المثلث. لرسم هذه الدائرة، يُمكننا توضيح ما يأتي:
- يجب أن يكون مركز هذه الدائرة على مسافة متساوية من الرءوس ، ، .
- يُمكننا إيجاد النقاط التي تقع على مسافات متساوية من زوجين من النقاط بأخذ الأعمدة المنصِّفة لهما.
- بأخذ تقاطع هذه المنصِّفات، نحصل على نقطة تقع على مسافة متساوية من ، ، .
نلاحِظ أنه في المثلث الموجود على اليمين: أضلاع المثلث منصَّفة (ممثَّلة بعلامة واحدة، أو علامتين، أو ثلاث علامات)، والخطوط العمودية موجودة (توضِّحها الزوايا القائمة)، ونُوجِد مركز الدائرة بالتقاطع. وبما أن هذا يناظِر المنطق الموضَّح سابقًا، فيجب أن يكون هو مركز الدائرة.
بالنسبة إلى المثلث الموجود على اليسار، زوايا المثلث منصَّفة، وأوجدنا النقطة باستخدام تقاطع تلك المنصِّفات. لكنَّ هذه النقطة لا تناظِر مركز الدائرة؛ لأنها ليست بالضرورة على مسافة متساوية من الرءوس الثلاثة.
ومن ثَمَّ، فإن النقطة التي تكون مركز الدائرة المارَّة بجميع الرءوس هي .
في المثال الأخير، دعونا نتناول قاعدة عامة أخرى تنطبق على جميع الدوائر.
مثال ٥: تحديد إذا ما كانت الدوائر يُمكن أن تتقاطع عند أكثر من نقطتين
صواب أم خطأ: يُمكن أن تتقاطع دائرتان مختلفتان عند أكثر من نقطتين.
الحل
في هذه المسألة، من المفترض أن الدائرتين مختلفتان؛ إذا كانت الدائرة هي نفسها مرتين، فإنها ستتقاطع مع نفسها عند جميع النقاط على الدائرة.
دعونا نتناول جميع الحالات التي يُمكن أن نحصل فيها على دائرتين متقاطعتين. في البداية، قد نَجِد حالات لا تتقاطع فيها الدائرتان على الإطلاق.
يُمكن أن تتقاطع الدائرتان أيضًا عند النقطة الواحدة .
وأيضًا، يُمكن أن تتقاطع الدائرتان عند النقطتين ، .
هل يُمكن أن تتقاطع دائرتان مختلفتان أكثر من مرتين؟ لنفترض أن دائرتين تتقاطعان ثلاث مرات. هذا يعني أن هناك ثلاث نقاط تقاطع ، ، ؛ أيْ كلتا الدائرتين تمرُّ بجميع النقاط الثلاث. نتذكَّر أننا نعلم أن هناك دائرة واحدة فقط تمرُّ بالنقاط الثلاث ، ، ، وكلها لا تقع على المستقيم نفسه. وبما أن هناك دائرة واحدة فقط يُمكن أن يحدث فيها ذلك، فالإجابة يجب أن تكون: خطأ، لا يُمكن أن تتقاطع دائرتان مختلفتان عند أكثر من نقطتين.
دعونا نختتم بتلخيص بعض النقاط المُهِمَّة التي تعلَّمناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- يُمكننا رسم أيِّ عدد من الدوائر التي تمرُّ بالنقطة الواحدة ، باختيار النقطة الأخرى ، ورسم دائرة نصف قطرها يساوي المسافة بين النقطتين.
- يُمكننا رسم أيِّ عدد من الدوائر التي تمرُّ بالنقطتين المختلفتين ، بإيجاد العمود المنصِّف للمستقيم ، ورسم دائرة يقع مركزها على هذا الخط.
- يُمكن رسم الدائرة الصُّغرى التي تمرُّ بالنقطتين المختلفتين ، ، ويقع مركزها على القطعة المستقيمة من إلى ، ونصف قطرها يساوي .
- يُمكننا رسم دائرة واحدة تمرُّ بالنقاط الثلاث المختلفة ، ، ، بشرط ألَّا تقع النقاط على الخط المستقيم نفسه. سنفعل ذلك بإيجاد العمود المنصِّف لكلٍّ من ، ، وإيجاد تقاطعهما، ورسم دائرة حول هذه النقطة تمرُّ بالنقاط ، ، .
- يُمكن أن تتقاطع الدائرتان المختلفتان عند نقطتين على الأكثر.
