شارح الدرس: العجلة العلوم • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد عجلة الأجسام التي تُغيِّر سرعتها خلال حركتها.

تذكَّر أنه إذا تحرَّك جسم بسرعة ثابتة، فإن قيمة سرعته لا تتغيَّر. والجسم الذي يتحرَّك بسرعة ثابتة يقطع مسافات متساوية في فترات زمنية متساوية، مثل السيارة الموضَّحة في الشكل الآتي.

تقطع هذه السيارة مسافة ٢٠ م كل ثانية؛ بعبارة أخرى، تتحرَّك السيارة بسرعة ثابتة تساوي ٢٠ م/ث.

وعادةً ما نُواجِه حالات لا تكون فيها سرعة الجسم ثابتة. على سبيل المثال، قد تبدأ السيارة السابقة من السكون وتزداد سرعتها تدريجيًّا، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

هذه المرَّة، تتغيَّر المسافة التي قطعتْها السيارة في كلِّ فترة مقدارها ١ ث. وهذا يعني أن سرعة السيارة تتغيَّر، أو أن السيارة تتحرَّك بعجلة.

وأيُّ جسم تتغيَّر سرعته بمرور الزمن يتحرَّك بعجلة، وعجلة الجسم هي المقدار الذي تتغيَّر به سرعته. وكلما زادت عجلة الجسم، ازدادت سرعته في كلِّ فترة زمنية مقدارها ١ ث.

على سبيل المثال، انظر إلى الحالات الآتية التي تمثِّل حركة ثلاث سيارات مختلفة. الأشكال الثلاثة موضَّحة بمقياس واحد للمسافة، كما أن مواضع السيارات عند فترات زمنية مقدار كلٍّ منها ١ ث.

تقطع السيارة الأرجوانية الممثَّلة في الصف العلوي المسافة نفسها كلَّ ثانية. وهذا يعني أن سرعتها ثابتة، ومن ثَمَّ، فإنها تتحرَّك بعجلة تساوي صفرًا.

تقطع السيارتان الأخريان مسافةً أكبر في كلِّ فترة زمنية مقدارها ١ ث، ومن ثَمَّ، فكلتاهما تتحرَّكان بعجلة. إذا نظرنا إلى المقدار الذي تزداد به سرعة هذه السيارات، فسنجد أن المقدار الذي تزداد به المسافة بين السيارات الزرقاء الموجودة في الصف السفلي في كلِّ فترة زمنية هو الأكبر. وهذا يعني أن العجلة التي تتحرَّك بها السيارة الزرقاء هي الكُبرى.

عرفنا أن العجلة هي المقدار الذي تتغيَّر به سرعة الجسم في كلِّ ثانية. ويُمكننا التعبير عن ذلك في صورة المعادلة: حيث العجلة، التغيُّر في السرعة، التغيُّر في الزمن. يُشير الرمز إلى الحرف اليوناني دلتا، الذي يُستخدَم عادة للإشارة إلى التغيُّر في الكمية.

انظر السيارة الآتية، التي تبدأ من السكون عند ، وأصبحت سرعتها ٦ م/ث عند الزمن .

يُمكننا حساب عجلة هذه السيارة باستخدام المعادلة السابقة. لكنْ علينا معرفة التغيُّر في السرعة، ، خلال هذه الفترة الزمنية؛ أي السرعة النهائية ناقص السرعة الابتدائية. نلاحِظ من الشكل أن السرعة النهائية تساوي ٦ م/ث، والسرعة الابتدائية تساوي ٠ م/ث، إذن يُمكننا كتابة التغيُّر في السرعة على الصورة: .

علينا أيضًا معرفة التغيُّر في الزمن، . الزمن الذي سُجِّل عنده القياس الثاني يساوي ٢ ث، والزمن الابتدائي يساوي ٠ ث. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة .

بمعلومية هذه القِيَم، يُمكننا كتابة العجلة، ، رياضيًّا على الصورة:

إذن السيارة تتحرَّك بعجلة مقدارها ٣ م/ث^٢.

لاحِظ أن الوحدة الأساسية لقياس العجلة في النظام الدولي للوحدات هي متر لكل ثانية مربعة. ذلك لأننا استخدمنا كمية واحدة، وهي السرعة، بالوحدة متر لكل ثانية مقسومةً على كمية أخرى، وهي الزمن، بوحدة الثانية. وهذا من شأنه أن يُعطينا الوحدة متر لكل ثانية لكل ثانية؛ أي متر لكل ثانية مربعة، أو يُمكننا كتابتها على الصورة م/ث^٢.

عندما أردنا إيجاد قيمتي التغيُّر في السرعة، ، والتغيُّر في الزمن، ، طرحنا القيمة الابتدائية من القيمة النهائية لكلٍّ من السرعة والزمن. وهذا يعني أنه يُمكننا إعادة كتابة المعادلة لتتضمن هذه الخطوة، وهو ما يُعطينا: حيث العجلة أيضًا، السرعة الابتدائية، السرعة النهائية، الزمن الابتدائي، الزمن النهائي.

يُمكننا إعادة حساب عجلة السيارة المذكورة سابقًا باستخدام هذه الصورة من المعادلة. حسنًا، لدينا السرعة الابتدائية عند الزمن الابتدائي ، والسرعة النهائية عند الزمن النهائي . وبالتعويض بهذه القِيَم لإيجاد العجلة، نحصل على:

وكما أوضحنا سابقًا، هاتان الصورتان من معادلة العجلة متكافئتان؛ لأن ، . ويُمكننا استخدام أيِّ صورة بشرط أن تكون هي الأنسب للقِيَم المُعطاة. في مثل هذه الحالات التي نعلم فيها الزمن الابتدائي والزمن النهائي، والسرعة الابتدائية والسرعة النهائية، تسمح لنا الصيغة الثانية من المعادلة بالتعويض مباشرة دون إجراء أيِّ عمليات حسابية، ومن ثَمَّ، فهي طريقة أكثر وضوحًا.

ومع ذلك، فقد نُواجِه أيضًا حالات نعرف فيها قِيَم التغيُّر في الكميات، كما في حالة السيارة الموضَّحة في الشكل الآتي.

فهنا، لدينا سيارة تغيَّرت سرعتها بمقدار ٢٠ م/ث خلال فترة زمنية قدرها ٥ ث. لكننا لم نعلم السرعة الابتدائية والنهائية؛ فمن الممكن أن تكون السيارة قد بدأت من السكون، أو كانت تتحرَّك بالفعل عند بداية هذه الفترة الزمنية. في هذه الحالة، ليس لدينا ما يكفي من المُعطيات لحساب سرعة السيارة، لكن لا يزال بإمكاننا تحديد عجلتها. في هذه الحالة، نعلم ، مباشرةً، لذا، يُمكننا استخدام الصورة الأولى من معادلة العجلة:

إذن العجلة التي تتحرَّك بها خلال هذه الفترة الزمنية السيارة تساوي ٤ م/ث^٢.

سنتناول التغيُّرات التي تحدث للعجلة في المثال الآتي.

في المثال السابق، تناولنا حركة جسم يتحرَّك بعجلة ثابتة. وإذا لم تتغيَّر العجلة، يُقال إنها منتظِمة.

لاحِظ حركة السيارة الآتية، التي تُسجَّل سرعتها عند فترات زمنية مقدار كلٍّ منها ١ ث.

لنبدأ بالتفكير في الفترة الزمنية الأولى. خلال الثانية الأولى، بدأت السيارة من السكون، ثم ازدادت سرعتها لتَصِل إلى ٣ م/ث. يُمكننا حساب العجلة من المعادلة:

إذن العجلة خلال الفترة الزمنية الأولى تساوي ٣ م/ث^٢.

بالانتقال إلى الفترة الزمنية الثانية، تبدأ السيارة هنا بسرعة ٣ م/ث، ثم تزداد سرعتها لتَصِل إلى ٦ م/ث بين الزمنين ١ ث، ٢ ث. بالتعويض بهذه القِيَم لإيجاد العجلة، نجد أن:

إذن العجلة خلال الفترة الثانية تساوي ٣ م/ث^٢ أيضًا.

يُمكننا أيضًا إجراء العملية الحسابية نفسها للفترة الزمنية الثالثة، بين الزمنين ٢ ث، ٣ ث، وذلك عندما تزداد سرعة السيارة من ٦ م/ث إلى ٩ م/ث. العجلة تساوي: إذن لدينا العجلة نفسها في الفترة الزمنية الثالثة.

كما رأينا، لا تُهِمُّ الفترة التي نختارها. فعندما يتحرَّك الجسم بعجلة منتظِمة، فإن العجلة لا تتغيَّر خلال أيِّ فترة زمنية. وينطبق هذا أيضًا إذا تناولنا القيمتين الأولى والأخيرة فقط. في هذه الحالة، تبدأ السيارة من السكون عند ، ثم نحصل على سرعة مقدارها ٩ م/ث عند . إذن العجلة تساوي:

يُمكننا أن نستخدِم أيَّ لحظة ابتدائية وأيَّ لحظة نهائية وسنحصل دائمًا على عجلة مقدارها ٣ م/ث^٢. وإذا عرفنا أن عجلة الجسم منتظِمة، يُمكننا اختيار أيِّ فترة واحدة لحساب العجلة، وستظلُّ هذه القيمة ثابتة طوال حركة الجسم.

وعادة ما نُواجِه حالات لا نعرف فيها سرعة السيارة عند أيِّ نقطة، لكننا نعرف موضعها أو المسافة التي قطعتْها. لننظر إلى السيارة الآتية التي تتحرَّك من السكون، وقد رُصِد موضعها عند فترات زمنية مقدار كلٍّ منها ١ ث.

في هذه الحالة، لا تُسجَّل سرعة السيارة، لكن ما يُسجَّل هو موضعها عند كلِّ ثانية. ولحساب العجلة، علينا أولًا معرفة سرعة السيارة عند كلِّ موضع.

نعلم من المُعطيات المسافة التي قطعتْها السيارة في كلِّ فترة، وكذلك زمن كل فترة (١ ث). تذكَّر أن: . في الفترة الأولى، التي قطعتْ خلالها السيارة مسافة ٣ م في ١ ث، السرعة المتوسطة للسيارة تساوي .

في الفترة الثانية، قطعت السيارة مسافة ٦ م في ١ ث، لذا فإن سرعتها المتوسطة تساوي . إذن بين الفترتين الأولى والثانية، كانت عجلة السيارة:

وفي الفترة ١ ث الأخيرة، قطعت السيارة مسافة ٩ م. ومتوسط سرعتها خلال هذه الفترة تساوي . يُمكننا حساب العجلة من المعادلة:

إذن العجلة ثابتة خلال جميع الفترات الزمنية؛ أيْ تساوي ٣ م/ث، ومن ثَمَّ، فإن السيارة تتحرَّك بعجلة منتظِمة.

في هذا المثال، لاحِظ أنه نظرًا لأن المواضع قد سُجِّلت عند فترات زمنية منتظِمة؛ ولذا عند إيجاد السرعة كنا نقسم المسافة دائمًا على قيمة الزمن نفسها، التي تساوي في تلك الحالة ١ ث. وهذا يعني أنه إذا زادت المسافة بمعدَّل ثابت، وفي هذه الحالة بمقدار ٣ م إضافية في كلِّ ثانية، تزداد السرعة في هذه الحالة أيضًا بالمعدَّل نفسه، ٣ م/ث، وإذا زادت السرعة بمعدَّل ثابت، تكون العجلة منتظِمة.

وهذا يعني أنه إذا علمنا فقط موضع الجسم عند فترات زمنية منتظِمة، وكانت المسافة المقطوعة في كلِّ فترة زمنية تزداد بمعدَّل ثابت، يُمكننا القول إن الجسم يتحرَّك بعجلة منتظِمة.

في الأمثلة الآتية، سنتدرَّب أكثر على تحديد العجلة المنتظِمة وحسابها.

مثال ٣: التعرُّف على الأجسام التي تتحرَّك بعجلة منتظِمة من خلال مواضعها

توضِّح الصُّوَر الآتية مواضع أجسام عند أزمنة تفصل بينها ثانية واحدة. تبدأ الأجسام الحركة من السكون. ما الصورة التي توضِّح جسمًا عجلته مُنتظِمة؟

الحل

يطلب منَّا هذا المثال تحديد الجسم الذي له عجلة منتظِمة بمعلومية موضع الجسم عند فترات زمنية مختلفة.

نعلم من المُعطيات أن المواضع مسجَّلة عند أزمنة تفصل بينها ثانية واحدة. وهذا يعني أن السرعة المتوسطة في كل فترة تزداد بالمقدار نفسه الذي تزداد به المسافة المقطوعة. ولكي تكون العجلة منتظِمة، يجب أن تزداد السرعة بالمقدار نفسه في كلِّ فترة زمنية. وهذا يعني أن المسافة الإضافية المقطوعة يجب أن تزداد أيضًا بالمقدار نفسه.

تقطع جميع الأجسام الثلاثة المسافة نفسها في الثانية الأولى، وهذه المسافة تساوي عرض أحد هذه المربعات. إذا فكَّرنا في الخيار (أ)، يُمكننا أن نلاحِظ أن المسافة بين المربعين الثاني والثالث أكبر من المسافة بين المربعين الأول والثاني، والمسافة بين المربعين الثالث والرابع أكبر أيضًا. حتى الآن، هذا ما نتوقَّعه بالنسبة إلى جسم يتحرَّك بعجلة منتظِمة. ومع ذلك، فالمسافة بين المربعين الرابع والخامس أصغر من المسافة بين المربعين الثالث والرابع. وهذا يعني أن السرعة لم تَعُدْ تزداد، ولكنها تناقَصَت. إذن هذا الجسم لا يتحرَّك بعجلة منتظِمة، لذا يُمكننا استبعاد الخيار (أ).

إذا فكَّرنا في الخيار (ب)، يُمكننا أن نلاحِظ أن المسافة بين المربعين الثاني والثالث أكبر من المسافة بين المربعين الأول والثاني، وتظلُّ المسافة بين المربعين الثالث والرابع أكبر. وهذا ما نتوقَّعه في حالة العجلة المنتظِمة، إذن الخيار (ب) قد يكون هو الإجابة الصحيحة.

بالانتقال إلى الخيار (ج)، نلاحِظ أن المسافة بين المربعين الثاني والثالث أكبر من المسافة بين المربعين الأول والثاني، لكن المسافة بين المربعين الثالث والرابع تساوي المسافة بين المربعين الثاني والثالث. وهذا يعني أن الجسم لا يتحرَّك بعجلة في هذه الفترة، إذن الخيار (ج) لا يُمكن أن يمثِّل عجلة منتظِمة.

وعليه، فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).

حتى الآن، لم ندرس سوى الأجسام التي تزداد سرعتها. ولكن العجلة هي أيُّ تغيُّر يحدث للسرعة حتى إذا كانت السرعة تقلُّ.

في لغتنا المعتادة، نَصِف الجسم الذي تقلُّ سرعته بإنه يتباطأ. وفي الفيزياء، هذا يُسمَّى العجلة لكنْ في الاتجاه المُعاكِس. إذن يُمكننا وصْف الجسم الذي يتباطأ بأنه يتحرَّك بعجلة، ونستخدم إشارة سالبة للإشارة إلى أن السرعة تقلُّ.

على سبيل المثال، انظر السيارة الآتية التي تُسجَّل سرعتها كلَّ ١ ث أثناء تباطُئِها.

لحساب عجلة هذه السيارة، نستخدِم المعادلة المُعتادة: مع تذكُّر أن هي دائمًا السرعة النهائية عند الزمن النهائي . وبالنظر إلى الثانية الأولى، نجد أن ، . ومن ثَمَّ، . من المُهِمِّ أن تتأكَّد أن ، هما القيمتان الصحيحتان، ولا ننسى الإشارة السالبة؛ لأنها تُشير إلى أن السرعة تقلُّ. ومن المُفيد أيضًا أن نتأكَّد أن ستكون بإشارة سالبة، كما هو متوقَّع في هذه المسألة؛ فالإشارة الموجَبة تعني أن السرعة تزداد والإشارة السالبة تعني أن السرعة تقلُّ.

يُمكننا الآن حساب العجلة في هذه الفترة الأولى على النحو الآتي:

إذن العجلة خلال الفترة الأولى تساوي م/ث^٢.

يُمكننا حساب قيمة العجلة خلال الفترة الثانية بالطريقة نفسها، وهو ما يُعطينا:

وفي الثانية الأخيرة، نجد أن:

إذن العجلة التي تتحرَّك بها السيارة تساوي م/ث^٢ طوال فترة حركتها، وهو ما يعني أن هذه السيارة تتحرَّك بعجلة منتظِمة تساوي م/ث^٢.