في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكوِّن صيغةً تربط بين كميتين تتغيَّران طرديًّا أو عكسيًّا.
في عالم الفيزياء، هناك العديد من الأمثلة للكميات التي تتغيَّر عكسيًّا. على سبيل المثال، يتغيَّر تردُّد الاهتزاز في آلة وترية ما عكسيًّا مع طول الخيط، وتتناسب قوة الجاذبية عكسيًّا مع مربع المسافة بين الأجسام:
قبل أن نتحدَّث عن التغيُّر العكسي، نراجع تعريف التغيُّر الطردي.
التغيُّر الطردي
نقول إن المتغيِّرين تربطهما علاقة تناسب طردي أو تغيُّر طردي، إذا كانت النسبة بينهما ثابتة.
هذا النوع من العلاقات يُكتَب عادةً على صورة للمتغيِّرين ، . ويُوصَف رياضيًّا بالصيغة: حيث ثابت التغيُّر.
بقسمة طرفَي المعادلة السابقة على ، نلاحظ أن: ويصح الأمر نفسه لجميع قيم ، .
في حالة التغيُّر الطردي، إذا زادت إحدى الكميتين، تزداد الكمية الأخرى أيضًا. أما في حالة التغيُّر العكسي، فإذا زادت إحدى الكميتين، تقل الأخرى. وبطريقة منهجية، يُعرَف هذا على النحو الآتي.
التغيُّر العكسي
نقول إن المتغيِّرين تربط بينهما علاقة تغيُّر عكسي إذا كان أحدهما يزداد ويقل الآخر، ويكون حاصل ضربهما ثابتًا.
يُكتَب هذا النوع من العلاقات عادةً على الصورة للمتغيِّرين ، . ويُوصَف رياضيًّا بالصيغة: حيث ثابت التغيُّر.
في حالة التناسب العكسي، تبدو معادلة التناسب مختلفة قليلًا عما هي عليه في حالة التناسب الطردي. على سبيل المثال، إذا كان « يتناسب عكسيًّا مع »، فإننا نكتب ذلك على الصورة: « يتناسب طرديًّا مع معكوس »:
وتبدو معادلة التناسب كالآتي: أو:
أو بدلًا من ذلك، إذا كان « يتناسب عكسيًّا مع مربع »، فإننا نكتب ذلك على الصورة: « يتناسب طرديًّا مع معكوس مربع »:
وتبدو معادلة التناسب كالآتي: أو:
إضافةً إلى ذلك، إذا كان « يتناسب عكسيًّا مع الجذر التكعيبي لـ »، فإننا نكتب ذلك على الصورة: « يتناسب طرديًّا مع معكوس الجذر التكعيبي لـ »:
وتبدو معادلة التناسب كالآتي: أو:
نتناول الآن مثالين حول الطرق المختلفة التي يمكن بها وصف علاقات التناسب العكسي:
- « يتغيَّر عكسيًّا مع تكعيب» يعني أن .
- « يتناسب عكسيًّا مع الجذر التربيعي لـ » يعني أن .
يمكن كذلك وصف علاقة التناسب العكسي بصيغة أطول. على سبيل المثال، «الضغط، ووحدته هي ضغط جوي، في طائرة شراعية يتغيَّر مع الجذر التربيعي لارتفاعها عن سطح البحر، والذي وحدته هي ياردة.» إذا افترضنا أن يمثِّل الضغط (ووحدته هي ضغط جوي)، يمثِّل الارتفاع فوق مستوى سطح البحر (والذي وحدته هي ياردة)، يمكننا التعبير عن التناسب على الصورة أو في صورة المعادلة ؛ حيث ثابت التناسب.
إذا ألقينا نظرةً على التمثيل البياني لعلاقة التناسب العكسي، نجد أنها تبدو مختلفة تمامًا عن التمثيل البياني لعلاقة التناسب الطردي.
التمثيل البياني لـ ص يساوي ك/س
نلاحظ أنه في حين تزداد قيمة ، فإن قيمة تقترب من الصفر، ويقترب المنحنى من المحور .
نلاحظ أيضًا أنه كلما انخفضت قيمة لتقترب من الصفر، ازدادت قيمة ، ويقترب المنحنى من المحور .
نتناول بعض الأمثلة التي تتضمَّن تناسبًا عكسيًّا.
مثال ١: إيجاد العلاقة التناسبية بين متغيِّرين
حدِّد إذا كان يتغيَّر طرديًّا أو عكسيًّا مع ، واستخدم ذلك لإيجاد قيمة ، عندما يكون .
| ٢ | ٤ | ٧٠ | |
| ٧٠ | ٣٥ | ٢ |
الحل
يوضِّح الجدول أن يقل، أما فيزداد. هذا يعني أن لدينا علاقة عكسية. إذن يتغيَّر عكسيًّا مع ، وهو ما يُكتَب على الصورة: ويكافئ أو .
وبناءً على ذلك، عندما يتغيَّر عكسيًّا مع ، يظل حاصل ضرب ، ثابتًا.
يمكننا التحقُّق لمعرفة إذا ما كانت حواصل ضرب أزواج ، في الجدول ثابتة. بأخذ أول زوجين، نحصل على:
والآن ننظر لحاصل ضرب الزوج الثاني:
وبالمثل، نتناول الزوج الأخير، لنجد أن:
وهكذا، نستنتج أن . وبناءً على ذلك، عندما يكون ، نحصل على:
إذن يتغيَّر عكسيًّا مع ، وعندما يكون ، فإن .
مثال ٢: حل معادلات التناسب الطردي التي تتضمَّن تغيُّرًا عكسيًّا لأحد المتغيِّرين مع الآخر
المتغيِّر يتناسب عكسيًّا مع . عندما يكون ، .
أوجد قيمة عندما يكون .
الحل
بدايةً، اكتب عبارة التناسب:
باستخدام باعتباره ثابت التناسب، يمكننا القول إن:
والآن، نعوِّض بالقيمتين المعطاتين لـ ، في السؤال، ونُوجِد قيمة :
بعد أن عرفنا قيمة ، يمكننا إكمال معادلة التناسب:
والآن، نعوِّض بالقيمة المعطاة لـ في السؤال ونحسب القيمة المناظرة لـ :
الإجابة هي أنه عندما يكون ، فإن .
مثال ٣: حل معادلات التناسب الطردي التي تتضمَّن تغيُّرًا عكسيًّا لمتغيِّر مع الجذر التربيعي لمتغيِّر آخر
المتغيِّر يتغيَّر عكسيًّا مع الجذر التربيعي لـ . عندما يكون ، .
أوجد قيمة عندما يكون .
الحل
بدايةً، اكتب عبارة التناسب:
باستخدام باعتباره ثابت التناسب، يمكننا القول إن:
الآن، نعوِّض بالقيمتين المعطاتين لـ ، في السؤال، ونُوجِد قيمة :
وبعد أن عرفنا قيمة ، يمكننا إكمال معادلة التناسب:
نعوِّض بالقيمة المُعطاة لـ في السؤال، ونُوجِد القيمة المناظرة لـ :
الإجابة هي أنه عندما يكون ، فإن .
مثال ٤: حل معادلات التناسب الطردي التي تتضمَّن تغيُّرًا عكسيًّا لمتغيِّر واحد مع الدالة الخطية للمتغيِّر الآخر
المتغيِّر يتغيَّر عكسيًّا مع . إذا كان عندما يكون ، فأوجد قيمة عندما يكون .
الحل
بدايةً، اكتب عبارة التناسب:
باستخدام باعتباره ثابت التناسب، نقول إن:
والآن، نعوِّض بالقيمتين المعطاتين لـ ، في السؤال، ونُوجِد قيمة :
بعد أن عرفنا قيمة ، يمكننا إكمال معادلة التناسب:
نعوِّض بعد ذلك بالقيمة المعطاة لـ في السؤال، ونُوجِد القيمة المناظرة لـ :
إذن الإجابة هي أنه عندما يكون ، فإن .
مثال ٥: مسألة كلامية عن التغيُّر العكسي
مستطيل مساحته ثابتة، وطوله يتغيَّر عكسيًّا مع عرضه . إذا كان عندما يكون ، فأوجد قيمة عندما يكون .
الحل
بمعلومية أن المساحة ثابتة، نحصل على: حيث المساحة، وهي قيمة ثابتة. هذه العبارة تكافئ قول إن يتغيَّر عكسيًّا مع العرض . نحن نعرف قيمة محدَّدة للعرض والطول، وهي: عندما يكون . ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد المساحة عن طريق الضرب كالآتي:
والآن، نُوجِد الطول عندما يكون العرض ٤٤ سم بقسمة المساحة على ٤٤. ومن ثَمَّ، نحصل على:
النقاط الرئيسية
- نقول إن المتغيِّرين تربطهما علاقة تغيُّر عكسي إذا كان حاصل ضربهما ثابتًا.
- يُكتَب التغيُّر العكسي على صورة ، ويُوصَف رياضيًّا بالمعادلة: ؛ حيث ثابت التغيُّر.
- عندما نحل المسائل التي تتضمَّن متغيِّرًا عكسيًّا، نستخدم قيمتين متناظرتين للمتغيِّرين لتحديد الثابت، ثم نستخدم المعادلة لإيجاد أي قيم مجهولة.
- التمثيل البياني لكميتين بينهما علاقة تغيُّر طردي بسيط هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، أما التمثيل البياني للتغيُّر العكسي فهو تمثيل بياني للمقلوب.
