شارح الدرس: العيِّنات المتحيِّزة والعيِّنات غير المتحيِّزة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: فهْم العيِّنات المُمثِّلة

يرغب مركز لإنقاذ الحيوانات في معرفة إذا ما كان الناس في مدينتهم يعتقدون أنه يجب إنفاق المزيد من الأموال على رعاية الحيوانات. خطَّط العامِلون في المركز لتوجيه أسئلة لعيِّنة عشوائية من زائريه ومتطوِّعين لتعبئة استقصاء. ما الذي يجعل عيِّنتهم غير مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي للمدينة؟

1. من المُمكن أن تكون هناك نسبة كبيرة من الأطفال في العيِّنة، فيؤدِّي ذلك إلى نتائج غير دقيقة.
2. نحن لا نعلم كيف يُمكنهم ضمان أن العيِّنة كانت عشوائية.
3. الناس لن يرغبوا في قضاء بعض الوقت في تعبئة الاستقصاء.
4. زوَّار المركز والمتطوِّعون من المحتمل أن يدعموا الإنفاق على رعاية الحيوانات.

الحل

في هذا المثال، المجتمع الإحصائي محلُّ الدراسة هو مجموعة الأشخاص الذين يسكنون في هذه المدينة. تتكوَّن العيِّنة من زوَّار مركز إنقاذ الحيوانات والمتطوِّعين فيه. لكنَّ أيَّ زائر أو متطوِّع يكون أكثر احتمالًا أن يهتمَّ برعاية الحيوانات من أيِّ شخص من المجتمع الإحصائي العامِّ لهذه المدينة. هذا يعني أنه، على الأقلِّ فيما يتعلَّق برعاية الحيوانات، تكون هذه العيِّنة غير مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي للمدينة. هذا السبب موضَّح في الخيار (د).

الخيارات المتبقِّية أيضًا صحيحة تقريبًا، لكن ليس أيٌّ منها هو السبب الأمثل. دعونا نتناول الخيارات المتبقِّية.

مِن الأكثر احتمالًا أن تزور العائلات التي لديها أطفال مركز إنقاذ الحيوانات؛ لذا فالخيار (أ) يُعَدُّ مُبرِّرًا مقبولًا للاهتمام بالدراسة. لكنَّ هذا الأمر لا يتعلَّق مباشرة بمسألة رعاية الحيوانات؛ لذا لا يمثِّل هذا السبب الأمثل. يَصِف الخياران (ب) و(ج) مبرِّرين للقلق موجودين في أيِّ أسلوب عيِّنات، ولا يمثِّلان مبرِّرين للقلق بدرجة كبيرة في هذه الدراسة تحديدًا.

ومن ثم، السبب الأساسي الذي يجعل هذه العيِّنة غير مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي للمدينة هو الخيار (د).

مثال ٢: فهْم العيِّنات المُمثِّلة

أيٌّ من الآتي يُمثِّل عيِّنة مُمثِّلة؟

1. يُرِيد أحد الطلاب معرفة عدد الطلاب في مدرسته، الذين يستمتعون بحصص مادة الرياضيات؛ ولذلك سأل كلَّ شخص في نادي الرياضيات.
2. لمعرفة كيف يذهب الطالب إلى المدرسة، يسأل مُمثِّلو الطلاب من كلِّ صفٍّ دراسي عيِّنة عشوائية من ٢٠ طالبًا من نفس الصف الدراسي.
3. يُرِيد مستشفًى التحقيقَ في أسباب ذهاب الناس إلى غرفة الطوارئ؛ ولذلك كانت الأسئلة موجَّهة إلى عيِّنة عشوائية من الأشخاص الذين ينتظرون في غرفة الطوارئ صباح يوم الإثنين.
4. ترغب شركة تسويق في معرفة كمية النفايات التي يُعاد تدويرها؛ ولذلك سألت ١٠٠ شخص في موقع إعادة التدوير في المدينة.

الحل

تذكَّر أن العيِّنة تكون مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي إذا كانت العيِّنة والمجتمع الإحصائي يَشترِكان في توزيعات متماثِلة لمعالم الأشخاص المتعلِّقة بالمتغيِّر محلِّ الدراسة. لتكوين عيِّنة مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي بأكمله، علينا التأكُّد من أن تتساوى فرصة اختيار كلِّ شخص في المجتمع الإحصائي في العيِّنة.

لتحديد إذا ما كان أسلوب العيِّنات سيؤدِّي إلى عيِّنة مُمثِّلة، علينا أولًا تحديد المجتمع الإحصائي والمتغيِّر محلِّ الدراسة، وإذا ما كانت تتساوى فرصة اختيار كلِّ شخص في المجتمع الإحصائي في العيِّنة. إذا لم يكن لكلِّ شخص فرصة متساوية في العيِّنة، فعلينا أن نتساءل إذا ما كان هذا الاختلاف قد يؤثِّر على توزيع معالم الأشخاص المتعلِّقة بالمتغيِّر محلِّ الدراسة. دعونا نستعرض كلَّ خيار على حِدة.

1. المجتمع الإحصائي محلُّ الدراسة هو مجموعة الطلاب في هذه المدرسة، والمتغيِّر محلُّ الدراسة هو استمتاع أيِّ طالب بحصص مادة الرياضيات. في هذا الخيار، العيِّنة هي نادي الرياضيات. لا يُمكن اختيار الطلاب الذين ليسوا في نادي الرياضيات ضمن العيِّنة. وعلى وجه التحديد، نلاحِظ أن الطلاب الذين ينتمون إلى نادي الرياضيات سيستمتعون بحصص مادة الرياضيات أكثر من الطلاب الذين لا ينتمون إلى نادي الرياضيات. ومن ثَمَّ، من المحتمل ألَّا يكون توزيع الطلاب الذين يُحبُّون مادة الرياضيات في هذه العيِّنة مماثلًا لذلك التوزيع في المجتمع الإحصائي بأكمله. ومن ثَمَّ، تكون هذه العيِّنة غير مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي بأكمله.
2. المجتمع الإحصائي محلُّ الدراسة هو مجموعة الطلاب من هذه المدرسة، والمتغيِّر محلُّ الدراسة هو طريقة انتقال أيِّ طالب إلى المدرسة. في هذا الخيار، وقع الاختيار على عيِّنة عشوائية من ٢٠ طالبًا من كلِّ صفٍّ دراسي. بافتراض أن عدد الطلاب في كلِّ صفٍّ دراسي متماثل، فإن هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات يمثِّل فرصة متساوية لكلِّ طالب في المدرسة ليقع عليه الاختيار في العيِّنة. إذن، من المحتمل أن يكون توزيع الطلاب بحسب الطريقة التي يذهبون بها إلى المدرسة في هذه العيِّنة مماثلًا لذلك التوزيع في المجتمع الإحصائي بأكمله. ومن ثَمَّ، تكون هذه عيِّنة مُمثِّلة.
3. المجتمع الإحصائي محلُّ الدراسة هو مجموعة الناس الذين يذهبون إلى غرفة الطوارئ، والمتغيِّر محلُّ الدراسة هو سبب ذهاب أيِّ شخص إلى غرفة الطوارئ. في هذا الخيار، وقع اختيار العيِّنة من الأشخاص الذين ينتظرون في غرفة الطوارئ صباح يوم الإثنين. بحسب هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات، فإنه لا يُمكن احتساب الناس الذين يذهبون إلى غرفة الطوارئ في أيِّ يوم آخَر من أيام الأسبوع. وعلى وجه التحديد، الأشخاص القادِمون إلى غرفة الطوارئ في أيِّ يوم من أيام الأسبوع قد يكون ذهابهم إلى هناك أكثر احتمالًا بسبب إصابات العمل مقارنة بالمرضى القادِمين في عطلات نهاية الأسبوع. ومن ثَمَّ، ربما يختلف توزيع السبب في هذه العيِّنة عن التوزيع للمجتمع الإحصائي بأكمله. إذن هذه ليست عيِّنة مُمثِّلة.
4. المجتمع الإحصائي محلُّ الدراسة هو مجموعة الأشخاص الذين يسكنون في المدينة، والمتغيِّر محلُّ الدراسة هو كمية النفايات التي يُعِيد الشخص تدويرها. في هذا الخيار، تُختار العيِّنة من أشخاص في موقع إعادة التدوير في المدينة. بحسب هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات، لا يُمكن احتساب الأشخاص الذين لا يذهبون إلى موقع إعادة التدوير في المدينة. وعلى وجه التحديد، تُستبعَد من هذه العيِّنة مجموعة كبيرة من الأشخاص الذين لا يُعيدون التدوير أو يُعيدون التدوير في أماكن أخرى. ومن ثَمَّ، ربما يختلف توزيع الكمية التي يُعاد تدويرها في هذه العيِّنة عن التوزيع للمجتمع الإحصائي بأكمله. إذن هذه ليست عيِّنة مُمثِّلة.

العيِّنة المُمثِّلة الوحيدة مُعطاة في الخيار (ب).

مثال ٣: اختيار العيِّنات

يريد فادي إيجاد نسبة طلَّاب الصف السابع الموجودين بالخارج بالفعل. يُوجَد ٢٥٠ طالبًا بالصفِّ السابع في مدرسته. قرَّر عدَّهم جميعًا من ١ إلى ٢٥٠، فصنع قائمة عشوائية من ٤٠ عددًا فيما بين ١ و٢٥٠، ثم أجرى مقابلات مع الطلاب المقابلين للأعداد. هل هذه عيِّنةٌ متحيِّزة؟

الحل

تذكَّر أن الاختيار المتحيِّز للعيِّنات هو أسلوب لتكوين عيِّنة تنحاز إلى قِيَم معيَّنة للمتغيِّر محلِّ الدراسة. المتغيِّر محلُّ الدراسة هو ما إذا كان أحد الطلاب بالخارج أو لا.

أسلوب عيِّنات فادي لا ينحاز إلى أيِّ طالب كان بالخارج على حساب أيِّ طالب لم يكن بالخارج، أو العكس. هذا الأسلوب لاختيار العيِّنة يمنح كلَّ شخص في المجتمع الإحصائي فرصة متساوية لاختياره في العيِّنة، ومن المحتمل أن يؤدِّي ذلك إلى عيِّنة مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي. ومن ثَمَّ، يكون قد اختار أسلوب الاختيار غير المتحيِّز للعيِّنات.

وبما أن عيِّنته تَنتُج من أسلوب الاختيار غير المتحيِّز للعيِّنات، فإن عيِّنته تكون غير متحيِّزة.

مثال ٤: اختيار العيِّنات

تُجري سالي مشروعًا بحثيًّا عمَّا إذا كان الطلاب في مدرستها يتناولون أغذية صحية أو لا. قرَّرت إجراء مقابلات مع أصدقائها الذين يمارسون معها رياضة الجمباز. هل تُعَدُّ عيِّنتها متحيِّزة؟

الحل

تذكَّر أن الاختيار المتحيِّز للعيِّنات أسلوب لتكوين عيِّنة تنحاز إلى قِيَم معيَّنة للمتغيِّر محلِّ الدراسة. من المحتمل أن يؤدِّي الاختيار المتحيِّز للعيِّنات إلى عيِّنة غير مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي. العيِّنة الناتِجة عن الاختيار المتحيِّز للعيِّنات تُسمَّى عيِّنة متحيِّزة.

في هذا المثال، تكوِّن سالي عيِّنة، وهي مجموعة من أصدقائها الذين يُمارسون معها رياضة الجمباز. المتغيِّر محلُّ الدراسة في هذا المثال هو ما إذا كان الطلاب في مدرستها يتناولون أغذية صحية أو لا. من المحتمل أن يهتمَّ أصدقاؤها الذين يُمارِسون معها رياضة الجمباز على الأرجح بالأغذية وأنماط الحياة الصحية. هذا يعني أن هذا الأسلوب لتكوين عيِّنة ينحاز إلى الأشخاص الذين يتناولون أغذية صحية. وهذه العيِّنة غير مُمثِّلة للمجتمع الإحصائي، وهو مجموعة الطلاب في مدرستها. إذن هذا أسلوب الاختيار المتحيِّز للعيِّنات.

وبما أن عيِّنتها تَنتُج عن أسلوب الاختيار المتحيِّز للعيِّنات، فإن عيِّنتها تكون متحيِّزة.

مثال ٥: اختيار العيِّنات

يريد مدير إحدى المدارس معرفة ما يفكِّر به الطلاب حول جودة التدريس في المدرسة. أيٌّ من العيِّنات الآتية غير متحيِّزة؟

1. الاستبيان مُتاح في المكتبة لأيِّ شخص يريد المشاركة فيه.
2. إحدى قوائم الطلاب الذكور الذين ستُجرَى معهم مقابلة تُختار عشوائيًّا.
3. إحدى قوائم الطلاب الذين ستُجرَى معهم مقابلة تُختار عشوائيًّا.
4. جميع طلاب الصف التاسع أُجرِيَت معهم مقابلات.
5. إحدى قوائم الطالبات اللاتي ستُجرَى معهن مقابلة تُختار عشوائيًّا.

الحل

تذكَّر أن الاختيار المتحيِّز للعيِّنات أسلوبٌ لتكوين عيِّنة تنحاز إلى قِيَم معيَّنة للمتغيِّر محلِّ الدراسة. المتغيِّر محلُّ الدراسة في هذا المثال هو رأي الطلاب في جودة التدريس في المدرسة. دعونا نفكِّر في الأسلوب الوارد في كلِّ خيار. علينا تحديد إذا ما كان الأسلوب المُستخدَم لتكوين العيِّنة ينحاز إلى طلاب لديهم أنواع معيَّنة من الآراء حول جودة التدريس في المدرسة.

1. في هذا الخيار، تتكوَّن العيِّنة من متطوِّعين من بين الطلاب الذين يذهبون إلى المكتبة. هناك سببان يجعلان هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات متحيِّزًا. أولًا: هذا مثال على الاختيار الملائِم للعيِّنات. تذكَّر أن الاختيار الملائِم للعيِّنات أسلوبٌ لتكوين عيِّنة من المتطوِّعين. عادة ما يكون الاختيار الملائِم للعيِّنات متحيِّزًا؛ لأنه يجذب أشخاصًا لديهم بالفعل أنواع معيَّنة من الآراء حول المتغيِّر محلِّ الدراسة. في هذه الحالة، من المحتمل أن يجذب الطلاب الذين يكرهون جودة التدريس في المدرسة أو يحبُّونها، وهو ما يجعلنا نتجاهل جزءًا كبيرًا من المجتمع الإحصائي ممن ليس لديه رأيٌ قويٌّ في ذلك.
   هناك مصدر آخَر للتحيُّز في هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات، ويرجع إلى حقيقة ترك الاستبيانات في المكتبة. تجذب المكتبة الطلاب الذين يحبُّون الدراسة، واهتمام هؤلاء الطلاب بجودة التدريس في المدرسة أكثر احتمالًا. بعبارة أخرى، هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات ينحاز إلى الطلاب الذين يهتمُّون بجودة التدريس في المدرسة، وهو ما يعني أن هذا يؤدِّي إلى عيِّنة متحيِّزة.
2. في هذا الخيار، العيِّنة مكوَّنة عشوائيًّا من الطلاب الذكور فقط. وهذا يَستبعِد جميع المجتمع الإحصائي من الطالبات في المدرسة. من المُمكِن أن يكون للطلاب الذكور رأيٌ مختلف في جودة التدريس مقارنة بالطالبات. إذن هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات ينحاز إلى آراء الطلاب الذكور التي يتبنَّوْنها على الأرجح، وهو ما يعني أن ذلك يؤدِّي إلى عيِّنة متحيِّزة.
3. في هذا الخيار، اختيرت عيِّنة عشوائية من المجتمع الإحصائي بأكمله؛ بحيث يكون من المحتمل أن تتساوى فرصة اختيار كلِّ شخص في العيِّنة. هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات لا ينحاز إلى أيِّ طالب لديه رأيٌ معيَّن في جودة التدريس في المدرسة، وهو ما يعني أن هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات غير متحيِّز. ومن ثَمَّ، تكون هذه العيِّنة غير متحيِّزة.
4. في هذا الخيار، وقع الاختيار على طلاب الصف التاسع فقط. ستكون هذه عيِّنة جيِّدة إذا كان المتغيِّر محلُّ الدراسة هو مستوى جودة التدريس في فصول الصف التاسع، وليس في المدرسة بأكملها. إذا كانت جودة التدريس في الصف التاسع أسوأ مقارنة بالصفوف الأخرى، فإن هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات سينحاز إلى الطلاب الذين لديهم آراء سيئة في جودة التدريس. هذا يعني أن هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات متحيِّزٌ. إذن هذه العيِّنة متحيِّزة.
5. في هذا الخيار، وقع الاختيار على الطالبات فقط. وكما هو الحال في الخيار (ب)، يكون هذا الأسلوب من أساليب العيِّنات متحيِّزًا. إذن هذه العيِّنة متحيِّزة.

العيِّنة الوحيدة غير المتحيِّزة هي العيِّنة الواردة في الخيار (ج).