شارح الدرس: حساب الاحتمال باستخدام شكل فن الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم أشكال فن لترتيب المعلومات وحساب الاحتمالات.

في الاحتمالات، شكل فن هو شكل يتكوَّن من دائرة واحدة أو أكثر داخل مستطيل، وهو يصف العلاقات المنطقية بين الأحداث. يمثِّل المستطيل في شكل فن فضاء العيِّنة أو المجموعة الشاملة، أو بعبارة أخرى، مجموعة كل النواتج الممكنة. أما الدائرة الواحدة داخل المستطيل، فهي تمثِّل حدثًا؛ أو بعبارة أخرى، مجموعة جزئية من فضاء العيِّنة.

انظر شكل فن الآتي الذي يتضمَّن الحدثين 󰏡، 𞸁.

في الشكل السابق، لدينا الحدثان 󰏡، 𞸁 داخل فضاء العيِّنة (أو المجموعة الشاملة) 𞸐. في بعض الأحيان، يُرمَز إلى فضاء العيِّنة بالرمز 𝜎 أو 𝜉 بدلًا من 𞸐. تمثِّل المناطق الملوَّنة في شكل فن الأحداث الآتية: انااءواانارءوااااارءواوااءاااءأو،󰏡𞸁𞸁،󰏡𞸁،󰏡(𞸁،󰏡(𞸁)،󰏡(.

تعريف: شكل فن الذي يتضمَّن حدثين

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان موضَّحان في شكل فن. ومن ثَمَّ، يكون الآتي:

  • الدائرتان لا تتداخلان إذا كان 󰏡، 𞸁 حدثين متنافيين؛ أي إن 󰏡𞸁.
  • الدائرتان تتداخلان إذا كان 󰏡𞸁، وفي هذه الحالة يمثَّل التقاطُع 󰏡𞸁 بواسطة المنطقة المتداخلة.
  • المنطقة التي تقع خارج الدائرتين، ولكنها داخل المستطيل، تمثِّل مكمِّلة اتحاد الحدثين؛ أي 󰏡𞸁 أو (󰏡𞸁).

داخل كل منطقة مقسَّمة في شكل فن، يمكننا كتابة البيانات بأيٍّ من الطرق الآتية:

  • نواتج الحدث.
  • عدد نواتج الحدث.
  • احتمال وقوع الحدث.

في المثال الأول، نستخدم شكل فن لترتيب البيانات، ثم نستخدم البيانات لحساب احتمال وقوع حدثٍ ما.

مثال ١: ترتيب البيانات باستخدام أشكال فن لإيجاد الاحتمالات

يحتوي فصل على ١٠٠ طالب؛ ٧٠ منهم يُفضِّلون الرياضيات، و٦٠ منهم يُفضِّلون الفيزياء، و٤٠ منهم يُفضِّلون المادتين. إذا اختير طالبٌ عشوائيًّا، باستخدام شكل فن، فأوجد احتمال أن يكون ممَّن يُفضِّلون الرياضيات ولا يُفضِّلون الفيزياء.

الحل

نبدأ برسم شكل فن خالٍ لتمثيل هذا المثال.

نحن نعلم أن المنطقة المتداخلة في شكل فن تمثِّل تقاطُع الحدثين. وعلمنا من السؤال أن ٤٠ طالبًا يمثِّلون هذا التقاطُع؛ لأنهم يفضِّلون الرياضيات والفيزياء معًا.

هناك ٧٠ طالبًا يفضِّلون الرياضيات، و٤٠ منهم يفضِّلون الفيزياء. هذا يخبرنا أن عدد الطلاب الذين يفضِّلون الرياضيات فقط هو ٠٧٠٤=٠٣. وبالمثل، نستنتج أن ٠٦٠٤=٠٢ طالبًا يفضِّلون الفيزياء فقط. وهكذا، نحصل على شكل فن الآتي:

نلاحظ أن العدد ١٠ خارج الدائرتين؛ وذلك لضمان أن مجموع جميع القيم داخل شكل فن يساوي ١٠٠؛ وهذا لأن الفصل يحتوي على ١٠٠ طالب إجمالًا. إننا نبحث عن احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا يفضِّل الرياضيات ولا يفضل الفيزياء. والمنطقة التي تمثِّل هذا الحدث في شكل فن مميَّزة بالأسفل.

من شكل فن، نلاحظ أن ٣٠ طالبًا يفضِّلون الرياضيات ولا يفضِّلون الفيزياء. وبما أن الطالب اختير عشوائيًّا، يمكننا الحصول على احتمال وقوع هذا الحدث بقسمة هذا العدد على إجمالي عدد الطلاب، وهو ١٠٠.

إذن نستنتج أن احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا ممن يفضِّلون الرياضيات ولا يفضِّلون الفيزياء هو ٠٣٠٠١=٣٫٠.

في المثال التالي، نستخدم شكل فن لحساب احتمال وقوع حدثٍ ما.

مثال ٢: استخدام شكل فن لحساب الاحتمال

رسمت يارا شكل فن لتسجيل نتائج اختيار عدد عشوائيًّا يقع بين ١ و١٢.

  1. ما احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠؟ اكتب إجابتك في صورة كسر في أبسط صورة.
  2. ما احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠ وأحد مضاعفات العدد ٣؟ اكتب إجابتك في صورة كسر في أبسط صورة.
  3. ما احتمال اختيار عدد ليس من مضاعفات العدد ٣؟ اكتب إجابتك في صورة كسر في أبسط صورة.

الحل

في شكل فن المُعطى، لدينا حدثان تمثِّلهما دائرتان؛ هما: «عوامل العدد ٢٠» و«مضاعفات العدد ٣». فضاء العيِّنة لشكل فن هذا هو مجموعة الأعداد الصحيحة التي تقع بين ١ و١٢. بعبارة أخرى، يُعطى فضاء العيِّنة (أو المجموعة الشاملة) بواسطة:𞸐={١،٢،٣،،٢١}.

السؤال الأول

بما أننا سنختار عددًا عشوائيًّا يقع بين ١ و١٢، إذن يمكننا الحصول على احتمال وقوع حدث ما بقسمة عدد عناصر الحدث على عدد عناصر فضاء العيِّنة، الذي هو ١٢. بعبارة أخرى: 𞸋󰁓٠٢󰁒=٠٢٢١.أااددااد

نلاحظ من شكل فن أن هناك ٥ عوامل مختلفة للعدد ٢٠ تقع بين ١ و١٢.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال اختيار عدد يقع بين ١ و١٢، ويكون أحد عوامل العدد ٢٠ هو ٥٢١.

السؤال الثاني

إننا نلاحظ أن الحدثين متنافيان؛ لأن الدائرتين في شكل فن غير متداخلتين. بعبارة أخرى، لا يوجد عدد يقع بين ١ و١٢، يكون أحد عوامل العدد ٢٠ وأحد مضاعفات العدد ٣.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال وقوع هذا الحدث يساوي صفرًا.

السؤال الثالث

في شكل فن، الأعداد الواقعة بين ١ و١٢، والتي ليست من مضاعفات العدد ٣، تقع خارج الدائرة. ونحن نلاحظ أن هناك ٨ أعداد تمثِّل هذه الحالة.

إذن احتمال أن يكون العدد المُختار عشوائيًّا، والواقع بين ١ و١٢، ليس من مضاعفات العدد ٣ هو ٨٢١، والذي يمكن تبسيطه إلى ٢٣.

يمكننا أيضًا استخدام شكل فن لحساب الاحتمالات الشرطية. في المثال التالي، نرتِّب البيانات المُعطاة باستخدام شكل فن، ونستخدم ذلك لحساب احتمال وقوع حدثٍ ما في وجود شرط محدَّد.

مثال ٣: إيجاد الاحتمال الشرطي لوقوع حدثٍ ما

في اختبارات نهاية العام، وُجِد أن ٠٤٪ من الطلاب رسبوا في الكيمياء، و٥٢٪ رسبوا في الفيزياء، و٩١٪ رسبوا في الكيمياء والفيزياء. ما احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا راسبًا في الفيزياء، بشرط أن يكون ناجحًا في الكيمياء؟

الحل

نبدأ برسم شكل فن خالٍ.

يمكننا استخدام المعلومات المُعطاة لكتابة النسبة المرتبطة بكل منطقة. بما أن ٠٤٪ من الطلاب رسبوا في الكيمياء، ورسب ٩١٪ منهم في الفيزياء والكيمياء معًا، إذن نستنتج أن ٠٤٪٩١٪=١٢٪ من الطلاب رسبوا في الكيمياء فقط. وبالمثل، يمكننا استنتاج أن ٥٢٪٩١٪=٦٪ من الطلاب رسبوا في الفيزياء فقط. إذن أصبحت لدينا البيانات الآتية:

  • ١٢٪ من الطلاب رسبوا في الكيمياء فقط ولم يرسبوا في الفيزياء.
  • ٦٪ من الطلاب رسبوا في الفيزياء فقط ولم يرسبوا في الكيمياء.
  • ٩١٪ من الطلاب رسبوا في الفيزياء والكيمياء معًا.

النسبة المتبقية الآن تمثِّل الطلاب الذين نجحوا في المادتين. وبما أن مجموع كل النسب يجب أن يساوي ٠٠١٪، إذن النسبة المئوية للطلاب الذين نجحوا في المادتين تُعطى بالمعادلة: ٠٠١٪١٢٪٦٪٩١٪=٤٥٪.

نكتب هذه النسب المئوية على شكل فن كالآتي:

إننا نريد إيجاد احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا راسبًا في الفيزياء، بشرط أن يكون ناجحًا في الكيمياء. النسبة المئوية للطلاب الذين نجحوا في مادة الكيمياء مُعطاة خارج الدائرة التي تحمل اسم «الراسبين في الكيمياء» في شكل فن السابق. هذه هي المنطقة المظلَّلة باللون البنفسجي في الآتي. نعلم أيضًا أن المنطقة المظلَّلة باللون الأخضر تمثِّل «الطلاب الراسبين في الفيزياء الناجحين في الكيمياء».

لاحظ أن الشرط لدينا هو أن يكون الطالب ناجحًا في الكيمياء. هذا يعني أننا سنختار طالبًا واحدًا من مجموعة الطلاب الناجحين في الكيمياء لا من الفصل بأكمله. بعبارة أخرى، سيكون فضاء العيِّنة (أو المجموعة الشاملة) هو المنطقة المظلَّلة باللون البنفسجي في الأعلى، وليس المستطيل.

إذن يمكن الحصول على النسبة المئوية للطلاب الناجحين في الكيمياء بجمع النسبتين المئويتين داخل المنطقة الملوَّنة باللون البنفسجي، وهو ما يُعطينا ٦٪+٤٥٪=٠٦٪. ومن بين الطلاب الناجحين في الكيمياء، يمكن الحصول على النسبة المئوية للطلاب الراسبين في الفيزياء من المنطقة المظلَّلة باللون الأخضر، وهي تساوي ٦٪. إذن احتمال اختيار طالب عشوائيًّا يكون راسبًا في الفيزياء من مجموعة الطلاب الناجحين في الكيمياء يُعطى بواسطة: اباااءااءابااء=٦٪٠٦٪=١٫٠.

نتأكَّد من هذه الإجابة باستخدام صيغة الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث 󰏡، بشرط وقوع الحدث 𞸁:𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=(𞸋󰏡)󰁒.𞸋󰁒.

في هذا المثال، يمكن كتابة هذه الصيغة على الصورة: 𞸋󰂔󰂓=𞸋󰂔󰂓𞸋󰂔󰂓.ابااناءاباناءابااناءاناءاباناء

وهكذا، من المنطقتين؛ المظلَّلة إحداهما باللون الأخضر والأخرى باللون البنفسجي في شكل فن السابق، نحصل على: 𞸋󰂔󰂓=٦٠٫٠،𞸋󰂔󰂓=٦٠٫٠+٤٥٫٠=٠٦٫٠.ابااناءاناءاباناء

بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة السابقة، نحصل على: 𞸋󰂔󰂓=٦٠٫٠٠٦٫٠=١٫٠.ابااناءاباناء

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا راسبًا في الفيزياء، بشرط أن يكون ناجحًا في الكيمياء هو ٠٫١.

في المثال السابق، حسبنا الاحتمال الشرطي باستخدام شكل فن. وبصفة عامة، يمكن حساب الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث 󰏡، بشرط وقوع الحدث 𞸁، باستخدام شكل فن واتباع الخطوات نفسها.

خطوات: حساب الاحتمالات الشرطية باستخدام شكل فن

لحساب الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث 󰏡 بشرط وقوع حدث آخر 𞸁، باستخدام شكل فن، علينا فعل الآتي:

  1. تحديد المنطقة التي تمثِّل الحدث 𞸁 من شكل فن، وحساب احتمال وقوع 𞸁.
  2. تحديد المنطقة التي تمثِّل التقاطُع 󰏡𞸁، وحساب احتمال 󰏡𞸁.
  3. حساب 𞸋(󰏡𞸁)𞸋().

إننا نلاحظ أن هذه العملية تُعطينا الصيغة القياسية: 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒=(𞸋󰏡)󰁒،𞸋󰁒، حيث 𞸋󰁓󰏡𞸁󰁒 هو الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث 󰏡، بشرط وقوع حدث آخر 𞸁.

يمكننا أيضًا استخدام شكل فن لوصف العلاقات بين ثلاثة أحداث. في حالتين من الحالات الخاصة المذكورة في الآتي، لدينا تمثيل خاص لشكل فن به ثلاثة أحداث.

نتناول مثالًا نستخدم فيه شكل فن مكوَّنًا من ثلاثة أحداث؛ حيث يكون أحد الأحداث منافيًا لكلا الحدثين الآخرين.

مثال ٤: استخدام شكل فن لتحديد احتمال اتحاد حدثين

استخدم مخطَّط فضاء العيِّنة 𞸐 لإيجاد 𞸋(𞸁𞸢).

الحل

من شكل فن الموضَّح، يمكننا أن نقول إن الحدث 𞸢 منافٍ لكلا الحدثين 𞸁، 𞸢. ولعلنا نتذكَّر أنه يمكن إيجاد احتمال وقوع حدث ما باستخدام شكل فن عن طريق حساب نسبة وقوع الحدث بالنسبة إلى فضاء العيِّنة.

في شكل فن، يُشار إلى فضاء العيِّنة بالرمز 𞸐، وهو يحتوي على ١٠ نواتج مختلفة. ومن ثَمَّ، يمكننا حساب احتمال وقوع الحدث لدينا بقسمة عدد النواتج في الحدث على ١٠. الحدث 𞸁𞸢 محدَّد باللون البنفسجي في الآتي:

من الشكل السابق، نلاحظ أن هناك ٦ نواتج مختلفة في المنطقة التي تمثِّل 𞸁𞸢.

إذن يُعطى الاحتمال بواسطة: 𞸋(𞸁𞸢)=٦٠١=٣٥.

إذا لم يكن أحد الأحداث الثلاثة منافيًا للحدثين الآخرين، فإننا نستخدم القاعدة التالية مع شكل فن المكوَّن من ثلاثة أحداث.

إننا نلاحظ أن الدوائر الثلاث تتداخل في منتصف شكل فن القياسي المكوَّن من ثلاثة أحداث. هذه المنطقة تمثِّل تقاطُع جميع الأحداث الثلاثة، 󰏡𞸁.

نتناول مثالًا على حساب الاحتمال باستخدام شكل فن قياسي مكوَّن من ثلاثة أحداث.

مثال ٥: استخدام شكل فن لتحديد تقاطُع الأحداث

صوَّت ٢٧١ طالبًا لأنواع الموسيقى التي يرغبون في الرقص عليها في المدرسة. يوضِّح شكل فن النتائج. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لطالب صوَّت لموسيقى الروك ولم يُصوِّت لموسيقى الجاز.

الحل

في هذا المثال، لدينا شكل فن مكوَّن من ثلاثة أحداث. وبما أنه اختير طالبٌ عشوائيًّا، إذن نعلم أنه يمكن إيجاد احتمال وقوع الحدث بقسمة عدد الطلاب في هذا الحدث على إجمالي عدد الطلاب، الذي هو ٢٧١. بعبارة أخرى: 𞸋()=١٧٢.اثدابانإاث

علينا إذن إيجاد عدد الطلاب الذين صوَّتوا لموسيقى الروك ولم يصوِّتوا لموسيقى الجاز. في شكل فن الموضَّح، المنطقة التي تمثِّل هذا الحدث محدَّدة باللون الأسود.

باستخدام شكل فن، نلاحظ أن عدد الطلاب داخل هذا الحدث يساوي ٠٧+٧=٧٧. بقسمة هذا العدد على ٢٧١ نحصل على احتمال وقوع هذا الحدث.

ومن ثَمَّ، نستنتج أن احتمال الاختيار العشوائي لطالب صوَّت لموسيقى الروك ولم يصوِّت لموسيقى الجاز هو ٧٧١٧٢.

في المثال الأخير، سنرتِّب بيانات تتضمَّن ثلاثة أحداث باستخدام شكل فن قياسي به ثلاثة أحداث، ونستخدم ذلك لإيجاد الاحتمال.

مثال ٦: ترتيب البيانات باستخدام شكل فن لإيجاد الاحتمالات

في عيِّنة من ١٠٠ طالب مسجَّلين بجامعةٍ ما، يوضِّح استطلاع رأي أن ٤٥ من الطلاب درسوا الإنجليزية، و٤٠ درسوا الفرنسية، و٣٥ درسوا الألمانية، و٢٠ درسوا كلًّا من الإنجليزية والفرنسية، و٢٣ درسوا كلًّا من الإنجليزية والألمانية، و١٩ درسوا كلًّا من الفرنسية والألمانية، و١٢ درسوا اللغات الثلاث.

باستخدام شكل فن، أوجد احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا قد درس لغةً واحدةً فقط من اللغات الثلاث.

الحل

نبدأ برسم شكل فن فارغ قياسي به ثلاثة أحداث.

لتكملة البيانات على هذا الشكل، نبدأ من المنتصف حيث تتداخل الدوائر الثلاث. يمثِّل منتصف شكل فن للأحداث الثلاثة تقاطُع الأحداث الثلاثة كلها. وفي هذا المثال، يمثِّل هذا التقاطُع الطلاب الذين درسوا جميع اللغات الثلاث، والذين يبلغ عددهم ١٢.

بعد ذلك، ننظر إلى المناطق المتداخلة الأخرى. نحن نعلم أن ٢٠ طالبًا درسوا اللغة الإنجليزية واللغة الفرنسية معًا، لكننا نعرف أيضًا أن ١٢ من هؤلاء الطلاب قد درسوا اللغات الثلاث، وهو ما يعني أنهم درسوا اللغة الألمانية أيضًا. بذلك، يمكننا استنتاج أن ٠٢٢١=٨ طلاب درسوا اللغة الإنجليزية واللغة الفرنسية ولم يدرسوا اللغة الألمانية. وبالمثل، يمكننا تجميع البيانات الآتية:

  • عدد الطلاب الذين درسوا اللغتين الإنجليزية والألمانية ولم يدرسوا اللغة الفرنسية هو: ٣٢٢١=١١ طالبًا.
  • عدد الطلاب الذين درسوا اللغتين الفرنسية والألمانية ولم يدرسوا اللغة الإنجليزية هو: ٩١٢١=٧ طلاب.

نضيف الآن هذه الأعداد إلى المناطق المناظرة لها.

نتابع الخطوات لنُوجِد قيمة الجزء من كل دائرة، الذي لا يتداخل مع الدائرتين الأخريين. نحن نعلم أن ٤٥ طالبًا درسوا اللغة الإنجليزية، لكن ٨+٢١+١١ منهم درسوا اللغة الفرنسية أو اللغة الألمانية أيضًا. إذن إجمالي عدد الطلاب الذين درسوا اللغة الإنجليزية ولم يدرسوا اللغة الفرنسية أو اللغة الألمانية يُعطى بواسطة: ٥٤٨٢١١١=٤١.

وبالمثل، نحصل على البيانات الآتية:

  • عدد الطلاب الذين درسوا اللغة الفرنسية ولم يدرسوا اللغة الإنجليزية أو اللغة الألمانية هو: ٠٤٨٢١٧=٣١ طالبًا.
  • عدد الطلاب الذين درسوا اللغة الألمانية ولم يدرسوا اللغة الإنجليزية أو اللغة الفرنسية هو: ٥٣٧٢١١١=٥ طلاب.

والآن، نضيف ذلك إلى شكل فن.

في شكل فن هذا، المنطقة التي تمثِّل الطلاب الذين درسوا لغةً واحدةً فقط من اللغات الثلاث مظلَّلة باللون البرتقالي في الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن عدد الطلاب يُعطى بالمعادلة: ٣١+٤١+٥=٢٣.

وبما أن الطالب اختير عشوائيًّا، يمكننا إيجاد احتمال وقوع الحدث بقسمة ٣٢ على إجمالي عدد الطلاب، وهو ١٠٠.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يكون طالبٌ اختير عشوائيًّا قد درس لغةً واحدةً فقط من اللغات الثلاث يساوي ٢٣٠٠١=٢٣٫٠.

نلخِّص بعض المفاهيم المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكن أن تحتوي كل منطقة من المناطق المقسَّمة في شكل فن على أحد البيانات الآتية:
    • نواتج حدثٍ ما.
    • عدد النواتج في حدثٍ ما.
    • احتمال أو نسبة وقوع حدثٍ ما.
  • يوضِّح شكل فن المكوَّن من حدثين العلاقة بين حدثين بالطرق الآتية:
    • إذا كان الحدثان متنافيين، فإن الدائرتين اللتين تمثِّلان كل حدث من الحدثين لا تتداخلان.
    • إذا كان الحدثان غير متنافيين، فإن الدائرتين تتداخلان. والمنطقة المتداخلة تمثِّل تقاطُع الحدثين.
  • لحساب الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث 󰏡، بشرط وقوع حدث آخر 𞸁 باستخدام شكل فن، علينا فعل الآتي:
    • تحديد المنطقة التي تمثِّل الحدث 𞸁 من شكل فن، وحساب احتمال وقوع الحدث 𞸁.
    • تحديد المنطقة التي تمثِّل التقاطُع 󰏡𞸁، وحساب احتمال 󰏡𞸁.
    • حساب 𞸋(󰏡𞸁)𞸋().
  • في شكل فن المكوَّن من ثلاثة أحداث، يمكننا اتباع الأسلوب المتبع في شكل فن المكوَّن من حدثين عندما يكون أحد الأحداث متنافيًا مع الحدثين الآخرين. أو بدلًا من ذلك، نستخدم شكل فن القياسي الآتي المكوَّن من ثلاثة أحداث.
  • يمثِّل منتصف شكل فن القياسي المكوَّن من ثلاثة أحداث، والذي تتداخل فيه الدوائر الثلاث، تقاطُع هذه الأحداث الثلاثة. عند ترتيب البيانات في شكل فن المكوَّن من ثلاثة أحداث، يمكننا البدء بتحديد الجزء في المنتصف.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.