شارح الدرس: زوايا الارتفاع والانخفاض الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُلُّ المسائل الحياتية التي تتضمَّن زوايا الارتفاع والانخفاض باستخدام نسبة الظلِّ.

لحل المسائل التي تتضمن زوايا الارتفاع أو الانخفاض، يجب أن نكون قادرين على تحديد أيِّ زاوية في المسألة تشير إلى الارتفاع أو الانخفاض.

تشير زاوية الارتفاع إلى الزاوية التي تتكون بين خط الرؤية للراصد والخط الأفقي لعينيه عندما يكون الجسم المرصود أعلى الأفقي. قد يكون هذا الجسم طائرة، أو قمة شجرة، أو منطادًا، أو أي جسم آخر أعلى الأفقي. وقد تشير أيضًا إلى الزاوية التي يُكوِّنها جسم، مثل سلم، مع الأفقي عند استناده على حائط.

تشير زاوية الانخفاض إلى الزاوية التي تتكوَّن بين خط الرؤية للراصد والخط الأفقي لعينيه عندما يكون الجسم المرصود أسفل الأفقي. قد يكون هذا جسمًا على الأرض إذا كان الراصد فوق إحدى البنايات أو مبنى آخر مرتفع أو يكون على البحر إذا كان الراصد فوق منحدر.

تعريف: زوايا الارتفاع والانخفاض

تشير زاوية الارتفاع إلى الزاوية التي تنشأ عن خط الرؤية للراصد والخط الأفقي لرصد جسم أعلى الأفقي.

وتشير زاوية الانخفاض إلى الزاوية التي تنشأ عن خط الرؤية للراصد والخط الأفقي لرصد جسم أسفل الأفقي.

في المثال الأول، سنحدِّد أي زاوية في الرسم الموضح هي زاوية الارتفاع.

مثال ١: تحديد زاوية الارتفاع في الرسم

يمثِّل الرسم الموضح سُلَّمًا يستند على حائط، أيٌّ من الزوايا التالية يمثِّل زاوية ارتفاع السُّلَّم؟

  1. 󰌑𞸁󰏡𞸢
  2. 󰌑󰏡𞸁𞸢
  3. 󰌑󰏡𞸢𞸁

الحل

زاوية الارتفاع هي الزاوية المحصورة بين خط الرؤية للراصد والخط الأفقي (عندما يكون الجسم أعلى الأفقي).

في هذه الحالة، تكون زاوية الارتفاع محصورة بين السلم والأفقي (بما أنه لا يوجد راصد في هذه المسألة). وهي موضَّحة باللون الأزرق في الرسم التالي:

تتكون هذه الزاوية من القطعتين المستقيمتين 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 ويُشار إليها بالرمز 󰌑𞸁󰏡𞸢 أو 󰌑𞸢󰏡𞸁.

إذن، الإجابة هي الخيار (أ)، أي 󰌑𞸁󰏡𞸢؛ حيث إن: 󰌑𞸢󰏡𞸁 غير مذكورة ضمن الخيارات.

بعد أن عرفنا كيف نحدد زاوية الارتفاع أو الانخفاض في الرسم، سنتناول بعد ذلك كيفية إيجاد الأضلاع أو الزوايا المجهولة في المسائل التي تتضمن زوايا الارتفاع أو الانخفاض.

في هذا الشارح، سنُركِّز على المسائل التي تتضمن مثلثات قائمة الزاوية، حيث يُشكِّل كل من خط الرؤية للراصد، والخط الأفقي، والبعد العمودي للجسم المرصود عن الخط الأفقي مثلثًا قائم الزاوية. يمكن ملاحظة ذلك في حالات الارتفاع والانخفاض أدناه:

باستخدام حساب المثلثات ونظرية فيثاغورس، يمكننا تحديد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا لهذه المثلثات القائمة الزاوية إذا علِمنا طولي ضلعين أو طول ضلع وزاوية الانخفاض أو الارتفاع. دعونا نتذكَّر النسب المثلثية.

تعريف: النسب المثلثية

بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية غير قائمة 𝜃، ووتر طوله 𞸅، وضلع مقابل لـ 𝜃 طوله 𞸒، وضلع مجاور لـ 𝜃 طوله 𞸢، فإن: 𝜃=𞸒𞸅،𝜃=𞸢𞸅،𝜃=𞸒𞸢.

في المثلثات القائمة الزاوية التي نكوِّنها مع زوايا الارتفاع أو الانخفاض، يمكننا تسمية الأضلاع باستخدام الزاوية كما يلي: الوتر هو خط رؤية الراصد، الضلع المجاور هو الخط الأفقي، والضلع المقابل هو البعد العمودي للجسم المرصود عن الأفقي. يمكننا ملاحظة ذلك في الرسم التالي:

بما أن المسائل التي تتضمن زوايا الارتفاع أو الانخفاض تتضمن عادةً مسافة الخط الأفقي من الراصد إلى النقطة التي تقع أعلى أو أسفل الجسم المرصود (الضلع المجاور)، والبعد العمودي بين الجسم والخط الأفقي (الضلع المقابل)، وزاوية الارتفاع أو الانخفاض، فإننا نستخدم النسبة بين طولي هذين الضلعين. وهذه نسبة الظل.

تعريف: حساب زوايا الارتفاع والانخفاض

يمكن حساب الزاوية 𝜃، وهي زاوية الارتفاع أو الانخفاض التي يكوِّنها خط رؤية الراصد والخط الأفقي لرصد جسم أعلى الأفقي أو أسفله، باستخدام الصيغة التالية: 𝜃=𞸒𞸢، حيث 𞸒 طول الضلع المقابل لزاوية الارتفاع أو الانخفاض، أو البعد العمودي بين الجسم والخط الأفقي، ويكون 𞸢 المسافة الأفقية من الراصد إلى النقطة الواقعة أعلى الجسم المرصود أو أسفله.

في المثال التالي: سنستخدم نسبة الظل لحساب زاوية الانخفاض الموضحة في الشكل المُعطى.

مثال ٢: حساب زوايا الانخفاض

في الشكل المُعطى، رصد آدم عوَّامة في البحر تحت المستوى الموجود عنده من نقطة تبعد ٦ أقدام أعلى منحدر ارتفاعه ٤٥ قدمًا. جرى إبلاغه أن البعد العمودي بين العوَّامة وقاعدة المنحدر يساوي ٦٠ قدمًا. ما قياس زاوية الانخفاض، بالدرجة، من آدم إلى العوَّامة؟ اكتب الحل لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لحل هذه المسألة، علينا البدء بتسمية الشكل وفق المعلومات الرئيسية المُعطاة في السؤال.

أولًا، علمنا أن آدم رصد عوَّامة في البحر تحت المستوى الموجود عنده من نقطة تبعُد ٦ أقدام أعلى منحدر ارتفاعه ٤٥ قدمًا. يمكننا استنتاج أن الارتفاع الكلي لآدم، والمنحدر هو مجموع ٦ أقدام و٤٥ قدمًا وهو ما يساوي: ٥١ قدمًا. في الشكل، يمثل هذا بالقطعة المستقيمة 󰏡𞸃. وبما أن 󰏡𞸁𞸢𞸃 مستطيل، فإن طول 𞸁𞸢 هو نفسه طول 󰏡𞸃.

بعد ذلك، جرى إبلاغ آدم أن البعد العمودي بين العوَّامة وقاعدة المنحدر يساوي: ٦٠ قدمًا. ويمثل هذا بالقطعة المستقيمة 𞸃𞸢 في الشكل. وبما أن 󰏡𞸁𞸢𞸃 مستطيل، فإن طول 󰏡𞸁 هو نفسه طول 𞸃𞸢.

مطلوب منا إيجاد قياس زاوية الانخفاض من آدم إلى العوَّامة. وهي الزاوية التي تتكون من خط رؤية آدم للعوَّامة، والذي تمثله القطعة المستقيمة 󰏡𞸢، والخط الأفقي الذي يمر به آدم، والذي هو 󰏡𞸁.

بما أن 󰏡𞸁 عمودي على 𞸁𞸢، فإن 󰏡𞸁𞸢 يشكِّل مثلثًا قائم الزاوية. يمكننا استخدام النسب المثلثية لإيجاد زاوية الانخفاض. بتسمية الأضلاع المعلومة نحصل على 󰏡𞸁 باعتباره الضلع المجاور للزاوية، بالإضافة إلى 𞸁𞸢 باعتباره الضلع المقابل للزاوية.

بعد ذلك، علينا استخدام النسبة المثلثية للضلع المقابل والضلع المجاور، وهي نسبة الظل: ااور𝜃=، حيث 𝜃 هي زاوية الانخفاض.

بالتعويض بقيمة ٦٠ قدمًا عن طول الضلع المجاور و٥١ قدمًا عن طول الضلع المقابل، نحصل على: 𝜃=١٥٠٦.

لإيجاد قياس 𝜃، لا بد أن نأخذ الدالة العكسية للظل في المعادلة؛ ما يعطينا: ١󰂔١٥٠٦󰂓=٤٦٣٫٠٤، وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ٦٣٫٠٤.

إذن، قياس زاوية الانخفاض من آدم إلى العوَّامة يساوي ٦٣٫٠٤ لأقرب منزلتين عشريتين.

في المثال التالي، سنوجد مجددًا قياس زاوية الانخفاض باستخدام نسبة الظل، لكن هذه المرة بدون شكل.

مثال ٣: استخدام حساب المثلثات لحل المسائل الكلامية التي تتضمن زوايا الارتفاع

وقف عادل على بُعد ٤٠ م من بناية ارتفاعها ٢٥ م. ما زاوية الارتفاع من عادل إلى سطح البناية؟ قرِّب إجابتك لأقرب درجة.

الحل

لحل هذه المسألة، سنرسم أولًا شكلًا لتمثيل المعلومات الرئيسية المعطاة. علمنا أن عادل وقف على بُعد ٤٠ م من بناية، وهو ما يمكننا تمثيله باستخدام خط أفقي. علمنا أيضًا أن البناية ارتفاعها يساوي ٢٥ م، وهو ما يمكننا تمثيله باستخدام خط رأسي يصل إلى الخط الأفقي.

بما أنه مطلوب منا إيجاد قياس زاوية الارتفاع من عادل إلى سطح البناية، فيمكننا رسم خط من أحد طرفي الخط الأفقي إلى أعلى الخط الرأسي (يُعرف أيضًا بخط الرؤية).

بما أن الشكل الموضح يُمثل مثلثًا قائم الزاوية، فيمكننا استخدام النسب المثلثية لإيجاد قياس زاوية الارتفاع. بتسمية الأضلاع المعلومة نحصل على ارتفاع البناية باعتباره الضلع المقابل والمسافة من عادل إلى البناية باعتبارها الضلع المجاور.

بعد ذلك، علينا استخدام النسبة المثلثية للضلع المقابل والضلع المجاور، وهي نسبة الظل: ااور𝜃=، حيث 𝜃 هي زاوية الارتفاع.

بالتعويض بقيمة ٤٠ م عن الضلع المجاور و٢٥ م عن الضلع المقابل نحصل على: 𝜃=٥٢٠٤.

لإيجاد قياس 𝜃، لا بد أن نأخذ الدالة العكسية للظل في المعادلة، ما يعطينا: ١󰂔٥٢٠٤󰂓=٥٠٠٫٢٣، وهو ما يساوي ٢٣ لأقرب درجة.

إذن، قياس زاوية الارتفاع من عادل إلى سطح البناية يساوي ٢٣ لأقرب درجة.

في المثال التالي، سنستخدم حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي ٠٨١ لحل مسألة عن زاوية الارتفاع تتضمن مقياس الميل (وهو أداة تستخدم لقياس زاوية الارتفاع).

مثال ٤: استخدام حساب المثلثات لحل المسائل الحياتية

يُريد سيف إيجاد ارتفاع برج. قرَّر أنه يحتاج إلى مقياس الميل لقياس زاوية الارتفاع. استخدم شفاطة ومنقلة وبعضًا من الخيط، وقليلًا من اللاصق (البلو تاك) استخدمه ثقلًا. وقف سيف على بعد عمودي مقداره ١٠٠ قدم من قاعدة البرج وقاس الزاوية على مقياس الميل فكانت ٩٥ كما هو موضح في الشكل.

  1. أوجد زاوية الارتفاع.
  2. إذا كان خط عين سيف على بُعد ٦ أقدام من الأرض، فأوجد ارتفاع البرج لأقرب قدم.

الحل

الجزء الأول

لإيجاد قياس زاوية الارتفاع، علينا أولًا تحديد الزاوية التي تشير إليها في الشكل، ثم نستخدم المعطيات لحساب قياس الزاوية.

وفقًا للتعريف، فإن زاوية الارتفاع هي الزاوية التي تتكون من خط رؤية الراصد والخط الأفقي، حيث يكون الجسم المرصود أعلى الأفقي. في الحالة الواردة في السؤال، هذان الخطان هما خط الرؤية من سيف إلى قمة البرج والخط الأفقي من سيف إلى البرج. هذا محدَّد في الشكل.

وكما علمنا من السؤال، فإن الزاوية المقيسة باستخدام مقياس الميل قياسها يساوي ٩٥، ولأن المثلث الذي يتكون من خط الرؤية، والخط الأفقي، والبعد العمودي بين قمة البرج والخط الأفقي هو مثلث قائم الزاوية، فيمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١ لإيجاد قياس زاوية الارتفاع: زاوارعزاوارع+٠٩+٩٥=٠٨١=٠٨١٩٤١=١٣.

إذن، قياس زاوية الارتفاع يساوي ١٣.

الجزء الثاني

لإيجاد ارتفاع البرج، سنستخدم أولًا المعطيات المستخلَصة من السؤال لتسمية القيم المعروفة في الشكل. علمنا أن سيف يقف على بعد عمودي مقداره ١٠٠ قدم من البرج. هذا نفسه الخط الأفقي الممتد من عين سيف إلى النقطة الموجودة أسفل قمة البرج، وهو ما يكون قاعدة المثلث الموضح في الشكل. وكما علمنا من الجزء الأول أن قياس زاوية الارتفاع يساوي ١٣. إذن، يمكننا تسمية كل منهما على الشكل.

علمنا لاحقًا من السؤال أن سيف طوله يساوي ٦ أقدام. هذا الطول مماثل للمسافة من قاعدة البرج إلى موضع التقاء الخط الأفقي بالبرج. إننا نحاول إيجاد الارتفاع الكلي للبرج؛ لذا علينا إيجاد الطول من الخط الأفقي إلى قمة البرج، والذي سنطلق عليه 𞸎. وسنسمي كل منهما على الشكل أيضًا.

بعد ذلك، سنوجد قيمة 𞸎. بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية ونعلم قياس زاوية وطول ضلع، فيمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول الضلع المجهول 𞸎. للقيام بذلك، سنستخدم زاوية الارتفاع التي قياسها ١٣ باعتبارها الزاوية المعروفة. هذا يجعل 𞸎 هو طول الضلع المقابل للزاوية ويجعل من الخط الأفقي الذي طوله ١٠٠ قدم هو طول الضلع المجاور للزاوية، كما نرى في الشكل التالي:

بعد أن سمينا الضلعين والزاوية اللازمة، يمكننا استخدام إحدى النسب المثلثية لإيجاد 𞸎. وبما أننا نعرف طول الضلع المجاور للزاوية ونريد إيجاد طول الضلع المقابل لها، فعلينا استخدام نسبة الظل، وهي: ااور𝜃=، حيث 𝜃 هي زاوية الارتفاع.

بالتعويض بقيم 𝜃=١٣، ا=𞸎، اور=٠٠١، نحصل على: (١٣)=𞸎٠٠١.

بإيجاد قيمة 𞸎، نحصل على: ً(١٣)×٠٠١=𞸎،𞸎=٦٨٠٠٦٫٠×٠٠١٦٨٠٫٠٦.

والآن، بعد أن أوجدنا قيمة 𞸎، يمكننا إيجاد ارتفاع البرج، وهو مجموع كلٍّ من 𞸎 الذي يساوي ٦٠٫٠٨٦ قدمًا وطول سيف الذي يساوي ٦ أقدام: ارعاج٦٨٠٫٠٦+٦٦٨٠٫٦٦، وهو ما يساوي ٦٦ قدمًا لأقرب قدم.

إذن، ارتفاع البرج يساوي ٦٦ قدمًا لأقرب قدم.

في المثال التالي، سنتناول مسألة تتضمن سلمًا يستند على حائط. تختلف هذه المسألة قليلًا عن الأمثلة الثلاثة السابقة، حيث لدينا معطيات مختلفة، ومن ثم نستخدم نسبة مثلثية مختلفة.

مثال ٥: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد طول مجهول في سياق حياة واقعية يتضمن زوايا ارتفاع

في الشكل الموضَّح، يميل سُلَّم طوله ١٥ قدمًا على حائط بزاوية ارتفاع ٠٧. ما الارتفاع الذي قد يصل إليه الحائط؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لإيجاد ارتفاع الحائط الذي يمكن أن يصل إليه السلم، علينا أولًا استخدام المعطيات الرئيسية المستخلصة من السؤال لتسمية الشكل. نحن نعلم أن قياس زاوية الارتفاع، وهي الزاوية المحصورة بين الخط الأفقي 󰏡𞸢 والسلم 󰏡𞸁، يساوي ٠٧. ونعلم أيضًا أن طول السلم 󰏡𞸁 يساوي ١٥ قدمًا. وبما أننا نحاول إيجاد ارتفاع الحائط الذي يمكن أن يصل إليه السلم، أي 𞸁𞸢، فيمكننا إذن أن نطلق عليه 𞸎. وبوضع هذه المعطيات على الشكل، نحصل على ما يلي:

بعد أن وضعنا المعطيات الرئيسية على الشكل، نلاحظ أن لدينا ضلعًا معلومًا وزاوية معلومة في مثلث قائم الزاوية. وبذلك، نستخدم حساب المثلثات لإيجاد طول الضلع المجهول 𞸎. لفعل ذلك، علينا تسمية الأضلاع وفقًا للزاوية المعلومة 𝜃، والذي قياسها يساوي ٠٧. في هذه الحالة، يكون 𞸎 هو طول الضلع المقابل للزاوية وطول السلم، الذي يساوي ١٥ قدمًا، هو طول الوتر كما هو موضح بالأسفل.

بما أننا نعلم قياس الزاوية وطول الوتر وعلينا إيجاد طول الضلع المقابل للزاوية، فإننا سنستخدم نسبة الجيب، وهي: اا𝜃=، حيث 𝜃 هي زاوية الارتفاع.

بالتعويض بقيمة ١٥ باعتبارها طول الوتر، 𞸎 باعتباره طول الضلع المقابل، ٠٧ باعتباره قياس الزاوية 𝜃، نحصل على: (٠٧)=𞸎٥١.

بإيجاد قيمة 𞸎، نحصل على: م(٠٧)×٥١=𞸎،𞸎=٧٩٣٩٫٠×٥١=٥٩٠٫٤١، وهو ما يساوي ١٤٫١٠ قدمًا لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، الارتفاع الذي يمكن أن يصل إليه السلم هو: ١٤٫١٠ قدمًا لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا الشارح، تعلمنا كيفية تحديد قياس زاوية الارتفاع أو الانخفاض وإيجاده في المسائل، وكيفية استخدام النسب المثلثية لحل المسائل التي تتضمن زوايا الارتفاع أو الانخفاض.

النقاط الرئيسية

  • زاوية الارتفاع أو الانخفاض هي الزاوية المحصورة بين خط رؤية الراصد والخط الأفقي لعينيه عندما يكون الجسم أعلى الأفقي أو أسفله.
  • يمكن حساب زاوية الارتفاع أو الانخفاض، 𝜃، باستخدام الصيغة التالية: 𝜃=𞸒𞸢، حيث 𞸒 طول الضلع المقابل لزاوية الارتفاع أو الانخفاض، أو البعد العمودي بين الجسم والخط الأفقي، ويكون 𞸢 هو المسافة الأفقية من الراصد إلى النقطة الواقعة أعلى الجسم المرصود أو أسفله.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.