شارح الدرس: زوايا الارتفاع والانخفاض الرياضيات

مثال ١: تحديد زاوية الارتفاع في الرسم

يمثِّل الرسم الموضح سُلَّمًا يستند على حائط، أيٌّ من الزوايا التالية يمثِّل زاوية ارتفاع السُّلَّم؟

الحل

زاوية الارتفاع هي الزاوية المحصورة بين خط الرؤية للراصد والخط الأفقي (عندما يكون الجسم أعلى الأفقي).

في هذه الحالة، تكون زاوية الارتفاع محصورة بين السلم والأفقي (بما أنه لا يوجد راصد في هذه المسألة). وهي موضَّحة باللون الأزرق في الرسم التالي:

تتكون هذه الزاوية من القطعتين المستقيمتين ، ويُشار إليها بالرمز أو .

إذن، الإجابة هي الخيار (أ)، أي ؛ حيث إن: غير مذكورة ضمن الخيارات.

مثال ٢: حساب زوايا الانخفاض

في الشكل المُعطى، رصد آدم عوَّامة في البحر تحت المستوى الموجود عنده من نقطة تبعد ٦ أقدام أعلى منحدر ارتفاعه ٤٥ قدمًا. جرى إبلاغه أن البعد العمودي بين العوَّامة وقاعدة المنحدر يساوي ٦٠ قدمًا. ما قياس زاوية الانخفاض، بالدرجة، من آدم إلى العوَّامة؟ اكتب الحل لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لحل هذه المسألة، علينا البدء بتسمية الشكل وفق المعلومات الرئيسية المُعطاة في السؤال.

أولًا، علمنا أن آدم رصد عوَّامة في البحر تحت المستوى الموجود عنده من نقطة تبعُد ٦ أقدام أعلى منحدر ارتفاعه ٤٥ قدمًا. يمكننا استنتاج أن الارتفاع الكلي لآدم، والمنحدر هو مجموع ٦ أقدام و٤٥ قدمًا وهو ما يساوي: ٥١ قدمًا. في الشكل، يمثل هذا بالقطعة المستقيمة . وبما أن مستطيل، فإن طول هو نفسه طول .

بعد ذلك، جرى إبلاغ آدم أن البعد العمودي بين العوَّامة وقاعدة المنحدر يساوي: ٦٠ قدمًا. ويمثل هذا بالقطعة المستقيمة في الشكل. وبما أن مستطيل، فإن طول هو نفسه طول .

مطلوب منا إيجاد قياس زاوية الانخفاض من آدم إلى العوَّامة. وهي الزاوية التي تتكون من خط رؤية آدم للعوَّامة، والذي تمثله القطعة المستقيمة ، والخط الأفقي الذي يمر به آدم، والذي هو .

بما أن عمودي على ، فإن يشكِّل مثلثًا قائم الزاوية. يمكننا استخدام النسب المثلثية لإيجاد زاوية الانخفاض. بتسمية الأضلاع المعلومة نحصل على باعتباره الضلع المجاور للزاوية، بالإضافة إلى باعتباره الضلع المقابل للزاوية.

بعد ذلك، علينا استخدام النسبة المثلثية للضلع المقابل والضلع المجاور، وهي نسبة الظل: حيث هي زاوية الانخفاض.

بالتعويض بقيمة ٦٠ قدمًا عن طول الضلع المجاور و٥١ قدمًا عن طول الضلع المقابل، نحصل على:

لإيجاد قياس ، لا بد أن نأخذ الدالة العكسية للظل في المعادلة؛ ما يعطينا: وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين يساوي .

إذن، قياس زاوية الانخفاض من آدم إلى العوَّامة يساوي لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٣: استخدام حساب المثلثات لحل المسائل الكلامية التي تتضمن زوايا الارتفاع

وقف عادل على بُعد ٤٠ م من بناية ارتفاعها ٢٥ م. ما زاوية الارتفاع من عادل إلى سطح البناية؟ قرِّب إجابتك لأقرب درجة.

الحل

لحل هذه المسألة، سنرسم أولًا شكلًا لتمثيل المعلومات الرئيسية المعطاة. علمنا أن عادل وقف على بُعد ٤٠ م من بناية، وهو ما يمكننا تمثيله باستخدام خط أفقي. علمنا أيضًا أن البناية ارتفاعها يساوي ٢٥ م، وهو ما يمكننا تمثيله باستخدام خط رأسي يصل إلى الخط الأفقي.

بما أنه مطلوب منا إيجاد قياس زاوية الارتفاع من عادل إلى سطح البناية، فيمكننا رسم خط من أحد طرفي الخط الأفقي إلى أعلى الخط الرأسي (يُعرف أيضًا بخط الرؤية).

بما أن الشكل الموضح يُمثل مثلثًا قائم الزاوية، فيمكننا استخدام النسب المثلثية لإيجاد قياس زاوية الارتفاع. بتسمية الأضلاع المعلومة نحصل على ارتفاع البناية باعتباره الضلع المقابل والمسافة من عادل إلى البناية باعتبارها الضلع المجاور.

بعد ذلك، علينا استخدام النسبة المثلثية للضلع المقابل والضلع المجاور، وهي نسبة الظل: حيث هي زاوية الارتفاع.

بالتعويض بقيمة ٤٠ م عن الضلع المجاور و٢٥ م عن الضلع المقابل نحصل على:

لإيجاد قياس ، لا بد أن نأخذ الدالة العكسية للظل في المعادلة، ما يعطينا: وهو ما يساوي لأقرب درجة.

إذن، قياس زاوية الارتفاع من عادل إلى سطح البناية يساوي لأقرب درجة.

مثال ٤: استخدام حساب المثلثات لحل المسائل الحياتية

يُريد سيف إيجاد ارتفاع برج. قرَّر أنه يحتاج إلى مقياس الميل لقياس زاوية الارتفاع. استخدم شفاطة ومنقلة وبعضًا من الخيط، وقليلًا من اللاصق (البلو تاك) استخدمه ثقلًا. وقف سيف على بعد عمودي مقداره ١٠٠ قدم من قاعدة البرج وقاس الزاوية على مقياس الميل فكانت كما هو موضح في الشكل.

1. أوجد زاوية الارتفاع.
2. إذا كان خط عين سيف على بُعد ٦ أقدام من الأرض، فأوجد ارتفاع البرج لأقرب قدم.

الحل

الجزء الأول

لإيجاد قياس زاوية الارتفاع، علينا أولًا تحديد الزاوية التي تشير إليها في الشكل، ثم نستخدم المعطيات لحساب قياس الزاوية.

وفقًا للتعريف، فإن زاوية الارتفاع هي الزاوية التي تتكون من خط رؤية الراصد والخط الأفقي، حيث يكون الجسم المرصود أعلى الأفقي. في الحالة الواردة في السؤال، هذان الخطان هما خط الرؤية من سيف إلى قمة البرج والخط الأفقي من سيف إلى البرج. هذا محدَّد في الشكل.

وكما علمنا من السؤال، فإن الزاوية المقيسة باستخدام مقياس الميل قياسها يساوي ، ولأن المثلث الذي يتكون من خط الرؤية، والخط الأفقي، والبعد العمودي بين قمة البرج والخط الأفقي هو مثلث قائم الزاوية، فيمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي لإيجاد قياس زاوية الارتفاع:

إذن، قياس زاوية الارتفاع يساوي .

الجزء الثاني

لإيجاد ارتفاع البرج، سنستخدم أولًا المعطيات المستخلَصة من السؤال لتسمية القيم المعروفة في الشكل. علمنا أن سيف يقف على بعد عمودي مقداره ١٠٠ قدم من البرج. هذا نفسه الخط الأفقي الممتد من عين سيف إلى النقطة الموجودة أسفل قمة البرج، وهو ما يكون قاعدة المثلث الموضح في الشكل. وكما علمنا من الجزء الأول أن قياس زاوية الارتفاع يساوي . إذن، يمكننا تسمية كل منهما على الشكل.

علمنا لاحقًا من السؤال أن سيف طوله يساوي ٦ أقدام. هذا الطول مماثل للمسافة من قاعدة البرج إلى موضع التقاء الخط الأفقي بالبرج. إننا نحاول إيجاد الارتفاع الكلي للبرج؛ لذا علينا إيجاد الطول من الخط الأفقي إلى قمة البرج، والذي سنطلق عليه . وسنسمي كل منهما على الشكل أيضًا.

بعد ذلك، سنوجد قيمة . بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية ونعلم قياس زاوية وطول ضلع، فيمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول الضلع المجهول . للقيام بذلك، سنستخدم زاوية الارتفاع التي قياسها باعتبارها الزاوية المعروفة. هذا يجعل هو طول الضلع المقابل للزاوية ويجعل من الخط الأفقي الذي طوله ١٠٠ قدم هو طول الضلع المجاور للزاوية، كما نرى في الشكل التالي:

بعد أن سمينا الضلعين والزاوية اللازمة، يمكننا استخدام إحدى النسب المثلثية لإيجاد . وبما أننا نعرف طول الضلع المجاور للزاوية ونريد إيجاد طول الضلع المقابل لها، فعلينا استخدام نسبة الظل، وهي: حيث هي زاوية الارتفاع.

بالتعويض بقيم ، ، ، نحصل على:

بإيجاد قيمة ، نحصل على:

والآن، بعد أن أوجدنا قيمة ، يمكننا إيجاد ارتفاع البرج، وهو مجموع كلٍّ من الذي يساوي ٦٠٫٠٨٦ قدمًا وطول سيف الذي يساوي ٦ أقدام: وهو ما يساوي ٦٦ قدمًا لأقرب قدم.

إذن، ارتفاع البرج يساوي ٦٦ قدمًا لأقرب قدم.

مثال ٥: استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد طول مجهول في سياق حياة واقعية يتضمن زوايا ارتفاع

في الشكل الموضَّح، يميل سُلَّم طوله ١٥ قدمًا على حائط بزاوية ارتفاع . ما الارتفاع الذي قد يصل إليه الحائط؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لإيجاد ارتفاع الحائط الذي يمكن أن يصل إليه السلم، علينا أولًا استخدام المعطيات الرئيسية المستخلصة من السؤال لتسمية الشكل. نحن نعلم أن قياس زاوية الارتفاع، وهي الزاوية المحصورة بين الخط الأفقي والسلم ، يساوي . ونعلم أيضًا أن طول السلم يساوي ١٥ قدمًا. وبما أننا نحاول إيجاد ارتفاع الحائط الذي يمكن أن يصل إليه السلم، أي ، فيمكننا إذن أن نطلق عليه . وبوضع هذه المعطيات على الشكل، نحصل على ما يلي:

بعد أن وضعنا المعطيات الرئيسية على الشكل، نلاحظ أن لدينا ضلعًا معلومًا وزاوية معلومة في مثلث قائم الزاوية. وبذلك، نستخدم حساب المثلثات لإيجاد طول الضلع المجهول . لفعل ذلك، علينا تسمية الأضلاع وفقًا للزاوية المعلومة ، والذي قياسها يساوي . في هذه الحالة، يكون هو طول الضلع المقابل للزاوية وطول السلم، الذي يساوي ١٥ قدمًا، هو طول الوتر كما هو موضح بالأسفل.

بما أننا نعلم قياس الزاوية وطول الوتر وعلينا إيجاد طول الضلع المقابل للزاوية، فإننا سنستخدم نسبة الجيب، وهي: حيث هي زاوية الارتفاع.

بالتعويض بقيمة ١٥ باعتبارها طول الوتر، باعتباره طول الضلع المقابل، باعتباره قياس الزاوية ، نحصل على:

بإيجاد قيمة ، نحصل على: وهو ما يساوي ١٤٫١٠ قدمًا لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن، الارتفاع الذي يمكن أن يصل إليه السلم هو: ١٤٫١٠ قدمًا لأقرب منزلتين عشريتين.