شارح الدرس: تقسيم القطعة المستقيمة في المستوى الإحداثي الرياضيات

مثال ١: تقسيم قطعة مستقيمة إلى أربعة أجزاء متساوية

إحداثيات النقطتين ، هي ، ، على الترتيب. أوجد إحداثيات النقاط التي تقسِّم إلى أربعة أجزاء متساوية.

الحل

يُمكننا أن نبدأ برسم القطعة المستقيمة ، وتحديد النقاط التي تُقسِّمها إلى ٤ أجزاء متساوية. يمكننا تسمية هذه النقاط ، ، .

بما أن مقسَّمة إلى ٤ أجزاء متساوية، يُمكننا حلُّ هذا السؤال بأن نبدأ بإيجاد نقطة المنتصف، ، للقطعة المستقيمة ، ثم نُوجِد نقطة المنتصف لكلٍّ من ، .

نتذكَّر أن نقطة المنتصف، ، لأيِّ قطعة مستقيمة إحداثيات نقطتَيْ طرفَيْها هي ، تُعطَى بواسطة:

وعليه، لإيجاد نقطة المنتصف، ، لـ ، نعوِّض بإحداثيات النقطة عن قيمتَيْ ، وبإحداثيات النقطة عن قيمتَيْ ، وهو ما يُعطينا الآتي: ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات هي .

بعد ذلك، نُوجِد نقطة المنتصف، ، لـ . بالتعويض بإحداثيات النقطتين ، عن كلٍّ من ، ، نحصل على الآتي:

وأخيرًا: نُوجِد نقطة المنتصف، ، لـ . باستخدام إحداثيات النقطتين ، ، نحصل على الآتي:

وبذلك نكون قد أوجدنا إحداثيات النقاط ، ، ، التي تقسِّم إلى ٤ أجزاء متساوية، وهي:

مثال ٢: إيجاد النسبة التي تُقسِّم بها نقطةٌ قطعةً مستقيمةً

إذا كان ، ، فإن تقسِّم بالنسبة .

الحل

لنفترض أن لدينا القطعة المستقيمة . ستقع النقطة في مكان ما على هذه القطعة المستقيمة.

نظرًا إلى أننا نحتاج إلى أن ننتبه إلى اتجاه الحركة من إلى ، سنستخدم المتجه .

والحركة من النقطة إلى النقطة تُعطينا المتجه .

معيارا المتجهين ، يساوي طول كلٍّ منهما. وعلمنا من مُعطيات السؤال أن ، وهذا يعني أن:

ومن ثَمَّ، يُمكننا تقسيم إلى ٣ أجزاء متساوية.

ولكنْ علينا تحديد عند أيٍّ من هاتين النقطتين ستقع النقطة . إذا كانت أقرب إلى من ، فإن طول سيكون ثُلثَيْ طول .

وحينئذٍ لن يكون صحيحًا أن . إذن يجب أن تكون هي النقطة الأقرب إلى من .

وبهذه الطريقة سيكون ، وهذا يعني أن:

لإيجاد النسبة حيث إن قد قُسِّمت إلى ٣ أجزاء، سيكون هناك جزآن من إجمالي الأجزاء يُمثِّلان ، وجزء واحد يُمثِّل .

وبذلك يُمكننا كتابة أن تقسِّم بالنسبة . ولكن المطلوب هو تحديد النسبة التي تُقسِّم بها ؛ ومن ثَمَّ، سيكون الحلُّ هو النسبة المُعطاة في الخيار ب:

مثال ٣: إيجاد إحداثيات نقطة تقسِّم قطعة مستقيمة من الداخل

إذا كانت إحداثيات ، هي ، ، على الترتيب، فأوجد إحداثيات النقطة التي تقسِّم داخليًّا بنسبة .

الحل

يُمكننا رسم هذه القطعة المستقيمة المتجهة ، كما هو موضَّح.

بعد ذلك، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية لإيجاد النقطة التي تقسِّم داخليًّا بنسبة . وهذا يعني أن ، وأن النسبة ستكون .

يُمكننا بعد ذلك استخدام صيغة تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معيَّنة.

إذا كانت لدينا النقطتان ، ، وكانت النقطة تقسِّم ؛ بحيث يكون ، فإن يكون لها الإحداثيات الآتية:

في هذه المسألة، إحداثيات هي ، وإحداثيات هي . يُمكننا التعويض بإحداثياتهما في الصيغة عن ، ، على الترتيب.

ويُمكن التعويض بقيمتي النسبة عن ، ، على الترتيب.

وبناءً على ما سبق، سنحصل على إحداثيات كالآتي:

بالتبسيط نحصل على:

إذن إحداثيات النقطة التي تقسِّم داخليًّا بنسبة هي .

مثال ٤: إيجاد إحداثيات نقطة تُقسِّم قطعة مستقيمة من الخارج بنسبة مُعطاة

إذا كان ، ، فأوجد إحداثيات النقطة ، في صورة متجه موضعها، التي تقسِّم من الخارج بنسبة .

الحل

يُمكننا البدء برسم النقطتين ، ، ومدُّ القطعة المستقيمة المتجهة إلى النقطة التي تقسِّم من الخارج. يُمكننا أن نوضِّح على الشكل أن .

لعلنا نتذكَّر صيغة التقسيم في حال التقسيم من الخارج.

إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان؛ هما ، ، وكانت النقطة تقسِّم ؛ بحيث يكون ، فإن تكون لها الإحداثيات الآتية:

يُمكننا التعويض بقِيَم إحداثيات كلٍّ من ، عن ، ، على الترتيب، وقيمتَيْ جزأي النسبة عن ، في صيغة التقسيم لإيجاد إحداثيات . هذا يُعطينا:

وبما أنه مطلوب منَّا كتابة الإجابة في صورة متجه الموضع، يُمكننا كتابة متجه الموضع للنقطة هكذا:

مثال ٥: إيجاد النسبة التي يُقسِّم بها المحور س قطعة مستقيمة

املأ الفراغ: إذا كان ، ، فإن المحور يقسِّم بنسبة .

الحل

يُمكننا البدء بتحديد إحداثيات كلٍّ من ، ، ورسم المتجه .

لمعرفة كيف يقسِّم المحور القطعة المستقيمة ، علينا أولًا إيجاد النقطة التي تقطع عندها المحور . بمعلومية إحداثيات كلٍّ من ، ، يُمكننا إيجاد معادلة ، وذلك بأن نبدأ بإيجاد ميل هذا الخط المستقيم.

يُمكن إيجاد الميل، ، لخط مستقيم يَصِل بين نقطتين ، باستخدام الصيغة الآتية:

إذن نحصل على الميل للخط المستقيم الواصل بين ، بواسطة:

يُمكننا بعد ذلك استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، فإذا كانت لدينا نقطة ما والميل ، يُمكننا كتابة معادلة المستقيم هكذا:

يُمكننا التعويض بإحداثيات أيٍّ من النقطتين ، أو في هذه الصيغة، سنستخدم للتعويض عن ، ، إذن نحصل على الآتي:

يُمكننا بعد ذلك ضرب كلا الطرفين في ٧، ثم فكُّ القوسين بالتوزيع في الطرف الأيسر، وهو ما يُعطينا:

بإعادة الترتيب لكتابة ذلك في الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم، ، يصبح لدينا:

لعلَّنا نتذكَّر أن الخط المستقيم يقطع المحور عند ، إذن بالتعويض بذلك في المعادلة ، ثم التبسيط نحصل على:

لقد عرفنا الآن أن القطعة المستقيمة تقطع المحور عند النقطة .

علينا الآن إيجاد النسبة التي تقسِّم بها النقطة القطعة المستقيمة .

لإجراء ذلك، يُمكننا استخدام صيغة التقسيم من الداخل للقطعة المستقيمة. وتنصُّ على أنه إذا كانت لدينا نقطتان مختلفتان؛ هما ، ، وكانت النقطة تقسِّم ؛ بحيث يكون ، فإن تكون لها الإحداثيات الآتية:

في هذا السؤال، نعرف إحداثيات النقطتين ، ، والنقطة التي تقسِّم . ونريد حساب قيمتَيْ جزأي النسبة ، .

نعوِّض بإحداثيات كلٍّ من ، عن كلٍّ من ، ، على الترتيب في صيغة التقسيم، فنحصل على الآتي:

ونحن نعلم أن إحداثيات هي ، إذن يُمكننا كتابة الآتي:

لحساب قيمة الإحداثي ، نكتب أن:

يُمكننا استخدام الضرب التبادلي والتبسيط لكتابة تعبير لـ بدلالة هكذا:

وبما أن نسبة ، إذن .

وعليه يُمكننا أن نكتب الإجابة، وهي أن المحور يقسِّم بنسبة:

وللتحقُّق من صحة الإجابة، يُمكننا إيجاد الطول ، والطول ، وإيجاد النسبة مباشرةً.

لعلنا نتذكَّر أن صيغة حساب المسافة، ، بين النقطتين ، هي كالآتي:

لإيجاد طول ، ، نعوِّض بإحداثيات النقطتين ، عن ، ؛ ومن ثَمَّ نحصل على الآتي:

ولإيجاد طول ، ، نعوِّض بإحداثيات النقطتين ، عن ، ؛ ومن ثَمَّ نحصل على الآتي:

بعد ذلك يُمكننا كتابة نسبة هكذا:

بضرب طرفي النسبة في ٥، ثم القسمة على ، نحصل على الآتي:

وبذلك نكون قد تأكَّدنا من إجابتنا، وهي أن المحور يقسِّم بنسبة .

مثال ٦: حلُّ مسألة كلامية من خلال تقسيم قطعة مستقيمة

تقطع حافلة مسافة من المدينة إلى المدينة . توقَّفت الحافلة عند ، وهي في منتصف الطريق بين المدينتين. ثم توقَّفت عند ، وهي في ثُلثَيْ مسافة الطريق من إلى . ما إحداثيات ، ؟

الحل

علمنا من رأس المسألة أن المدينة لها الإحداثيات ، والمدينة لها الإحداثيات . أولًا: علينا إيجاد إحداثيات المدينة ، التي تقع في منتصف الطريق بين المدينتين.

يُمكننا استخدام صيغة نقطة منتصف خط مستقيم. لإيجاد نقطة المنتصف، ، لقطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين ، ، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية:

بالتعويض بـ ، في هذه الصيغة، نحصل على نقطة المنتصف، ، على الصورة:

بعد ذلك علينا إيجاد إحداثيات النقطة ، التي تقع في ثُلثَيِ المسافة من إلى . يُعتبَر الاتجاه من إلى اتجاهًا مُهِمًّا؛ لأنه يُشير إلى موضع . ستكون النقطة أقرب إلى من . يُمكننا التفكير في موضعها بتقسيم إلى ٣ أجزاء متساوية. ويُمكننا كتابة أن نسبة تساوي .

يُمكننا استخدام صيغة تقسيم القطعة المستقيمة بنسبة مُعطاة. وتنصُّ هذه الصيغة على أنه إذا كانت لدينا النقطتان ، ، وكانت النقطة تقسِّم ؛ بحيث يكون ، فإن تكون لها الإحداثيات الآتية:

في هذا السؤال، لدينا ، ، ولدينا النقطة التي تقسِّم بنسبة . بالتعويض بكلِّ هذه القِيَم في الصيغة لإيجاد ، نحصل على:

للتحقُّق من إجابتنا، يُمكننا التفكير في طولَيْ ، باستخدام صيغة حساب المسافة. لإيجاد المسافة، ، بين النقطتين ، ، نحسب الآتي:

لحساب طول ، نعوِّض بإحداثيات النقطتين ، في الصيغة، ونحصل على:

ولحساب طول ، نعوِّض بإحداثيات النقطتين ، في صيغة المسافة، ونحصل على:

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة النسبة بين طولَيْ هكذا:

وقد علمنا من رأس المسألة أن تُوجَد عند ثُلثَيْ مسافة الطريق من إلى . وبهذا نكون قد تأكَّدنا أن لها الإحداثيات .

وعليه يُمكننا الإجابة بأن إحداثيات ، هي: