تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تقسيم القطعة المستقيمة في المستوى الإحداثي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد إحداثيات نقطة تقسِّم القطعة المستقيمة في المستوى الإحداثي بنسبة ما، باستخدام صيغة التقسيم.

هيَّا نبدأ بمراجعة بعض المصطلحات.

تعريف: القطعة المستقيمة

القطعة المستقيمة جزء من مستقيم مُحدَّد بطرفين مختلفين.

يُمكننا تمثيل القطعة المستقيمة بين نقطتين مختلفتين، 󰏡، 𞸁، باستخدام الترميز 󰏡𞸁. وتحتوي 󰏡𞸁 على جميع النقاط الواقعة على الخط المستقيم بين 󰏡، 𞸁.

ولمُساعَدتنا في فهْم هذا التعريف، يُمكننا النظر إلى القطعة المستقيمة 󰏡𞸁 المرسومة على المستوى الإحداثي التي نقطتا طرفَيْها هما 󰏡(٤،٥)، 𞸁(٢،٣).

نقطة منتصف القطعة المستقيمة هي النقطة الواقعة في وسط القطعة المستقيمة، وتقع على مسافة متساوية بين نقطتَيْ طرفَيْها. ويُمكننا إيجاد إحداثيات نقطة منتصف 󰏡𞸁 عن طريق تقسيم كلٍّ من المسافتين الأفقية والرأسية بين 󰏡، 𞸁 إلى النصف.

ملخَّص: نقطة منتصف القطعة المستقيمة

يُمكننا إيجاد نقطة المنتصف، 𞸌، لأيِّ قطعة مستقيمة بين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ باستخدام الصيغة الآتية: 𞸌=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢󰃀.١٢١٢

سنتناول الآن مجموعة متنوِّعة من الأسئلة حول تقسيم أو تجزئة القِطَع المستقيمة باستخدام عدد من الطُّرق المختلفة.

مثال ١: تقسيم قطعة مستقيمة إلى أربعة أجزاء متساوية

إحداثيات النقطتين 󰏡، 𞸁 هي (١،٩)، (٩،٩)، على الترتيب. أوجد إحداثيات النقاط التي تقسِّم 󰏡𞸁 إلى أربعة أجزاء متساوية.

الحل

يُمكننا أن نبدأ برسم القطعة المستقيمة 󰏡𞸁، وتحديد النقاط التي تُقسِّمها إلى ٤ أجزاء متساوية. يمكننا تسمية هذه النقاط 𞸋، 𞸌، 𞹝.

بما أن 󰏡𞸁 مقسَّمة إلى ٤ أجزاء متساوية، يُمكننا حلُّ هذا السؤال بأن نبدأ بإيجاد نقطة المنتصف، 𞸌، للقطعة المستقيمة 󰏡𞸁، ثم نُوجِد نقطة المنتصف لكلٍّ من 󰏡𞸌، 𞸌𞸁.

نتذكَّر أن نقطة المنتصف، 𞸌، لأيِّ قطعة مستقيمة إحداثيات نقطتَيْ طرفَيْها هي 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ تُعطَى بواسطة: 𞸌=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢󰃀.١٢١٢

وعليه، لإيجاد نقطة المنتصف، 𞸌، لـ 󰏡𞸁، نعوِّض بإحداثيات النقطة 󰏡(١،٩) عن قيمتَيْ 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، وبإحداثيات النقطة 𞸁(٩،٩) عن قيمتَيْ 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وهو ما يُعطينا الآتي: 𞸌=󰂔١+٩٢،٩+٩٢󰂓=󰂔٠١٢،٨١٢󰂓=(٥،٩). ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات 𞸌 هي (٥،٩).

بعد ذلك، نُوجِد نقطة المنتصف، 𞸋، لـ 󰏡𞸌. بالتعويض بإحداثيات النقطتين 󰏡(١،٩)، 𞸌(٥،٩) عن كلٍّ من 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، نحصل على الآتي: 𞸋=󰂔١+٥٢،٩+٩٢󰂓=󰂔٦٢،٨١٢󰂓=(٣،٩).

وأخيرًا: نُوجِد نقطة المنتصف، 𞹝، لـ 𞸌𞸁. باستخدام إحداثيات النقطتين 𞸌(٥،٩)، 𞸁(٩،٩)، نحصل على الآتي: 𞸋=󰂔٥+٩٢،٩+٩٢󰂓=󰂔٤١٢،٨١٢󰂓=(٧،٩).

وبذلك نكون قد أوجدنا إحداثيات النقاط 𞸋، 𞸌، 𞹝، التي تقسِّم 󰏡𞸁 إلى ٤ أجزاء متساوية، وهي: (٣،٩)،(٥،٩)،(٧،٩).

بعد ذلك نتناول مثالًا يوضِّح كيف يُمكن كتابة تقسيم قطعة مستقيمة بواسطة نقطة بدلالة نسبة.

مثال ٢: إيجاد النسبة التي تُقسِّم بها نقطةٌ قطعةً مستقيمةً

إذا كان 𞸢󰏡𞸁، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=٣󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁، فإن 𞸢 تقسِّم 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡 بالنسبة .

  1. ٢١
  2. ١٢
  3. ١٣
  4. ٣١

الحل

لنفترض أن لدينا القطعة المستقيمة 󰏡𞸁. ستقع النقطة 𞸢 في مكان ما على هذه القطعة المستقيمة.

نظرًا إلى أننا نحتاج إلى أن ننتبه إلى اتجاه الحركة من 󰏡 إلى 𞸁، سنستخدم المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁.

والحركة من النقطة 𞸢 إلى النقطة 𞸁 تُعطينا المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁.

معيارا المتجهين 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 ،󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁 يساوي طول كلٍّ منهما. وعلمنا من مُعطيات السؤال أن 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=٣󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁، وهذا يعني أن: لل󰏡𞸁=٣×𞸢𞸁.

ومن ثَمَّ، يُمكننا تقسيم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 إلى ٣ أجزاء متساوية.

ولكنْ علينا تحديد عند أيٍّ من هاتين النقطتين ستقع النقطة 𞸢. إذا كانت 𞸢 أقرب إلى 󰏡 من 𞸁، فإن طول 𞸢𞸁 سيكون ثُلثَيْ طول 󰏡𞸁.

وحينئذٍ لن يكون صحيحًا أن 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=٣󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁. إذن يجب أن تكون 𞸢 هي النقطة الأقرب إلى 𞸁 من 󰏡.

وبهذه الطريقة سيكون 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁=١٣󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، وهذا يعني أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=٣󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁.

لإيجاد النسبة حيث إن 󰏡𞸁 قد قُسِّمت إلى ٣ أجزاء، سيكون هناك جزآن من إجمالي الأجزاء يُمثِّلان 󰏡𞸢، وجزء واحد يُمثِّل 𞸢𞸁.

وبذلك يُمكننا كتابة أن 𞸢 تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بالنسبة ٢١. ولكن المطلوب هو تحديد النسبة التي تُقسِّم 𞸢 بها 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡؛ ومن ثَمَّ، سيكون الحلُّ هو النسبة المُعطاة في الخيار ب: ١٢.

سندرس الآن كيف يُمكننا إيجاد إحداثيات نقطة تقع على قطعة مستقيمة تُقسِّم الخط المستقيم بنسبة مُعطاة.

يُمكن أن تكون المتجهات مُفيدة عند تقسيم القِطَع المستقيمة بنسبة. تذكَّر أن المتجهات تمثِّل اتجاهًا ومعيارًا، وليس مجرد موضع على مستوًى إحداثي. بمعلومية النقطتين المختلفتين 󰏡، 𞸁، يوضِّح لنا المتجه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 الاتجاه النسبي للنقطة 𞸁 بالنسبة إلى النقطة 󰏡، وكذلك المسافة بين النقطتين. وعلى وجه التحديد، ليس من الضروري أن يبدأ 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 عند 󰏡، ولا أن ينتهي عند 𞸁، ما دام نفس الاتجاه والمعيار لم يتغيَّر. تُعَدُّ هذه المرونة في المتجهات مُفيدة عندما نتعامل مع مسائل هندسية مثل تقسيم خط مستقيم.

هيَّا نتناول كيفية تحديد النقاط الإحداثية. إذا كانت النقطة 𞸋 تُقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بنسبة 𞸌𞸍، فإن هذا يعني أن النقطة 𞸋 تقع على القطعة المستقيمة 󰏡𞸁، وأن النسبة بين معياري المتجهين الناتجين تكون كالآتي: 󰍼󰄮󰄮󰏡𞸋󰍼󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸋𞸁󰍼=𞸌𞸍.

بعبارة أخرى: إذا كان 󰍼󰄮󰄮󰏡𞸋󰍼 يساوي 𞸌 وحدة طول، فإن 󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼 يساوي 𞸌+𞸍 وحدة طول، وهذا يعني أن: 󰍼󰄮󰄮󰏡𞸋󰍼=𞸌𞸌+𞸍󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼.

بوجهٍ عامٍّ، سيكون من الصعب استخدام المعادلة السابقة فقط لإيجاد إحداثيات نقطة التقسيم 𞸋. ومع ذلك، هذه المعادلة لا تُخبرنا بأن 𞸋 تقع على القطعة المستقيمة 󰏡𞸁. على وجه التحديد، هذا يعني أن اتجاه 󰄮󰄮󰏡𞸋 هو نفس اتجاه 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁. تذكَّر أن أيَّ متجهين سيكون لهما الاتجاه نفسه إذا أمكن الحصول على أحد المتجهين بضرب المتجه الآخَر في عدد ثابت موجب. إذا نظرنا إلى المعادلة المذكورة السابقة، يُمكننا ملاحَظة أن هذا العدد الثابت الموجب هو 𞸌𞸌+𞸍. وهذا يعني أن: 󰄮󰄮󰏡𞸋=𞸌𞸌+𞸍󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁.

يُمكننا استخدام هذه الخاصية لإيجاد إحداثيات نقطة تُقسِّم القطعة المستقيمة المتجهة بنسبة معيَّنة. ولتحقيق ذلك، فإننا أولًا نكتب كلًّا من 󰄮󰄮󰏡𞸋، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 على صورة الفرق بين متجهي الموضع: 󰄮󰄮󰏡𞸋=󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋󰄮󰄮𞸅󰏡،󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡.

بالتعويض بهذه التعبيرات في الصيغة الأصلية، نحصل على الآتي: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋󰄮󰄮𞸅󰏡=𞸌𞸌+𞸍󰂔󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓.

نُعيد ترتيب المعادلة بحيث يكون 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋 هو المتغيِّر التابع، فنحصل على الآتي: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌+𞸍󰂔󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓+󰄮󰄮𞸅󰏡󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌+𞸍󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁+󰃁𞸌𞸌+𞸍+١󰃀󰄮󰄮𞸅󰏡󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌+𞸍󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁+𞸍𞸌+𞸍󰄮󰄮𞸅󰏡.

صيغة: متجه موضع نقطة تُقسِّم قطعة مستقيمة بنسبة ما

لنفترض أن 𞸋 نقطة تقع على القطعة المستقيمة 󰏡𞸁؛ بحيث تُقسِّمُها بنسبة 𞸌𞸍. ومن ثَمَّ، فإن متجه الموضع 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋 يُعطَى بواسطة الصيغة الآتية: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌+𞸍󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁+𞸍𞸌+𞸍󰄮󰄮𞸅󰏡.

سنرى كيف يُمكننا استخدام هذه الصيغة للحصول على تعبير للإحداثيات الكارتيزية لنقطة التقسيم. لنفترض أن لدينا النقطتين اللتين إحداثياتهما هي 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة متجهي الموضع المناظِرين لهما هكذا: 󰄮󰄮𞸅󰏡=󰁓𞸎،𞸑󰁒،󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒.١١٢٢

بالتعويض بهذين التعبيرين في الصيغة السابقة، نحصل على الآتي: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌+𞸍󰁓𞸎،𞸑󰁒+𞸍𞸌+𞸍󰁓𞸎،𞸑󰁒=󰃁𞸌𞸌+𞸍𞸎،𞸌𞸌+𞸍𞸑󰃀+󰃁𞸍𞸌+𞸍𞸎،𞸍𞸌+𞸍𞸑󰃀=󰃁𞸌𞸌+𞸍𞸎+𞸍𞸌+𞸍𞸎،𞸌𞸌+𞸍𞸑+𞸍𞸌+𞸍𞸑󰃀=󰃁𞸌𞸎+𞸍𞸎𞸌+𞸍،𞸌𞸑+𞸍𞸑𞸌+𞸍󰃀.٢٢١١٢٢١١٢١٢١٢١٢١

وهكذا نتوصَّل إلى الصيغة الآتية.

نظرية: صيغة التقسيم

إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان؛ هما 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋󰏡𞸁 تُقسِّم 󰏡𞸁؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎+𞸍𞸎𞸌+𞸍،𞸌𞸑+𞸍𞸑𞸌+𞸍󰃀.٢١٢١

سنرى الآن كيف يُمكننا تطبيق هذه الصيغة على بعض الأمثلة.

مثال ٣: إيجاد إحداثيات نقطة تقسِّم قطعة مستقيمة من الداخل

إذا كانت إحداثيات 󰏡، 𞸁 هي (٥،٥)، (١،٤)، على الترتيب، فأوجد إحداثيات النقطة 𞸢 التي تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 داخليًّا بنسبة ٢١.

الحل

يُمكننا رسم هذه القطعة المستقيمة المتجهة 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، كما هو موضَّح.

بعد ذلك، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية لإيجاد النقطة 𞸢 التي تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 داخليًّا بنسبة ٢١. وهذا يعني أن 𞸢󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁، وأن النسبة ستكون 󰏡𞸢𞸢𞸁=٢١.

يُمكننا بعد ذلك استخدام صيغة تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معيَّنة.

إذا كانت لدينا النقطتان 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋 تقسِّم 󰏡𞸁؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 يكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎+𞸍𞸎𞸌+𞸍،𞸌𞸑+𞸍𞸑𞸌+𞸍󰃀.٢١٢١

في هذه المسألة، إحداثيات 󰏡 هي (٥،٥)، وإحداثيات 𞸁 هي (١،٤). يُمكننا التعويض بإحداثياتهما في الصيغة عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، على الترتيب.

ويُمكن التعويض بقيمتي النسبة ٢١ عن 𞸌، 𞸍، على الترتيب.

وبناءً على ما سبق، سنحصل على إحداثيات 𞸢 كالآتي: 𞸢=󰃁٢(١)+١(٥)٢+١،٢(٤)+١(٥)٢+١󰃀.

بالتبسيط نحصل على: 𞸢=󰂔٣٣،٣٣󰂓=(١،١).

إذن إحداثيات النقطة 𞸢 التي تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 داخليًّا بنسبة ٢١ هي (١،١).

سنتناول الآن كيف يُمكننا تقسيم قطعة مستقيمة من الخارج بنسبة معيَّنة.

عرفنا حتى الآن كيف نحدِّد إحداثيات نقطة تُقسِّم قطعة مستقيمة بنسبة معيَّنة. ونُشير إلى مثل هذه المسائل بمسائل التقسيم من الداخل؛ لأن النقطة التي نريد معرفة إحداثياتها تقع على القطعة المستقيمة.

هيَّا نتناول الآن نوعًا آخَر من المسائل يُعرَف باسم مسائل التقسيم من الخارج. في هذه المسائل، لا تقع النقطة التي تقسِّم القطعة المستقيمة عليها، وإنما تقع على امتداد القطعة المستقيمة، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

بالنظر إلى الشكل السابق، نقول إن النقطة 𞸋 تُقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 من الخارج بنسبة 𞸌𞸍؛ حيث 𞸌>𞸍. يُمكننا حلُّ مسائل التقسيم من الخارج عن طريق إجراء تعديل طفيف على الطريقة السابقة المُستخدَمة في حلِّ مسائل التقسيم من الداخل. الفرق الرئيسي في هذه الحالة هو أن 󰄮󰄮󰏡𞸋، الذي معياره 𞸌 وحدة طول، هو المتجه الأطول مقارنة بـ 󰄮󰄮󰄮󰄮𞸁𞸋، الذي معياره 𞸍 وحدة طول. وبإجراء عملية طرح، نجد أن طول 󰏡𞸁 يساوي 𞸌𞸍 وحدة. وهذا يُعطينا الصيغة الآتية: 󰍼󰄮󰄮󰏡𞸋󰍼=𞸌𞸌𞸍󰍼󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁󰍼.

كما هو الحال في السياق السابق، 󰄮󰄮󰏡𞸋 ،󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 لهما الاتجاه نفسه، ومن ثَمَّ يُمكننا كتابة أن: 󰄮󰄮󰏡𞸋=𞸌𞸌𞸍󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁.

وكما فعلنا في مسألة التقسيم من الداخل، يُمكننا إيجاد صيغة لمتجه موضع النقطة 𞸋 كالآتي: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋󰄮󰄮𞸅󰏡=𞸌𞸌𞸍󰂔󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌𞸍󰂔󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁󰄮󰄮𞸅󰏡󰂓+󰄮󰄮𞸅󰏡󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌𞸍󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁+󰃁𞸌𞸌𞸍+١󰃀󰄮󰄮𞸅󰏡󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌𞸍󰄮󰄮󰄮󰄮𞸅𞸁𞸍𞸌𞸍󰄮󰄮𞸅󰏡.

نلاحِظ أن هذه الصيغة تُشبِه إلى حدٍّ كبير الصيغة التي حصلنا عليها سابقًا في مسائل التقسيم من الداخل. ولكنهما يختلفان بصورة واضحة فيما يأتي:

  • طرح التعبيرين بدلًا من جمعهما.
  • بالنسبة إلى التعبير 𞸌+𞸍، يحلُّ محلَّه 𞸌𞸍 في الصيغة السابقة.

ففي الطرف الأيسر السابق، التعبير 𞸌+𞸍 في حالة التقسيم من الداخل يحلُّ محلَّه التعبير 𞸌𞸍 في حالة التقسيم من الخارج. هيَّا نستنتج صيغة إيجاد الإحداثيات الديكارتية لنقطة التقسيم، بمعلومية إحداثيات كلٍّ من 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢: 󰄮󰄮󰄮𞸅𞸋=𞸌𞸌𞸍󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸍𞸌𞸍󰁓𞸎،𞸑󰁒=󰃁𞸌𞸌𞸍𞸎،𞸌𞸌𞸍𞸑󰃀󰃁𞸍𞸌𞸍𞸎،𞸍𞸌𞸍𞸑󰃀=󰃁𞸌𞸌𞸍𞸎𞸍𞸌𞸍𞸎،𞸌𞸌𞸍𞸑𞸍𞸌𞸍𞸑󰃀=󰃁𞸌𞸎𞸍𞸎𞸌𞸍،𞸌𞸑𞸍𞸑𞸌𞸍󰃀.٢٢١١٢٢١١٢١٢١٢١٢١

يُتيح لنا ذلك كتابة الصيغة الآتية.

نظرية: صيغة التقسيم عند التقسيم من الخارج

إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان؛ هما 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋󰏡𞸁 تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎𞸍𞸎𞸌𞸍،𞸌𞸑𞸍𞸑𞸌𞸍󰃀.٢١٢١

سنرى الآن كيف يُمكننا تطبيق هذه الصيغة في المثال الآتي.

مثال ٤: إيجاد إحداثيات نقطة تُقسِّم قطعة مستقيمة من الخارج بنسبة مُعطاة

إذا كان 󰏡(٣،٢)، 𞸁(٢،٤)، فأوجد إحداثيات النقطة 𞸢، في صورة متجه موضعها، التي تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 من الخارج بنسبة ٤٣.

الحل

يُمكننا البدء برسم النقطتين 󰏡، 𞸁، ومدُّ القطعة المستقيمة المتجهة 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 إلى النقطة 𞸢 التي تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 من الخارج. يُمكننا أن نوضِّح على الشكل أن 󰏡𞸢𞸢𞸁=٤٣.

لعلنا نتذكَّر صيغة التقسيم في حال التقسيم من الخارج.

إذا كان لدينا نقطتان مختلفتان؛ هما 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋󰏡𞸁 تقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎𞸍𞸎𞸌𞸍،𞸌𞸑𞸍𞸑𞸌𞸍󰃀.٢١٢١

يُمكننا التعويض بقِيَم إحداثيات كلٍّ من 󰏡(٣،٢)، 𞸁(٢،٤) عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، على الترتيب، وقيمتَيْ جزأي النسبة ٤٣ عن 𞸌، 𞸍 في صيغة التقسيم لإيجاد إحداثيات 𞸢. هذا يُعطينا: 𞸢=󰃁٤(٢)٣(٣)٤٣،٤(٤)٣(٢)٤٣󰃀=󰂔٨٩١،٦١+٦١󰂓=(٧١،٢٢).

وبما أنه مطلوب منَّا كتابة الإجابة في صورة متجه الموضع، يُمكننا كتابة متجه الموضع للنقطة 𞸢 هكذا: (٧١،٢٢).

سنتناول الآن مثالًا لكيفية استخدام صيغة التقسيم لإيجاد النسبة التي قُسِّمت بها قطعة مستقيمة.

مثال ٥: إيجاد النسبة التي يُقسِّم بها المحور س قطعة مستقيمة

املأ الفراغ: إذا كان 𞸢(٣،٣)، 𞸃(٤،٢)، فإن المحور 𞸎 يقسِّم 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃 بنسبة .

  1. ٣٥
  2. ٥٣
  3. ٢٣
  4. ٣٢

الحل

يُمكننا البدء بتحديد إحداثيات كلٍّ من 𞸢، 𞸃، ورسم المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃.

لمعرفة كيف يقسِّم المحور 𞸎 القطعة المستقيمة 𞸢𞸃، علينا أولًا إيجاد النقطة التي تقطع عندها 𞸢𞸃 المحور 𞸎. بمعلومية إحداثيات كلٍّ من 𞸢، 𞸃، يُمكننا إيجاد معادلة 𞸢𞸃، وذلك بأن نبدأ بإيجاد ميل هذا الخط المستقيم.

يُمكن إيجاد الميل، 𞸌، لخط مستقيم يَصِل بين نقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ باستخدام الصيغة الآتية: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

إذن نحصل على الميل للخط المستقيم الواصل بين 𞸢(٣،٣)، 𞸃(٤،٢) بواسطة: 𞸌=٢٣٤(٣)=٥٧=٥٧.

يُمكننا بعد ذلك استخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، فإذا كانت لدينا نقطة ما 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ والميل 𞸌، يُمكننا كتابة معادلة المستقيم هكذا: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒.١١

يُمكننا التعويض بإحداثيات أيٍّ من النقطتين 𞸢، أو 𞸃 في هذه الصيغة، سنستخدم 𞸢(٣،٣) للتعويض عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸌=٥٧، إذن نحصل على الآتي: 𞸑٣=٥٧(𞸎(٣))𞸑٣=٥٧(𞸎+٣).

يُمكننا بعد ذلك ضرب كلا الطرفين في ٧، ثم فكُّ القوسين بالتوزيع في الطرف الأيسر، وهو ما يُعطينا: ٧𞸑١٢=٥(𞸎+٣)٧𞸑١٢=٥𞸎٥١.

بإعادة الترتيب لكتابة ذلك في الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم، 󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠، يصبح لدينا: ٥𞸎+٧𞸑٦=٠.

لعلَّنا نتذكَّر أن الخط المستقيم يقطع المحور 𞸎 عند 𞸑=٠، إذن بالتعويض بذلك في المعادلة ٥𞸎+٧𞸑٦=٠، ثم التبسيط نحصل على: ٥𞸎+٧(٠)٦=٠،٥𞸎٦=٠،٥𞸎=٦،𞸎=٦٥.

لقد عرفنا الآن أن القطعة المستقيمة 𞸢𞸃 تقطع المحور 𞸎 عند النقطة 󰂔٦٥،٠󰂓.

علينا الآن إيجاد النسبة التي تقسِّم بها النقطة 󰂔٦٥،٠󰂓 القطعة المستقيمة 𞸢𞸃.

لإجراء ذلك، يُمكننا استخدام صيغة التقسيم من الداخل للقطعة المستقيمة. وتنصُّ على أنه إذا كانت لدينا نقطتان مختلفتان؛ هما 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋󰏡𞸁 تقسِّم 󰏡𞸁؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎+𞸍𞸎𞸌+𞸍،𞸌𞸑+𞸍𞸑𞸌+𞸍󰃀.٢١٢١

في هذا السؤال، نعرف إحداثيات النقطتين 𞸢(٣،٣)، 𞸃(٤،٢)، والنقطة 𞸋󰂔٦٥،٠󰂓 التي تقسِّم 𞸢𞸃. ونريد حساب قيمتَيْ جزأي النسبة 𞸌، 𞸍.

نعوِّض بإحداثيات كلٍّ من 𞸢(٣،٣)، 𞸃(٤،٢) عن كلٍّ من 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، على الترتيب في صيغة التقسيم، فنحصل على الآتي: 𞸋=󰃁𞸌(٤)+𞸍(٣)𞸌+𞸍،𞸌(٢)+𞸍(٣)𞸌+𞸍󰃀=󰃁٤𞸌٣𞸍𞸌+𞸍،٢𞸌+٣𞸍𞸌+𞸍󰃀.

ونحن نعلم أن إحداثيات 𞸋 هي 󰂔٦٥،٠󰂓، إذن يُمكننا كتابة الآتي: 󰂔٦٥،٠󰂓=󰃁٤𞸌٣𞸍𞸌+𞸍،٢𞸌+٣𞸍𞸌+𞸍󰃀.

لحساب قيمة الإحداثي 𞸎، نكتب أن: ٦٥=٤𞸌٣𞸍𞸌+𞸍.

يُمكننا استخدام الضرب التبادلي والتبسيط لكتابة تعبير لـ 𞸌 بدلالة 𞸍 هكذا: ٥(٤𞸌٣𞸍)=٦(𞸌+𞸍)٠٢𞸌٥١𞸍=٦𞸌+٦𞸍٤١𞸌=١٢𞸍𞸌𞸍=١٢٤١𞸌𞸍=٣٢.

وبما أن نسبة 𞸢𞸋𞸋𞸃=𞸌𞸍، إذن 𞸢𞸋𞸋𞸃=٣٢.

وعليه يُمكننا أن نكتب الإجابة، وهي أن المحور 𞸎 يقسِّم 𞸢𞸃 بنسبة: ٣٢.

وللتحقُّق من صحة الإجابة، يُمكننا إيجاد الطول 𞸢𞸋، والطول 𞸋𞸃، وإيجاد النسبة 𞸢𞸋𞸋𞸃 مباشرةً.

لعلنا نتذكَّر أن صيغة حساب المسافة، 𞸐، بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ هي كالآتي: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

لإيجاد طول 𞸢𞸋، 󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸋󰍼، نعوِّض بإحداثيات النقطتين 𞸢(٣،٣)، 𞸋󰂔٦٥،٠󰂓 عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢؛ ومن ثَمَّ نحصل على الآتي: 󰍼󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸋󰍼=󰋺󰂔٦٥(٣)󰂓+(٠٣)=󰋺󰂔١٢٥󰂓+٣=󰋺٦٦٦٥٢=٣󰋴٤٧٥.٢٢٢٢

ولإيجاد طول 𞸋𞸃، 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸋𞸃󰍼، نعوِّض بإحداثيات النقطتين 𞸋󰂔٦٥،٠󰂓، 𞸃(٤،٢) عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢؛ ومن ثَمَّ نحصل على الآتي: 󰍼󰄮󰄮󰄮𞸋𞸃󰍼=󰋺󰂔٤٦٥󰂓+(٢٠)=󰋺󰂔٤١٥󰂓+(٢)=󰋺٦٩٢٥٢=٢󰋴٤٧٥.٢٢٢٢

بعد ذلك يُمكننا كتابة نسبة 𞸢𞸋𞸋𞸃 هكذا: 𞸢𞸋𞸋𞸃=٣󰋴٤٧٥٢󰋴٤٧٥.

بضرب طرفي النسبة في ٥، ثم القسمة على 󰋴٤٧، نحصل على الآتي: 𞸢𞸋𞸋𞸃=٣󰋴٤٧٢󰋴٤٧=٣٢.

وبذلك نكون قد تأكَّدنا من إجابتنا، وهي أن المحور 𞸎 يقسِّم 󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃 بنسبة ٣٢.

في المثال الآتي، سنتناول مسألة أكثر تعقيدًا تتضمَّن تقسيم قطعة مستقيمة.

مثال ٦: حلُّ مسألة كلامية من خلال تقسيم قطعة مستقيمة

تقطع حافلة مسافة من المدينة 󰏡(٠١،٠١) إلى المدينة 𞸁(٨،٨). توقَّفت الحافلة عند 𞸢، وهي في منتصف الطريق بين المدينتين. ثم توقَّفت عند 𞸃، وهي في ثُلثَيْ مسافة الطريق من 󰏡 إلى 𞸁. ما إحداثيات 𞸢، 𞸃؟

الحل

علمنا من رأس المسألة أن المدينة 󰏡 لها الإحداثيات (٠١،٠١)، والمدينة 𞸁 لها الإحداثيات (٨،٨). أولًا: علينا إيجاد إحداثيات المدينة 𞸢، التي تقع في منتصف الطريق بين المدينتين.

يُمكننا استخدام صيغة نقطة منتصف خط مستقيم. لإيجاد نقطة المنتصف، 𞸌، لقطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، يُمكننا استخدام الصيغة الآتية: 𞸌=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢󰃀.١٢١٢

بالتعويض بـ 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٠١،٠١)١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒=(٨،٨)٢٢ في هذه الصيغة، نحصل على نقطة المنتصف، 𞸢، على الصورة: 𞸢=󰃁٠١+(٨)٢،٠١+٨٢󰃀=󰂔٢٢،٢٢󰂓=(١،١).

بعد ذلك علينا إيجاد إحداثيات النقطة 𞸃، التي تقع في ثُلثَيِ المسافة من 󰏡 إلى 𞸁. يُعتبَر الاتجاه من 󰏡 إلى 𞸁 اتجاهًا مُهِمًّا؛ لأنه يُشير إلى موضع 𞸃. ستكون النقطة 𞸃 أقرب إلى 𞸁 من 󰏡. يُمكننا التفكير في موضعها بتقسيم 󰏡𞸁 إلى ٣ أجزاء متساوية. ويُمكننا كتابة أن نسبة 󰏡𞸃𞸃𞸁 تساوي ٢١.

يُمكننا استخدام صيغة تقسيم القطعة المستقيمة بنسبة مُعطاة. وتنصُّ هذه الصيغة على أنه إذا كانت لدينا النقطتان 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋 تقسِّم 󰏡𞸁؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎+𞸍𞸎𞸌+𞸍،𞸌𞸑+𞸍𞸑𞸌+𞸍󰃀.٢١٢١

في هذا السؤال، لدينا 󰏡(٠١،٠١)، 𞸁(٨،٨)، ولدينا النقطة 𞸃 التي تقسِّم 󰏡𞸁 بنسبة ٢١. بالتعويض بكلِّ هذه القِيَم في الصيغة لإيجاد 𞸃، نحصل على: 𞸃=󰃁٢(٨)+١(٠١)٢+١،٢(٨)+١(٠١)٢+١󰃀=󰂔٦٣،٦٣󰂓=(٢،٢).

للتحقُّق من إجابتنا، يُمكننا التفكير في طولَيْ 󰏡𞸁، 󰏡𞸃 باستخدام صيغة حساب المسافة. لإيجاد المسافة، 𞸐، بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، نحسب الآتي: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢١٢٢١٢

لحساب طول 󰏡𞸃، نعوِّض بإحداثيات النقطتين 󰏡(٠١،٠١)، 𞸃(٢،٢) في الصيغة، ونحصل على: 𞸐=󰋴(٢٠١)+(٢(٠١))=󰋴(٢١)+٢١=󰋴٨٨٢=٢١󰋴٢.٢٢٢٢

ولحساب طول 󰏡𞸁، نعوِّض بإحداثيات النقطتين 󰏡(٠١،٠١)، 𞸁(٨،٨) في صيغة المسافة، ونحصل على: 𞸐=󰋴(٨٠١)+(٨(٠١))=󰋴(٨١)+٨١=󰋴٨٤٦=٨١󰋴٢.٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة النسبة بين طولَيْ 󰏡𞸃󰏡𞸁 هكذا: 󰏡𞸃󰏡𞸁=٢١󰋴٢٨١󰋴٢=٢١٨١=٢٣.

وقد علمنا من رأس المسألة أن 𞸃 تُوجَد عند ثُلثَيْ مسافة الطريق من 󰏡 إلى 𞸁. وبهذا نكون قد تأكَّدنا أن 𞸃 لها الإحداثيات (٢،٢).

وعليه يُمكننا الإجابة بأن إحداثيات 𞸢، 𞸃 هي: (١،١)(٢،٢).،

النقاط الرئيسية

  • نقطة المنتصف، 𞸌، للقطعة المستقيمة الواصلة بين 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ تُعطَى بواسطة: 𞸌=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢󰃀.١٢١٢
  • إذا كانت لدينا النقطتان المختلفتان 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋 تُقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 من الداخل؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎+𞸍𞸎𞸌+𞸍،𞸌𞸑+𞸍𞸑𞸌+𞸍󰃀.٢١٢١
  • عند حلِّ المسائل التي تتضمَّن تقسيم قطعة مستقيمة، علينا أن ننتبه إلى الترتيب الصحيح للنسبة. إذا قُسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 بواسطة النقطة 𞸋 بنسبة 𞸌𞸍، فإن نسبة 󰏡𞸋𞸋𞸁 ستساوي 𞸌𞸍. وإذا قُسِّم 󰄮󰄮󰄮𞸁󰏡 بواسطة النقطة 𞸋 بنسبة 𞸌𞸍، فإن نسبة 󰏡𞸋𞸋𞸁 ستساوي 𞸍𞸌.
  • إذا كانت لدينا النقطتان المختلفتان 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، وكانت النقطة 𞸋󰏡𞸁، وتُقسِّم 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁 من الخارج؛ بحيث يكون 󰏡𞸋𞸋𞸁=𞸌𞸍، فإن 𞸋 تكون لها الإحداثيات الآتية: 𞸋=󰃁𞸌𞸎𞸍𞸎𞸌𞸍،𞸌𞸑𞸍𞸑𞸌𞸍󰃀.٢١٢١

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.