شارح الدرس: معادلات الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكتب معادلة خط مستقيم موازٍ أو عمودي على مستقيم آخَر.

ثمة العديد من الطرق لتوصيف الخطوط المستقيمة التي قد تكون مفيدة حسب الحالة التي لدينا. وتُعَد الصورة الأكثر شيوعًا لمعادلة الخط المستقيم هي التي حُصِل عليها باستخدام الصيغة:

ويتم رسم التمثيلات البيانية للمستقيمات التي كُتبت معادلاتها على هذه الصورة في المستوى ؛ حيث يمثِّل ميل المستقيم، ويمثِّل الجزء المقطوع من المحور . ويُخبرنا الميل، ، بميل المستقيم، ويُخبرنا الجزء المقطوع من المحور بالموضع الذي يقطع المستقيم عنده المحور . وتُعَد هاتان المعلومتان كافيتين لفهم كل ما يتعلَّق بالخط المستقيم وتمثيله بيانيًّا عند أي نقطة في المستوى ، ونُشير إلى المعادلة (١) باسم «صيغة الميل والمقطع» للخط المستقيم. وفي أغلب الأحيان، عند حل مسألة تتضمَّن خطًّا مستقيمًا، نحتاج إلى كتابة الإجابة على هذه الصورة؛ حيث يُحسب ، باعتبارهما جزءًا من حل المسألة.

إن قيمة الميل هي ما تحدِّد «الاتجاه» العام للخط المستقيم. فإذا تحرَّكنا من اليسار إلى اليمين، وكان موجبًا، فإن الانحدار يكون «لأعلى»، أما إن كان سالبًا، فإن الانحدار يكون «هابطًا». ويمكننا توضيح ذلك بتناول الخطين المستقيمين الآتيين:

للمستقيمين نفس الجزء المقطوع من المحور ، ولكن إشارتَي ميلهما مختلفتان. مُثِّلت هاتان الدالتان بيانيًّا بالأسفل؛ حيث موضَّحة باللون الأحمر، موضَّحة باللون الأخضر. ينحدر التمثيل البياني للمستقيم «لأعلى» عندما نتحرَّك من اليسار إلى اليمين؛ وذلك عائد إلى أن الميل موجب، في حين أن التمثيل البياني للمستقيم ينحدر «لأسفل» نتيجة الميل السالب. وهذه خاصية أساسية تتعلَّق بالخطوط المستقيمة، وسنعود إليها لاحقًا عند حديثنا عن الخطوط المتعامدة.

في الوقت الحالي، يجدر بنا أن نتذكَّر أن صيغة الميل والمقطع لا تُمثِّل سوى طريقة واحدة لكتابة معادلة الخط المستقيم، على الرغم من أنها الأكثر شيوعًا. فقد نُعطى، بوجه عام، أي معادلة خطية باعتبارها طريقة لوصف خط مستقيم، على سبيل المثال، في المستوى : حيث ، ، أعداد حقيقية. تُعَد هذا الصورة أقل شيوعًا من صيغة الميل والمقطع التي في المعادلة (١)، إلا أنها صحيحة تمامًا. وبالفعل، إذا أعدنا ترتيب المعادلة السابقة لعزل ، فسيقودنا ذلك إلى صيغة الميل والمقطع التقليدية (بشرط أن ). في بعض الأحيان، تكون معادلة الخط المستقيم مُعطاة لنا على الصورة الموضَّحة السابقة بدلًا من صيغة الميل والمقطع، ومن المتوقَّع أن نتعامل مع هذه الصورة تعاملًا عاديًّا.

هناك طريقتان أخريان لكتابة معادلة الخط المستقيم ستكونان مفيدتين للغاية. نفترض أننا علمنا أن هناك خطًّا مستقيمًا ميله ، ويمر بالنقطة المحدَّدة . إذن، نحصل على معادلة الخط المستقيم باستخدام هذه المعلومات كالآتي: وبالطبع يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة لتصبح في صيغة الميل والمقطع كما في المعادلة (١). ولكي يمكننا تطبيق هذه النتيجة مباشرةً، لا بد أن يكون الميل معلومًا أولًا، وهناك العديد من الأمثلة على ذلك، كما سنرى في بقية هذا الشارح.

إن النتيجة الأخيرة هي الأكثر أهمية عند حديثنا عن الميل؛ لكونها تعبِّر عن معادلة خط مستقيم معلوم أنه يمر بالنقطتين ، . وفي هذه الحالة، تُعطى معادلة الخط المستقيم بالصيغة:

في هذه الحالة، نُعيد كتابة الصورة السابقة لتصبح مثل صيغة الميل والمقطع عن طريق إيجاد ؛ نظرًا لأن هذه ستكون تذكيرًا بالطريقة التي يمكننا بها حساب ميل أي خط مستقيم من نقطتين يمر بهما المستقيم. نفترض أننا ضربنا طرفَي المعادلة السابقة في . من شأن هذا أن يُلغي مقام الطرف الأيمن، فنحصل على النتيجة الجديدة:

باعتبارها خطوة انتقالية، يمكننا ترتيب المعادلة السابقة بعض الشيء، كالآتي:

بالتوزيع في الطرف الأيسر، نحصل على: وأخيرًا بإيجاد مقدار يعبِّر عن ، نحصل على:

هذا أصعب قليلًا، لكنها تقريبًا أفضل طريقة منظمة لكتابة المعادلة السابقة، كما أنها تسمح لنا بالمقارنة بينها وبين صيغة الميل والمقطع للخط المستقيم التي توضِّحها المعادلة (١). بالمقارنة بين حدَّي في هذه المعادلة والمعادلة السابقة، نجد أنه يمكننا كتابة الميل على أنه: وهذا يؤكِّد ما نعرفه عن حساب ميل الخط المستقيم بمعلومية نقطتين على المستقيم.

لقد ذكرنا هذه النتائج للتذكير بالطرق المعروفة التي يمكننا استخدامها عند التعامل مع الخطوط المستقيمة، وسنستخدم كل ذلك خلال الشارح باعتباره جزءًا لا يتجزَّأ من عملنا. وعلى الرغم من أننا سنوضِّح بعض مفاتيح الحل في العديد من الأمثلة، فإنه يُفترض منك، بوجه عام، أن تكون مُعتادًا بما فيه الكفاية على استخدام هذه الطرق، فلا يُفترَض أن يبدو العديد من خطوات الحل غامضًا للغاية! على أمل أخذ هذه النقطة في الاعتبار، نتعرَّف الآن على أول مفهومين رئيسيين لهذا الشارح: الخطوط المستقيمة المتوازية.

نوضِّح ذلك من خلال مثال. افترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا مكتوبًا باستخدام صيغة الميل والمقطع بالفعل كالآتي:

نعلم أن الميل يساوي ٣، وهو ما يعني أن الانحدار «لأعلى» عند التحرُّك من اليسار إلى اليمين. علاوةً على ذلك، فإن الجزء المقطوع من المحور للمستقيم يساوي . وهذه معلومات كافية لتمكيننا من عرض التمثيل البياني الآتي.

والآن، افترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا ثانيًا معادلته هي:

من الواضح أن الخطين المستقيمين لهما الميل نفسه، لكنهما يختلفان في الجزء المقطوع من المحور . ومن التعريف السابق، هذا يعني أن الخطين المستقيمين متوازيان، وهو ما يمكن ملاحظته عند رسم المستقيم الجديد باللون الأخضر في الأسفل.

وفقًا لتعريف التوازي، لن يلتقي هذان المستقيمان أبدًا. ويمكن ملاحظة ذلك جبريًّا إذا حاولنا حل نظام المعادلات ، ، ما سيؤدي سريعًا إلى خطأ رياضي.

قد يوضِّح المثال السابق أسهل الطرق لتحديد إذا ما كان المستقيمان متوازيين أو لا؛ لأن كلًّا منهما مكتوب باستخدام صيغة الميل والمقطع، ما يعني أنه يمكننا مقارنة الميلين والجزء المقطوع من المحور مباشرةً. وفي الأمثلة الآتية، سنرى أن علينا بذل المزيد من الجهد، واستخدام العديد من النتائج التي عرضناها في هذا الشارح قبل أن نتحدَّث عن الخطوط المستقيمة المتوازية.

مثال ١: إيجاد معادلة خط مستقيم موازٍ لخط مستقيم مُعطى

اكتب، على الصورة ، معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ، ويوازي المستقيم .

الحل

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لتصبح مكتوبة على صيغة الميل والمقطع القياسية. وبفعل ذلك، نحصل على المعادلة: إذن ميل هذا المستقيم يساوي . إن المستقيم الذي علينا إيجاد معادلته يوازي المستقيم السابق، ما يعني أن بإمكاننا كتابة ميل المستقيم الجديد على أنه . وكما نعلم، فلا بد أن يمر المستقيم الجديد بالنقطة ، التي تُعَد، باستخدام الميل أيضًا، كافية لوصف المستقيم بالكامل. بالنسبة إلى أي خط مستقيم ميله ، ويمر بالنقطة ، يمكننا إيجاد معادلته باستخدام الصيغة:

بالتعويض بـ ، في هذه المعادلة، نحصل على: بعزل ، نحصل على:

يمكننا التحقُّق من أن هذين المستقيمين متوازيان من خلال تمثيل كلٍّ منهما بيانيًّا، كما فعلنا بالأسفل. حيث رُسِم الخط الأول باللون الأخضر، ورُسِم الخط الثاني باللون الأحمر. ويمكننا ملاحظة أن المستقيم الأحمر يمر بالنقطة ، المرسومة باللون الأرجواني.

إذا كان اهتمامنا محصورًا في تحديد إذا ما كان الخطان المستقيمان متوازيين أو لا، فليس من الضروري دائمًا أن نمثِّل الخطوط المستقيمة بيانيًّا، أو أن نفكِّر فيها بطريقة هندسية. فالشروط المذكورة في التعريف السابق هي شروط جبرية للعلاقات بين الميلين والجزأين المقطوعين من المحور . ومن ذلك، فإن تمثيل الخطوط المستقيمة بيانيًّا يمكن اعتباره في بعض الأحيان طريقة مساعِدة وليس خطوة ضرورية، على الرغم من أن تمثيل المسألة بيانيًّا بغرض فهمها بصورة كاملة والتحقُّق من أي نتائج يُعَد تدريبًا جيدًا بالطبع. وفي المثالين التاليين، نُجيب عن الأسئلة باستخدام طرق جبرية بحتة، ثم نرسم تمثيلًا بيانيًّا للتحقُّق من الحل.

مثال ٢: إيجاد قيم المعاملات المجهولة في معادلتَي خطين مستقيمين متوازيين

الخطان المستقيمان ، متوازيان. ما قيمة ؟

الحل

لكي يكون المستقيمان متوازيين، لا بد أن يكون ميلاهما متساويين. وبإعادة ترتيب المعادلتين لعزل ، نحصل على:

يكون حدَّا الميل متساويين إذا كان ، وأيضًا يجب أن يكون الجزأين المقطوعين من المحور مختلفين (ولهما إشارتان متضادتان أيضًا). وهذا يُحقِّق الشرطين المطلوبين ليكون المستقيمان متوازيين، وهو ما يعني أن الخط المستقيم الثاني يُكتب كالآتي:

لقد مثَّلنا هذين المستقيمين بيانيًّا بالأسفل لنوضِّح أنهما متوازيان؛ حيث رُسِم المستقيم الأول باللون الأحمر، ورُسِم المستقيم الثاني باللون الأخضر. وهذا يؤكِّد أن الإجابة إجابة صحيحة.

مثال ٣: إيجاد معادلة خط مستقيم موازٍ لخط مستقيم آخر مُعطى

أوجد، في صيغة الميل والمقطع، معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ، ويوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين ، .

الحل

نبدأ بإيجاد معادلة المستقيم الثاني حتى نتمكَّن من إيجاد الميل باعتباره جزءًا من الحل. بالنسبة إلى المستقيم الذي يمر بالنقطتين ، ، يمكننا استخدام الصيغة:

بالتعويض عن ، في المعادلة السابقة، نحصل على:

يمكن تبسيط هذا قليلًا إلى: بإيجاد ، نحصل على:

والآن، بعد أن كتبنا المستقيم الثاني باستخدام صيغة الميل والمقطع، يمكننا ملاحظة أن الميل يساوي . ولكي يكون أيُّ مستقيم موازيًا لهذا المستقيم، يجب أن يكون له الميل نفسه، وهو ما يعني أن .

بعد أن عرفنا الآن ميل المستقيم الجديد، يمكننا تذكُّر صيغة الخط المستقيم المعلوم ميله ، ويمر بالنقطة :

بالتعويض بالميل المحسوب ، والنقطة المُعطاة ، في المعادلة السابقة، نحصل على:

بعزل ، نحصل على المعادلة مكتوبة باستخدام صيغة الميل والمقطع:

للتأكُّد من أننا أكملنا العمليات الحسابية بشكل صحيح، رسمنا التمثيل البياني الآتي. رُسِمت النقطتان ، باللون الأرجواني، ورُسِم المستقيم الأول الذي يمر بهاتين النقطتين باللون الأحمر. أما النقطة ، فقد رُسِمت باللون الأسود، ورُسِم الخط الموازي المار بهذه النقطة باللون الأخضر.

في المثالين السابقين، تعرَّفنا إلى مدى احتياجنا إلى الفهم الراسخ للطرق الأساسية التي يمكن استخدامها للحصول على معادلة الخط المستقيم اعتمادًا على نوعَي المعلومتين المُعطاتين. إن الحالة المثالية لذلك هي أن تكون هاتان المعلومتان هما الميل والجزء المقطوع من المحور ، وهو ما يسمح لنا مباشرةً بكتابة المستقيم باستخدام صيغة الميل والمقطع. ولكن، عادةً ما يحدث خلاف ذلك، ونُعطى بدلًا من ذلك معلومات تتطلَّب عملًا إضافيًّا لفهم الصورة الكاملة. وستكون المبادئ نفسها صحيحة عند الانتقال إلى النصف الثاني من هذا الشارح؛ حيث سنركِّز على الخطوط المستقيمة المتعامدة، وسنفترض أن الطرق الرئيسية للتعامل مع الخطوط المستقيمة مفهومة جيدًا.

لتوضيح هذه الفكرة، نعود إلى المستقيمين اللذين بدأنا بهما هذا الشارح. وقد عُرِّفا كالآتي:

لاحظنا أن ميل المستقيم الأول موجب، ما يعني أنه ينحدر «لأعلى»، وأن ميل الخط الثاني سالب، ما يعني أنه ينحدر «لأسفل». وللتذكير، فإن التمثيل البياني للخطين المستقيمين عند رسمهما يكونان كالآتي.

إنَّ ما لم نذكره بعدُ هو أن هذين المستقيمين يبدوان متعامدين؛ حيث يلتقيان صانعَيْن زاوية قائمة عند النقطة ؛ وهو ما يُصادف أن تكون موضع الجزء المقطوع من المحور أيضًا. إذا كان ميل المستقيم الأول ، وكان ميل المستقيم الثاني ، فإننا نجد أنهما يحقِّقان العلاقة . ووفقًا للتعريف، فإن هذين المستقيمين متعامدان.

إذا كان المستقيمان متعامدين، فإن ، وهو ما يعني أن إشارتَي الميلين لا بد أن تكونا مختلفتين. ومن ثَمَّ، إذا كان موجبًا، فلا بد أن يكون سالبًا، والعكس بالعكس. ومن الناحية الهندسية، إذا كان المستقيم الأول ينحدر لأعلى، فسيكون المستقيم الثاني (العمودي عليه) ينحدر لأسفل، والعكس بالعكس. يوفِّر هذا المفهوم الهندسي طريقة للتحقُّق ممَّا إذا كان المستقيمان متعامدين أو لا. ولكن يجدر الانتباه مع ذلك إلى أن كون المستقيمين لهما الميل نفسه بإشارات مختلفة، لا يعني أنهما متعامدان. على سبيل المثال، إذا كان ميل أحد المستقيمين ١٠‎ ‎٠٠٠، وكان ميل الآخر ، فلن يكونا متعامدين بالتأكيد!

لاحظ أنه على عكس شروط المستقيمات المتوازية، لا توجد شروط تخص الجزء المقطوع من المحور في المستقيمات المتعامدة. وفي الواقع، لا تُوجَد أي أهمية لهذا الأمر عند تحديد إذا ما كان المستقيمان متعامدين أو لا، فلا يعتمد ذلك إلا على ميلَي المستقيمين. يمكننا إثبات أن المستقيمين المتعامدين سيلتقيان حتمًا. افترض أن لدينا مستقيمين متعامدين الجزآن المقطوعان من المحور لهما مختلفان؛ حيث تكون العلاقة بين ميلَيْهما . يمكننا كتابة المستقيمين باستخدام صيغة الميل والمقطع كالآتي:

يمكننا الحل لإيجاد قيمتَي كلٍّ من ، لتحديد نقطة تقاطع هذين المستقيمين من خلال مساواة المعادلتين كالآتي:

بنقل حدَّي الميل إلى الطرف الأيمن، ونقل حدَّي الجزء المقطوع من المحور إلى الطرف الأيسر، نحصل على: التي نكتبها على صورة مكافئة كالآتي:

بعزل ، نحصل على:

النقطة الهامة هي أنه يمكننا دائمًا حساب قيمة الإحداثي لنقطة التقاطع دون النظر إلى قيمتَي أو ، على الرغم من أننا يجب أن نكون حذرين من أن يكون أحد ميلَي المستقيمين صفرًا، وإلا فلن تكون العلاقة الابتدائية صحيحة. بالتعويض بقيمة السابقة في المعادلة ، نجد (بعد تجاوز بعض الحسابات) أن: وهو ما يعني أن لدينا دائمًا تعبيرًا للإحداثي لنقطة التقاطع.

في الوقت الحالي، هذا هو كلُّ ما علينا معرفته عن المستقيمات المتعامدة، وسنتناول الآن بعض الأمثلة على هذا النوع.

نستعرض الآن مثالين أخيرين يتطلَّبان منا فهم شروط تعامد خطين مستقيمين، إضافة إلى جميع الصيغ المختلفة لمعادلات الخطوط المستقيمة التي ناقشناها في بداية هذا الشارح. في كلا المثالين، سنكمل الحل جبريًّا، ثم نمثِّل الخطوط المستقيمة بيانيًّا باعتبارها خطوة تأكيدية. ونظرًا لأننا سنتحدث دائمًا عن المستقيمات المتعامدة، نتوقَّع أن نلاحظ السلوك الذي ذكرناه سابقًا، وهو أنه إذا كان ميل أحد المستقيمين موجبًا، فسيكون ميل الآخر سالبًا (والعكس بالعكس)، وهو ما يعني أن أحد هذين المستقيمين سينحدر لأعلى، في حين ينحدر الآخر لأسفل.

مثال ٥: إيجاد معادلة الخط المستقيم العمودي على خط مستقيم آخر مُعطى

أوجد، في صيغة الميل والمقطع، معادلة المستقيم العمودي على ، والمار بالنقطة .

الحل

لحسن الحظ، أُعطينا المستقيم الأول في صيغة الميل والمقطع، وهو ما يعني أن بإمكاننا إيجاد الميل مباشرةً، . ولكي يكون أي مستقيم آخر عموديًّا عليه، يجب أن يحقِّق الميلان العلاقة ، فيكون ميل المستقيم الثاني . ونكتب هذا كالآتي .

معادلة المستقيم الذي ميله ويمر بالنقطة تُعطى كالآتي:

نعوِّض بـ ، في هذا المعادلة، فنحصل على:

بإعادة الترتيب وعزل ، نحصل على المعادلة في صيغة الميل والمقطع:

في التمثيل البياني الآتي، رُسِم المستقيم الأول باللون الأحمر، ورُسِم المستقيم الثاني العمودي باللون الأخضر. وكما نرى، يبدو المستقيمان متعامدين، ويمر المستقيم الثاني بالنقطة ، كما هو موضَّح بالأسود. وللميلين إشارتان مختلفتان، وهو ما يتضح في التمثيل البياني أيضًا.

مثال ٦: تحديد معادلة خط مستقيم في صيغة الميل والمقطع بمعلومية خط مستقيم عمودي عليه

أوجد، في صيغة الميل والمقطع، معادلة المستقيم المار بالنقطة ، والعمودي على المستقيم المار بالنقطتين ، .

الحل

نحسب أولًا ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين ، . ويُعطى ميل الخط المستقيم المار بالنقطتين ، كالآتي:

نعوِّض بالقيم ، في هذه المعادلة، فنحصل على:

بمعرفة ذلك، ما يعنينا الآن هو إيجاد معادلة الخط المستقيم العمودي على المستقيم الابتدائي، علمًا بأنه يمر بالنقطة . إذا كان ميل المستقيم الثاني ، فلا بد أنه يحقِّق العلاقة ، وهو ما يعني أن . ونكتب ذلك على نحو أبسط كالآتي . يمكننا الآن إيجاد معادلة هذا المستقيم بتذكُّر أن معادلة الخط المستقيم المعلوم ميله ويمر بالنقطة تُعطى بالصيغة:

والآن، بالتعويض بـ ، في هذه المعادلة، نحصل على:

بعزل من المعادلة، نحصل على صيغة الميل والمقطع:

بالأسفل، رُسِم المستقيم الابتدائي باللون الأحمر مارًّا بالنقطتين ، ، المرسومتين باللون الأرجواني. أما المستقيم الثاني، فقد رُسِم باللون الأخضر، وهو عمودي بوضوح على المستقيم الأحمر، الذي يمر أيضًا بالنقطة المُعطاة .