شارح الدرس: المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: التحقُّق ممَّا إذا كانت الدالة في الجدول دالة توزيع احتمالي أو لا

هل يمكن اعتبار الدالة في الجدول المُعطى دالة توزيع احتمالي؟

الحل

نحن نعلم أنه لأيِّ دالة توزيع احتمالي، يكون . ومن ثَمَّ، إذا كانت الدالة في الجدول دالة احتمال، فإن مجموع كل الاحتمالات في الجدول يساوي ١:

وبما أن هذا لم يتحقَّق هنا؛ لأن مجموع الاحتمالات هو ١٫٦٥، فإن ليست دالة توزيع احتمالي.

لاحظ أنه حتى إذا كان مجموع كل الاحتمالات يساوي ١، فسيكون علينا أيضًا التحقُّق من أن كل احتمال يقع ضمن الفترة .

مثال ٢: إيجاد قيمة مجهولة لدالة توزيع احتمالي في جدول

الدالة في الجدول المُعطى هي دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع . أوجد قيمة .

الحل

نحن نعلم أنه لأيِّ دالة توزيع احتمالي، يكون ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد القيمة المجهولة لـ :

وبما أن قيمة تقع ضمن الفترة ، إذن نحن نعلم أن قيمة صحيحة.

مثال ٣: إيجاد قيمة مجهولة بمعلومية القيم الأخرى لدالة التوزيع الاحتمالي

افترض أن يشير إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٠، ١، ٢، ٣. إذا كان ، ، ، ، فأوجد قيمة .

الحل

بما أن جميع احتمالات دالة التوزيع الاحتمالي مجموعها يساوي ١، إذن نعرف أن:

بالتعويض بالاحتمالات المرتبطة، نحصل على:

وبالتبسيط وإعادة الترتيب ثم الحل لإيجاد قيمة ، نحصل على:

وبما أن قيمة تقع ضمن الفترة ، إذن إجابة صحيحة.

مثال ٤: تحديد دالة التوزيع الاحتمالي التي تمثِّل متغيِّرا عشوائيًّا متقطِّعًا

افترِض أن يُشير إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٣، ٥، ٦. أيُّ الدوال الآتية يمكن أن تمثِّل دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر ؟

الحل

لكي تمثِّل دالة التوزيع الاحتمالي المتغيِّر العشوائي المتقطِّع ، الذي يمكن أن يأخذ القيم ٣، ٥، ٦، فلا بد أن يكون ولا بد أن تقع جميع قيم ضمن الفترة . سنتحقَّق من كل دالة على حِدَةٍ.

بالنسبة إلى ، نحسب أولًا الاحتمالات المرتبطة بكل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع؛ وذلك بالتعويض بالقيم ٣، ٥، ٦ في .

عندما يكون ، فإن:

وبما أن يقع خارج الفترة ، إذن نستنتج أن ليست دالة توزيع احتمالي صحيحة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع .

وبالمثل، بالنسبة إلى ، نحسب أولًا الاحتمالات المرتبطة بكل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، وهي ٣، ٥، ٦؛ وذلك بالتعويض في .

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

وبما أن كل قيمة تقع ضمن الفترة ، إذن حتى الآن، دالة توزيع احتمالي صحيحة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع .

سنتحقَّق الآن ممَّا إذا كان :

بما أن ، إذن دالة توزيع احتمالي صحيحة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع .

ملاحظة:

يمكننا التحقُّق من الدالتين الأخريين، لكن بما أننا أوجدنا الإجابة الصحيحة بالفعل، إذن هذا ليس ضروريًّا.

مثال ٥: إيجاد معامل مجهول في دالة توزيع احتمالي بمعلومية القيم التي يأخذها المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

افترض أن يرمز إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦. إذا كان له دالة التوزيع الاحتمالي ، فأوجد قيمة .

الحل

لكي تمثِّل دالة التوزيع الاحتمالي المتغيِّر العشوائي المتقطِّع ، الذي يأخذ القيم ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، يجب أن يكون ، ولا بد أن تقع جميع قيم ضمن الفترة .

بدايةً، علينا التعويض بـ ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦ في .

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

ثمّ، نستخدم الخاصية لكتابة معادلة بدلالة :

بعد ذلك، بالتبسيط وإعادة الترتيب والحل لإيجاد قيمة ، نحصل على:

بالرغم من أننا أوجدنا قيمة ، من الجيد التأكُّد من أن الاحتمال المرتبط بكل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي يقع ضمن الفترة . ونفعل ذلك بالتعويض بـ في ، وهكذا.

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

وبما أن كل قيمة لـ لجميع قيم المتغيِّر العشوائي تقع ضمن الفترة ، نعلم إذن أن ؛ حيث دالة توزيع احتمالي صحيحة.

مثال ٦: حل مسائل تتضمن سياق عن متغيِّرات عشوائية متقطِّعة بمعلومية دالة التوزيع الاحتمالي

افترض أن متغيِّر عشوائي يمثِّل عدد المرضى الذين يزورون عيادة أسنان في كل ساعة. توزيع احتمال المتغيِّر موضَّح في الجدول الآتي:

أوجد احتمال ما يأتي.

1. أن يزور ١٣ مريضًا بالضبط العيادة في ساعة معيَّنة.
2. أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة.
3. أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة.

الحل

الجزء الأول

لإيجاد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا بالضبط العيادة في ساعة معيَّنة، نستخدم جدول التوزيع الاحتمالي.

في هذه الحالة، يمثِّل عدد المرضى الذين يزورون عيادة أسنان في كل ساعة، وهذا يعني أن . ومن ثَمَّ، فإن احتمال يُعطى بواسطة قيمة المناظرة في الجدول، وهي ٠٫٠٥.

الجزء الثاني

لإيجاد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة، نستخدم جدول التوزيع الاحتمالي مرةً أخرى.

في هذه الحالة، يأخذ قيمًا متعدِّدة؛ وذلك لأننا نوجد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة. إذن يمكن أن يكون أيَّ عدد صحيح أكبر من أو يساوي ١٣؛ أي . كما رأينا في الجدول، يمكن أن يأخذ القيم الصحيحة من ١٠ إلى ١٥ فقط، وبذلك، فإن يمكن أن يكون ١٣ أو ١٤ أو ١٥.

لإيجاد احتمال يساوي ١٣ أو ١٤ أو ١٥، نُوجِد قيم المناظرة في الجدول ثم نجمعها.

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

إذن .

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة يساوي ٠٫٥٥.

الجزء الثالث

لإيجاد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة، نستخدم جدول التوزيع الاحتمالي مرة أخرى.

مثل الجزء السابق، يمكن أن يأخذ قيمًا متعدِّدة. ولأننا نُوجِد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة، إذن يمكن أن يكون أيَّ عدد صحيح أصغر من أو يساوي ١٣؛ أي . كما رأينا في الجدول، يمكن أن يأخذ القيم الصحيحة من ١٠ إلى ١٥ فقط، وبذلك، فإن يمكن أن يكون ١٠ أو ١١ أو ١٢ أو ١٣.

لإيجاد احتمال يساوي ١٠ أو ١١ أو ١٢ أو ١٣، نُوجِد قيم المناظرة في الجدول ثم نجمعها.

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن

إذن .

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة يساوي ٠٫٥.

مثال ٧: اختيار توزيع متغيِّر عشوائي متقطِّع بمعلومية السياق

في تجربة ألقيت فيها عُملة معدنية منتظمة خمس مرات متتالية، افترض أن متغيِّر عشوائي متقطِّع يعبِّر عن عدد مرات الحصول على الصورة ناقص عدد مرات الحصول على الكتابة. أوجد التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر .

1. 				١	٣	٥

2. 				٠	١	٣	٥

3. 			٠	١	٣

4. 				١	٣	٤

5. 				١	٣	٥

الحل

لإيجاد دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع ، نُحدِّد أولًا جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها ، ثم نُوجِد الاحتمال، ، لكل قيمة لـ .

يخبرنا السؤال أن عُملة معدنية منتظمة قد ألقيت ٥ مرات، وأن هو المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الذي يعبِّر عن عدد مرات الحصول على الصورة ناقص عدد مرات الحصول على الكتابة. إذن القيم الممكنة لـ هي كالآتي:

• ٥ للصورة، ٠ للكتابة:
• ٤ للصورة، ١ للكتابة:
• ٣ للصورة، ٢ للكتابة:
• ٢ للصورة، ٣ للكتابة:
• ١ للصورة، ٤ للكتابة:
• ٠ للصورة، ٥ للكتابة:

إذن القيم التي يمكن أن يأخذها هي ، ، ، ١، ٣، ٥.

بعد ذلك، نحسب الاحتمال، ، لكل من قيم .

لحساب الاحتمال، من المفيد كتابة النواتج الممكنة لكل متغيِّر عشوائي متقطِّع ، ثم حساب الاحتمال بعد إيجاد جميع النواتج.

عندما يكون ، يكون لدينا ٥ للصورة، ٠ للكتابة. من ثمّ، يكون الناتج الوحيد هو: ص ص ص ص ص.

عندما يكون ، يكون لدينا ٤ للصورة، ١ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ٥ نواتج، وهي: ص ص ص ص ك، ص ص ص ك ص، ص ص ك ص ص، ص ك ص ص ص، ك ص ص ص ص.

عندما يكون ، يكون لدينا ٣ للصورة، ٢ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ١٠ نواتج، وهي: ص ص ص ك ك، ص ص ك ص ك، ص ك ص ص ك، ك ص ص ص ك، ص ص ك ك ص، ص ك ص ك ص، ك ص ص ك ص، ص ك ك ص ص، ك ص ك ص ص، ك ك ص ص ص.

عندما يكون ، يكون لدينا ٢ للصورة، ٣ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ١٠ نواتج، وهي: ص ص ك ك ك، ص ك ص ك ك، ك ص ص ك ك، ص ك ك ص ك، ك ص ك ص ك، ك ك ص ص ك، ص ك ك ك ص، ك ص ك ك ص، ك ك ص ك ص، ك ك ك ص ص.

عندما يكون ، يكون لدينا ١ للصورة، ٤ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ٥ نواتج، وهي: ص ك ك ك ك، ك ص ك ك ك، ك ك ص ك ك، ك ك ك ص ك، ك ك ك ك ص.

عندما يكون ، يكون لدينا ٠ للصورة، ٥ للكتابة. من ثمّ، يكون الناتج الوحيد هو: ك ك ك ك ك.

بجمع كل النواتج معًا، نحصل على ؛ وبذلك، يكون إجمالي عدد النواتج لدينا هو ٣٢ ناتجًا.

ومن ثَمَّ، لإيجاد احتمال كل ناتج، نقسم عدد نواتج كل متغيِّر عشوائي متقطِّع على إجمالي عدد النواتج، كالآتي:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عندما يكون ، فإن:

عند عرض هذه القيم في جدول، نحصل على الآتي: