شارح الدرس: استخدام صِيَغ المتتابعات الحسابية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد حدٍّ معيَّن من الصيغة التكرارية لمتتابعة حسابية

إذا كان الحدُّ الأول من متتابعة حسابية ، ، فإن الحدَّ السادس .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة الحدِّ السادس في متتابعة حسابية، وذلك بمعلومية الصيغة التكرارية والحدِّ الأوَّل.

يُمكننا حساب قيمة كلِّ حدٍّ في المتتابعة الحسابية باستخدام ، والتعويض بالقِيَم في الصيغة التكرارية:

ومن ثم، نجد أن قيمة الحدِّ السادس .

مثال ٢: إيجاد الحدِّ العامِّ في متتابعة حسابية

أوجد بدلالة ، الحدَّ العامَّ في المتتابعة الحسابية .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية مُعطاة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ، بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

مُعطًى لنا في السؤال قِيَم عدد من الحدود الأولى في المتتابعة، . لذا دعونا نحسب أولًا الفرق بين كلِّ حدَّيْن متتاليين:

بهذا نجد أن الفرق المُشترَك، ، وهو ما يؤكِّد أن ما لدينا متتابعة حسابية.

وباستخدام الفرق المُشترَك ، والحدِّ الأوَّل ، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية المُعطاة يساوي:

ومن ثم، يُمكننا القول إن الحدَّ العامَّ للمتتابعة هو .

مثال ٣: كتابة التعبيرات الجبرية من جدول مُعطًى وإيجاد قيمتها

باستخدام الجدول، أوجد التعبير الذي يُمثِّل قيمة كلِّ حدٍّ باعتباره دالة في موضعه. بعد ذلك، أوجد قيمة الحدِّ الثامن عشر في المتتابعة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ في المتتابعة باستخدام جدول مُعطًى يوضِّح موضع الحدود في المتتابعة وقِيَمها. لمحاولة إيجاد النمط الذي تَتْبعه هذه المتتابعة، دعونا نفكِّر في الفرق بين كلِّ حدَّيْن متتاليين:

يُمكننا ملاحَظة أن كلَّ حدٍّ تالٍ يُمكن الحصول عليه من الحدِّ السابق له بإضافة الفرق المُشترَك (). تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين فيها. ومن ثم، لا بدَّ أن تكون هذه متتابعة حسابية الفرق المُشترَك لها يساوي ٣.

تذكَّر أنه يُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ في أيِّ متتابعة حسابية بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

والآن يُمكننا إيجاد قيمة الحدِّ الأوَّل بالتعويض بـ ، في هذه الصيغة:

بما أننا نعرف أن ، يُمكننا التعويض بذلك في الصيغة للحصول على:

وبهذا نجد أن الحدَّ الأوَّل في المتتابعة هو . وباستخدام الفرق المُشترَك ، والحدِّ الأوَّل ، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية المُعطاة هو:

وأخيرًا: يُمكننا إيجاد قيمة الحدِّ الثامن عشر في المتتابعة بالتعويض بـ لنجد أن:

مثال ٤: إيجاد قيمة حدٍّ في متتابعة حسابية مُعطاة

أوجد في المتتابعة الحسابية .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة حدٍّ في متتابعة حسابية مُعطاة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. ومن المُمكِن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

دعونا نحسب أولًا الفرق بين الحدود المتتالية:

باستخدام الفرق المُشترَك ، والحدِّ الأوَّل ، نجد أن الحدَّ العامَّ في المتتابعة الحسابية المُعطاة هو:

وأخيرًا: يُمكننا إيجاد ، أيِ الحدِّ التاسع عشر في المتتابعة، بالتعويض بـ لنجد أن:

مثال ٥: إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية في وجود شرط معيَّن

أوجد الحدَّ العامَّ في المتتابعة الحسابية التي تحقِّق كلًّا من العلاقتين ، .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية تحقِّق شروطًا خاصة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين فيها. ويُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

باستخدام هذه الصيغة الصريحة مع الشرط ، نجد أن:

وبتكرار العملية نفسها مع الشرط ، نجد أن لدينا:

وإذا عوَّضنا بالمعادلة الأولى ، فسنحصل على:

بذلك يصبح لدينا المعادلتان الآنيتان:

وبطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، نحصل على:

يُمكننا الآن الحصول على الحدِّ الأوَّل من أيٍّ من المعادلتين:

ومن ثم، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية التي تحقِّق كلًّا من العلاقتين هو:

مثال ٦: إيجاد رُتبة حدٍّ في متتابعة بمعلومية قيمته

أوجد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١١٢ في المتتابعة .

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد رُتبة حدٍّ مُعطًى في متتابعة حسابية.

تذكَّر أن المتتابعة الحسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. ورُتبة أيِّ قيمة في المتتابعة الحسابية هي الموضع أو قيمة التي بالتعويض بها في الصيغة الصريحة لـ تُعطينا قيمة الحدِّ نفسها.

يُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

لذا دعونا نحسب أولًا الفرق بين الحدود المتتالية:

هذا يؤكِّد لنا أن ما لدينا هو بالفعل متتابعة حسابية. باستخدام الفرق المُشترَك ، والحدِّ الأوَّل ، يكون الحدُّ العامُّ في المتتابعة الحسابية المُعطاة هو:

لتحديد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١١٢ في المتتابعة الحسابية، علينا إيجاد قيمة باستخدام ، أو بحيث يكون:

وعليه نجد أن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١١٢ هي ، وهو ما يعني أن .

مثال ٧: إيجاد متتابعة حسابية وتحديد رُتبة حدود وفقًا لشرط معيَّن بمعلومية الحدِّ العامِّ لهذه المتتابعة

أوجد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة التي لها الحدُّ العامُّ ، . ثم أوجد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١٥٧ في المتتابعة، ورُتبة الحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من ١٠٠.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدود الثلاثة الأولى في متتابعة حسابية مُعرَّفة بدلالة صيغة صريحة، ثم إيجاد رُتبة حدٍّ آخَر ورُتبة الحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من قيمة محدَّدة.

تذكَّر أن المتتابعة الحسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. إذن يُمكن إيجاد الحدود الثلاثة الأولى من الحدِّ العامِّ بالتعويض بـ ، ٢، ٣:

وبهذا نجد أن الحدود الثلاثة الأولى هي ٣١، ٤٥، ٥٩.

رُتبة أيِّ قيمة في المتتابعة الحسابية هي الموضع أو قيمة التي بالتعويض بها في الصيغة الصريحة لـ نحصل على قيمة الحدِّ نفسها.

لإيجاد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١٥٧ في المتتابعة الحسابية، نريد إيجاد قيمة باستخدام ، أو بحيث يكون:

وبهذا نجد أن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١٥٧ هي ، وعليه يكون .

يُمكننا إيجاد رُتبة الحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من ١٠٠ عن طريق حلِّ المتباينة لأصغر قيمة صحيحة لـ :

ومن ثم، نجد أن أصغر قيمة صحيحة لـ هي ؛ وهي رُتبة أصغر حدٍّ قيمته أكبر من ١٠٠. وتحديدًا فإن .

مثال ٨: إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية ورُتبة أوَّل حدٍّ سالب وقيمته في وجود شرط معيَّن

أوجد الحدَّ للمتتابعة الحسابية، إذا كان ، . بعد ذلك أوجد رُتبة الحدِّ السالب الأوَّل في المتتابعة وقيمته.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية تحقِّق شروطًا محدَّدة، ثم إيجاد رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. ويُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

باستخدام هذه الصيغة الصريحة مع الشرط ، نجد أن:

وبالمثل من ، باستخدام ، نحصل على:

باستخدام الفرق المُشترَك ، والحدِّ الأوَّل ، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية المُعطاة هو:

يُمكن إيجاد موضع أو رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة عن طريق حلِّ المتباينة لإيجاد أصغر قيمة صحيحة لـ :

بهذا نجد أن أصغر قيمة صحيحة هي ، وهي رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة، وقيمته هي .

مثال ٩: إيجاد عدد الحدود في متتابعة حسابية مُعطاة

أوجد قيمة ، وعدد حدود المتتابعة .

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة مجهول يَظهَر في حدود متتابعة حسابية، ثم إيجاد إجمالي عدد الحدود في المتتابعة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، ، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام هذه الخاصية لإيجاد قيمة المجهول عن طريق حساب الفرق بين الحدِّ الثاني والحدِّ الأوَّل: ثم الفرق بين الحدِّ الأخير والحدِّ الذي يسبقه:

بما أن الفرق بين أيِّ حدَّيْن متتاليين في المتتابعة الحسابية يكون ثابتًا، يُمكننا أن نساوي هذين التعبيرين للفرق المُشترَك لنحصل على معادلة واحدة بدلالة :

ومن ثم، نجد أن ، وهو الذي يُمكننا التعويض به في حدود المتتابعة الحسابية المُعطاة، للحصول على المتتابعة . وعليه نلاحِظ أن الفرق المُشترَك لهذه المتتابعة الحسابية هو .

يُمكننا كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، ، على الصورة:

عدد الحدود في المتتابعة يُكافئ رُتبة الحدِّ الأخير فيها، وهذا ما يُمكننا تحديده باستخدام الصيغة الصريحة. الحدُّ العامُّ للمتتابعة المُعطاة هو:

ومن ثم، يُمكننا إيجاد عدد الحدود أو رُتبة الحدِّ الأخير، ٤٠، في المتتابعة الحسابية عن طريق حلِّ المعادلة ، وهو ما يُعطينا .