شارح الدرس: استخدام صِيَغ المتتابعات الحسابية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكتب الصيغتين الصريحة والتكرارية للمتتابعات الحسابية لإيجاد قيمة الحدِّ ا في متتابعة حسابية، وكيف نُوجِد رُتبة الحدِّ بمعلومية قيمته.

المتتابعة 󰁙𞸇،𞸇،𞸇،󰁘١٢٣ مجموعة مرقَّمة من الأعداد (أو العناصر الأخرى) التي عادةً ما تتبع نمطًا. العناصر المنفردة في المتتابعة 𞸇𞸍؛ حيث 𞸍𞸈 تُسمَّى بالحدود، ويُشار إليها بترميز الدليل 𞸍 الذي يوضِّح لنا موضع الحدِّ المُعطَى في المتتابعة.

والآن دعونا نسترجع تعريف المتتابعة الحسابية.

تعريف: المتتابعة الحسابية

المتتابعة الحسابية، التي تُعرَف أيضًا بالمتتالية الحسابية، تَتابُع من الأعداد، 󰁙𞸇،𞸇،𞸇،󰁘١٢٣، يكون الفرق المُشترَك (أساس المتتابعة الحسابية) بين أيِّ حدَّيْن متتاليين فيه ثابتًا لا يساوي صفرًا: 𞸃=𞸇𞸇،𞸍١،𞸍+١𞸍 حيث 𞸇𞸍 هو الحدُّ ا في المتتابعة الحسابية.

بشكل عامٍّ، يُمكن تمثيل المتتابعة الحسابية أيضًا كما يأتي:

لحساب الفرق المُشترَك في متتابعة حسابية مُعطاة، يُمكننا طرح أيِّ حدٍّ في المتتابعة من الحدِّ الذي يَليه مباشرة (على سبيل المثال، يُمكننا طرح الحدِّ الثاني من الحدِّ الثالث، أو طرح الحدِّ الأوَّل من الحدِّ الثاني في المتتابعة، في كلتا الحالتين، سيكون الفرق ثابتًا في المتتابعة الحسابية). على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتتابعة {٧،٥١،٣٢،١٣،}، يُمكننا ملاحَظة أن هناك فرقًا مُشترَكًا بين الحدود المتتالية: 𞸃=𞸇𞸇=٥١٧=٨،𞸃=𞸇𞸇=٣٢٥١=٨،𞸃=𞸇𞸇=١٣٣٢=٨.٢١٣٢٤٣

ويُمكن تمثيل هذه المتتابعة على الصورة:

كما قد نلاحِظ من التعريف، يُمكن كتابة الصيغة التكرارية للمتتابعة الحسابية على الصورة: 𞸇=𞸇+𞸃،𞸍١.𞸍+١𞸍

بعبارة أخرى: يُمكن إيجاد أيِّ حدٍّ في متتابعة حسابية بجمع الفرق المُشترَك 𞸃 مع الحدِّ الذي يَسبقه. ولتحديد المتتابعة الحسابية، علينا أن نعرف أو نُوجِد الفرق المُشترَك والحدَّ الأوَّل 𞸇١.

والآن دعونا نتناول مثالًا نُوجِد فيه أحد الحدود في متتابعة حسابية باستخدام الصيغة التكرارية.

مثال ١: إيجاد حدٍّ معيَّن من الصيغة التكرارية لمتتابعة حسابية

إذا كان الحدُّ الأول من متتابعة حسابية =٨١، 𞸇=𞸇+٢𞸍+١𞸍، فإن الحدَّ السادس =.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة الحدِّ السادس في متتابعة حسابية، وذلك بمعلومية الصيغة التكرارية والحدِّ الأوَّل.

يُمكننا حساب قيمة كلِّ حدٍّ في المتتابعة الحسابية باستخدام 𞸇=٨١١، والتعويض بالقِيَم 𞸍=١،٢،٣،٤،٥ في الصيغة التكرارية: 𞸇=𞸇+٢=٨١+٢=٠٢،𞸇=𞸇+٢=٠٢+٢=٢٢،𞸇=𞸇+٢=٢٢+٢=٤٢،𞸇=𞸇+٢=٤٢+٢=٦٢،𞸇=𞸇+٢=٦٢+٢=٨٢.٢١٣٢٤٣٥٤٦٥

ومن ثم، نجد أن قيمة الحدِّ السادس =٨٢.

إذا أشرنا إلى الحدِّ الأوَّل بأنه 𞸇=𞸇١ للتبسيط، نجد أن الصورة العامة للمتتابعة الحسابية هي:

يُمكننا حساب الحدِّ الثاني في المتتابعة الحسابية بجمع 𞸃 مع الحدِّ الأوَّل، 𞸇، للحصول على 𞸇+𞸃. أمَّا الحدُّ الثالث، فإنه يساوي الحدَّ الثاني زائد 𞸃، وهو ما يُعطينا 𞸇+٢𞸃:

بعبارة أخرى: يُمكننا الحصول على كلِّ حدٍّ بجمع العدد، 𞸃، نفسه مع الحدِّ الذي يَسبقه. وباستخدام الصورة العامة، يُمكننا كتابة صيغة صريحة للحدِّ ا على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍

بشكلٍ عامٍّ، بتطبيق العلاقة التكرارية عدَّة مرَّات، يُمكننا أن نُثبت أن: 𞸇=𞸇+(𞸍𞸌)𞸃،𞸍،𞸌١،𞸍𞸌 وهذا يَسمح لنا بإيجاد قيمة الحدِّ ا في المتتابعة، 𞸇𞸍، من قيمة حدٍّ آَ، 𞸇𞸌:

والآن دعونا نتناول بعض الأمثلة لكيفية إيجاد الصِّيَغ الصريحة لمتتابعات حسابية مُعطاة. في المثال الآتي، سنُوجِد هذه الصيغة من الحدود القليلة الأولى.

مثال ٢: إيجاد الحدِّ العامِّ في متتابعة حسابية

أوجد بدلالة 𞸍، الحدَّ العامَّ في المتتابعة الحسابية ٧،٥،٣،١،.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية مُعطاة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا، بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

مُعطًى لنا في السؤال قِيَم عدد من الحدود الأولى في المتتابعة، 𞸇،𞸇،𞸇،𞸇١٢٣٤. لذا دعونا نحسب أولًا الفرق بين كلِّ حدَّيْن متتاليين: 𞸃=𞸇𞸇=٥(٧)=٢،𞸃=𞸇𞸇=٣(٥)=٢،𞸃=𞸇𞸇=١(٣)=٢.٢١٣٢٤٣

بهذا نجد أن الفرق المُشترَك، 𞸃=٢، وهو ما يؤكِّد أن ما لدينا متتابعة حسابية.

وباستخدام الفرق المُشترَك 𞸃=٢، والحدِّ الأوَّل 𞸇=٧١، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية المُعطاة يساوي: 𞸇=٧+٢(𞸍١)=٧+٢𞸍٢=٢𞸍٩.𞸍

ومن ثم، يُمكننا القول إن الحدَّ العامَّ للمتتابعة هو 𞸇=٢𞸍٩𞸍.

والآن سنتناول مثالًا نُوجِد فيه الحدَّ العامَّ من جدول يتضمَّن قِيمًا تبدأ من الحدِّ السادس، ثم نُوجِد قيمة الحدِّ الثامن عشر في المتتابعة.

مثال ٣: كتابة التعبيرات الجبرية من جدول مُعطًى وإيجاد قيمتها

باستخدام الجدول، أوجد التعبير الذي يُمثِّل قيمة كلِّ حدٍّ باعتباره دالة في موضعه. بعد ذلك، أوجد قيمة الحدِّ الثامن عشر في المتتابعة.

الموضع٦٧٨٩𞸍
قيمة الحدِّ١٩٢٢٢٥٢٨

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ في المتتابعة باستخدام جدول مُعطًى يوضِّح موضع الحدود في المتتابعة وقِيَمها. لمحاولة إيجاد النمط الذي تَتْبعه هذه المتتابعة، دعونا نفكِّر في الفرق بين كلِّ حدَّيْن متتاليين:

يُمكننا ملاحَظة أن كلَّ حدٍّ تالٍ يُمكن الحصول عليه من الحدِّ السابق له بإضافة الفرق المُشترَك (+٣). تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين فيها. ومن ثم، لا بدَّ أن تكون هذه متتابعة حسابية الفرق المُشترَك لها يساوي ٣.

تذكَّر أنه يُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا في أيِّ متتابعة حسابية بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

والآن يُمكننا إيجاد قيمة الحدِّ الأوَّل بالتعويض بـ 𞸍=٦، 𞸃=٣ في هذه الصيغة: 𞸇=𞸇+(٦١)×٣=𞸇+٥×٣=𞸇+٥١.٦١١١

بما أننا نعرف أن 𞸇=٩١٦، يُمكننا التعويض بذلك في الصيغة للحصول على: 𞸇+٥١=٩١𞸇=٩١٥١=٤.١١

وبهذا نجد أن الحدَّ الأوَّل في المتتابعة هو 𞸇=٤١. وباستخدام الفرق المُشترَك 𞸃=٣، والحدِّ الأوَّل 𞸇=٤١، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية المُعطاة هو: 𞸇=٤+٣(𞸍١)=٤+٣𞸍٣=٣𞸍+١.𞸍

وأخيرًا: يُمكننا إيجاد قيمة الحدِّ الثامن عشر في المتتابعة بالتعويض بـ 𞸍=٨١ لنجد أن: 𞸇=٣×٨١+١=٥٥.٨١

في المثال الآتي، سنُوجِد الصيغة الصريحة لمتتابعة حسابية حدودها مُعطاة بدلالة مجهولين. وباستخدام الصيغة الصريحة، سنُوجِد الحدَّ التاسع عشر في المتتابعة.

مثال ٤: إيجاد قيمة حدٍّ في متتابعة حسابية مُعطاة

أوجد 𞸇٩١ في المتتابعة الحسابية (٢١󰏡+٩𞸁،٦١󰏡+٣١𞸁،٠٢󰏡+٧١𞸁،).

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة حدٍّ في متتابعة حسابية مُعطاة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. ومن المُمكِن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

دعونا نحسب أولًا الفرق بين الحدود المتتالية: 𞸃=𞸇𞸇=(٦١󰏡+٣١𞸁)(٢١󰏡+٩𞸁)=٤󰏡+٤𞸁،𞸃=𞸇𞸇=(٠٢󰏡+٧١𞸁)(٦١󰏡+٣١𞸁)=٤󰏡+٤𞸁.٢١٣٢

باستخدام الفرق المُشترَك 𞸃=٤󰏡+٤𞸁، والحدِّ الأوَّل 𞸇=٢١󰏡+٩𞸁١، نجد أن الحدَّ العامَّ في المتتابعة الحسابية المُعطاة هو: 𞸇=٢١󰏡+٩𞸁+(𞸍١)(٤󰏡+٤𞸁).𞸍

وأخيرًا: يُمكننا إيجاد 𞸇٩١، أيِ الحدِّ التاسع عشر في المتتابعة، بالتعويض بـ 𞸍=٩١ لنجد أن: 𞸇=٢١󰏡+٩𞸁+(٩١١)(٤󰏡+٤𞸁)=٢١󰏡+٩𞸁+٨١(٤󰏡+٤𞸁)=٢١󰏡+٩𞸁+٢٧󰏡+٢٧𞸁=٤٨󰏡+١٨𞸁.٩١

والآن دعونا نتناول مثالًا نُوجِد فيه الحدَّ العامَّ لمتتابعة حسابية تحقِّق شروطًا محدَّدة لحدود معيَّنة في المتتابعة.

مثال ٥: إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية في وجود شرط معيَّن

أوجد الحدَّ العامَّ في المتتابعة الحسابية التي تحقِّق كلًّا من العلاقتين 𞸇+𞸇=٠٣٦٨، 𞸇×𞸇=٥٢٥٧٩.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية تحقِّق شروطًا خاصة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين فيها. ويُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

باستخدام هذه الصيغة الصريحة مع الشرط 𞸇+𞸇=٠٣٦٨، نجد أن: 𞸇=𞸇+٥𞸃،𞸇=𞸇+٧𞸃،𞸇+𞸇=٢𞸇+٢١𞸃،٢𞸇+٢١𞸃=٠٣،𞸇+٦𞸃=٥١.٦١٨١٦٨١١١

وبتكرار العملية نفسها مع الشرط 𞸇×𞸇=٥٢٥٧٩، نجد أن لدينا: 𞸇=𞸇+٦𞸃،𞸇=𞸇+٨𞸃،𞸇×𞸇=󰁓𞸇+٦𞸃󰁒󰁓𞸇+٨𞸃󰁒،󰁓𞸇+٦𞸃󰁒󰁓𞸇+٨𞸃󰁒=٥٢٥.٧١٩١٧٩١١١١

وإذا عوَّضنا بالمعادلة الأولى 𞸇+٦𞸃=٥١١، فسنحصل على: ٥١󰁓𞸇+٨𞸃󰁒=٥٢٥𞸇+٨𞸃=٥٣.١١

بذلك يصبح لدينا المعادلتان الآنيتان: 𞸇+٨𞸃=٥٣،𞸇+٦𞸃=٥١.١١

وبطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، نحصل على: ٨𞸃٦𞸃=٥٣+٥١٢𞸃=٠٢𞸃=٠١.

يُمكننا الآن الحصول على الحدِّ الأوَّل من أيٍّ من المعادلتين: 𞸇=٥١٦𞸃=٥١٦×(٠١)=٥٤.١

ومن ثم، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية التي تحقِّق كلًّا من العلاقتين هو: 𞸇=٥٤٠١(𞸍١)=٠١𞸍+٥٤+٠١=٠١𞸍+٥٥.𞸍

كما رأينا حتى الآن، فإنه لتحديد قيمة محدَّدة للحدِّ ا في أيِّ متتابعة حسابية، علينا أن نعوِّض بالقيمة المُعطاة لـ 𞸍 في الصيغة الصريحة (على سبيل المثال، لمعرفة الحدِّ الخامس، نعوِّض بـ 𞸍=٥).

لكن ماذا نفعل إذا أردنا فعل ما هو عكس ذلك؟ بعبارة أخرى: إذا كان مُعطًى لنا قيمة ما في متتابعة، وكان علينا إيجاد قيمة الدليل، 𞸍𞹑، المعروف أيضًا باسم رُتبة الحدِّ، الذي يُحدِّد موضع القيمة في المتتابعة، وعند التعويض به في الصيغة الصريحة لـ 𞸇𞸍 يُعطينا القيمة نفسها. لأيِّ قيمة مُعطاة، 𞸇𞸍، يُمكننا تحديد رُتبة الحدِّ في متتابعة حسابية بجعْل 𞸍 المتغيِّر التابع في الصيغة الصريحة: (𞸍١)𞸃=𞸇𞸇𞸍١=𞸇𞸇𞸃𞸍=󰃁𞸇𞸇𞸃󰃀+١.𞸍𞸍𞸍

على سبيل المثال، إذا كان لدينا متتابعة حسابية مُعرَّفة بواسطة 𞸇=٧𞸍+١٧𞸍، يُمكننا تحديد رُتبة الحدِّ الذي يساوي ٩٢ (أيْ إن 𞸇=٢٩𞸍) عن طريق حلِّ المعادلة الآتية لإيجاد قيمة 𞸍: ٧𞸍+١٧=٢٩٧𞸍=١٢𞸍=٣.

بهذا نجد أن رُتبة الحدِّ الذي يساوي ٩٢ في المتتابعة هو 𞸍=٣، وعليه يكون 𞸇=٢٩٣.

في المثال الآتي، سنحدِّد رُتبة قيمة معيَّنة في متتابعة حسابية بعد إيجاد الحدِّ العامِّ.

مثال ٦: إيجاد رُتبة حدٍّ في متتابعة بمعلومية قيمته

أوجد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١١٢ في المتتابعة (٧١،٢٢،٧٢،٢٣،).

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد رُتبة حدٍّ مُعطًى في متتابعة حسابية.

تذكَّر أن المتتابعة الحسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. ورُتبة أيِّ قيمة في المتتابعة الحسابية هي الموضع أو قيمة 𞸍 التي بالتعويض بها في الصيغة الصريحة لـ 𞸇𞸍 تُعطينا قيمة الحدِّ نفسها.

يُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

لذا دعونا نحسب أولًا الفرق بين الحدود المتتالية: 𞸃=𞸇𞸇=٢٢٧١=٥،𞸃=𞸇𞸇=٧٢٢٢=٥،𞸃=𞸇𞸇=٢٣٧٢=٥.٢١٣٢٤٣

هذا يؤكِّد لنا أن ما لدينا هو بالفعل متتابعة حسابية. باستخدام الفرق المُشترَك 𞸃=٥، والحدِّ الأوَّل 𞸇=٧١١، يكون الحدُّ العامُّ في المتتابعة الحسابية المُعطاة هو: 𞸇=٧١+٥(𞸍١)=٥𞸍+٧١٥=٥𞸍+٢١.𞸍

لتحديد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١١٢ في المتتابعة الحسابية، علينا إيجاد قيمة 𞸍 باستخدام 𞸇=٢١١𞸍، أو بحيث يكون: ٥𞸍+٢١=٢١١٥𞸍=٠٠١𞸍=٠٢.

وعليه نجد أن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١١٢ هي 𞸍=٠٢، وهو ما يعني أن 𞸇=٢١١٠٢.

والآن دعونا نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد قيمة الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة حسابية مُعطاة مُعرَّفة بدلالة صيغة صريحة، ثم تحديد رُتبة قيمة معيَّنة والحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من عدد مُعطًى.

مثال ٧: إيجاد متتابعة حسابية وتحديد رُتبة حدود وفقًا لشرط معيَّن بمعلومية الحدِّ العامِّ لهذه المتتابعة

أوجد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة التي لها الحدُّ العامُّ 𞸇=٧١+٤١𞸍𞸍، 𞸍١. ثم أوجد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١٥٧ في المتتابعة، ورُتبة الحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من ١٠٠.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدود الثلاثة الأولى في متتابعة حسابية مُعرَّفة بدلالة صيغة صريحة، ثم إيجاد رُتبة حدٍّ آخَر ورُتبة الحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من قيمة محدَّدة.

تذكَّر أن المتتابعة الحسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. إذن يُمكن إيجاد الحدود الثلاثة الأولى من الحدِّ العامِّ بالتعويض بـ 𞸍=١، ٢، ٣: 𞸇=٧١+٤١×١=١٣،𞸇=٧١+٤١×٢=٥٤،𞸇=٧١+٤١×٣=٩٥.١٢٣

وبهذا نجد أن الحدود الثلاثة الأولى هي ٣١، ٤٥، ٥٩.

رُتبة أيِّ قيمة في المتتابعة الحسابية هي الموضع أو قيمة 𞸍 التي بالتعويض بها في الصيغة الصريحة لـ 𞸇𞸍 نحصل على قيمة الحدِّ نفسها.

لإيجاد رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١٥٧ في المتتابعة الحسابية، نريد إيجاد قيمة 𞸍 باستخدام 𞸇=٧٥١𞸍، أو بحيث يكون: ٧١+٤١𞸍=٧٥١٤١𞸍=٠٤١𞸍=٠١.

وبهذا نجد أن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ١٥٧ هي 𞸍=٠١، وعليه يكون 𞸇=٧٥١٠١.

يُمكننا إيجاد رُتبة الحدِّ الأوَّل الذي قيمته أكبر من ١٠٠ عن طريق حلِّ المتباينة 𞸇>٠٠١𞸍 لأصغر قيمة صحيحة لـ 𞸍: ٧١+٤١𞸍>٠٠١٤١𞸍>٣٨𞸍>٧٥٨٢٩٫٥.

ومن ثم، نجد أن أصغر قيمة صحيحة لـ 𞸍 هي 𞸍=٦؛ وهي رُتبة أصغر حدٍّ قيمته أكبر من ١٠٠. وتحديدًا فإن 𞸇=١٠١٦.

في المثال الآتي، سنُوجِد الحدَّ العامَّ لمتتابعة حسابية تحقِّق شروطًا معيَّنة، ثم نَستخدِمه لتحديد رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة.

مثال ٨: إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية ورُتبة أوَّل حدٍّ سالب وقيمته في وجود شرط معيَّن

أوجد الحدَّ ا للمتتابعة الحسابية، إذا كان 𞸇𞸇=٦٢٣٥، 𞸇=٤٤٤. بعد ذلك أوجد رُتبة الحدِّ السالب الأوَّل في المتتابعة وقيمته.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة حسابية تحقِّق شروطًا محدَّدة، ثم إيجاد رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. ويُمكن كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

باستخدام هذه الصيغة الصريحة مع الشرط 𞸇𞸇=٦٢٣٥، نجد أن: 𞸇=𞸇+٢𞸃،𞸇=𞸇+٤𞸃،𞸇𞸇=٢𞸃،٢𞸃=٦٢𞸃=٣١.٣١٥١٣٥

وبالمثل من 𞸇=٤٤٤، باستخدام 𞸃=٣١، نحصل على: 𞸇=𞸇+٣𞸃=𞸇٩٣،𞸇٩٣=٤٤𞸇=٣٨.٤١١١١

باستخدام الفرق المُشترَك 𞸃=٣١، والحدِّ الأوَّل 𞸇=٣٨١، نجد أن الحدَّ العامَّ للمتتابعة الحسابية المُعطاة هو: 𞸇=٣٨٣١(𞸍١)=٣٨٣١𞸍+٣١=٦٩٣١𞸍.𞸍

يُمكن إيجاد موضع أو رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة عن طريق حلِّ المتباينة 𞸇<٠𞸍 لإيجاد أصغر قيمة صحيحة لـ 𞸍: ٦٩٣١𞸍<٠٣١𞸍>٦٩𞸍>٤٥١٦٤٨٣٫٧.

بهذا نجد أن أصغر قيمة صحيحة هي 𞸍=٨، وهي رُتبة أوَّل حدٍّ سالب في المتتابعة، وقيمته هي 𞸇=٨٨.

عدد الحدود في متتابعة حسابية، 󰁙𞸇،𞸇،،𞸇󰁘١٢𞸌، يُكافئ رُتبة الحدِّ الأخير، 𞸇𞸌، في المتتابعة، وهي 𞸌.

في المثال الأخير، سنُوجِد قيمة مجهول ما يَظهَر في حدود متتابعة حسابية مُعطاة، ثم نُوجِد إجمالي عدد الحدود في المتتابعة.

مثال ٩: إيجاد عدد الحدود في متتابعة حسابية مُعطاة

أوجد قيمة 𞸎، وعدد حدود المتتابعة ٤٨١𞸎،٠٣𞸎٧،،٢٢𞸎+٧١،٩٢𞸎+١١.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة مجهول يَظهَر في حدود متتابعة حسابية، ثم إيجاد إجمالي عدد الحدود في المتتابعة.

تذكَّر أن أيَّ متتابعة حسابية تُعرَّف بواسطة فرق مُشترَك ثابت، 𞸃، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام هذه الخاصية لإيجاد قيمة المجهول 𞸎 عن طريق حساب الفرق بين الحدِّ الثاني والحدِّ الأوَّل: 𞸃=𞸇𞸇=٠٣𞸎٧(٤٨١𞸎)=٢١𞸎١١،٢١ ثم الفرق بين الحدِّ الأخير والحدِّ الذي يسبقه: 𞸃=𞸇𞸇=٩٢𞸎+١١(٢٢𞸎+٧١)=٧𞸎٦.𞸌𞸌١

بما أن الفرق بين أيِّ حدَّيْن متتاليين في المتتابعة الحسابية يكون ثابتًا، يُمكننا أن نساوي هذين التعبيرين للفرق المُشترَك لنحصل على معادلة واحدة بدلالة 𞸎: ٢١𞸎١١=٧𞸎٦٢١𞸎+٧𞸎=٦+١١٥𞸎=٥𞸎=١.

ومن ثم، نجد أن 𞸎=١، وهو الذي يُمكننا التعويض به في حدود المتتابعة الحسابية المُعطاة، للحصول على المتتابعة ٢٢،٣٢،،٩٣،٠٤. وعليه نلاحِظ أن الفرق المُشترَك لهذه المتتابعة الحسابية هو 𞸃=١.

يُمكننا كتابة الصيغة الصريحة للحدِّ ا بدلالة الفرق المُشترَك والحدِّ الأوَّل، 𞸇١، على الصورة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍١

عدد الحدود في المتتابعة يُكافئ رُتبة الحدِّ الأخير فيها، وهذا ما يُمكننا تحديده باستخدام الصيغة الصريحة. الحدُّ العامُّ للمتتابعة المُعطاة هو: 𞸇=٢٢+١×(𞸍١)=١٢+𞸍.𞸍

ومن ثم، يُمكننا إيجاد عدد الحدود أو رُتبة الحدِّ الأخير، ٤٠، في المتتابعة الحسابية عن طريق حلِّ المعادلة 𞸇=١٢+𞸍=٠٤𞸍، وهو ما يُعطينا 𞸍=٩١.

دعونا نلخِّص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • المتتابعة الحسابية تتابعٌ من الأعداد، 󰁙𞸇،𞸇،𞸇،󰁘١٢٣، يكون الفرق المُشترَك بين أيِّ حدَّيْن متتاليين فيه ثابتًا لا يساوي صفرًا: 𞸃=𞸇𞸇،𞸍١.𞸍+١𞸍
  • هذه الصيغة يُمكن أيضًا استخدامها لإيجاد الحدود التالية في متتابعة حسابية من الفرق المُشترَك باستخدام العلاقة التكرارية: 𞸇=𞸇+𞸃،𞸍١.𞸍+١𞸍 هذا يعني أنه يُمكن إيجاد كلِّ حدٍّ في متتابعة حسابية بإضافة الفرق المُشترَك إلى الحدِّ الذي يَسبقه.
  • بشكل عام، بتطبيق العلاقة التكرارية عدَّة مرَّات، يُمكننا أن نُثبت أن: 𞸇=𞸇+(𞸍𞸌)𞸃،𞸍،𞸌١،𞸍𞸌 وهو ما يَسمح لنا بإيجاد قيمة أو موضع الحدِّ ا في المتتابعة، 𞸇𞸍، من قيمة حدٍّ آَ.
  • إذا أشرنا إلى قيمة الحدِّ الأوَّل بأنها 𞸇=𞸇١ بغرض التبسيط، فستكون الصورة العامة للمتتابعة الحسابية هي: 󰁙𞸇،𞸇+𞸃،𞸇+٢𞸃،𞸇+٣𞸃،󰁘. من هذه الصيغة العامة، يُمكننا الحصول على صيغة صريحة لأيِّ حدٍّ في المتتابعة: 𞸇=𞸇+(𞸍١)𞸃،𞸍١.𞸍 يُمكننا إيجاد الصيغة الصريحة لأيِّ متتابعة حسابية، وذلك بتحديد الحدِّ الأوَّل والفرق المُشترَك.
  • يُمكن تعريف أيِّ متتابعة حسابية مُعطاة بدلالة مجموعة من الأعداد، 󰁙𞸇،𞸇،𞸇،󰁘١٢٣، أو الصيغة التكرارية التي يكون أوَّل حدٍّ فيها مُعطًى، أو الصيغة الصريحة.
  • لأيِّ قيمة مُعطاة في متتابعة، 𞸇𞸍، فإنه لإيجاد قيمة 𞸍؛ أيْ موضع الحدِّ في المتتابعة، الذي يُعرَف أيضًا برُتبة الحدِّ، يُمكن استخدام الصيغة: 𞸍=󰃁𞸇𞸇𞸃󰃀+١.𞸍

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.