في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نبسِّط المقادير الجبرية ونحل المعادلات الجبرية التي تتضمَّن جذورًا نونية؛ حيث عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي ٢.
الجذر عبارة عن عملية حسابية مهمة تَصِف معكوس عملية رفع مقدار ما للقوة . دعونا نبدأ هذا الشارح بتناول التعريف الرياضي للجذر .
تعريف: الجذور النونية
الجذر لعدد ما ؛ حيث عدد صحيح موجب، هو العدد الذي عند رفعه للقوة ، يُعطينا . يمكننا أن نشير إلى هذا العدد بـ ، على الصورة:
الجذر يُعطى بالصيغة .
لاحظ أنه يمكن كتابة الجذر للعدد على الصورة المكافئة . وعلى الرغم من أننا لن نتناول التعبير عن الجذور باستخدام هذه الصورة، فإن معرفتك بها ستساعدك على فهم كيفية تطبيق قوانين الأسس على المقادير التي تتضمَّن جذورًا.
نظرية: خواص الجذور النونية
- إذا كان ، عددين حقيقيين معرَّفين تمامًا، فإن أيضًا معرَّف؛ حيث:
- وإذا كان ، فإنه أيضًا:
- وإذا كان عددًا صحيحًا فرديًّا، فإن:
- وإذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، ، فإن:
- وإذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، ، فإن:
- وإذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، ، فإن:
في أول مثالين، سنوضِّح كيفية تطبيق مجموعة من هذه الخواص لتبسيط مقدار يتضمَّن جذرًا.
مثال ١: تبسيط المقادير الجبرية التي تتضمَّن أسسًا وجذورًا تكعيبية
بسِّط .
الحل
نتذكَّر هنا أنه بالنسبة إلى العددين الحقيقيين الموجبين ، ، والعدد الصحيح الموجب ، لدينا:
وبتطبيق هذه الخاصية بطريقة عكسية، يمكننا إعادة كتابة على الصورة:
بعد ذلك، نعرف أنه بالنسبة إلى العدد الصحيح الفردي ، لدينا:
إذن:
وبالمثل، بما أن ، فإن:
وبدمج المقدارين، نحصل على:
مثال ٢: تبسيط المقادير الجبرية التي تتضمَّن أسسًا وجذورًا تربيعية
بسِّط .
الحل
إذا كان لدينا جذر على الصورة مُعطى، وكانت محذوفة، فإننا نفترض أن . وهذا يعني أنه يمكننا تبسيط بتطبيق خاصية الجذور ؛ حيث ، إذن:
ومن ثَمَّ، فإن:
وأخيرًا، بكتابة على الصورة ، واستخدام خاصية للعدد الزوجي ، يمكن تبسيط كالآتي:
ومن ثَمَّ، فإن:
علينا أن ننتبه جيدًا عند إيجاد قوى الجذور، مثل أو . في المثال السابق، أوضحنا أن . وبما أن لدينا قوة زوجية داخل جذر زوجي، فإن العملية كانت معرَّفة لجميع القيم الحقيقية لـ . ومع ذلك، إذا كنا سنبسِّط ، فسيكون علينا إجراء الخطوات الآتية:
في هذه الحالة، الموجود داخل الجذر التربيعي يؤثِّر أولًا، وهو يضمن أن ما تحت الجذر سيكون موجبًا لجميع قيم . وهذا يعني أننا لا نأخذ الجذر الزوجي لعدد سالب، وهو ما يعني بدوره أن الدالة لا يمكن أن تخرج إلا قيمًا موجبة. ونظرًا لأن قيمة سالبة لقيم ، لا بد أن نقوم بتضمين القيمة المطلقة عند التبسيط، كما هو موضَّح.
في المثالين السابقين، استخدمنا خاصية الجذور للتعبير عن الجذر باعتباره حاصل ضرب جذرين من الجذور المختلفة. من المهم أن نعرف أنه يمكننا تعميم هذه الخاصية لتشمل كتابة جذر على صورة حاصل ضرب ثلاثة جذور نونية أو أكثر، من أجل تبسيط مقدار. بعبارةٍ أخرى، للأعداد الحقيقية الموجبة ، ، والقيم الصحيحة الموجبة لـ ، يكون:
مثال ٣: تبسيط المقادير الجبرية التي لها أكثر من متغيِّر متضمِّنة أسسًا وجذورًا تربيعية
اكتب في أبسط صورة.
الحل
نتذكَّر أنه للأعداد الحقيقية الموجبة ، ، ، والعدد الصحيح الموجب ، يكون:
وبما أن يكافئ ، إذن يمكننا إعادة كتابته على الصورة:
بعد ذلك، باستخدام الخاصية للعدد الزوجي ، يمكننا كتابة:
وبالمثل، يمكن كتابة على الصورة ، إذن:
ويعني هذا أن . وبما أن ، ، وحاصل ضرب قيم مطلقة يساوي القيمة المطلقة لحواصل الضرب، إذن:
في الأمثلة السابقة، أوضحنا كيفية استخدام خواص الجذور لتبسيط المقادير. دعونا نتناول الآن المعادلات التي تتضمَّن أسسًا:
يمكننا إيجاد حل لهذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي؛ حيث:
لكن عند التعويض بـ في المقدار ، نحصل على . وهذا يعني أن هو أيضًا حلٌّ للمعادلة . لذا، عند حل المعادلة ، فإن الحلول تتضمَّن الجذرين التربيعين الموجب والسالب لـ . ذلك يجعلنا ننتبه إلى فرق دقيق بين المعادلتين المتكافئين ظاهريًّا للعدد الصحيح ، وهما:
ويمكننا تعميم هذا المفهوم على الجذور ، التي يكون فيها عددًا زوجيًّا.
نظرية: الجذور النونية الزوجية والفردية
لدينا المعادلة للعددين الحقيقيين ، ، والعدد الصحيح الموجب . تكون حلولها كالآتي:
| عدد زوجي | فردي | |
|---|---|---|
| لا توجد حلول في الأعداد الحقيقية للمعادلة | يوجد حل واحد، وهو | |
| حلَّا تلك المعادلة هما |
رأينا أننا نفسِّر المعادلتين ، تفسيرًا مختلفًا. وينتج عن ذلك تعريف إضافي، وهو الجذر الأساسي. يسمح لنا هذا باعتبار الجذر ، وفقًا للتعريف، دالة أحادية.
تعريف: الجذر النوني الأساسي
كل عدد حقيقي موجب له جذر نوني واحد موجب يُعرَّف بالصورة . ويُعرَف هذا بالجذر الأساسي.
دعونا نوضِّح أحد تطبيقات خواص الجذور الزوجية والفردية في المثال التالي.
مثال ٤: تبسيط وحل المعادلات التي تتضمَّن جذورًا نونية
أوجد قيمة (أو قيم) إذا كان .
الحل
لحل هذه المعادلة، نطبق سلسلة من العمليات العكسية. أولًا، نقسم الطرفين على ١٢:
بعد ذلك، نتذكَّر أنه إذا كانت لدينا المعادلة للعددين الحقيقيين ، ، والعدد الصحيح الموجب ، فإنه:
- إذا كان عددًا زوجيًّا، فإن حلَّي تلك المعادلة هما .
- إذا كان عددًا فرديًّا، يوجد حل واحد، وهو .
وبما أن ، وهو عدد فردي، إذن لا يوجد إلا حل واحد لهذه المعادلة، ويُعطى بـ .
إذن .
بدمج خواص الجذور وهذه النظرية، يمكننا حل معادلات أكثر تعقيدًا تتضمَّن أسسًا. هيا نوضِّح ذلك بمثال أخير.
مثال ٥: تبسيط وحل المعادلات التي تتضمَّن جذورًا نونية
أوجد قيمة (أو قيم) إذا كان .
الحل
دعونا نبدأ بإيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة. بما أن ١٤٤ و عددان مربعان، إذن يمكننا بسهولة إيجاد الجذر التربيعي الأساسي لحاصل ضربهما، وهو:
بعد ذلك، نتذكَّر أنه في المعادلة للعددين الحقيقيين الموجبين ، ، والعدد الصحيح الموجب ، إذا كان عددًا زوجيًّا، فسيكون حلَّا تلك المعادلة هما . وبما أن المقدار الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة له أس زوجي، ، إذن نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ٣٦.
وعلى وجه التحديد:
لإيجاد حلَّي هاتين المعادلتين، نضرب الطرفين في ٥ ثم نطرح منهما ٩:
وبناءً عليه، فإن الحلَّين هما ، .
دعونا ننهِ هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم الأساسية.
النقاط الرئيسية
- الجذر (أو الصورة الجذرية) للعدد ؛ حيث عدد صحيح موجب، هو عدد عند رفعه إلى القوة ، نحصل على . يمكننا تعريف هذا العدد على أنه ؛ حيث:
- الجذر يُعطى بواسطة .
- كل عدد حقيقي موجب له جذر نوني موجب واحد، يُعطى بواسطة . يُعرف هذا الجذر بالجذر الأساسي.
- إذا كان ، عددين حقيقيين معرَّفين جيدًا، فإن أيضًا يكون معرَّفًا؛ حيث:
- إذا كان ، ففي هذه الحالة أيضًا:
- إذا كان عددًا صحيحًا فرديًّا، فإن:
- إذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، ، فإن:
- إذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، ، فإن:
- إذا كان عددًا صحيحًا زوجيًّا، ، فإن:
- حلول المعادلة للعددين الحقيقيين ، ، والعدد الصحيح الموجب هي:
عدد زوجي عدد فردي لا توجد حلول حقيقية للمعادلة يوجد حل واحد، وهو حلَّا تلك المعادلة هما
