تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الجذور النونية: المقادير والمعادلات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نبسِّط المقادير الجبرية ونحل المعادلات الجبرية التي تتضمَّن جذورًا نونية؛ حيث 𞸍 عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي ٢.

الجذر ا عبارة عن عملية حسابية مهمة تَصِف معكوس عملية رفع مقدار ما للقوة 𞸍. دعونا نبدأ هذا الشارح بتناول التعريف الرياضي للجذر ا.

تعريف: الجذور النونية

الجذر ا لعدد ما 𞸎؛ حيث 𞸍 عدد صحيح موجب، هو العدد الذي عند رفعه للقوة ا، يُعطينا 𞸎. يمكننا أن نشير إلى هذا العدد بـ 𞸑، على الصورة: 𞸎=𞸑.𞸍

الجذر ا يُعطى بالصيغة 𞸑=󰋴𞸎𞸍.

لاحظ أنه يمكن كتابة الجذر ا للعدد 𞸎 على الصورة المكافئة 𞸎١𞸍. وعلى الرغم من أننا لن نتناول التعبير عن الجذور ا باستخدام هذه الصورة، فإن معرفتك بها ستساعدك على فهم كيفية تطبيق قوانين الأسس على المقادير التي تتضمَّن جذورًا.

نظرية: خواص الجذور النونية

  • إذا كان 𞸍󰋴󰏡، 𞸍󰋴𞸁 عددين حقيقيين معرَّفين تمامًا، فإن 𞸍󰋴󰏡𞸁 أيضًا معرَّف؛ حيث: 𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡󰋴𞸁=󰋴󰏡𞸁.
  • وإذا كان 𞸍󰋴𞸁٠، فإنه أيضًا: 𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡󰋴𞸁=󰋺󰏡𞸁.
  • وإذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا فرديًّا، فإن: 󰂔󰋴󰏡󰂓=󰋴󰏡=󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍
  • وإذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، 󰏡٠، فإن: 󰂔󰋴󰏡󰂓=󰏡.𞸍𞸍
  • وإذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، 󰏡<٠، فإن: 󰂔󰋴󰏡󰂓𞹇.𞸍𞸍ف
  • وإذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، 󰏡𞹇، فإن: 𞸍󰋴󰏡=|󰏡|.𞸍

في أول مثالين، سنوضِّح كيفية تطبيق مجموعة من هذه الخواص لتبسيط مقدار يتضمَّن جذرًا.

مثال ١: تبسيط المقادير الجبرية التي تتضمَّن أسسًا وجذورًا تكعيبية

بسِّط ٣󰋴٤٦𞸌٣.

الحل

نتذكَّر هنا أنه بالنسبة إلى العددين الحقيقيين الموجبين 󰏡، 𞸁، والعدد الصحيح الموجب 𞸍، لدينا: 𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡󰋴𞸁=󰋴󰏡𞸁.

وبتطبيق هذه الخاصية بطريقة عكسية، يمكننا إعادة كتابة ٣󰋴٤٦𞸌٣ على الصورة: ٣٣٣󰋴٤٦𞸌=󰋴٤٦󰋴𞸌.٣٣

بعد ذلك، نعرف أنه بالنسبة إلى العدد الصحيح الفردي 𞸍، لدينا: 󰂔󰋴󰏡󰂓=󰋴󰏡=󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍

إذن: ٣󰋴𞸌=𞸌.٣

وبالمثل، بما أن ٤٦=٤٣، فإن: ٣٣󰋴٤٦=󰋴٤=٤.٣

وبدمج المقدارين، نحصل على: ٣󰋴٤٦𞸌=٤𞸌.٣

مثال ٢: تبسيط المقادير الجبرية التي تتضمَّن أسسًا وجذورًا تربيعية

بسِّط 󰋴٠٠١𞸎٦١.

الحل

إذا كان لدينا جذر على الصورة 𞸍󰋴𞸎 مُعطى، وكانت 𞸍 محذوفة، فإننا نفترض أن 𞸍=٢. وهذا يعني أنه يمكننا تبسيط 󰋴٠٠١𞸎٦١ بتطبيق خاصية الجذور ا؛ حيث 𞸍=٢، إذن: 󰋴󰏡󰋴𞸁=󰋴󰏡𞸁.

ومن ثَمَّ، فإن: 󰋴٠٠١𞸎=󰋴٠٠١󰋴𞸎=٠١󰋴𞸎.٦١٦١٦١

وأخيرًا، بكتابة 𞸎٦١ على الصورة 󰁓𞸎󰁒٨٢، واستخدام خاصية 𞸍󰋴𞸎=𞸎𞸍 للعدد الزوجي 𞸍، يمكن تبسيط 󰋴𞸎٦١ كالآتي: 󰋴𞸎=󰋴(𞸎)=𞸎.٦١٨٢٨

ومن ثَمَّ، فإن: 󰋴٠٠١𞸎=٠١𞸎.٦١٨

علينا أن ننتبه جيدًا عند إيجاد قوى الجذور، مثل 𞸍󰋴𞸎𞸌 أو 󰂔󰋴𞸎󰂓𞸍𞸌. في المثال السابق، أوضحنا أن 󰋴(𞸎)=𞸎٨٢٨. وبما أن لدينا قوة زوجية داخل جذر زوجي، فإن العملية كانت معرَّفة لجميع القيم الحقيقية لـ 𞸎. ومع ذلك، إذا كنا سنبسِّط 󰋴𞸎٤١، فسيكون علينا إجراء الخطوات الآتية: 󰋴𞸎=󰋴(𞸎)=󰍸𞸎󰍸.٤١٧٢٧

في هذه الحالة، 𞸎٤١ الموجود داخل الجذر التربيعي يؤثِّر أولًا، وهو يضمن أن ما تحت الجذر سيكون موجبًا لجميع قيم 𞸎. وهذا يعني أننا لا نأخذ الجذر الزوجي لعدد سالب، وهو ما يعني بدوره أن الدالة لا يمكن أن تخرج إلا قيمًا موجبة. ونظرًا لأن قيمة 𞸎٧ سالبة لقيم 𞸎<٠، لا بد أن نقوم بتضمين القيمة المطلقة عند التبسيط، كما هو موضَّح.

في المثالين السابقين، استخدمنا خاصية الجذور للتعبير عن الجذر ا باعتباره حاصل ضرب جذرين من الجذور ا المختلفة. من المهم أن نعرف أنه يمكننا تعميم هذه الخاصية لتشمل كتابة جذر على صورة حاصل ضرب ثلاثة جذور نونية أو أكثر، من أجل تبسيط مقدار. بعبارةٍ أخرى، للأعداد الحقيقية الموجبة 󰏡، 𞸁، 𞸢 والقيم الصحيحة الموجبة لـ 𞸍، يكون: 𞸍𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡𞸁𞸢=󰋴󰏡󰋴𞸁󰋴𞸢.

مثال ٣: تبسيط المقادير الجبرية التي لها أكثر من متغيِّر متضمِّنة أسسًا وجذورًا تربيعية

اكتب 󰋴٥٢󰏡𞸁٢٦ في أبسط صورة.

الحل

نتذكَّر أنه للأعداد الحقيقية الموجبة 󰏡، 𞸁، 𞸢، والعدد الصحيح الموجب 𞸍، يكون: 𞸍𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡𞸁𞸢=󰋴󰏡󰋴𞸁󰋴𞸢.

وبما أن 󰋴٥٢󰏡𞸁٢٦ يكافئ ٢󰋴٥٢󰏡𞸁٢٦، إذن يمكننا إعادة كتابته على الصورة: 󰋴٥٢󰏡𞸁=󰋴٥٢󰋴󰏡󰋴𞸁=٥󰋴󰏡󰋴𞸁.٢٦٢٦٢٦

بعد ذلك، باستخدام الخاصية 𞸍󰋴𞸎=|𞸎|𞸍 للعدد الزوجي 𞸍، يمكننا كتابة: ٢󰋴󰏡=|󰏡|.٢

وبالمثل، يمكن كتابة 𞸁٦ على الصورة 󰁓𞸁󰁒٣٢، إذن: 󰋴𞸁=󰋴(𞸁)=󰍸𞸁󰍸.٦٣٢٣

ويعني هذا أن 󰋴٥٢󰏡𞸁=٥|󰏡|󰍸𞸁󰍸٢٦٣. وبما أن ٥>٠، ٥=|٥|، وحاصل ضرب قيم مطلقة يساوي القيمة المطلقة لحواصل الضرب، إذن: 󰋴٥٢󰏡𞸁=󰍸٥󰏡𞸁󰍸.٢٦٣

في الأمثلة السابقة، أوضحنا كيفية استخدام خواص الجذور لتبسيط المقادير. دعونا نتناول الآن المعادلات التي تتضمَّن أسسًا: 𞸑=٦١.٢

يمكننا إيجاد حل لهذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي؛ حيث: 𞸑=󰋴٦١=٤.

لكن عند التعويض بـ 𞸑=٤ في المقدار 𞸑٢، نحصل على (٤)=٦١٢. وهذا يعني أن 𞸑=٤ هو أيضًا حلٌّ للمعادلة 𞸑=٦١٢. لذا، عند حل المعادلة 𞸑=𞸎٢، فإن الحلول تتضمَّن الجذرين التربيعين الموجب والسالب لـ 𞸎. ذلك يجعلنا ننتبه إلى فرق دقيق بين المعادلتين المتكافئين ظاهريًّا للعدد الصحيح 𞸍، وهما: 𞸑=𞸎𞸑=󰋴𞸎.𞸍𞸍

ويمكننا تعميم هذا المفهوم على الجذور ا، التي يكون فيها 𞸍 عددًا زوجيًّا.

نظرية: الجذور النونية الزوجية والفردية

لدينا المعادلة 𞸑=𞸎𞸍 للعددين الحقيقيين 𞸑، 𞸎، والعدد الصحيح الموجب 𞸍. تكون حلولها كالآتي:

𞸍 عدد زوجي𞸍 فردي
𞸎<٠لا توجد حلول في الأعداد الحقيقية للمعادلةيوجد حل واحد، وهو
𞸑=󰋴𞸎𞸍
𞸎>٠حلَّا تلك المعادلة هما
𞸑=±󰋴𞸎𞸍

رأينا أننا نفسِّر المعادلتين 𞸑=𞸎𞸍، 𞸑=󰋴𞸎𞸍 تفسيرًا مختلفًا. وينتج عن ذلك تعريف إضافي، وهو الجذر ا الأساسي. يسمح لنا هذا باعتبار الجذر ا، وفقًا للتعريف، دالة أحادية.

تعريف: الجذر النوني الأساسي

كل عدد حقيقي موجب له جذر نوني واحد موجب يُعرَّف بالصورة 𞸍󰋴𞸎. ويُعرَف هذا بالجذر ا الأساسي.

دعونا نوضِّح أحد تطبيقات خواص الجذور ا الزوجية والفردية في المثال التالي.

مثال ٤: تبسيط وحل المعادلات التي تتضمَّن جذورًا نونية

أوجد قيمة (أو قيم) 𞸎 إذا كان ٢١𞸎=٤٨٣٥.

الحل

لحل هذه المعادلة، نطبق سلسلة من العمليات العكسية. أولًا، نقسم الطرفين على ١٢: ٢١𞸎٢١=٤٨٣٢١𞸎=٢٣.٥٥

بعد ذلك، نتذكَّر أنه إذا كانت لدينا المعادلة 𞸎=𞸑𞸍 للعددين الحقيقيين 𞸎، 𞸑، والعدد الصحيح الموجب 𞸍، فإنه:

  • إذا كان 𞸍 عددًا زوجيًّا، فإن حلَّي تلك المعادلة هما 𞸎=±󰋴𞸑𞸍.
  • إذا كان 𞸍 عددًا فرديًّا، يوجد حل واحد، وهو 𞸎=󰋴𞸑𞸍.

وبما أن 𞸍=٥، وهو عدد فردي، إذن لا يوجد إلا حل واحد لهذه المعادلة، ويُعطى بـ 𞸎=󰋴٢٣=٢٥.

إذن 𞸎=٢.

بدمج خواص الجذور ا وهذه النظرية، يمكننا حل معادلات أكثر تعقيدًا تتضمَّن أسسًا. هيا نوضِّح ذلك بمثال أخير.

مثال ٥: تبسيط وحل المعادلات التي تتضمَّن جذورًا نونية

أوجد قيمة (أو قيم) 𞸎 إذا كان 󰂔𞸎+٩٥󰂓=󰋴٤٤١×٣٢٢.

الحل

دعونا نبدأ بإيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة. بما أن ١٤٤ و٣٢ عددان مربعان، إذن يمكننا بسهولة إيجاد الجذر التربيعي الأساسي لحاصل ضربهما، وهو: 󰋴٤٤١×٣=󰋴٤٤١󰋴٣=٢١×٣=٦٣.٢٢

بعد ذلك، نتذكَّر أنه في المعادلة 𞸎=󰏡𞸍 للعددين الحقيقيين الموجبين 𞸎، 󰏡، والعدد الصحيح الموجب 𞸍، إذا كان 𞸍 عددًا زوجيًّا، فسيكون حلَّا تلك المعادلة هما 𞸎=±󰋴󰏡𞸍. وبما أن المقدار الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة له أس زوجي، (𞸍=٢)، إذن نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ٣٦.

وعلى وجه التحديد: 󰂔𞸎+٩٥󰂓=󰋴٤٤١×٣󰂔𞸎+٩٥󰂓=٦٣𞸎+٩٥=±󰋴٦٣𞸎+٩٥=±٦.٢٢٢

لإيجاد حلَّي هاتين المعادلتين، نضرب الطرفين في ٥ ثم نطرح منهما ٩: 𞸎+٩٥=٦𞸎+٩٥=٦𞸎+٩=٠٣𞸎+٩=٠٣𞸎=١٢،𞸎=٩٣.

وبناءً عليه، فإن الحلَّين هما 𞸎=١٢، 𞸎=٩٣.

دعونا ننهِ هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم الأساسية.

النقاط الرئيسية

  • الجذر ا (أو الصورة الجذرية) للعدد 𞸎؛ حيث 𞸍 عدد صحيح موجب، هو عدد عند رفعه إلى القوة ا، نحصل على 𞸎. يمكننا تعريف هذا العدد على أنه 𞸑؛ حيث: 𞸎=𞸑.𞸍
  • الجذر ا يُعطى بواسطة 𞸑=󰋴𞸎𞸍.
  • كل عدد حقيقي موجب له جذر نوني موجب واحد، يُعطى بواسطة 𞸍󰋴𞸎. يُعرف هذا الجذر بالجذر ا الأساسي.
  • إذا كان 𞸍󰋴󰏡، 𞸍󰋴𞸁 عددين حقيقيين معرَّفين جيدًا، فإن 𞸍󰋴󰏡𞸁 أيضًا يكون معرَّفًا؛ حيث: 𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡󰋴𞸁=󰋴󰏡𞸁.
  • إذا كان 𞸍󰋴𞸁٠، ففي هذه الحالة أيضًا: 𞸍𞸍𞸍󰋴󰏡󰋴𞸁=󰋺󰏡𞸁.
  • إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا فرديًّا، فإن: 󰂔󰋴󰏡󰂓=󰋴󰏡=󰏡.𞸍𞸍𞸍𞸍
  • إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، 󰏡>٠، فإن: 󰂔󰋴󰏡󰂓=󰏡.𞸍𞸍
  • إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، 󰏡<٠، فإن: 󰂔󰋴󰏡󰂓𞹇.𞸍𞸍ف
  • إذا كان 𞸍 عددًا صحيحًا زوجيًّا، 󰏡𞹇، فإن: 𞸍󰋴󰏡=|󰏡|.𞸍
  • حلول المعادلة 𞸑=𞸎𞸍 للعددين الحقيقيين 𞸎، 𞸑، والعدد الصحيح الموجب 𞸍 هي:
    𞸍 عدد زوجي𞸍 عدد فردي
    𞸎<٠لا توجد حلول حقيقية للمعادلةيوجد حل واحد، وهو
    𞸑=󰋴𞸎𞸍
    𞸎>٠حلَّا تلك المعادلة هما 𞸑=±󰋴𞸎𞸍

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.