شارح الدرس: الدوال التكعيبية وتمثيلاتها البيانية الرياضيات

مثال ١: كتابة معادلة تمثيل بياني من خلال التعرُّف على تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيُّ المعادلات الآتية تُطابِق التمثيل البياني؟

الحل

يُمكننا ملاحَظة أن هذه الدالة تُشبه، من حيث الشكل، الدالة التكعيبية القياسية، ، وتُكتَب في بعض الأحيان في صورة المعادلة . وفي الواقع، يُمكننا أن نلاحِظ أنه لا يُوجَد تمدُّد للدالة، إمَّا من خلال النظر إلى شكل المنحنى وإمَّا من خلال ملاحَظة أن معاملات في الخيارات المُعطاة تساوي ١. ويمرُّ منحنى بنقطة الأصل، ويُمكن رسمه على التمثيل البياني نفسه، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

وتَقع نقطة انقلاب عند الإحداثي ، وتَقع نقطة انقلاب الدالة المجهولة عند الإحداثي . وعليه فإن الدالة قد انتقلت بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدة واحدة إلى أسفل. وبما أنه لكلتا الدالتين الانحدار نفسه ولم تنعكسا، فلن تكون هناك تحويلات أخرى.

نعلم أن دالة تكعيبية على الصورة تكون تحويلًا لـ ؛ حيث ، ، ، . في هذه الصورة، تُشير قيمة إلى معامل قياس التمدُّد، وتُشير أيضًا إلى انعكاس إذا كان ، وثمَّة انتقال أفقي بمقدار من الوحدات إلى اليمين، وانتقال رأسي بمقدار من الوحدات إلى أعلى. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

في هذا السؤال، لم ينعكس منحنى الدالة ولم يتمدَّد، إذن . وعليه لن يكون علينا إجراء أيِّ تمدُّد رأسي. بعد ذلك، تَنتقل الدالة أفقيًّا بمقدار وحدتين إلى اليسار، إذن . وعليه فإن الانتقال الرأسي بمقدار وحدة واحدة إلى أسفل يعني أن . ويُمكننا التعويض بهذه القِيَم في المعادلة ، لنحصل على:

وعليه فإن معادلة التمثيل البياني هي المعادلة الواردة في الخيار (ب):

مثال ٢: تحديد التمثيل البياني لدالة تكعيبية من خلال تحديد تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيٌّ ممَّا يأتي يمثِّل الرسم البياني للدالة ؟

الحل

يُمكننا مقارنة الدالة بالدالة الأصلية ، التي يُمكننا رسمها كالآتي.

ونعلم أن الدالة التكعيبية على الصورة تكون تحويلًا للدالة ؛ حيث ، ، ، . في هذه الدالة، يمثِّل تمدُّدًا أو انعكاسًا، يُعطينا عدد الوحدات التي يَنتقلها المنحنى في الاتجاه الأفقي، هو عدد الوحدات التي يَنتقلها المنحنى في الاتجاه الرأسي. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يَليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

في الدالة ، قيمة . وهذا يُشير إلى أنه لا يُوجَد تمدُّد (أو يُوجَد تمدُّد بمعامل قياس مقداره ١). ولكن، بما أن قيمة سالبة، فهذا يعني أن هناك انعكاسًا للمنحنى حول المحور . وعليه يُمكننا إجراء انعكاس للدالة ، كما هو موضَّح في الشكل الآتي، وإنشاء الدالة .

بعد ذلك، في الدالة المُعطاة، ، قيمة تساوي ٢، وهو ما يُشير إلى أن هناك انتقالًا بمقدار وحدتين إلى اليمين. وهو ما ينقل نقطة الانقلاب من الإحداثي إلى الإحداثي . ويُمكن رسم منحنى الدالة ، كما هو موضَّح.

إذن التمثيل البياني الذي يمثِّل الدالة هو الخيار (هـ).

مثال ٣: كتابة معادلة منحنًى من خلال التعرُّف على تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

اختر معادلة هذا المنحنى.

الحل

يُمكننا مقارنة هذه الدالة بالدالة من خلال رسم منحنى هذه الدالة على نفس المحورين.

وسنلاحِظ أنه لا يُوجَد تمدُّد ولا انعكاس؛ لأن انحدارَيِ المنحنيَيْن وسلوكَيْهما الطرفيَّيْن متطابقان. لا يُوجَد انتقال أفقي، ولكن يُوجَد انتقال رأسي بمقدار ٣ وحدات إلى أسفل. لأيِّ قيمة ، تكون الدالة انتقالًا رأسيًّا للدالة بمقدار من الوحدات. وبما أن الانتقال هنا في الاتجاه السالب، فلا بدَّ أن تكون قيمة سالبة؛ إذن .

وعليه فإن معادلة هذا المنحنى هي الإجابة المُعطاة في الخيار (أ):

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني لدالة تكعيبية من خلال تحديد تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل الدالة ؟

الحل

نعلم أن الدالة التكعيبية على الصورة تكون تحويلًا للدالة ؛ حيث ، ، ، . في هذه الدالة، يمثِّل تمدُّدًا أو انعكاسًا، يُعطينا عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الأفقي، هو عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الرأسي. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يَليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

يُمكن كتابة الدالة على الصورة:

وبما أن القيمة قيمة سالبة، فلا بدَّ أن منحنى الدالة يَنعكس حول المحور . وبما أن ، سيكون لمنحنى الدالة تمدُّد رأسيٌّ بمعامل قياس مقداره ١؛ وعليه سيكون له الشكل نفسه.

وبما أن ، سيكون هناك انتقال أفقي بمقدار ٥ وحدات إلى اليمين.

وأخيرًا: ، وهو ما يعني أن للمنحنى انتقالًا رأسيًّا أيضًا بمقدار وحدتين إلى أعلى.

يُمكننا تمثيل عمليات الانتقال بيانيًّا على مراحل، بدءًا بمنحنى الدالة .

بدمج عمليتي الانتقال وعملية الانعكاس، نتوصَّل إلى أن التمثيل البياني الذي يمثِّل الدالة هو الخيار (ب).

وكمعلومة جانبية، يمثِّل الخيار (أ) الدالة ، ويمثِّل الخيار (جـ) الدالة ، ويمثِّل الخيار (د) الدالة .

مثال ٥: كتابة معادلة تمثيل بياني من خلال التعرُّف على تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيُّ المعادلات الآتية تُطابِق التمثيل البياني؟

الحل

الدالة الموضَّحة تحويل لمنحنى الدالة . ويُمكننا كتابة معادلة المنحنى على الصورة ، وتكون تحويلًا للدالة ؛ حيث ، ، ، . في هذه المعادلة، يمثِّل تمدُّدًا أو انعكاسًا، يُعطينا عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الأفقي، هو عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الرأسي. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يَليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

يُمكننا رسم منحنى الدالة بجانب المنحنى المُعطَى.

وإذا قارنَّا بين نقطة تحوُّل ونقطة تحوُّل المنحنى المُعطى، نحصل على . وهذا يُشير إلى انتقال أفقي بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين وانتقال رأسي بمقدار ٤ وحدات إلى أعلى.

نلاحِظ أن المنحنى المُعطى أكثر انحدارًا من منحنى الدالة . ويُمكننا مقارنة انتقال منحنى الدالة بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين و٤ وحدات إلى أعلى بالمنحنى المُعطَى.

تُنتِج القيمة المُدخَلة، ، التي تساوي صفرًا في الدالة بعد الانتقال قيمة مُخرَجة، ، تساوي ٣. ولكن القيمة المُدخَلة نفسها التي تساوي صفرًا في المنحنى المُعطَى تُنتِج قيمة مُخرَجة تساوي ١. وعليه، ثمَّة تمدُّد بمعامل قياس مقداره ٣ بين المنحنيين. وبما أن المنحنى المُعطَى أكثر انحدارًا من منحنى الدالة ، فسيكون قد تمدَّد رأسيًّا بمعامل قياس مقداره ٣ (بدلًا من أن يكون قد تمدَّد بمعامل قياس مقداره ، وهو الذي قد يُنتِج تمثيلًا بيانيًّا «مُنكمِشًا»).

أصبح بإمكاننا الآن التعويض بالقِيَم ، ، في المعادلة لنحصل على:

وهي الإجابة المُعطاة في الخيار (جـ).

مثال ٦: تحديد نقطة تماثل دالة تكعيبية

ادرس التمثيل البياني الموضَّح للدالة .

اكتب إحداثيات نقطة التماثل للتمثيل البياني، إن وُجِدَت.

الحل

التمثيل البياني المُعطَى انتقال لمنحنى الدالة بمقدار وحدتين إلى اليسار، ووحدتين إلى أسفل. وبما أن المنحنى له نقطة تماثل دَوَراني عند الإحداثي ، فبَعْد الانتقال، سيكون للمنحنى الناتج نقطة تماثل دَوَراني تَبْعد بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدتين إلى أسفل من الإحداثي .

وعليه يُمكننا تحديد نقطة التماثل بأنها الإحداثي .