تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الدوال التكعيبية وتمثيلاتها البيانية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل الدوالَّ التكعيبية بيانيًّا، ونكتب قواعدها من تمثيلاتها البيانية المُعطاة، ونحدِّد سماتها.

سنركِّز في هذا الشارح على الدالة التكعيبية القياسية، 󰎨(𞸎)=𞸎٣. وبإنشاء جدول قِيَم يحتوي على قِيَم صحيحة لـ 𞸎 من ٢𞸎٢، سيُمكننا تمثيل هذه الدالة بيانيًّا.

𞸎٢١٠١٢
󰎨(𞸎)=𞸎٣٨١٠١٨

الخواصُّ الرئيسية للدالة التكعيبية كالآتي:

  • تكون قيمة الدالة موجبة عندما يكون 𞸎 موجبًا، وتكون قيمة الدالة سالبة عندما يكون 𞸎 سالبًا، وتساوي الدالة صفرًا عندما يكون 𞸎=٠.
  • إذا كان للدالة درجة فردية (٣)، فسيكون لها سلوكان طرفيان متضادَّان. وسيكون سلوكها الطرفي أنه كلما ازداد 𞸎 إلى ما لا نهاية، ازداد أيضًا 󰎨(𞸎) إلى ما لا نهاية. وعندما يَتناقص 𞸎، يَتناقص 󰎨(𞸎) أيضًا إلى سالب ما لا نهاية.
  • أنها دالة فردية، 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، لجميع قِيَم 𞸎 في مجال 󰎨؛ وعليه فإن تمثيلها البياني لن يكون متغيِّرًا عند الدوران بزاوية قياسها ٠٨١ حول نقطة الأصل.

عند تحويل هذه الدالة، علينا أن نُحافِظ على تعريف المنحنى كما هو. سنتناول عددًا من التحويلات المختلفة، ويُمكننا اعتبار أن لها نوعين:

  • تغيُّرات القيمة المُدخَلة، 𞸎، على سبيل المثال، 𞸎𞸎+٣، أو 𞸎٤𞸎.
  • تغيُّرات القيمة المُخرَجة، 󰎨(𞸎)، على سبيل المثال، 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)٣، أو 󰎨(𞸎)٢󰎨(𞸎).

علاوة على ذلك، يُمكننا اعتبار أن تغيُّرات القيمة المُدخَلة، 𞸎، وتغيُّرات القيمة المُخرَجة، 󰎨(𞸎)، تتكوَّن من:

  • الجمع
  • الضرب
  • تغيُّر الإشارة.

والآن أصبح بإمكاننا أن نتعرَّف على كيفية تغيُّر التمثيل البياني للدالة عندما نُضيف أو نطرح قِيَمًا من القيمة المُخرَجة.

دعونا نفترض أن لدينا الدالتين 𞸓(𞸎)، 𞸤(𞸎)؛ بحيث تكون 𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎)+٢، 𞸤(𞸎)=󰎨(𞸎)١، إذن: 󰎨(𞸎)=𞸎،𞸓(𞸎)=𞸎+٢،𞸤(𞸎)=𞸎١.٣٣٣

لرسم التمثيلات البيانية لهذه الدوالِّ، يُمكننا مدُّ جدول القِيَم السابق الذي يَشمل قِيَم 󰎨(𞸎) لقِيَم 𞸎 نفسها. وعليه نحصل على الجدول الآتي.

𞸎٢١٠١٢
󰎨(𞸎)=𞸎٣٨١٠١٨
𞸓(𞸎)=𞸎+٢٣٦١٢٣١٠
𞸤(𞸎)=𞸎١٣٩٢١٠٧

دائمًا تكون مُخرَجات 𞸓 أكبر بمقدار ٢ من مُخرَجات 󰎨. وبالمثل، فإن مُخرَجات 𞸤 أقلُّ من مُخرَجات 󰎨 بمقدار ١. ويُمكننا تمثيل هذه الدوالِّ الثلاث بيانيًّا معًا، كما هو موضَّح.

نلاحِظ أن كلًّا من هاتين الدالتين يمثِّل انتقالًا رأسيًّا للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣.

بوجهٍ عامٍّ، فإن منحنى الدالة 󰎨(𞸎)+𞸊، لأيِّ ثابت 𞸊𞹇، انتقال رأسي لمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣. وإذا كان 𞸊>٠، فسيكون منحنى الدالة انتقالًا بمقدار 𞸊 وحدة لأعلى لمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣. وإذا كان 𞸊<٠، فسيكون منحنى الدالة انتقالًا بمقدار |𞸊| وحدة لأسفل لمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣.

بعد ذلك، يُمكننا التعرُّف على كيفية تغيُّر الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ عندما نُضيف قِيَمًا إلى القيمة المُدخَلة. هذه المرَّة، سنتناول الدالتين 𞸓(𞸎)، 𞸤(𞸎)؛ حيث 𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎+٢)، 𞸤(𞸎)=󰎨(𞸎١): 󰎨(𞸎)=𞸎،𞸓(𞸎)=(𞸎+٢)،𞸤(𞸎)=(𞸎١).٣٣٣

يُمكننا إنشاء جدول قِيَم لهذه الدوالِّ ورسم تمثيل بياني لها.

𞸎٢١٠١٢
󰎨(𞸎)=𞸎٣٨١٠١٨
𞸓(𞸎)=(𞸎+٢)٣٠١٨٢٧٦٤
𞸤(𞸎)=(𞸎١)٣٧٢٨١٠١

يُمكننا ملاحَظة أن منحنى الدالة 𞸓(𞸎)=(𞸎+٢)٣ انتقال أفقي لمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ بمقدار وحدتين إلى اليسار. وبالمثل، يكون منحنى الدالة 𞸤(𞸎)=(𞸎١)٣ انتقالًا أفقيًّا لمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين.

قد يكون هذا التحوُّل على عكس المتوقَّع؛ حيث إننا عادة ما نعتبر أن الإضافة في الانتقال يَنتُج عنها حركة في الاتجاه الموجب. ولكن في هذه الحالة، العكس هو الصحيح. وللمُساعَدة في تذكُّر هذه الخاصية، نعتبر أن الدالة تنتقل أفقيًّا بمقدار 𞸤 من الوحدات إلى اليمين عند تغيُّر القيمة المُدخَلة، 𞸎𞸎𞸤. وعليه في الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)٣، على سبيل المثال، 𞸤=١، وتَنتقل الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة.

ويُمكننا تلخيص كيف تغيِّر الإضافة الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ على النحو الآتي.

العمليةالمعادلة المحوَّلةالتغيُّر الهندسي
󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)+𞸊󰎨(𞸎)=𞸎+𞸊٣انتقال رأسي:
إذا كان 𞸊>٠، فبمقدار 𞸊 من الوحدات إلى أعلى.
إذا كان 𞸊<٠، فبمقدار |𞸊| من الوحدات إلى أسفل.
𞸎𞸎𞸤󰎨(𞸎)=(𞸎𞸤)٣انتقال أفقي:
إذا كان 𞸤>٠، فبمقدار 𞸤 من الوحدات إلى اليمين.
إذا كان 𞸤<٠، فبمقدار |𞸤| من الوحدات إلى اليسار.

بعد ذلك، يُمكننا أن نستعرض كيف تغيِّر عملية الضرب الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣، بدءًا بتغيُّرات القيمة المُخرَجة، 󰎨(𞸎).

دعونا نتناول الدوالَّ 󰎨(𞸎)=𞸎٣، 𞸓(𞸎)=٣󰎨(𞸎)، 𞸤(𞸎)=١٢󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=𞸎،𞸓(𞸎)=٣𞸎،𞸤(𞸎)=١٢𞸎.٣٣٣

يُمكننا ملاحَظة أن الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٣ قد تمدَّدت رأسيًّا بمعامل قياس مقداره ٣. وتمدَّدت الدالة 󰎨(𞸎)=١٢𞸎٣ رأسيًّا بمعامل قياس مقداره ١٢. وعليه لأيِّ قيمة موجبة 󰏡؛ حيث 󰎨(𞸎)󰏡󰎨(𞸎)، سيكون هناك تمدُّد رأسيٌّ بمقدار المعامل 󰏡.

إذا غيَّرنا القيمة المُدخَلة، 𞸎𞸁𞸎؛ حيث 𞸁>٠، فسنحصل على دالة على الصورة 𞸤(𞸎)=(𞸁𞸎)٣. يُقارن التمثيل البياني الآتي بين الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ والدالة 𞸤(𞸎)=(٢𞸎)٣.

إذا تناولنا الإحداثي (١،١) في الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣، سنَجِد أن هذا يَحدُث عندما تُنتِج القيمة المُدخَلة ١، قيمةً مُخرَجة تساوي ١. وللحصول على القيمة المُخرَجة نفسها التي تساوي ١ من خلال الدالة 𞸤(𞸎)=(٢𞸎)٣، يكون ٢𞸎=١، إذن 𞸎=١٢. وينطبق الأمر نفسه على الإحداثي (٢،٨) في الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣. نحصل على القيمة المُخرَجة نفسها التي تساوي ٨ من خلال الدالة 𞸤(𞸎)=(٢𞸎)٣ عندما يكون ٢𞸎=٢، إذن 𞸎=١. وعليه عندما نضرب كلًّا من قِيَم 𞸎 في 󰎨(𞸎) في ٢، لنحصل على الدالة 𞸤(𞸎)=(٢𞸎)٣، سيتمدَّد التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ أفقيًّا بمعامل مقداره ١٢؛ حيث تَنتقل كلُّ نقطة إلى نصف مسافتها السابقة من المحور 𞸑.

ولأيِّ قيمة 𞸁𞹇؛ حيث 𞸎𞸁𞸎، يكون التمثيل البياني للدالة 𞸑=(𞸁𞸎)٣ تمدُّدًا أفقيًّا للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ بمعامل قياس مقداره ١𞸁.

يُمكننا تلخيص هذه النتائج، للقِيَم الموجبة لكلٍّ من 󰏡، 𞸁، على النحو الآتي.

العمليةالمعادلة المحوَّلةالتغيُّر الهندسي
󰎨(𞸎)󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٣تمدُّد رأسي بمعامل قياس مقداره 󰏡
𞸎𞸁𞸎󰎨(𞸎)=(𞸁𞸎)٣تمدُّد أفقي بمعامل قياس مقداره ١𞸁

وأخيرًا: يُمكننا التعرُّف على تغيُّرات الدالة التكعيبية القياسية الناتجة عن تغيُّر الإشارة للدالة 𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎). وهذا يُعطينا الدالة 𞸓(𞸎)=𞸎٣. وستساوي كلُّ قيمة مُخرَجة للدالة 𞸓(𞸎) سالب قيمتها في الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣. على سبيل المثال، الإحداثي (٢،٨) في الدالة الأصلية سيصبح (٢،٨) في الدالة المحوَّلة.

وهذا يُعطينا تأثير الانعكاس حول المحور الأفقي.

وبما أن المنحنى التكعيبي يمثِّل دالة فردية، فإننا نعرف أن 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎). وعليه فإن تغيُّر القيمة المُدخَلة 𞸎𞸎 في الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣ يحوِّل أيضًا الدالة إلى 󰎨(𞸎)=𞸎٣. وبشكلٍ عامٍّ، لأيِّ دالة 󰎨(𞸎)، يَنتُج عن 󰎨(𞸎)󰎨(𞸎) انعكاس حول المحور الأفقي، ويَنتُج عن تغيُّر القيمة المُدخَلة 𞸎𞸎 انعكاس لـ 󰎨(𞸎) حول المحور الرأسي. حقيقة أن الدالة التكعيبية، 󰎨(𞸎)=𞸎٣، فردية تعني أن تغيُّر إشارة أيٍّ من القيمة المُدخَلة أو القيمة المُخرَجة يؤدِّي إلى النتيجة البيانية نفسها.

العمليةالمعادلة المحوَّلةالتغيُّر الهندسي
󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)=𞸎٣انعكاس حول المحور الأفقي
𞸎𞸎󰎨(𞸎)=(𞸎)٣انعكاس حول المحور الرأسي

وعليه يُمكننا إنشاء جدول التغيُّرات الكامل للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣، للقِيَم الموجبة لكلٍّ من 󰏡، 𞸁، على النحو الآتي.

العمليةالمعادلة المحوَّلةالتغيُّر الهندسي
󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)+𞸊󰎨(𞸎)=𞸎+𞸊٣انتقال رأسي:
إذا كان 𞸊>٠، فبمقدار 𞸊 من الوحدات إلى أعلى.
إذا كان 𞸊<٠، فبمقدار |𞸊| من الوحدات إلى أسفل.
𞸎𞸎𞸤󰎨(𞸎)=(𞸎𞸤)٣انتقال أفقي:
إذا كان 𞸤>٠، فبمقدار 𞸤 من الوحدات إلى اليمين.
إذا كان 𞸤<٠، فبمقدار |𞸤| من الوحدات إلى اليسار.
󰎨(𞸎)󰏡󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٣تمدُّد رأسي بمعامل قياس مقداره 󰏡
𞸎𞸁𞸎󰎨(𞸎)=(𞸁𞸎)٣تمدُّد أفقي بمعامل قياس مقداره ١𞸁
󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)󰎨(𞸎)=𞸎٣اسلارا
𞸎𞸎󰎨(𞸎)=(𞸎)٣انعكاس حول المحور الرأسي

يُمكننا جمع عدد من التحويلات المختلفة للدالة التكعيبية القياسية معًا، لننشئ دالة في الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣.

تعريف: تحويلات الدالة التكعيبية

إذا كان 󰏡، 𞸤، 𞸊𞹇، وكان 󰏡٠، فسيكون منحنى الدالة: 󰎨(𞸎)=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣ تحويلًا للمنحنى 𞸑=𞸎٣. ونُدرِج التحويلات التي نحتاج إليها لتحويل المنحنى 𞸑=𞸎٣ إلى 𞸑=󰎨(𞸎)، على النحو الآتي:

  • إذا كان 󰏡>٠، فسيتمدَّد منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ رأسيًّا بمعامل قياس مقداره 󰏡.
  • إذا كان 󰏡<٠، فسينعكس منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ حول المحور الأفقي، ويتمدَّد رأسيًّا بمعامل قياس مقداره |󰏡|.
  • إذا كان 𞸤>٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ أفقيًّا بمقدار 𞸤 من الوحدات إلى اليمين.
  • إذا كان 𞸤<٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ أفقيًّا بمقدار |𞸤| من الوحدات إلى اليسار.
  • إذا كان 𞸊>٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ رأسيًّا بمقدار 𞸊 من الوحدات إلى أعلى.
  • إذا كان 𞸊<٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ رأسيًّا بمقدار |𞸊| من الوحدات إلى أسفل.

وعليه فإن ترتيب إجراء تحويلات الدالة مُهِمٌّ، حتى إن حصلنا، في بعض الأحيان، على المنحنى نفسه. وعلينا استخدام الترتيب الآتي:

  1. التمدُّد الرأسي، 󰏡
  2. الانتقال الأفقي، 𞸤
  3. الانتقال الرأسي، 𞸊

إذا أُعطينا منحنى دالة تكعيبية مجهولة، فيُمكننا استخدام شكل منحنى الدالة الأصلية، 󰎨(𞸎)=𞸎٣، لتحديد التحويلات التي طُبِّقت عليه؛ ومن ثمَّ، تحديد الدالة. دعونا نتناول مثالًا لكيفية فعل ذلك.

مثال ١: كتابة معادلة تمثيل بياني من خلال التعرُّف على تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيُّ المعادلات الآتية تُطابِق التمثيل البياني؟

  1. 𞸑=(𞸎٢)١٣
  2. 𞸑=(𞸎+٢)١٣
  3. 𞸑=(𞸎+٢)+١٣
  4. 𞸑=(𞸎٢)+١٣

الحل

يُمكننا ملاحَظة أن هذه الدالة تُشبه، من حيث الشكل، الدالة التكعيبية القياسية، 󰎨(𞸎)=𞸎٣، وتُكتَب في بعض الأحيان في صورة المعادلة 𞸑=𞸎٣. وفي الواقع، يُمكننا أن نلاحِظ أنه لا يُوجَد تمدُّد للدالة، إمَّا من خلال النظر إلى شكل المنحنى وإمَّا من خلال ملاحَظة أن معاملات (𞸎𞸤)٣ في الخيارات المُعطاة تساوي ١. ويمرُّ منحنى 𞸑=𞸎٣ بنقطة الأصل، ويُمكن رسمه على التمثيل البياني نفسه، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

وتَقع نقطة انقلاب 𞸑=𞸎٣ عند الإحداثي (٠،٠)، وتَقع نقطة انقلاب الدالة المجهولة عند الإحداثي (٢،١). وعليه فإن الدالة 𞸑=𞸎٣ قد انتقلت بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدة واحدة إلى أسفل. وبما أنه لكلتا الدالتين الانحدار نفسه ولم تنعكسا، فلن تكون هناك تحويلات أخرى.

نعلم أن دالة تكعيبية على الصورة 𞸑=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣ تكون تحويلًا لـ 𞸑=𞸎٣؛ حيث 󰏡، 𞸤، 𞸊𞹇، 󰏡٠. في هذه الصورة، تُشير قيمة 󰏡 إلى معامل قياس التمدُّد، وتُشير أيضًا إلى انعكاس إذا كان 󰏡<٠، وثمَّة انتقال أفقي بمقدار 𞸤 من الوحدات إلى اليمين، وانتقال رأسي بمقدار 𞸊 من الوحدات إلى أعلى. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

في هذا السؤال، لم ينعكس منحنى الدالة ولم يتمدَّد، إذن 󰏡=١. وعليه لن يكون علينا إجراء أيِّ تمدُّد رأسي. بعد ذلك، تَنتقل الدالة أفقيًّا بمقدار وحدتين إلى اليسار، إذن 𞸤=٢. وعليه فإن الانتقال الرأسي بمقدار وحدة واحدة إلى أسفل يعني أن 𞸊=١. ويُمكننا التعويض بهذه القِيَم في المعادلة 𞸑=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣، لنحصل على: 𞸑=١(𞸎(٢))+(١)=(𞸎+٢)١.٣٣

وعليه فإن معادلة التمثيل البياني هي المعادلة الواردة في الخيار (ب): 𞸑=(𞸎+٢)١.٣

في المثال الآتي، سنحدِّد الشكل الصحيح للتمثيل البياني لدالة تكعيبية.

مثال ٢: تحديد التمثيل البياني لدالة تكعيبية من خلال تحديد تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيٌّ ممَّا يأتي يمثِّل الرسم البياني للدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣؟

الحل

يُمكننا مقارنة الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣ بالدالة الأصلية 󰎨(𞸎)=𞸎٣، التي يُمكننا رسمها كالآتي.

ونعلم أن الدالة التكعيبية على الصورة 󰎨(𞸎)=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣ تكون تحويلًا للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣؛ حيث 󰏡، 𞸤، 𞸊𞹇، 󰏡٠. في هذه الدالة، 󰏡 يمثِّل تمدُّدًا أو انعكاسًا، 𞸤 يُعطينا عدد الوحدات التي يَنتقلها المنحنى في الاتجاه الأفقي، 𞸊 هو عدد الوحدات التي يَنتقلها المنحنى في الاتجاه الرأسي. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يَليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

في الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣، قيمة 󰏡=١. وهذا يُشير إلى أنه لا يُوجَد تمدُّد (أو يُوجَد تمدُّد بمعامل قياس مقداره ١). ولكن، بما أن قيمة 󰏡 سالبة، فهذا يعني أن هناك انعكاسًا للمنحنى حول المحور 𞸎. وعليه يُمكننا إجراء انعكاس للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣، كما هو موضَّح في الشكل الآتي، وإنشاء الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣.

بعد ذلك، في الدالة المُعطاة، 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣، قيمة 𞸤 تساوي ٢، وهو ما يُشير إلى أن هناك انتقالًا بمقدار وحدتين إلى اليمين. وهو ما ينقل نقطة الانقلاب من الإحداثي (٠،٠) إلى الإحداثي (٢،٠). ويُمكن رسم منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣، كما هو موضَّح.

إذن التمثيل البياني الذي يمثِّل الدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎٢)٣ هو الخيار (هـ).

في المثال الآتي، سنتناول كيف يُمكننا كتابة دالة بمعلومية تمثيلها البياني.

مثال ٣: كتابة معادلة منحنًى من خلال التعرُّف على تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

اختر معادلة هذا المنحنى.

  1. 𞸑=𞸎٣٣
  2. 𞸑=𞸎٣٣
  3. 𞸑=٢𞸎+٣٣
  4. 𞸑=٢𞸎٣٣
  5. 𞸑=𞸎+٣٣

الحل

يُمكننا مقارنة هذه الدالة بالدالة 𞸑=𞸎٣ من خلال رسم منحنى هذه الدالة على نفس المحورين.

وسنلاحِظ أنه لا يُوجَد تمدُّد ولا انعكاس؛ لأن انحدارَيِ المنحنيَيْن وسلوكَيْهما الطرفيَّيْن متطابقان. لا يُوجَد انتقال أفقي، ولكن يُوجَد انتقال رأسي بمقدار ٣ وحدات إلى أسفل. لأيِّ قيمة 𞸊𞹇، تكون الدالة 𞸑=𞸎+𞸊٣ انتقالًا رأسيًّا للدالة 𞸑=𞸎٣ بمقدار 𞸊 من الوحدات. وبما أن الانتقال هنا في الاتجاه السالب، فلا بدَّ أن تكون قيمة 𞸊 سالبة؛ إذن 𞸊=٣.

وعليه فإن معادلة هذا المنحنى هي الإجابة المُعطاة في الخيار (أ): 𞸑=𞸎٣.٣

سنتناول الآن مثالًا حيث سيكون علينا تحديد ثلاثة تحويلات منفصلة للدالة التكعيبية القياسية.

مثال ٤: تحديد التمثيل البياني لدالة تكعيبية من خلال تحديد تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيُّ التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل الدالة 󰎨(𞸎)=٢(𞸎٥)٣؟

الحل

نعلم أن الدالة التكعيبية على الصورة 𞸑=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣ تكون تحويلًا للدالة 𞸑=𞸎٣؛ حيث 󰏡، 𞸤، 𞸊𞹇، 󰏡٠. في هذه الدالة، 󰏡 يمثِّل تمدُّدًا أو انعكاسًا، 𞸤 يُعطينا عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الأفقي، 𞸊 هو عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الرأسي. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يَليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

يُمكن كتابة الدالة 󰎨(𞸎)=٢(𞸎٥)٣ على الصورة: 󰎨(𞸎)=(𞸎٥)+٢.٣

وبما أن القيمة 󰏡=١ قيمة سالبة، فلا بدَّ أن منحنى الدالة يَنعكس حول المحور 𞸎. وبما أن |󰏡|=١، سيكون لمنحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ تمدُّد رأسيٌّ بمعامل قياس مقداره ١؛ وعليه سيكون له الشكل نفسه.

وبما أن 𞸤=٥، سيكون هناك انتقال أفقي بمقدار ٥ وحدات إلى اليمين.

وأخيرًا: 𞸊=٢، وهو ما يعني أن للمنحنى انتقالًا رأسيًّا أيضًا بمقدار وحدتين إلى أعلى.

يُمكننا تمثيل عمليات الانتقال بيانيًّا على مراحل، بدءًا بمنحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣.

بدمج عمليتي الانتقال وعملية الانعكاس، نتوصَّل إلى أن التمثيل البياني الذي يمثِّل الدالة 󰎨(𞸎)=٢(𞸎٥)٣ هو الخيار (ب).

وكمعلومة جانبية، يمثِّل الخيار (أ) الدالة 󰎨(𞸎)=٢+(𞸎+٥)٣، ويمثِّل الخيار (جـ) الدالة 󰎨(𞸎)=٢(𞸎+٥)٣، ويمثِّل الخيار (د) الدالة 󰎨(𞸎)=٢+(𞸎٥)٣.

سنتناول الآن مثالًا يتضمَّن تمدُّدًا.

مثال ٥: كتابة معادلة تمثيل بياني من خلال التعرُّف على تحويلات الدالة التكعيبية القياسية

أيُّ المعادلات الآتية تُطابِق التمثيل البياني؟

  1. 𞸑=(𞸎١)+٤٣
  2. 𞸑=٢(𞸎١)+٤٣
  3. 𞸑=٣(𞸎١)+٤٣
  4. 𞸑=١٣(𞸎١)+٤٣
  5. 𞸑=١٢(𞸎١)+٤٣

الحل

الدالة الموضَّحة تحويل لمنحنى الدالة 𞸑=𞸎٣. ويُمكننا كتابة معادلة المنحنى على الصورة 𞸑=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣، وتكون تحويلًا للدالة 𞸑=𞸎٣؛ حيث 󰏡، 𞸤، 𞸊𞹇، 󰏡٠. في هذه المعادلة، 󰏡 يمثِّل تمدُّدًا أو انعكاسًا، 𞸤 يُعطينا عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الأفقي، 𞸊 هو عدد الوحدات التي يَنتقلها منحنى الدالة في الاتجاه الرأسي. نُجري هذه التحويلات بدءًا بالتمدُّد الرأسي أولًا، ثم يَليه الانتقال الأفقي ثانيًا، ثم الانتقال الرأسي ثالثًا.

يُمكننا رسم منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ بجانب المنحنى المُعطَى.

وإذا قارنَّا بين نقطة تحوُّل 𞸑=𞸎٣ ونقطة تحوُّل المنحنى المُعطى، نحصل على (٠،٠)(١،٤). وهذا يُشير إلى انتقال أفقي بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين وانتقال رأسي بمقدار ٤ وحدات إلى أعلى.

نلاحِظ أن المنحنى المُعطى أكثر انحدارًا من منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣. ويُمكننا مقارنة انتقال منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين و٤ وحدات إلى أعلى بالمنحنى المُعطَى.

تُنتِج القيمة المُدخَلة، 𞸎، التي تساوي صفرًا في الدالة بعد الانتقال قيمة مُخرَجة، 𞸑، تساوي ٣. ولكن القيمة المُدخَلة نفسها التي تساوي صفرًا في المنحنى المُعطَى تُنتِج قيمة مُخرَجة تساوي ١. وعليه، ثمَّة تمدُّد بمعامل قياس مقداره ٣ بين المنحنيين. وبما أن المنحنى المُعطَى أكثر انحدارًا من منحنى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣، فسيكون قد تمدَّد رأسيًّا بمعامل قياس مقداره ٣ (بدلًا من أن يكون قد تمدَّد بمعامل قياس مقداره ١٣، وهو الذي قد يُنتِج تمثيلًا بيانيًّا «مُنكمِشًا»).

أصبح بإمكاننا الآن التعويض بالقِيَم 󰏡=٣، 𞸤=١، 𞸊=٤ في المعادلة 𞸑=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣ لنحصل على: 𞸑=٣(𞸎١)+٤.٣

وهي الإجابة المُعطاة في الخيار (جـ).

سنتناول مثالًا أخيرًا يتضمَّن إحدى خواصِّ الدالة التكعيبية: نقطة التماثل.

مثال ٦: تحديد نقطة تماثل دالة تكعيبية

ادرس التمثيل البياني الموضَّح للدالة 𞸑=(𞸎+٢)٢٣.

اكتب إحداثيات نقطة التماثل للتمثيل البياني، إن وُجِدَت.

الحل

التمثيل البياني المُعطَى انتقال لمنحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ بمقدار وحدتين إلى اليسار، ووحدتين إلى أسفل. وبما أن المنحنى 𞸑=𞸎٣ له نقطة تماثل دَوَراني عند الإحداثي (٠،٠)، فبَعْد الانتقال، سيكون للمنحنى الناتج نقطة تماثل دَوَراني تَبْعد بمقدار وحدتين إلى اليسار ووحدتين إلى أسفل من الإحداثي (٠،٠).

وعليه يُمكننا تحديد نقطة التماثل بأنها الإحداثي (٢،٢).

سنلخِّص الآن النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • الدالة التكعيبية القياسية هي الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٣. ولها الخواصُّ الآتية:
    • تكون مُخرَجات الدالة موجبة عندما يكون 𞸎 موجبًا، وتكون المُخرَجات سالبة عندما يكون 𞸎 سالبًا، وتُساوي المُخرَجات صفرًا عندما يكون 𞸎=٠.
    • السلوك الطرفي للدالة التكعيبية القياسية هو أنه إذا ازداد 𞸎 إلى ما لا نهاية، ازداد 󰎨(𞸎) أيضًا إلى ما لا نهاية. وإذا تَناقَص 𞸎، تَناقَص 󰎨(𞸎) أيضًا إلى سالب ما لا نهاية أيضًا.
    • أنها دالة فردية، 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، ولتمثيلها البياني تماثل دَوَراني بزاوية قياسها ٠٨١ حول نقطة الأصل.
  • إذا كان 󰏡، 𞸤، 𞸊𞹇؛ حيث 󰏡٠، فسيكون التمثيل البياني للدالة: 󰎨(𞸎)=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣ تحويلًا للتمثيل البياني للدالة 𞸑=𞸎٣. نُدرِج التحويلات التي نحتاج إليها لتحويل التمثيل البياني للدالة 𞸑=𞸎٣ إلى 𞸑=󰎨(𞸎) على النحو الآتي:
    • إذا كان 󰏡>٠، فسيتمدَّد منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ رأسيًّا بمعامل قياس مقداره 󰏡.
    • إذا كان 󰏡<٠، فسينعكس منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ حول المحور الأفقي، ويتمدَّد رأسيًّا بمعامل قياس مقداره |󰏡|.
    • إذا كان 𞸤>٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ أفقيًّا بمقدار 𞸤 من الوحدات إلى اليمين.
    • إذا كان 𞸤<٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ أفقيًّا بمقدار |𞸤| من الوحدات إلى اليسار.
    • إذا كان 𞸊>٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ رأسيًّا بمقدار 𞸊 من الوحدات إلى أعلى.
    • إذا كان 𞸊<٠، فسينتقل منحنى الدالة 𞸑=𞸎٣ رأسيًّا بمقدار |𞸊| من الوحدات إلى أسفل.
  • لأيِّ دالة 󰎨(𞸎)=󰏡(𞸎𞸤)+𞸊٣، نُجري تحويلات الدالة التكعيبية طبقًا للترتيب الآتي:
    • التمدُّد الرأسي، 󰏡
    • الانتقال الأفقي، 𞸤
    • الانتقال الرأسي، 𞸊

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.