شارح الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق | نجوى شارح الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق | نجوى

شارح الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال الفرق بين حدثين.

بدايةً، نسترجع العمليات على الأحداث التي درسناها حتى الآن.

تعريف: الحدث المُكمِّل وتقاطع حدثين واتحاد حدثين

فيما يلي العمليات على الحدثين 󰏡، 𞸁، في شكل فن؛ حيث تمثِّل المساحة المظلَّلة كلَّ عملية أُجرِيت على الترتيب.

  • الحدث المُكمِّل للحدث 󰏡 نُشير إليه بـ 󰏡󰍱، ويتضمَّن العناصر التي لا تقع داخل 󰏡.
  • تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁 نُشير إليه بـ 󰏡𞸁، ويتضمَّن العناصر التي تقع في كلٍّ من 󰏡، 𞸁.
  • اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁 نُشير إليه بـ 󰏡𞸁، ويتضمَّن العناصر التي تقع في 󰏡 أو 𞸁 أو كليهما.

العملية الجديدة التي سندرسها في هذا الشارح هي الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 كما هو مُفصَّل في التعريف الآتي.

تعريف: الفرق بين الأحداث

الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 نُشير إليه بـ 󰏡𞸁، كما هو مُوضَّح من خلال المساحة المظلَّلة في شكل فن الآتي. يتضمَّن الشكل العناصر التي تقع في 󰏡 ولا تقع في 𞸁.

وباعتمادنا على فهمنا لأشكال فن، يمكننا استنتاج صيغة الفرق بين حدثين.

وبالنظر إلى مساحة المنطقة المظلَّلة لـ 󰏡𞸁، نَستنتج أن هذا يساوي مساحة 󰏡 ناقص مساحة 󰏡𞸁، كما هو موضَّح في الآتي:

إذن 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁). وبناءً عليه، يمكننا استخدام ذلك لاستنتاج صيغة احتمال الفرق بين حدثين.

قاعدة احتمال الفرق بين حدثين

احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 يساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة الاحتمال المذكورة في التعريف الوارد سابقًا لإيجاد احتمال الفرق بين حدثين.

مثال ١: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين

افترِض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٣٠٫٠، فأوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

تذكَّر أن صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 هي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

بالتعويض بـ 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٣٠٫٠ في الصيغة الواردة سابقًا، نحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)=٣٫٠٣٠٫٠=٧٢٫٠.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٧٢٫٠.

في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة احتمال الفرق بين حدثين من أجل إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال الفرق والتقاطع.

مثال ٢: إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال فرق الحدثين واحتمال تقاطعهما

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧، 𞸋(󰏡𞸁)=١٦، فأوجد 𞸋(󰏡).

الحل

صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 هي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

بالتعويض بـ 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧، 𞸋(󰏡𞸁)=١٦، نحصل على التعبير الآتي: ٢٧=𞸋(󰏡)١٦.

وإذا أعدنا ترتيب تلك الصيغة وجعلنا 𞸋(󰏡) في طرف بمفرده، نحصل على: ٢٧+١٦=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡)=٢١+٧٢٤=٩١٢٤.

إذن قيمة 𞸋(󰏡)=٩١٢٤.

في المثال الآتي، نتناول كيفية حساب احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما.

مثال ٣: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما

سُحِبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كلُّ واحدة منها ذات رقم مميز من ١ إلى ١٢. نفترض أن 󰏡 يمثِّل حدث سحب عدد فردي، ويمثِّل 𞸁 حدث سحب عدد أوَّلي. أوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نستخدم صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁، وهي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ولكي نفعل ذلك، لا بد أن نحسب قيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋(󰏡𞸁).

ولكي نحسب قيمة 𞸋(󰏡)، علينا أولًا أن نُحدِّد المجموعة 󰏡. ونعلم من المُعطيات أن 󰏡 يمثِّل حدث سحب عدد فردي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن 󰏡 يُعطى بواسطة المجموعة {١،٣،٥،٧،٩،١١}.

بما أن عدد نتائج 󰏡 يساوي ٦، وإجمالي عدد النتائج يساوي ١٢ (نظرًا لوجود ١٢ كرة في الحقيبة)، إذن احتمال 󰏡 مُعطى بواسطة: 𞸋(󰏡)=󰏡=٦٢١=١٢.داإدا

ومن أجل أن نُوجِد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نبدأ بتحديد المجموعة 󰏡، والمجموعة 𞸁، والمجموعة 󰏡𞸁. ونعلم أن 󰏡 يُعطى بواسطة المجموعة {١،٣،٥،٧،٩،١١} (كما هو مذكور سابقًا). المجموعة 𞸁 تمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن 𞸁 يُعطى بواسطة المجموعة {٢،٣،٥،٧،١١}.

نلاحظ أن 󰏡𞸁؛ أي تقاطع 󰏡، 𞸁 هو المجموعة التي تحتوي على العناصر التي تقع في كلا الحدثين 󰏡، 𞸁. في هذه الحالة، 󰏡𞸁={٣،٥،٧،١١}. احتمال 󰏡𞸁 يُعطى بواسطة: 𞸋(󰏡𞸁)=󰏡𞸁=٤٢١=١٣.د،إدا

يمكننا الآن التعويض بـ 𞸋(󰏡)=١٢، 𞸋(󰏡𞸁)=١٣ في صيغة 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁) من أجل إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁): 𞸋(󰏡𞸁)=١٢١٣=٣٢٦=١٦.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=١٦.

بعد ذلك، نتناول احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.

تذكَّر أنه إذا كان 𞸁 مجموعة جزئية من 󰏡، فإن جميع العناصر التي تقع في 𞸁 تقع في 󰏡 أيضًا، ويكون تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁 هو 𞸁 أو 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁). ويمكن ملاحظة ذلك في شكل فن الآتي:

إذن يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قواعد حساب احتمال الفرق بين حدثين.

تعريف: احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.

بالنسبة إلى الحدثين 󰏡، 𞸁؛ حيث 𞸁 مجموعة جزئية من 󰏡، ويشار إليها بـ 𞸁󰏡، فإن احتمال الفرق بين حدثين كالآتي:

  • 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(𞸁)؛ حيث 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁).
  • 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(𞸁)=٠؛ حيث 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁).

في المثال الآتي، نستخدم قواعد حساب احتمال الفرق بين حدثين عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.

مثال ٤: إيجاد احتمال حدث بمعلومية الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸁󰏡، 𞸋(𞸁)=٤٩، 𞸋(󰏡𞸁)=١٥، فأوجد 𞸋(󰏡).

الحل

بالنسبة إلى الحدثين 󰏡، 𞸁؛ حيث 𞸁󰏡، نعرف أن 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁). وبالنسبة إلى الفرق بين حدثين، فإن هذا يُعطينا: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(𞸁).

وبما أن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=١٥، وقيمة (󰏡𞸁)=𞸋(𞸁)=٤٩، إذن من خلال التعويض، يمكننا تكوين المعادلة الآتية: ١٥=𞸋(󰏡)٤٩.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸋(󰏡) في طرف بمفرده، وبهذا نحصل على: 𞸋(󰏡)=١٥+٤٩=٩+٠٢٥٤=٩٢٥٤.

إذن قيمة 𞸋(󰏡)=٩٢٥٤.

يمكننا استخدام عدة قواعد للاحتمالات لإجراء عمليات على الأحداث بهدف حل المسائل. نتناول بعد ذلك قاعدتين من قواعد الاحتمال هذه، وهما الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث. هيا نتذكَّر هذه القواعد.

تعريف: قواعد الاحتمال لحساب احتمالات الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث.

  • احتمال الحدث المكمِّل للحدث 󰏡 يساوي: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡).󰍱
  • احتمال اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁 يساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

يَستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمال لاتحاد حدثين والفرق بين حدثين.

مثال ٥: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان لهما الاحتمالان 𞸋(󰏡)=٥٧، 𞸋(𞸁)=٤٧. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٦٧، فأوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

وبما أننا لا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة أخرى لإيجاد ذلك. وبما أننا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁) وقيمة 𞸋(󰏡) وقيمة 𞸋(𞸁)، إذن يمكننا استخدام قاعدة الجمع لحساب الاحتمال: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

عندما نُعوِّض بـ 𞸋(󰏡)=٥٧، 𞸋(𞸁)=٤٧، وبـ 𞸋(󰏡𞸁)=٦٧، نحصل على معادلة بها 𞸋(󰏡𞸁): ٦٧=٥٧+٤٧𞸋(󰏡𞸁).

وبإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)+٦٧=٥٧+٤٧𞸋(󰏡𞸁)=٥٧+٤٧٦٧=٣٧.

بما أننا أوجدنا قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٣٧، إذن يمكننا التعويض بتلك القيمة، وكذلك قيمة 𞸋(󰏡)=٥٧ في الصيغة الآتية: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

إذن، بالتعويض، يمكننا إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁): 𞸋(󰏡𞸁)=٥٧٣٧=٢٧.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧.

يَستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمال للحدث المكمِّل، واتحاد حدثين، والفرق بين حدثين.

مثال ٦: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع وقاعدة الحدث المكمِّل

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان 𞸋(󰏡)=١٧٫٠، 𞸋󰁓𞸁󰁒=٧٤٫٠󰍱، 𞸋(󰏡𞸁)=٩٩٫٠، فأوجد 𞸋(𞸁󰏡).

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة 𞸋(𞸁󰏡)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ونظرًا لأن الحدثين 󰏡، 𞸁 معكوسان في هذه الصيغة، علينا إعادة كتابة تلك الصيغة كالآتي: 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁) نظرًا لأن 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(󰏡𞸁).

وبما أننا نعرف قيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋󰁓𞸁󰁒󰍱، وقيمة 𞸋(󰏡𞸁)، ولا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁) أو قيمة 𞸋(𞸁)، إذن لا بد أن نستخدم قواعد احتمال الحدث المكمّل واتحاد حدثين. بدايةً، نَستخدم قاعدة احتمال الحدث المكمِّل لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁).

نحن نعرف أن: 𞸋󰁓𞸁󰁒=١𞸋(𞸁).󰍱

لذا، إذا أردنا إيجاد قيمة 𞸋(𞸁)، نُعوِّض بـ 𞸋󰁓𞸁󰁒=٧٤٫٠󰍱، ثم نُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁): ٧٤٫٠=١𞸋(𞸁)٧٤٫٠+𞸋(𞸁)=١𞸋(𞸁)=١٧٤٫٠𞸋(𞸁)=٣٥٫٠.

بعد أن أوجدنا قيمة 𞸋(𞸁)، يُمكننا استخدام صيغة الجمع لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁). وتكون الصيغة كالآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

وبالتعويض بـ 𞸋(󰏡)=١٧٫٠، 𞸋(𞸁)=٣٥٫٠، وبـ 𞸋(󰏡𞸁)=٩٩٫٠، ثم بإعادة ترتيب الصيغة بجعل 𞸋(󰏡𞸁) في طرف بمفرده، نحصل على: ٩٩٫٠=١٧٫٠+٣٥٫٠𞸋(󰏡𞸁)٩٩٫٠+𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠+٣٥٫٠𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠+٣٥٫٠٩٩٫٠=٥٢٫٠.

بما أننا أوجدنا قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٥٢٫٠، إذن يمكننا الآن استخدام تلك القيمة بالإضافة إلى قيمة 𞸋(𞸁)=٣٥٫٠ لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁󰏡). ونقوم بذلك عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة ونُوجد قيمة 𞸋(𞸁󰏡): 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁)𞸋(𞸁󰏡)=٣٥٫٠٥٢٫٠=٨٢٫٠.

إذن قيمة 𞸋(𞸁󰏡)=٨٢٫٠.

في هذا الشارح، تعرَّفنا على قاعدة احتمال الفرق بين حدثين 󰏡، 𞸁. وقد رأينا أن هذا لا ينطبق إلا على أمثلة تُطبَّق عليها تلك القاعدة أو قواعد أخرى، مثل تلك الخاصة بمكمِّلة مجموعة، أو اتحاد مجموعتين.

النقاط الرئيسية

  • الفرق بين المجموعتين 󰏡، 𞸁 يُشار إليه بـ 󰏡𞸁، وهو ممثَّل على شكل فن الآتي:
  • قاعدة احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 تساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).
  • فيما يلي قاعدتا احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون 𞸁 مجموعة جزئية من 󰏡:
    • 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(𞸁).
    • 𞸋(𞸁󰏡)=٠.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية