شارح الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال الفرق بين حدثين.

بدايةً، نسترجع العمليات على الأحداث التي درسناها حتى الآن.

تعريف: الحدث المُكمِّل وتقاطع حدثين واتحاد حدثين

فيما يلي العمليات على الحدثين 󰏡، 𞸁، في شكل فن؛ حيث تمثِّل المساحة المظلَّلة كلَّ عملية أُجرِيت على الترتيب.

  • الحدث المُكمِّل للحدث 󰏡 نُشير إليه بـ 󰏡󰍱، ويتضمَّن العناصر التي لا تقع داخل 󰏡.
  • تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁 نُشير إليه بـ 󰏡𞸁، ويتضمَّن العناصر التي تقع في كلٍّ من 󰏡، 𞸁.
  • اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁 نُشير إليه بـ 󰏡𞸁، ويتضمَّن العناصر التي تقع في 󰏡 أو 𞸁 أو كليهما.

العملية الجديدة التي سندرسها في هذا الشارح هي الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 كما هو مُفصَّل في التعريف الآتي.

تعريف: الفرق بين الأحداث

الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 نُشير إليه بـ 󰏡𞸁، كما هو مُوضَّح من خلال المساحة المظلَّلة في شكل فن الآتي. يتضمَّن الشكل العناصر التي تقع في 󰏡 ولا تقع في 𞸁.

وباعتمادنا على فهمنا لأشكال فن، يمكننا استنتاج صيغة الفرق بين حدثين.

وبالنظر إلى مساحة المنطقة المظلَّلة لـ 󰏡𞸁، نَستنتج أن هذا يساوي مساحة 󰏡 ناقص مساحة 󰏡𞸁، كما هو موضَّح في الآتي:

إذن 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁). وبناءً عليه، يمكننا استخدام ذلك لاستنتاج صيغة احتمال الفرق بين حدثين.

قاعدة احتمال الفرق بين حدثين

احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 يساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة الاحتمال المذكورة في التعريف الوارد سابقًا لإيجاد احتمال الفرق بين حدثين.

مثال ١: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين

افترِض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٣٠٫٠، فأوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

تذكَّر أن صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 هي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

بالتعويض بـ 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٣٠٫٠ في الصيغة الواردة سابقًا، نحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)=٣٫٠٣٠٫٠=٧٢٫٠.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٧٢٫٠.

في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة احتمال الفرق بين حدثين من أجل إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال الفرق والتقاطع.

مثال ٢: إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال فرق الحدثين واحتمال تقاطعهما

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧، 𞸋(󰏡𞸁)=١٦، فأوجد 𞸋(󰏡).

الحل

صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 هي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

بالتعويض بـ 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧، 𞸋(󰏡𞸁)=١٦، نحصل على التعبير الآتي: ٢٧=𞸋(󰏡)١٦.

وإذا أعدنا ترتيب تلك الصيغة وجعلنا 𞸋(󰏡) في طرف بمفرده، نحصل على: ٢٧+١٦=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡)=٢١+٧٢٤=٩١٢٤.

إذن قيمة 𞸋(󰏡)=٩١٢٤.

في المثال الآتي، نتناول كيفية حساب احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما.

مثال ٣: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما

سُحِبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كلُّ واحدة منها ذات رقم مميز من ١ إلى ١٢. نفترض أن 󰏡 يمثِّل حدث سحب عدد فردي، ويمثِّل 𞸁 حدث سحب عدد أوَّلي. أوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نستخدم صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁، وهي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ولكي نفعل ذلك، لا بد أن نحسب قيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋(󰏡𞸁).

ولكي نحسب قيمة 𞸋(󰏡)، علينا أولًا أن نُحدِّد المجموعة 󰏡. ونعلم من المُعطيات أن 󰏡 يمثِّل حدث سحب عدد فردي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن 󰏡 يُعطى بواسطة المجموعة {١،٣،٥،٧،٩،١١}.

بما أن عدد نتائج 󰏡 يساوي ٦، وإجمالي عدد النتائج يساوي ١٢ (نظرًا لوجود ١٢ كرة في الحقيبة)، إذن احتمال 󰏡 مُعطى بواسطة: 𞸋(󰏡)=󰏡=٦٢١=١٢.داإدا

ومن أجل أن نُوجِد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نبدأ بتحديد المجموعة 󰏡، والمجموعة 𞸁، والمجموعة 󰏡𞸁. ونعلم أن 󰏡 يُعطى بواسطة المجموعة {١،٣،٥،٧،٩،١١} (كما هو مذكور سابقًا). المجموعة 𞸁 تمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن 𞸁 يُعطى بواسطة المجموعة {٢،٣،٥،٧،١١}.

نلاحظ أن 󰏡𞸁؛ أي تقاطع 󰏡، 𞸁 هو المجموعة التي تحتوي على العناصر التي تقع في كلا الحدثين 󰏡، 𞸁. في هذه الحالة، 󰏡𞸁={٣،٥،٧،١١}. احتمال 󰏡𞸁 يُعطى بواسطة: 𞸋(󰏡𞸁)=󰏡𞸁=٤٢١=١٣.د،إدا

يمكننا الآن التعويض بـ 𞸋(󰏡)=١٢، 𞸋(󰏡𞸁)=١٣ في صيغة 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁) من أجل إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁): 𞸋(󰏡𞸁)=١٢١٣=٣٢٦=١٦.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=١٦.

بعد ذلك، نتناول احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.

تذكَّر أنه إذا كان 𞸁 مجموعة جزئية من 󰏡، فإن جميع العناصر التي تقع في 𞸁 تقع في 󰏡 أيضًا، ويكون تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁 هو 𞸁 أو 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁). ويمكن ملاحظة ذلك في شكل فن الآتي:

إذن يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قواعد حساب احتمال الفرق بين حدثين.

تعريف: احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.

بالنسبة إلى الحدثين 󰏡، 𞸁؛ حيث 𞸁 مجموعة جزئية من 󰏡، ويشار إليها بـ 𞸁󰏡، فإن احتمال الفرق بين حدثين كالآتي:

  • 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(𞸁)؛ حيث 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁).
  • 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(𞸁)=٠؛ حيث 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁).

في المثال الآتي، نستخدم قواعد حساب احتمال الفرق بين حدثين عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.

مثال ٤: إيجاد احتمال حدث بمعلومية الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸁󰏡، 𞸋(𞸁)=٤٩، 𞸋(󰏡𞸁)=١٥، فأوجد 𞸋(󰏡).

الحل

بالنسبة إلى الحدثين 󰏡، 𞸁؛ حيث 𞸁󰏡، نعرف أن 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(𞸁). وبالنسبة إلى الفرق بين حدثين، فإن هذا يُعطينا: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(𞸁).

وبما أن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=١٥، وقيمة (󰏡𞸁)=𞸋(𞸁)=٤٩، إذن من خلال التعويض، يمكننا تكوين المعادلة الآتية: ١٥=𞸋(󰏡)٤٩.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸋(󰏡) في طرف بمفرده، وبهذا نحصل على: 𞸋(󰏡)=١٥+٤٩=٩+٠٢٥٤=٩٢٥٤.

إذن قيمة 𞸋(󰏡)=٩٢٥٤.

يمكننا استخدام عدة قواعد للاحتمالات لإجراء عمليات على الأحداث بهدف حل المسائل. نتناول بعد ذلك قاعدتين من قواعد الاحتمال هذه، وهما الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث. هيا نتذكَّر هذه القواعد.

تعريف: قواعد الاحتمال لحساب احتمالات الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث.

  • احتمال الحدث المكمِّل للحدث 󰏡 يساوي: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡).󰍱
  • احتمال اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁 يساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

يَستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمال لاتحاد حدثين والفرق بين حدثين.

مثال ٥: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان لهما الاحتمالان 𞸋(󰏡)=٥٧، 𞸋(𞸁)=٤٧. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٦٧، فأوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

وبما أننا لا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة أخرى لإيجاد ذلك. وبما أننا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁) وقيمة 𞸋(󰏡) وقيمة 𞸋(𞸁)، إذن يمكننا استخدام قاعدة الجمع لحساب الاحتمال: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

عندما نُعوِّض بـ 𞸋(󰏡)=٥٧، 𞸋(𞸁)=٤٧، وبـ 𞸋(󰏡𞸁)=٦٧، نحصل على معادلة بها 𞸋(󰏡𞸁): ٦٧=٥٧+٤٧𞸋(󰏡𞸁).

وبإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)+٦٧=٥٧+٤٧𞸋(󰏡𞸁)=٥٧+٤٧٦٧=٣٧.

بما أننا أوجدنا قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٣٧، إذن يمكننا التعويض بتلك القيمة، وكذلك قيمة 𞸋(󰏡)=٥٧ في الصيغة الآتية: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

إذن، بالتعويض، يمكننا إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁): 𞸋(󰏡𞸁)=٥٧٣٧=٢٧.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧.

يَستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمال للحدث المكمِّل، واتحاد حدثين، والفرق بين حدثين.

مثال ٦: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع وقاعدة الحدث المكمِّل

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان 𞸋(󰏡)=١٧٫٠، 𞸋󰁓𞸁󰁒=٧٤٫٠󰍱، 𞸋(󰏡𞸁)=٩٩٫٠، فأوجد 𞸋(𞸁󰏡).

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة 𞸋(𞸁󰏡)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ونظرًا لأن الحدثين 󰏡، 𞸁 معكوسان في هذه الصيغة، علينا إعادة كتابة تلك الصيغة كالآتي: 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁) نظرًا لأن 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(󰏡𞸁).

وبما أننا نعرف قيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋󰁓𞸁󰁒󰍱، وقيمة 𞸋(󰏡𞸁)، ولا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁) أو قيمة 𞸋(𞸁)، إذن لا بد أن نستخدم قواعد احتمال الحدث المكمّل واتحاد حدثين. بدايةً، نَستخدم قاعدة احتمال الحدث المكمِّل لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁).

نحن نعرف أن: 𞸋󰁓𞸁󰁒=١𞸋(𞸁).󰍱

لذا، إذا أردنا إيجاد قيمة 𞸋(𞸁)، نُعوِّض بـ 𞸋󰁓𞸁󰁒=٧٤٫٠󰍱، ثم نُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁): ٧٤٫٠=١𞸋(𞸁)٧٤٫٠+𞸋(𞸁)=١𞸋(𞸁)=١٧٤٫٠𞸋(𞸁)=٣٥٫٠.

بعد أن أوجدنا قيمة 𞸋(𞸁)، يُمكننا استخدام صيغة الجمع لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁). وتكون الصيغة كالآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

وبالتعويض بـ 𞸋(󰏡)=١٧٫٠، 𞸋(𞸁)=٣٥٫٠، وبـ 𞸋(󰏡𞸁)=٩٩٫٠، ثم بإعادة ترتيب الصيغة بجعل 𞸋(󰏡𞸁) في طرف بمفرده، نحصل على: ٩٩٫٠=١٧٫٠+٣٥٫٠𞸋(󰏡𞸁)٩٩٫٠+𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠+٣٥٫٠𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠+٣٥٫٠٩٩٫٠=٥٢٫٠.

بما أننا أوجدنا قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٥٢٫٠، إذن يمكننا الآن استخدام تلك القيمة بالإضافة إلى قيمة 𞸋(𞸁)=٣٥٫٠ لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁󰏡). ونقوم بذلك عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة ونُوجد قيمة 𞸋(𞸁󰏡): 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁)𞸋(𞸁󰏡)=٣٥٫٠٥٢٫٠=٨٢٫٠.

إذن قيمة 𞸋(𞸁󰏡)=٨٢٫٠.

في هذا الشارح، تعرَّفنا على قاعدة احتمال الفرق بين حدثين 󰏡، 𞸁. وقد رأينا أن هذا لا ينطبق إلا على أمثلة تُطبَّق عليها تلك القاعدة أو قواعد أخرى، مثل تلك الخاصة بمكمِّلة مجموعة، أو اتحاد مجموعتين.

النقاط الرئيسية

  • الفرق بين المجموعتين 󰏡، 𞸁 يُشار إليه بـ 󰏡𞸁، وهو ممثَّل على شكل فن الآتي:
  • قاعدة احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 تساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).
  • فيما يلي قاعدتا احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون 𞸁 مجموعة جزئية من 󰏡:
    • 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(𞸁).
    • 𞸋(𞸁󰏡)=٠.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.