في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال الفرق بين حدثين.
بدايةً، نسترجع العمليات على الأحداث التي درسناها حتى الآن.
تعريف: الحدث المُكمِّل وتقاطع حدثين واتحاد حدثين
فيما يلي العمليات على الحدثين ، ، في شكل فن؛ حيث تمثِّل المساحة المظلَّلة كلَّ عملية أُجرِيت على الترتيب.
- الحدث المُكمِّل للحدث نُشير إليه بـ ، ويتضمَّن العناصر التي لا تقع داخل .
- تقاطع الحدثين ، نُشير إليه بـ ، ويتضمَّن العناصر التي تقع في كلٍّ من ، .
- اتحاد الحدثين ، نُشير إليه بـ ، ويتضمَّن العناصر التي تقع في أو أو كليهما.
العملية الجديدة التي سندرسها في هذا الشارح هي الفرق بين الحدثين ، كما هو مُفصَّل في التعريف الآتي.
تعريف: الفرق بين الأحداث
الفرق بين الحدثين ، نُشير إليه بـ ، كما هو مُوضَّح من خلال المساحة المظلَّلة في شكل فن الآتي. يتضمَّن الشكل العناصر التي تقع في ولا تقع في .
وباعتمادنا على فهمنا لأشكال فن، يمكننا استنتاج صيغة الفرق بين حدثين.
وبالنظر إلى مساحة المنطقة المظلَّلة لـ ، نَستنتج أن هذا يساوي مساحة ناقص مساحة ، كما هو موضَّح في الآتي:
إذن . وبناءً عليه، يمكننا استخدام ذلك لاستنتاج صيغة احتمال الفرق بين حدثين.
قاعدة احتمال الفرق بين حدثين
احتمال الفرق بين الحدثين ، يساوي:
في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة الاحتمال المذكورة في التعريف الوارد سابقًا لإيجاد احتمال الفرق بين حدثين.
مثال ١: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين
افترِض أن ، حدثان. إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
تذكَّر أن صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين ، هي:
بالتعويض بـ ، في الصيغة الواردة سابقًا، نحصل على:
إذن قيمة .
في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة احتمال الفرق بين حدثين من أجل إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال الفرق والتقاطع.
مثال ٢: إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال فرق الحدثين واحتمال تقاطعهما
افترض أن ، حدثان. إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين ، هي:
بالتعويض بـ ، ، نحصل على التعبير الآتي:
وإذا أعدنا ترتيب تلك الصيغة وجعلنا في طرف بمفرده، نحصل على:
إذن قيمة .
في المثال الآتي، نتناول كيفية حساب احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما.
مثال ٣: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما
سُحِبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كلُّ واحدة منها ذات رقم مميز من ١ إلى ١٢. نفترض أن يمثِّل حدث سحب عدد فردي، ويمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي. أوجد .
الحل
لإيجاد قيمة ، نستخدم صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين ، ، وهي:
ولكي نفعل ذلك، لا بد أن نحسب قيمة ، وقيمة .
ولكي نحسب قيمة ، علينا أولًا أن نُحدِّد المجموعة . ونعلم من المُعطيات أن يمثِّل حدث سحب عدد فردي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن يُعطى بواسطة المجموعة .
بما أن عدد نتائج يساوي ٦، وإجمالي عدد النتائج يساوي ١٢ (نظرًا لوجود ١٢ كرة في الحقيبة)، إذن احتمال مُعطى بواسطة:
ومن أجل أن نُوجِد قيمة ، نبدأ بتحديد المجموعة ، والمجموعة ، والمجموعة . ونعلم أن يُعطى بواسطة المجموعة (كما هو مذكور سابقًا). المجموعة تمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن يُعطى بواسطة المجموعة .
نلاحظ أن ؛ أي تقاطع ، هو المجموعة التي تحتوي على العناصر التي تقع في كلا الحدثين ، . في هذه الحالة، . احتمال يُعطى بواسطة:
يمكننا الآن التعويض بـ ، في صيغة من أجل إيجاد قيمة :
إذن قيمة .
بعد ذلك، نتناول احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.
تذكَّر أنه إذا كان مجموعة جزئية من ، فإن جميع العناصر التي تقع في تقع في أيضًا، ويكون تقاطع الحدثين ، هو أو . ويمكن ملاحظة ذلك في شكل فن الآتي:
إذن يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قواعد حساب احتمال الفرق بين حدثين.
تعريف: احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.
بالنسبة إلى الحدثين ، ؛ حيث مجموعة جزئية من ، ويشار إليها بـ ، فإن احتمال الفرق بين حدثين كالآتي:
- ؛ حيث .
- ؛ حيث .
في المثال الآتي، نستخدم قواعد حساب احتمال الفرق بين حدثين عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر.
مثال ٤: إيجاد احتمال حدث بمعلومية الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر
افترض أن ، حدثان. إذا كان ، ، ، فأوجد .
الحل
بالنسبة إلى الحدثين ، ؛ حيث ، نعرف أن . وبالنسبة إلى الفرق بين حدثين، فإن هذا يُعطينا:
وبما أن قيمة ، وقيمة ، إذن من خلال التعويض، يمكننا تكوين المعادلة الآتية:
ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده، وبهذا نحصل على:
إذن قيمة .
يمكننا استخدام عدة قواعد للاحتمالات لإجراء عمليات على الأحداث بهدف حل المسائل. نتناول بعد ذلك قاعدتين من قواعد الاحتمال هذه، وهما الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث. هيا نتذكَّر هذه القواعد.
تعريف: قواعد الاحتمال لحساب احتمالات الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث.
- احتمال الحدث المكمِّل للحدث يساوي:
- احتمال اتحاد الحدثين ، يساوي:
يَستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمال لاتحاد حدثين والفرق بين حدثين.
مثال ٥: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع
افترض أن ، حدثان لهما الاحتمالان ، . إذا كان ، فأوجد .
الحل
بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي:
وبما أننا لا نعرف قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة أخرى لإيجاد ذلك. وبما أننا نعرف قيمة وقيمة وقيمة ، إذن يمكننا استخدام قاعدة الجمع لحساب الاحتمال:
عندما نُعوِّض بـ ، ، وبـ ، نحصل على معادلة بها :
وبإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ، نحصل على:
بما أننا أوجدنا قيمة ، إذن يمكننا التعويض بتلك القيمة، وكذلك قيمة في الصيغة الآتية:
إذن، بالتعويض، يمكننا إيجاد قيمة :
إذن قيمة .
يَستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمال للحدث المكمِّل، واتحاد حدثين، والفرق بين حدثين.
مثال ٦: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع وقاعدة الحدث المكمِّل
افترض أن ، حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان ، ، ، فأوجد .
الحل
بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي:
ونظرًا لأن الحدثين ، معكوسان في هذه الصيغة، علينا إعادة كتابة تلك الصيغة كالآتي: نظرًا لأن .
وبما أننا نعرف قيمة ، وقيمة ، وقيمة ، ولا نعرف قيمة أو قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قواعد احتمال الحدث المكمّل واتحاد حدثين. بدايةً، نَستخدم قاعدة احتمال الحدث المكمِّل لإيجاد قيمة .
نحن نعرف أن:
لذا، إذا أردنا إيجاد قيمة ، نُعوِّض بـ ، ثم نُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة :
بعد أن أوجدنا قيمة ، يُمكننا استخدام صيغة الجمع لإيجاد قيمة . وتكون الصيغة كالآتي:
وبالتعويض بـ ، ، وبـ ، ثم بإعادة ترتيب الصيغة بجعل في طرف بمفرده، نحصل على:
بما أننا أوجدنا قيمة ، إذن يمكننا الآن استخدام تلك القيمة بالإضافة إلى قيمة لإيجاد قيمة . ونقوم بذلك عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة ونُوجد قيمة :
إذن قيمة .
في هذا الشارح، تعرَّفنا على قاعدة احتمال الفرق بين حدثين ، . وقد رأينا أن هذا لا ينطبق إلا على أمثلة تُطبَّق عليها تلك القاعدة أو قواعد أخرى، مثل تلك الخاصة بمكمِّلة مجموعة، أو اتحاد مجموعتين.
النقاط الرئيسية
- الفرق بين المجموعتين ، يُشار إليه بـ ، وهو ممثَّل على شكل فن الآتي:
- قاعدة احتمال الفرق بين الحدثين ، تساوي:
- فيما يلي قاعدتا احتمال الفرق بين حدثين، عندما يكون مجموعة جزئية من :
- .
- .