شارح الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق الرياضيات

مثال ١: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين

افترِض أن ، حدثان. إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

تذكَّر أن صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين ، هي:

بالتعويض بـ ، في الصيغة الواردة سابقًا، نحصل على:

إذن قيمة .

مثال ٢: إيجاد احتمال حدث بمعلومية احتمال فرق الحدثين واحتمال تقاطعهما

افترض أن ، حدثان. إذا كان ، ، فأوجد .

الحل

صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين ، هي:

بالتعويض بـ ، ، نحصل على التعبير الآتي:

وإذا أعدنا ترتيب تلك الصيغة وجعلنا في طرف بمفرده، نحصل على:

إذن قيمة .

مثال ٣: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما

سُحِبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كلُّ واحدة منها ذات رقم مميز من ١ إلى ١٢. نفترض أن يمثِّل حدث سحب عدد فردي، ويمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي. أوجد .

الحل

لإيجاد قيمة ، نستخدم صيغة حساب احتمال الفرق بين الحدثين ، ، وهي:

ولكي نفعل ذلك، لا بد أن نحسب قيمة ، وقيمة .

ولكي نحسب قيمة ، علينا أولًا أن نُحدِّد المجموعة . ونعلم من المُعطيات أن يمثِّل حدث سحب عدد فردي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن يُعطى بواسطة المجموعة .

بما أن عدد نتائج يساوي ٦، وإجمالي عدد النتائج يساوي ١٢ (نظرًا لوجود ١٢ كرة في الحقيبة)، إذن احتمال مُعطى بواسطة:

ومن أجل أن نُوجِد قيمة ، نبدأ بتحديد المجموعة ، والمجموعة ، والمجموعة . ونعلم أن يُعطى بواسطة المجموعة (كما هو مذكور سابقًا). المجموعة تمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن يُعطى بواسطة المجموعة .

نلاحظ أن ؛ أي تقاطع ، هو المجموعة التي تحتوي على العناصر التي تقع في كلا الحدثين ، . في هذه الحالة، . احتمال يُعطى بواسطة:

يمكننا الآن التعويض بـ ، في صيغة من أجل إيجاد قيمة :

إذن قيمة .

مثال ٤: إيجاد احتمال حدث بمعلومية الفرق بين حدثين، عندما يكون أحدهما مجموعة جزئية من الآخر

افترض أن ، حدثان. إذا كان ، ، ، فأوجد .

الحل

بالنسبة إلى الحدثين ، ؛ حيث ، نعرف أن . وبالنسبة إلى الفرق بين حدثين، فإن هذا يُعطينا:

وبما أن قيمة ، وقيمة ، إذن من خلال التعويض، يمكننا تكوين المعادلة الآتية:

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده، وبهذا نحصل على:

إذن قيمة .

مثال ٥: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع

افترض أن ، حدثان لهما الاحتمالان ، . إذا كان ، فأوجد .

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي:

وبما أننا لا نعرف قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة أخرى لإيجاد ذلك. وبما أننا نعرف قيمة وقيمة وقيمة ، إذن يمكننا استخدام قاعدة الجمع لحساب الاحتمال:

عندما نُعوِّض بـ ، ، وبـ ، نحصل على معادلة بها :

وبإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ، نحصل على:

بما أننا أوجدنا قيمة ، إذن يمكننا التعويض بتلك القيمة، وكذلك قيمة في الصيغة الآتية:

إذن، بالتعويض، يمكننا إيجاد قيمة :

إذن قيمة .

مثال ٦: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع وقاعدة الحدث المكمِّل

افترض أن ، حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان ، ، ، فأوجد .

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي:

ونظرًا لأن الحدثين ، معكوسان في هذه الصيغة، علينا إعادة كتابة تلك الصيغة كالآتي: نظرًا لأن .

وبما أننا نعرف قيمة ، وقيمة ، وقيمة ، ولا نعرف قيمة أو قيمة ، إذن لا بد أن نستخدم قواعد احتمال الحدث المكمّل واتحاد حدثين. بدايةً، نَستخدم قاعدة احتمال الحدث المكمِّل لإيجاد قيمة .

نحن نعرف أن:

لذا، إذا أردنا إيجاد قيمة ، نُعوِّض بـ ، ثم نُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة :

بعد أن أوجدنا قيمة ، يُمكننا استخدام صيغة الجمع لإيجاد قيمة . وتكون الصيغة كالآتي:

وبالتعويض بـ ، ، وبـ ، ثم بإعادة ترتيب الصيغة بجعل في طرف بمفرده، نحصل على:

بما أننا أوجدنا قيمة ، إذن يمكننا الآن استخدام تلك القيمة بالإضافة إلى قيمة لإيجاد قيمة . ونقوم بذلك عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة ونُوجد قيمة :

إذن قيمة .