شارح الدرس: التكامل غير المحدد: مقلوب الدوال المثلثية الرياضيات

مثال ١: إيجاد تكامل الدوال المثلثية التي تتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية

أوجد .

الحل

نلاحظ أن الدالة المُعطاة التي سيُجرى عليها التكامل تتضمَّن حاصل ضرب دالتي القاطع والظل. لذا، فإننا نتذكَّر التكامل غير المحدد الآتي:

لاستخدام هذه الصيغة في المثال، علينا تعديل الزاوية للدوال المثلثية. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بـ ؛ حيث:

بالتعويض بهذا التغيير للمتغيِّرات في التكامل، نحصل على:

يمكننا الآن تطبيق الصيغة التي تذكَّرناها سابقًا لكتابة هذا التكامل غير المحدد على الصورة:

وبما أن ثابت اختياري، إذن يمكننا ببساطة التعبير عن الثابت بالرمز في الإجابة. وبالتعويض بـ مرة أخرى في المقدار الناتج، فإننا نحصل على:

مثال ٢: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوال مثلثية

أوجد .

الحل

عندما يكون لدينا مقدار على الصورة التحليلية داخل الدالة التي سيُجرى عليها التكامل، كما هو الحال هنا، علينا أن نبدأ بفك القوسين في هذه الدالة. ومن ثَمَّ، نحصل على:

وبما أن ، إذن يمكننا تبسيط الحد الأول باستخدام حقيقة أن:

وبالتعويض بذلك في الدالة التي سيُجرى عليها التكامل، يصبح لدينا:

علينا الآن إيجاد قيمة التكامل غير المحدد الآتي:

الحد الأول في الدالة التي سيُجرى عليها التكامل يتضمَّن دالة جيب التمام، والحد الثاني يتضمَّن حاصل ضرب دالتي القاطع والظل. لذا، فإننا نتذكَّر الصيغتين التاليتين:

وقبل أن نتمكَّن من تطبيق هاتين الصيغتين لإيجاد التكامل غير المحدد المُعطى، علينا تعديل الزاوية للدوال المثلثية. نستخدم التعويض بـ ؛ حيث:

يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الثانية لنحصل على . وبالتعويض بهذا التغيير للمتغيِّر في التكامل، يصبح لدينا:

نطبِّق الصيغتين السابقتين لنحصل على: حيث ، ثابتين اختياريين. وبما أننا، بعد فك الأقواس، سيكون لدينا ، معًا، إذن يمكننا التعويض عن ذلك بثابت اختياري آخر، وهو ، لكتابة الحل على الصورة:

بالتعويض بـ مرة أخرى في المقدار، فإننا نحصل على التكامل غير المحدد:

مثال ٣: إيجاد تكامل الدوال المثلثية التي تتضمَّن مقلوب الدوال المثلثية

أوجد .

الحل

بما أن الدالة التي سيُجرى عليها التكامل تتضمَّن مقدارًا على الصورة التحليلية، علينا البدء بفك القوسين في هذه الدالة. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

الحد الأول هو حاصل ضرب دالتي القاطع والظل، والحد الثاني هو مربع دالة القاطع. لحل هذه المسألة، فإننا نتذكَّر التكاملين غير المحددين الآتيين:

وبتطبيق هاتين الصيغتين على التكامل، نحصل على: حيث ، ثابتين اختياريين. وبما أننا، بعد فك الأقواس، سيكون لدينا ، معًا، إذن يمكننا التعويض عن ذلك بثابت اختياري آخر، وهو ، لكتابة الحل على الصورة:

مثال ٤: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن دوال مثلثية

أوجد .

الحل

الدالة المُعطاة التي سيُجرى عليها التكامل هي حاصل ضرب دالتي قاطع التمام وظل التمام. لذا، نسترجع التكامل الآتي:

لكن قبل تطبيق هذه الصيغة على التكامل، هيا نستخدم طريقة التعويض بـ من خلال تعريف:

يمكننا أيضًا كتابة المعادلة الأخيرة على الصورة . وبالتعويض بهذا التغيير للمتغيِّرات في التكامل، يصبح لدينا:

يمكننا الآن تطبيق الصيغة التي تذكَّرناها من قبل لكتابة هذا التكامل غير المحدد على الصورة:

وبما أن ثابت اختياري، إذن يمكننا ببساطة التعبير عن الثابت بالرمز في الإجابة. وبالتعويض بـ في المقدار الناتج استرجاعًا للمتغيِّر الأصلي، نحصل على:

مثال ٥: إيجاد تكامل مقلوب دالة مثلثية زاويتها على الصورة أ س + ب

أوجد .

الحل

بما أن ثابت، إذن يمكننا البدء بإخراجه من التكامل:

يمكننا استخدام طريقة التعويض بـ من خلال تعريف:

ويمكننا أيضًا كتابة المعادلة الأخيرة على الصورة . بالتعويض بهذا التغيير للمتغيِّرات في التكامل، نحصل على:

نلاحظ أن الدالة التي سيُجرى عليها التكامل تتضمَّن مربع دالة ظل التمام. المشتقة العكسية لـ لا يمكن إيجادها بسهولة، لكننا نعرف أنه يمكننا التعبير عن بدلالة ، ونعرف أن تكامل هو:

للحصول على العلاقة بين ، ، فإننا نقسم طرفَي متطابقة فيثاغورس على :

وهذا يماثِل:

نحن نلاحظ أن الدالة التي سيُجرى عليها التكامل هي . ومن ثَمَّ، بتطبيق هذه المتطابقة على التكامل، نحصل على:

يمكننا الآن تطبيق صيغة المشتقة العكسية لـ لإيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدد:

ويمكننا التعويض عن بالرمز بما أن ثابت اختياري. ويمكننا أيضًا التعويض عن بـ . ومن ثَمَّ، نجد أن: