في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم مثلث باسكال لإيجاد معاملات المفكوك الجبري لأي مقدار ذي حدين على الصورة .
نبدأ بالنظر إلى مفكوك للقيم المتتالية للقوة التي تبدأ بـ . وبما أن أي عدد مرفوع للقوة صفر يساوي ١ (لاحظ أننا نستخدم القاعدة المتعارف عليها أن )، إذن:
وبالمثل، عندما يكون ، تكون لدينا حالة بديهية نوعًا ما:
لكن، عندما يكون ، تصبح الأمور أكثر أهمية قليلًا. وباستخدام الطريقة الجبرية المعتادة، نعلم أن:
نتناول الآن لهذه الحالة. نستخدم إجابتنا في لكتابة المفكوكين على النحو الآتي:
بفك القوسين، نحصل على:
وبالمثل، يمكننا إيجاد مفكوك باستخدام مفكوك على النحو الآتي:
ويمكننا الآن فك القوسين، لنحصل على:
كما نلاحظ، إذا حاولنا إيجاد مفكوك بهذه الطريقة، فقد يستغرق الأمر وقتًا طويلًا وجهدًا كبيرًا. ما نحتاج إليه هو طريقة أفضل يمكن تعميمها على قوى أعلى. ولإيجاد هذه الطريقة، نتناول أولًا أنماطًا قد تساعدنا. نبدأ بكتابة مفكوكات بطريقة مرتَّبة أحدها فوق الآخر لنرى إذا ما كان بإمكاننا رؤية أي أنماط.
أوضح الأنماط التي نلاحظها مرتبطٌ بالأقطار: معاملات الحدود في القطر الأول تحتوي على أعداد تساوي واحدًا فقط، والمعاملات في القطر الثاني تحتوي على أعداد صحيحة متتالية.
علاوةً على ذلك، نلاحظ وجود تماثل انعكاسي حول المركز.
نلاحظ كذلك أنه في أي صفٍّ يساوي مجموع الأسس . على سبيل المثال، في الصف الذي يمثِّل ، الحد الثاني هو . نجد أن أس يساوي ٣، وأس هو ١. ومن ثَمَّ، فإن مجموعهما يساوي ٤.
وأخيرًا، نلاحظ وجود علاقة بين المعاملات في كل صف والذي يليه: إذا جمعنا معاملَيْن في صفٍّ ما، فسنحصل على معامل في الصف التالي.
عادةً ما يشار إلى المثلث الذي يتكوَّن من معاملات ذات الحدين بمثلث باسكال.
تعريف: مثلث باسكال
مثلث باسكال هو شبكة مثلثة الشكل من معاملات ذات الحدين. الصفوف مرقَّمة من الأعلى؛ فيكون رقم الصف الأول . وبالمثل، العناصر في كل صف مرقَّمة من تصاعديًّا إلى . الصفوف الثمانية الأولى في مثلث باسكال موضَّحة في الآتي:
على الرغم من أن المثلث في معظم أنحاء العالم الغربي يُسمَّي باسم عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال، فإنه في الواقع، كان معروفًا لعلماء الرياضيات قبل قرون في أماكن مثل الصين وبلاد فارس والهند.
من السهل تكوين مثلث باسكال لقيم الصغيرة؛ ومن ثَمَّ، فهو مفيد للغاية في فك ذوات الحدين ذات الأسس التي تكون عبارة عن أعداد متوسطة نسبيًّا. سنرى فيما بعد كيف توفِّر لنا خواصه طريقة لفك ذوات الحدين العامة.
علينا الانتباه إلى التمييز بين الإشارة إلى الصفوف باستخدام الأعداد الترتيبية، مثل الصف الأول والصف الثاني، والإشارة إليها باستخدام رقم الصف : فعندما نقول الصف الثاني، فإننا نشير إلى الصف الذي يكون عنده .
مثال ١: استخدام مثلث باسكال لإيجاد معاملات ذات الحدين
كان سامح يبحث العلاقة بين مثلث باسكال ومفكوك ذات الحدين. لاحَظَ أن كل صف في مثلث باسكال يمكن استخدامه لإيجاد معاملات مفكوك ذات الحدين ، كما هو موضَّح في الشكل. على سبيل المثال، الصف الخامس في مثلث باسكال يمكن استخدامه لإيجاد معاملات مفكوك .
- أوجد معاملات مفكوك عن طريق حساب الصف التالي في مثلث باسكال.
- يرغب سامح الآن في حساب معاملات كل حدٍّ من مفكوك . بالتعويض بـ في المفكوك الموجود بالشكل أو باستخدام طريقة أخرى، احسب جميع معاملات المفكوك.
الحل
الجزء الأول
لحساب الصف السابع من مثلث باسكال، نبدأ بكتابة الصف السادس. حسنًا، بما أن جميع الصفوف تبدأ بالعدد ١، إذن يمكننا كتابة ذلك. يمكننا بعد ذلك جمع كل زوج متتالٍ من عناصر الصف السادس وكتابة حاصل الجمع في الفراغ الموجود أسفله. سنوضِّح هذه العملية في الآتي.
بدءًا بالزوج الأول من الحدود، ١ و٥، نجمعهما معًا لنحصل على ٦، ونضعه في الفراغ الموجود أسفلهما.
ننتقل إلى الزوج التالي من الحدود؛ حيث لدينا ، الذي نضيفه بالمثل إلى الصف.
والآن، نتناول الحدين الأوسطين .
وأخيرًا، يمكننا استخدام تماثل مثلث باسكال لكتابة باقي الصف.
بما أن عناصر مثلث باسكال هي معاملات ذات الحدين، إذن يمكننا القول إن معاملات حدود المفكوك ستكون: ١، ٦، ١٥، ٢٠، ١٥، ٦، ١ على الترتيب.
الجزء الثاني
بما أن: إذن يمكننا التعويض بـ عن وكتابة:
بالتبسيط، يكون لدينا:
ولذلك، فإن معاملات كل حدٍّ من حدود مفكوك هي ١٦، ٣٢، ٢٤، ٨، ١.
مثال ٢: استخدام مثلث باسكال لإيجاد معاملات ذات الحدين
يعرف باسم أن بإمكانه استخدام الصف السادس من مثلث باسكال لحساب معاملات مفكوك .
- احسب الأعداد في الصف السادس بمثلث باسكال، وبناءً على ذلك، اكتب معاملات مفكوك .
- الآن، بمراعاة القوى المختلفة لكلٍّ من ، ، وباستخدام مثلث باسكال، احسب معاملات مفكوك .
الحل
الجزء الأول
نتذكَّر أنه يمكننا كتابة صفوف مثلث باسكال عن طريق جمع أزواج المعاملات الموجودة في الصفوف السابقة. ومن ثَمَّ، بدءًا من الصفين الأول والثاني، اللذين يحتويان على معاملات تساوي واحدًا فقط، يمكننا تكوين الصف الثالث عن طريق جمع الحدود المتتالية، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
وبالمثل، يمكننا كتابة الصفوف الأخرى بالطريقة نفسها، حتى نصل إلى الصف السادس.
وبما أن عناصر مثلث باسكال هي معاملات ذات الحدين، إذن يمكننا القول إن معاملات حدود مفكوك هي ١، ٥، ١٠، ١٠، ٥، ١ على الترتيب.
الجزء الثاني
لإيجاد معاملات الحدود في مفكوك ، يمكننا أولًا إخراج ٢ خارج القوس كالآتي:
يمكننا الآن التعويض بـ عن في المفكوك: لنحصل على:
يمكننا تبسيط هذا المقدار كالآتي:
إذن:
ومن ثَمَّ، فإن معاملات كل حدٍّ في مفكوك هي ٣٢، ،٣٢٠، ،١٦٠، .
عند التعامل مع مفكوكات ذات الحدين، قد نهتم فقط بحدود معيَّنة، أو حتى معاملات حدود معيَّنة.
يمكن تحديد الحدود المنفردة عادةً بالبحث عن قوى متغيِّر محدَّد. ننظر إلى قوى المتغيِّر في مفكوك بسيط مثل . تتضمَّن حدود المفكوك جميع القوى الصحيحة لـ من إلى .
ولكن إذا كان حدان في ذات الحدين يحتويان على المتغيِّر نفسه، فقد لا يكون من الواضح أيُّ قوى متغيِّر معيَّن سوف تظهر. وأحد هذه الأمثلة هو . بالتعبير عن يمكننا ملاحظة أن مثل هذا المفكوك لن يتضمَّن سوى قوى زوجية أو فردية للمتغيِّر من إلى .
نتناول مثالًا على ذلك.
مثال ٣: استخدام مثلث باسكال لإيجاد المعامل في حاصل ضرب مفكوكَي ذواتَي حدين
أوجد معامل في مفكوك .
الحل
بمعلومية أن لدينا حاصل ضرب مقدارَي ذواتَي حدين مرفوعين لقوة ما، فمن المفيد عادةً أن نقوم بفك كل مجموعة من قوسين على حدة؛ ثم يمكننا بعد ذلك التفكير في حاصل ضربهما. بما أن المقدارين من ذات الحدين مرفوعين للقوة ثلاثة، إذن يمكننا إيجاد معاملات الحدود باستخدام الصف الرابع من مثلث باسكال.
لاحظ أنه يُشار عادةً إلى القيمة المفردة الموجودة أعلى المثلث بالصف الأول. لتجنُّب أي التباس، نستخدم الصف الذي عنده .
نبدأ بأول مجموعة أقواس: يمكننا تطبيق طريقة فك مقدار عام ذي حدين مرفوع للقوة ٣، وهو ما يوضِّح أن:
وبجعل ، ، يكون لدينا:
وبالمثل، يمكننا التفكير في مجموعة الأقواس الثانية بالتعويض بـ ، في المعادلة؛ حيث يكون لدينا:
ومن ثَمَّ، يكون لدينا:
يمكننا الآن التفكير في أي أزواج الحدود التي حاصل ضربها يحتوي . وفي الواقع، هناك زوجان فقط من هذه الحدود: ، ، ، :
ومن ثَمَّ، بما أن هذين الحدين يحتويان ، إذن كلٌّ منهما يسهم في معامل هذا الحد في المفكوك الأخير. ومن ثَمَّ، فإن المعامل النهائي لـ يساوي مجموع معامليهما. وبما أن كلا الحدين لهما المعامل ٣، إذن المعامل النهائي لـ يكون .
بالنسبة إلى القيم الكبرى لـ ، يلزم الكثير من العمل لإيجاد الحدود الفردية إذا كانت الطريقة تتضمَّن كتابة المفكوك بالكامل.
أما باقي هذا الشارح، فسيُقدِّم بعض الأساليب التي تُقلِّل من عدد العمليات الحسابية المطلوبة لمثل هذه الأسئلة.
مثال ٤: استخدام مثلث باسكال لإيجاد معامل حدٍّ معيَّن في مفكوك ذات الحدين
أوجد معامل في مفكوك .
الحل
نتذكَّر أن عناصر مثلث باسكال تُعطينا معاملات الحدود في مفكوك ذات الحدين. وبما أننا نفك مقدارًا لذات الحدين مرفوعًا للقوة ٨، إذن نستخدم الصف التاسع من المثلث، .
إيجاد المعاملات من مثلث باسكال لا يكفي بحد ذاته للإجابة عن السؤال. وبما أننا نحاول إيجاد معامل في المفكوك الأخير، إذن علينا أيضًا حساب معاملات الحدود في ذات الحدين نفسها.
في هذه المرحلة يمكننا التبسيط باستخدام التعويض بـ ، . وهذا يمكِّننا من الوصول إلى مفكوك مباشر باستخدام .
ويمكننا أيضًا اختيار استخدام الحدود في مقدار ذات الحدين الأصلية مباشرةً، والدمج مع المعاملات الموجودة في مثلث باسكال.
عند هذه النقطة يمكننا تبسيط الحدود والوصول إلى إجابة، لكن بالنسبة إلى مقادير ذات الحدين المرفوعة لقوى كبيرة، نلاحظ أن كتابة مثل هذا المفكوك يمكن أن تكون شاقة إلى حدٍّ ما! تجدر الإشارة إلى بعض الأساليب التي يمكننا استخدامها لتوفير الوقت.
نفكِّر في أي حد (أو حدود) يحتوي على . في هذه الحالة، نحتاج فقط إلى الانتباه إلى قوى . كما هو موضَّح في المفكوك، يحتوي كل حدٍّ بالتوالي على قوى أكبر لـ .
مثل الصف المناظر في مثلث باسكال، يمكننا تسمية هذه الحدود باستخدام ؛ حيث يناظر الحد الأول. تزداد قيمة وصولًا إلى ؛ حيث هو عدد الصفوف في مثلث باسكال.
من أجل مفكوك ذات الحدين، يكون هو الحد الوحيد المتعلِّق بإيجاد معامل . إذا كانت قوة أكبر من أو أصغر من ٥، فستكون قوة نفسها أكبر من أو أصغر من ٥.
العنصر الذي رقمه في مثلث باسكال يُعطينا المعاملات المذكورة سابقًا.
بدلًا من كتابة المفكوك بالكامل، تُعطينا هذه الطريقة أسلوبًا مختصرًا لإيجاد الحدود المنفردة.
ومن ثَمَّ، يكون معامل هو ١ ٤٠٠ ٠٠٠.
ملاحظة أخيرة، إذا كان ترتيب الحدود في مقدار ذات الحدين السابق معكوسًا، فسيظهر عندما يكون . وبما أن ، إذن هذا يعني أننا سنحسب الحد عندما يكون .
لحسن الحظ، لن يُغيِّر هذا الإجابة. إن أبسط طريقة لفهم سبب ذلك هي إدراك أن العنصر والعنصر في مثلث باسكال متساويان نتيجةً للتماثل. وهذا يعني أن المعامل (ومن ثَمَّ إجابتنا في المثال السابق) يظل كما هو.
إن الطريقة الموضَّحة لإيجاد الحدود المنفردة مفيدة، ويمكن تعميمها في ذات حدين لها قوى أعلى. العيب الوحيد المتبقي هو أنه لإيجاد العنصر رقم من الصف رقم في مثلث باسكال، لا يزال علينا تكوين عدد صفوف من المثلث!
على الرغم من أن استخدام مثلث باسكال يمكن، على نحوٍ كبير، أن يبسِّط إيجاد مفكوك ذات الحدين للقوة رقم وصولًا إلى ١٠، يصبح الأمر بعد هذه النقطة غير عملي. لذا، يكون من المفيد معرفة إذا ما كانت هناك علاقة بين العناصر المتتالية في صفوف مثلث باسكال.
على سبيل المثال، نتناول الصف التاسع من مثلث باسكال (أي الصف عند ). نضع في الاعتبار المضاريب التي تنقلنا من عنصر إلى آخر. يمثِّل الشكل الآتي ذلك:
يمكننا أن نلاحظ بوضوح أن هناك نمطًا يربط العنصر بالعنصر الذي يليه. وفي الواقع، يمكننا التعبير عن ذلك بطريقة عامة كالآتي: الانتقال من العنصر الذي رقمه إلى العنصر الذي رقمه ، نضرب في ، ونقسم على . لا تنطبق هذه القاعدة على الصف التاسع فحسب، بل تُعمَّم أيضًا على أيِّ صف في مثلث باسكال. باستخدام هذه الحقيقة، يمكننا فك ذوات الحدين التي تكون لها أسس كبيرة.
خاصية: العلاقة بين الحدود المتتالية في الصف نفسه في مثلث باسكال
العلاقة بين العناصر المتتالية في الصف الذي ترتيبه (والذي نُرقِّمه حسب المتعارف عليه بـ ) في مثلث باسكال كالآتي: للانتقال من العنصر الذي رقمه إلى العنصر الذي رقمه ، نضرب في .
يوضِّح المثالان الآتيان هذه الحقيقة.
مثال ٥: استخدام مثلث باسكال لإيجاد مفكوكات ذات الحدين
اكتب أول خمسة حدود من المفكوك في صورة قوى تصاعدية لـ .
الحل
نبدأ بالنظر إلى معاملات الحدود الخمسة الأولى في هذا المفكوك. المعاملات مُعطاة بواسطة الصف التاسع عشر في مثلث باسكال، وهو الصف الذي عند . العنصر الأول في أي صف في مثلث باسكال هو ١. نتذكَّر أن العلاقة بين عنصرين متتاليين في صف واحد في مثلث باسكال تنص على الآتي: للانتقال من العنصر الذي رقمه إلى العنصر الذي رقمه ، نضرب في . بتطبيق هذه القاعدة، يمكننا حساب العنصر الذي رقمه واحد بضرب العنصر الذي رقمه صفر في . بعد ذلك، لإيجاد العنصر الذي رقمه اثنان، نضرب في . وبالمتابعة بهذه الطريقة، يمكننا إيجاد الحدود الخمسة الأولى في الصف، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
ومن ثَمَّ، فإن الحدود الخمسة الأولى مُعطاة بواسطة:
بالتبسيط، يكون لدينا:
مثال ٦: استخدام مثلث باسكال لإيجاد مفكوك ذات الحدين
أوجد المفكوك الكامل للمقدار .
الحل
نبدأ بإيجاد معامل ذات الحدين. تكون المعاملات مُعطاة بدلالة الصف الحادي عشر في مثلث باسكال، وهو الصف الذي عند . العنصر الأول في أي صف في مثلث باسكال هو ١. بعد ذلك، نتذكَّر أن العلاقة بين عنصرين متتاليين في صفٍ واحد في مثلث باسكال تنص على أنه: للانتقال من العنصر الذي رقمه إلى العنصر الذي رقمه ، نضرب في . بتطبيق هذه القاعدة، يمكننا حساب العنصر الذي رقمه واحد بضرب العنصر الذي رقمه صفر (ترتيبه ١) في . بعد ذلك، لإيجاد العنصر الذي رقمه اثنان، نضرب في . وبالمتابعة بهذه الطريقة، يمكننا إيجاد الحدود الخمسة الأولى في الصف، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:
لاحِظ أنه بمجرد أن نحصل على الحد الأوسط، يمكننا ببساطة أن نستخدم تماثل مثلث باسكال ونكمل العناصر الأخرى.
إذن:
بجعل ، ، يكون لدينا:
وأخيرًا، يمكننا تبسيط العوامل كالآتي:
ولعلك تدرك أن مثلث باسكال يرتبط ارتباطًا وثيقًا بفرع التوافيق. ولكن على الرغم من أن التوافيق خارج نطاق هذا الدرس، فإنها توفِّر مجموعة قوية من الأدوات لفهم مفكوكات ذات الحدين وإجراء العمليات عليها. ننصحك بتعميق معرفتك حول نظرية ذات الحدين، ومع هذا ستزودك المهارات في هذا الدرس بأساس قوي عنها.
النقاط الرئيسية
- يمكننا تكوين مثلث باسكال بسرعة لقيم الصغيرة، لفك مقادير ذات الحدين التي على الصورة بسهولة.
- لمفكوك مقادير ذات الحدين التي على الصورة ، يمكننا إيجاد الحدود المنفردة من خلال استخدام المعاملات من مثلث باسكال بالاقتران مع القوى المتتالية لـ ، : حيث هو عدد الصفوف في مثلث باسكال، ويأخذ القيم الصحيحة من ٠ إلى .
- بالنسبة إلى قيم الكبرى، يمكننا استخدام العلاقة بين الحدود المتتالية لفك ذوات الحدين: للانتقال من العنصر الذي رقمه إلى العنصر الذي رقمه ، نضرب في .
