في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على نظريات عن إيجاد قياس زاوية محيطية، بالنسبة إلى القوس المقابل لها أو زاوية مركزية مقابلة لنفس القوس، وقياسات الزوايا المحيطية في نصف دائرة.
دعونا أولًا نتعرَّف على الزاوية المحيطية.
تعريف: الزاوية المحيطية
الزاوية المحيطية هي الزاوية الداخلية المحصورة بين وترين يتقاطعان على الدائرة.
سنُثبت الآن وجود علاقة مُهِمَّة بين قياس الزاوية المحيطية وقياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس. لاحِظ أن قياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس، بحسب التعريف، تساوي قياس القوس المقابل للزاوية المحيطية.
دعونا أولًا نتناول الحالة التي يكون فيها مركز الدائرة، ، ينتمي إلى أحد ضلعي الزاوية المحيطية.
الزاوية المحيطية والزاوية المركزية مقابلتان لنفس القوس . وجدير بالذكر أن القوس المعروف أنه المقابل للزاوية هو القوس الذي لا يتضمَّن النقطة (وهو القوس المرسوم باللون الأحمر في الشكل).
نظرًا لأن لدينا ضلعين في المثلث يُمثِّلان نصفَيْ قطرَيْن للدائرة، فهو إذن مثلث متساوي الساقين. وهذا يعني أن المثلث يكون فيه:
ومن ثَمَّ، بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ، إذن يكون لدينا:
الزاويتان ، تقعان على خط مستقيم واحد؛ ومن ثَمَّ، نحصل على:
تؤدِّي المعادلتان (١) و(٢) إلى أن: وهو ما يعني أن:
سنتناول الآن حالة أخرى لزاوية محيطية وزاوية مركزية مقابلتين لنفس القوس؛ أيْ عندما يكون مركز الدائرة عبارة عن نقطة داخل الزاوية المحيطية.
يُمكننا استخدام النتيجة السابقة للزاوية المحيطية التي لها ضلع يمرُّ بمركز الدائرة، عن طريق تقسيم الزاوية المحيطية إلى الزاويتين المحيطيتين، ، ، اللتين لهما ضلع يمرُّ بمركز الدائرة (حيث يكون قطرًا للدائرة).
فنحصل على: وكذلك على:
بما أن ، ، فسنجد أن:
إذن:
وأخيرًا: لنتناول الحالة الثالثة، عندما يكون مركز الدائرة ، خارج الزاوية المحيطية.
بالنسبة إلى الحالة السابقة، فإننا نتناول الزاويتين المحيطيتين اللتين لهما ضلع يمرُّ بمركز الدائرة، ، وكذلك ؛ حيث يكون قطرًا للدائرة.
بما أن ، ، فسنجد أن:
إذن:
لقد وجدنا النتيجة نفسها في المواضع الثلاثة المُمكنة لمركز الدائرة ، بالنسبة إلى الزاوية المحيطية؛ حيث يكون: (١) على أحد ضلعي الزاوية المحيطية، (٢) داخل الزاوية المحيطية، (٣) خارج الزاوية المحيطية.
تذكَّر أن قياس الزاوية المركزية المقابلة لقوس ما يساوي قياس هذا القوس.
نظرية: الزاوية المحيطية
إن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس؛ أيْ نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.
دعونا نرَ الآن في المثال الأول كيفية استخدام هذه النظرية لإيجاد قياس الزاوية المحيطية.
مثال ١: إيجاد قياس الزاوية المحيطية بمعلومية قياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس
أوجد .
الحل
دعونا نُطلِق على مركز الدائرة. فهو نقطة تقاطع كلٍّ من ، .
الزاوية عبارة عن زاوية محيطية؛ لأن النقاط ، ، تُوجَد على الدائرة. والزاويتان ، عبارة عن زاويتين متقابلتين بالرأس؛ ومن ثَمَّ، فإن لهما القياس نفسه، وهو . الزاوية هي الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس مثل الزاوية . وتَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.
ومن ثَمَّ، نحصل على:
دعونا نلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن حلَّ معادلات خطية.
مثال ٢: إيجاد قياس الزاوية المحيطية بمعلومية قياس قوسها بحلِّ معادلتين خطيتين
من الشكل، ما قيمة ؟
الحل
في الدائرة التي مركزها ، الزاوية عبارة عن زاوية محيطية؛ لأن النقاط ، ، تُوجَد على الدائرة. والزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس (القوس الأكبر ) قياسها يساوي . وتَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.
ومن ثَمَّ، نحصل على:
دعونا الآن نلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن قياس قوس، وحلَّ معادلة خطية.
مثال ٣: حلُّ المعادلات باستخدام قياس الزاوية المحيطية بمعلومية قياس قوسها
إذا كان ، فأوجد .
الحل
الزاوية عبارة عن زاوية محيطية مقابلة للقوس ، وقياسه .
تَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس. ومن ثَمَّ، نحصل على:
بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن ؛ ومن ثَمَّ:
في المثال الآتي، سنحلُّ مسألة متعدِّدة الخطوات؛ حيث سيكون لدينا قياس قوس في المُعطيات.
مثال ٤: إيجاد قياس الزاوية المحيطية باستخدام قياس قوسها
أوجد .
الحل
الزاوية عبارة عن زاوية محيطية مقابلة للقوس . وتَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس. وهكذا نحصل على:
الزاوية عبارة عن زاوية محيطية مقابلة للقوس . ومن ثَمَّ:
تَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس. وهكذا نحصل على:
دعونا نلقِ نظرةً على نتيجة نظرية الزاوية المحيطية؛ أيْ عند رسم الزاوية المحيطية في نصف دائرة (وهو ما يعني أن الزاوية المحيطية تكون مقابلة لقوس قياسه )، أو بعبارة أخرى: عندما تكون الزاوية المركزية زاوية مستقيمة (أيْ إن قياس الزاوية المركزية يساوي ).
نحصل من خلال تطبيق نظرية الزاوية المحيطية على أن:
نتيجة: الزاوية المحيطية في نصف دائرة
إن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة.
دعونا نحلَّ الآن نظامًا من المعادلات الخطية لإيجاد قياس الزاوية المحيطية في نصف دائرة.
مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المحيطية في نصف دائرة
إذا كان ، فأوجد ، .
الحل
الزاوية المحيطية مرسومة في نصف دائرة طالما قطر للدائرة. إذن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة. ومن ثَمَّ، نحصل على:
بالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ، وهو ما يُعطينا:
بالتعويض بالقيمة التي أوجدناها عن في هذه المعادلة نحصل على:
لقد أوجدنا أن:
في المثال الأخير، سنحلُّ مسألة تتضمَّن زاوية محيطية مرسومة في نصف دائرة، وسنحلُّ معادلة.
مثال ٦: حلُّ المعادلات باستخدام قياس الزاوية المحيطية في نصف دائرة
إذا كان ، ، فأوجد قيمة .
الحل
الزاوية المحيطية مرسومة في نصف دائرة طالما قطر للدائرة. والزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة. ومن ثَمَّ، نحصل على:
بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ، مع مراعاة المثلث ، نجد أن:
هيَّا نلخِّص النقاط الرئيسية لهذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- الزاوية المحيطية عبارة عن زاوية يقع رأسها على الدائرة وضلعاها يكونان وترين للدائرة.
- تَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس؛ أيْ يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.
- تَنُصُّ نتيجة نظرية الزاوية المحيطية على أن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة.
