شارح الدرس: الزوايا المحيطية في الدائرة Mathematics

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نتعرَّف على نظريات عن إيجاد قياس زاوية محيطية، بالنسبة إلى القوس المقابل لها أو زاوية مركزية مقابلة لنفس القوس، وقياسات الزوايا المحيطية في نصف دائرة.

دعونا أولًا نتعرَّف على الزاوية المحيطية.

تعريف: الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية هي الزاوية الداخلية المحصورة بين وترين يتقاطعان على الدائرة.

سنُثبت الآن وجود علاقة مُهِمَّة بين قياس الزاوية المحيطية وقياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس. لاحِظ أن قياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس، بحسب التعريف، تساوي قياس القوس المقابل للزاوية المحيطية.

دعونا أولًا نتناول الحالة التي يكون فيها مركز الدائرة، 𞸌، ينتمي إلى أحد ضلعي الزاوية المحيطية.

الزاوية المحيطية 󰌑󰏡𞸢𞸁 والزاوية المركزية 󰌑󰏡𞸌𞸁 مقابلتان لنفس القوس 󰏡𞸁. وجدير بالذكر أن القوس 󰏡𞸁 المعروف أنه المقابل للزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸁 هو القوس الذي لا يتضمَّن النقطة 𞸢 (وهو القوس المرسوم باللون الأحمر في الشكل).

نظرًا لأن لدينا ضلعين في المثلث 󰏡𞸢𞸌 يُمثِّلان نصفَيْ قطرَيْن للدائرة، فهو إذن مثلث متساوي الساقين. وهذا يعني أن المثلث 󰏡𞸁𞸢 يكون فيه: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=𞹟󰌑󰏡.

ومن ثَمَّ، بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١، إذن يكون لدينا:

𞹟󰌑𞸢𞸌󰏡=٠٨١٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁.()١

الزاويتان 󰌑𞸢𞸌󰏡، 󰌑󰏡𞸌𞸁 تقعان على خط مستقيم واحد. ومن ثَمَّ، نحصل على:

𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁+𞹟󰌑𞸢𞸌󰏡=٠٨١𞹟󰌑𞸢𞸌󰏡=٠٨١𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁.()٢

تؤدِّي المعادلتان (١) و(٢) إلى أن: 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁 وهو ما يعني أن: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=١٢𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁.

سنتناول الآن حالة أخرى لزاوية محيطية وزاوية مركزية مقابلتين لنفس القوس؛ أيْ عندما يكون مركز الدائرة 𞸌 عبارة عن نقطة داخل الزاوية المحيطية.

يُمكننا استخدام النتيجة السابقة للزاوية المحيطية التي لها ضلع يمرُّ بمركز الدائرة، عن طريق تقسيم الزاوية المحيطية 󰌑󰏡𞸢𞸁 إلى الزاويتين المحيطيتين، 󰌑󰏡𞸢𞸃، 󰌑𞸃𞸢𞸁، اللتين لهما ضلع يمرُّ بمركز الدائرة (حيث يكون 𞸢𞸃 قطرًا للدائرة).

فنحصل على: 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸃=٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃 وكذلك على: 𞹟󰌑𞸃𞸌𞸁=٢𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁.

بما أن 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸌𞸃+𞹟󰌑𞸃𞸌𞸁، 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃+𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁، فسنجد أن: 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃+٢𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢(𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃+𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁)𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁.

إذن: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=١٢𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁.

وأخيرًا: لنتناول الحالة الثالثة، عندما يكون مركز الدائرة 𞸌، خارج الزاوية المحيطية.

بالنسبة إلى الحالة السابقة، فإننا نتناول الزاويتين المحيطيتين اللتين لهما ضلع يمرُّ بمركز الدائرة، 󰌑󰏡𞸢𞸃، وكذلك 󰌑𞸁𞸢𞸃؛ حيث يكون 𞸢𞸃 قطرًا للدائرة.

بما أن 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸌𞸃𞹟󰌑𞸁𞸌𞸃، 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃𞹟󰌑𞸁𞸢𞸃، فسنجد أن: 𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃٢𞹟󰌑𞸁𞸢𞸃𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢(𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃𞹟󰌑𞸁𞸢𞸃)𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁=٢𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁.

إذن: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=١٢𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁.

لقد وجدنا النتيجة نفسها في المواضع الثلاثة المُمكنة لمركز الدائرة 𞸌، بالنسبة إلى الزاوية المحيطية؛ حيث يكون: (١) على أحد ضلعي الزاوية المحيطية، (٢) داخل الزاوية المحيطية، (٣) خارج الزاوية المحيطية.

تذكَّر أن قياس الزاوية المركزية المقابلة لقوس ما يساوي قياس هذا القوس.

نظرية: الزاوية المحيطية

إن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس؛ أيْ نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.

دعونا نرَ الآن في المثال الأول كيفية استخدام هذه النظرية لإيجاد قياس الزاوية المحيطية.

مثال ١: إيجاد قياس الزاوية المحيطية بمعلومية قياس الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس

أوجد 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃.

الحل

دعونا نُطلِق 𞸌 على مركز الدائرة. فهو نقطة تقاطع كلٍّ من 𞸢𞸃، 󰏡𞸁.

الزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸃 عبارة عن زاوية محيطية؛ لأن النقاط 󰏡، 𞸢، 𞸃 تُوجَد على الدائرة. والزاويتان 󰌑𞸢𞸌𞸁، 󰌑󰏡𞸌𞸃 عبارة عن زاويتين متقابلتين بالرأس؛ ومن ثَمَّ، فإن لهما القياس نفسه، وهو ٢٧. الزاوية 󰌑󰏡𞸌𞸃 هي الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس مثل الزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸃. وتَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.

ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃=١٢𞹟󰌑󰏡𞸌𞸃𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃=١٢×٢٧𞹟󰌑󰏡𞸢𞸃=٦٣.

دعونا نلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن حلَّ معادلات خطية.

مثال ٢: إيجاد قياس الزاوية المحيطية بمعلومية قياس قوسها بحلِّ معادلتين خطيتين

من الشكل، ما قيمة 𞸎؟

الحل

في الدائرة التي مركزها 𞸌، الزاوية 󰌑󰏡𞸢𞸁 عبارة عن زاوية محيطية؛ لأن النقاط 󰏡، 𞸢، 𞸁 تُوجَد على الدائرة. والزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس (القوس الأكبر 󰏡𞸁) قياسها يساوي (٢𞸎+٨). وتَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.

ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=١٢𞹟󰌑󰏡𞸌𞸁١٠١=١٢(٢𞸎+٨)١٠١=𞸎+٤١٠١٤=𞸎+٤٤𞸎=٧٩.

دعونا الآن نلقِ نظرةً على مثال يتضمَّن قياس قوس، وحلَّ معادلة خطية.

مثال ٣: حلُّ المعادلات باستخدام قياس الزاوية المحيطية بمعلومية قياس قوسها

إذا كان 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=(𞸎+٥١)، فأوجد 𞸎.

الحل

الزاوية 󰌑𞸁󰏡𞸢 عبارة عن زاوية محيطية مقابلة للقوس 𞸁𞸢، وقياسه ٨١١.

تَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=١٢𞹟𞸁𞸢𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=١٢×٨١١=٩٥.

بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن 𞹟󰌑𞸁󰏡𞸢=(𞸎+٥١)؛ ومن ثَمَّ: 𞸎+٥١=٩٥𞸎=٩٥٥١𞸎=٤٤.

في المثال الآتي، سنحلُّ مسألة متعدِّدة الخطوات؛ حيث سيكون لدينا قياس قوس في المُعطيات.

مثال ٤: إيجاد قياس الزاوية المحيطية باستخدام قياس قوسها

أوجد 𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁.

الحل

الزاوية 󰌑󰏡𞸃𞸁 عبارة عن زاوية محيطية مقابلة للقوس 󰏡𞸁. وتَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس. وهكذا نحصل على: 𞹟󰌑󰏡𞸃𞸁=١٢𞹟󰏡𞸁٢٥=١٢×𞹟󰏡𞸁𞹟󰏡𞸁=٢×٢٥=٤٠١.

الزاوية 󰌑𞸃𞸢𞸁 عبارة عن زاوية محيطية مقابلة للقوس 𞸃𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸃. ومن ثَمَّ: 𞹟𞸃𞸁=𞹟󰏡𞸁+𞹟󰏡𞸃𞹟𞸃𞸁=٤٠١+٠٦=٤٦١.

تَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس. وهكذا نحصل على: 𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁=١٢𞹟𞸃𞸁𞹟󰌑𞸃𞸢𞸁=١٢×٤٦١=٢٨.

دعونا نلقِ نظرةً على نتيجة نظرية الزاوية المحيطية؛ أيْ عند رسم الزاوية المحيطية في نصف دائرة (وهو ما يعني أن الزاوية المحيطية تكون مقابلة لقوس قياسه ٠٨١)، أو بعبارة أخرى: عندما تكون الزاوية المركزية زاوية مستقيمة (أيْ إن قياس الزاوية المركزية 󰌑󰏡𞸌𞸁 يساوي ٠٨١).

نحصل من خلال تطبيق نظرية الزاوية المحيطية على أن: 𞹟󰌑󰏡𞸢𞸁=١٢×٠٨١=٠٩.

نتيجة: الزاوية المحيطية في نصف دائرة

إن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة.

دعونا نحلَّ الآن نظامًا من المعادلات الخطية لإيجاد قياس الزاوية المحيطية في نصف دائرة.

مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المحيطية في نصف دائرة

إذا كان 𞹟󰌑𞸢󰏡𞸁=١٣، فأوجد 𞸑، 𞸎.

الحل

الزاوية المحيطية 󰌑𞸁𞸢󰏡 مرسومة في نصف دائرة طالما 󰏡𞸁 قطر للدائرة. إذن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑𞸁𞸢󰏡=𞸑=٠٩.

بالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١، وهو ما يُعطينا: 𞸎+𞸑+١٣=٠٨١.

بالتعويض بالقيمة التي أوجدناها عن 𞸑 في هذه المعادلة نحصل على: 𞸎+٠٩+١٣=٠٨١𞸎+١٢١=٠٨١𞸎=٠٨١١٢١=٩٥.

لقد أوجدنا أن: 𞸑=٠٩𞸎=٩٥.،

في المثال الأخير، سنحلُّ مسألة تتضمَّن زاوية محيطية مرسومة في نصف دائرة، وسنحلُّ معادلة.

مثال ٦: حلُّ المعادلات باستخدام قياس الزاوية المحيطية في نصف دائرة

إذا كان 𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢=(٦𞸎+٥١)، 𞹟󰌑𞸢󰏡𞸁=(١١𞸎٠١)، فأوجد قيمة 𞸎.

الحل

الزاوية المحيطية 󰌑𞸁𞸢󰏡 مرسومة في نصف دائرة طالما 󰏡𞸁 قطر للدائرة. والزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞹟󰌑𞸁𞸢󰏡=٠٩.

بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١، مع مراعاة المثلث 󰏡𞸁𞸢، نجد أن: 𞹟󰌑𞸢󰏡𞸁+𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢+٠٩=٠٨١𞹟󰌑𞸢󰏡𞸁+𞹟󰌑󰏡𞸁𞸢=٠٩١١𞸎٠١+٦𞸎+٥١=٠٩٧١𞸎+٥=٠٩٧١𞸎=٠٩٥=٥٨𞸎=٥٨÷٧١𞸎=٥.

هيَّا نلخِّص النقاط الرئيسية لهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • الزاوية المحيطية عبارة عن زاوية يقع رأسها على الدائرة وضلعاها يكونان وترين للدائرة.
  • تَنُصُّ نظرية الزاوية المحيطية على أن قياس الزاوية المحيطية المقابلة لقوس ما يساوي نصف قياس هذا القوس؛ أيْ يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس.
  • تَنُصُّ نتيجة نظرية الزاوية المحيطية على أن الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة زاوية قائمة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.