في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد المسافة الأفقية أو الرأسية بين نقطتين على المستوى الإحداثي.
هيا نلقِ نظرة على مثالين لنفهم كيفية تطبيق ذلك.
المسافة بين نقطتين في مستوًى إحداثي
يمكن إيجاد المسافة بين أي نقطتين و بتطبيق نظرية فيثاغورس. فنحصل على:
مثال ١: إيجاد المسافة من نقطة إلى نقطة الأصل
افترض أن ، ، في نظام إحداثي له نقطة أصل . باستخدام نظرية فيثاغورس، أوجد المسافة بين ، .
الحل
عرفنا من الإحداثيات المعطاة في السؤال أن ، تقعان على خط رأسي وكذلك ، ؛ حيث إن النقطتين في كل زوج لهما الإحداثي نفسه. وبالمثل النقطتان ، تقعان على خط أفقي وكذلك ، . إذن هو مستطيل و و مثلثان متطابقان قائما الزاوية، زاويتاهما القائمتان تقعان عند ، على الترتيب.
المسافة بين و تساوي طول ، ويمكن إيجادها عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس إما على وإما على . في ، على سبيل المثال، هو الوتر، بينما، هما الساقان. هذا يعطينا:
إذن .
مثال ٢: إيجاد المسافة بين نقطتين باستخدام نظرية فيثاغورس
افترض أن ، في نظام إحداثي نقطة أصله . قائم الزاوية في ولذا فإن يوازي المحور ، يوازي المحور . باستخدام نظرية فيثاغورس، أوجد المسافة بين ، .
الحل
نرى هنا أن إحداثيات النقطة معرفة تمامًا بواسطة إحداثيات ، : وهي أي .
في الوتر هو والساقان هما، . وبما أن النقطتين ، تقعان على خط أفقي، إذن يمكن الحصول على طول ببساطة من خلال . ونحن نعرف أن إذن .
وبالمثل، يمكن معرفة طول من خلال وبما أن ، نجد أن.
بتطبيق نظرية فيثاغورس على نحصل على:
يمثل طولًا، ومن ثم يمكننا كتابة:
ويمكن استخدام المعادلة التي أوجدناها لإيجاد المسافة بين النقطتين ، مع أي نقطتين.
مثال ٣: إيجاد المسافات على مستوًى إحداثي
أوجد المسافة بين النقطتين ، .
الحل
- نوجد إحداثيات النقطتين ، من الشكل: و.
- نحن نعلم أن المسافة بين و هي طول أي .
- نعوض بإحداثيات ، في المعادلة: أعلاه:
إذا لم تتذكر الصيغة، فسيكون من السهل جدًّا استرجاعها بتطبيق نظرية فيثاغورس في باستخدام أو .
مثال ٤: إيجاد المسافات على مستوًى إحداثي
الشكل الرباعي رءوسه ، ، ، . أوجد طول .
الحل
- نوجد إحداثيات النقطتين ، من الشكل: وهي و.
- نحن نعلم أن طول يمكن إيجاده من .
- نعوض بإحداثيات ، في المعادلة أعلاه:
وحيث إن:
ولأن:
