شارح الدرس: المسافة على المستوى الإحداثي: المسافة الأفقية والرأسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد المسافة الأفقية أو الرأسية بين نقطتين على المستوى الإحداثي.

هيا نلقِ نظرة على مثالين لنفهم كيفية تطبيق ذلك.

المسافة بين نقطتين في مستوًى إحداثي

يمكن إيجاد المسافة بين أي نقطتين 󰏡󰁓𞸎،𞸑󰁒󰏡󰏡 و𞸁󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸁𞸁 بتطبيق نظرية فيثاغورس. فنحصل على: 󰏡𞸁=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.𞸁󰏡٢𞸁󰏡٢

مثال ١: إيجاد المسافة من نقطة إلى نقطة الأصل

افترض أن 󰏡(٣،٤)، 𞸁(٣،٠)، 𞸢(٠،٤) في نظام إحداثي له نقطة أصل 𞸅(٠،٠). باستخدام نظرية فيثاغورس، أوجد المسافة بين 𞸅، 󰏡.

الحل

عرفنا من الإحداثيات المعطاة في السؤال أن 󰏡، 𞸁 تقعان على خط رأسي وكذلك 𞸅، 𞸢؛ حيث إن النقطتين في كل زوج لهما الإحداثي 𞸎 نفسه. وبالمثل النقطتان 󰏡، 𞸢 تقعان على خط أفقي وكذلك 𞸅، 𞸁. إذن 󰏡𞸁𞸅𞸢 هو مستطيل و󰏡𞸁𞸅 و󰏡𞸢𞸅 مثلثان متطابقان قائما الزاوية، زاويتاهما القائمتان تقعان عند 𞸁، 𞸢 على الترتيب.

المسافة بين 𞸅 و󰏡 تساوي طول 𞸅󰏡، ويمكن إيجادها عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس إما على 󰏡𞸁𞸅 وإما على 󰏡𞸢𞸅. في 󰏡𞸁𞸅، على سبيل المثال، 𞸅󰏡 هو الوتر، بينما𞸅𞸁، 𞸁󰏡 هما الساقان. هذا يعطينا: 𞸅𞸁+󰏡𞸁=𞸅󰏡٣+٤=𞸅󰏡.٢٢٢٢٢٢

إذن 𞸅󰏡=٥.

مثال ٢: إيجاد المسافة بين نقطتين باستخدام نظرية فيثاغورس

افترض أن 󰏡(٧،٩)، 𞸁(٠١،٥) في نظام إحداثي نقطة أصله 𞸅(٠،٠). 󰏡𞸁𞸢 قائم الزاوية في 𞸢 ولذا فإن 𞸁𞸢 يوازي المحور 𞸎، 󰏡𞸢 يوازي المحور 𞸑. باستخدام نظرية فيثاغورس، أوجد المسافة بين 󰏡، 𞸁.

الحل

نرى هنا أن إحداثيات النقطة𞸢 معرفة تمامًا بواسطة إحداثيات 󰏡، 𞸁: وهي 󰁓𞸎،𞸑󰁒󰏡𞸁 أي (٧،٥).

في 󰏡𞸁𞸢 الوتر هو 󰏡𞸁 والساقان هما󰏡𞸢، 𞸢𞸁. وبما أن النقطتين 𞸢، 𞸁 تقعان على خط أفقي، إذن يمكن الحصول على طول 𞸢𞸁 ببساطة من خلال 𞸢𞸁=󰍸𞸎𞸎󰍸𞸁𞸢. ونحن نعرف أن 𞸎=𞸎𞸢󰏡 إذن 𞸢𞸁=󰍸𞸎𞸎󰍸=٠١٧=٣𞸁󰏡.

وبالمثل، يمكن معرفة طول 󰏡𞸢 من خلال 󰏡𞸢=󰍸𞸑𞸑󰍸𞸢󰏡 وبما أن 𞸑=𞸑𞸢𞸁، نجد أن󰏡𞸢=󰍸𞸑𞸑󰍸=|٩٥|=٤𞸁󰏡.

بتطبيق نظرية فيثاغورس على 󰏡𞸁𞸢 نحصل على: 󰏡𞸁=𞸢𞸁+󰏡𞸢󰏡𞸁=󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒.٢٢٢٢𞸁󰏡٢𞸁󰏡٢

يمثل 󰏡𞸁 طولًا، ومن ثم يمكننا كتابة: 󰏡𞸁=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒󰏡𞸁=󰋴٣+٤=٥.𞸁󰏡٢𞸁󰏡٢٢٢

ويمكن استخدام المعادلة التي أوجدناها لإيجاد المسافة بين النقطتين 󰏡، 𞸁 مع أي نقطتين.

مثال ٣: إيجاد المسافات على مستوًى إحداثي

أوجد المسافة بين النقطتين 󰏡، 𞸁.

الحل

  1. نوجد إحداثيات النقطتين 󰏡، 𞸁 من الشكل:󰏡(٣،٤) و𞸁(٠،٣).
  2. نحن نعلم أن المسافة بين 󰏡 و𞸁 هي طول 󰏡𞸁 أي 󰏡𞸁=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒𞸁󰏡٢𞸁󰏡٢.
  3. نعوض بإحداثيات 󰏡، 𞸁 في المعادلة: أعلاه:󰏡𞸁=󰋴(٠(٣))+(٣٤)󰏡𞸁=󰋴٣+(٧)󰏡𞸁=󰋴٩+٩٤󰏡𞸁=󰋴٨٥.٢٢٢٢وة

إذا لم تتذكر الصيغة، فسيكون من السهل جدًّا استرجاعها بتطبيق نظرية فيثاغورس في 󰏡𞸁𞸢 باستخدام 𞸢󰁓𞸎،𞸑󰁒󰏡𞸁 أو 𞸢󰁓𞸎،𞸑󰁒𞸁󰏡.

مثال ٤: إيجاد المسافات على مستوًى إحداثي

الشكل الرباعي 𞸋𞸊𞸌𞸍 رءوسه 𞸋(١،٦)، 𞸊(٥،٦)، 𞸌(٥،٣)، 𞸍(١،٣). أوجد طول 𞸊𞸍.

الحل

  1. نوجد إحداثيات النقطتين 𞸊، 𞸍 من الشكل: وهي 𞸊(٥،٦) و𞸍(١،٣).
  2. نحن نعلم أن طول 𞸊𞸍 يمكن إيجاده من 𞸊𞸍=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒𞸍𞸊٢𞸍𞸊٢.
  3. نعوض بإحداثيات 𞸊، 𞸍 في المعادلة أعلاه: 𞸊𞸍=󰋴(١٥)+(٣٦)𞸊𞸍=󰋴(٦)+(٣)𞸊𞸍=󰋴٦٣+٩𞸊𞸍=󰋴٥٤،٢٢٢٢
    وحيث إن: ٥٤=٩×٥،𞸊𞸍=󰋴٩×٥،
    ولأن:󰋴󰏡×𞸁=󰋴󰏡×󰋴𞸁،𞸊𞸍=󰋴٩×󰋴٥𞸊𞸍=٣󰋴٥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.