تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: معادلة المستوى: الصورة المتجهة والصورة القياسية والصورة العامة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد الصورة المتجهة، والصورة القياسية، والصورة العامة لمعادلة المستوى، بمعلومية المتجه العمودي وإحدى النقاط الواقعة عليه.

هيا أولًا نتناول معادلة المستقيم على الصورة الإحداثية، ونُعيد كتابتها على الصورة المتجهة في بُعدَيْن، 𞹇٢؛ حيث تكون الحالة مشابهة للمستوى في ثلاثة أبعاد، 𞹇٣.

لعلنا نتذكَّر أن الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم في بُعدَيْن هي: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠.

ويمكن كتابة ذلك أيضًا على الصورة 𞸑=𞸌𞸎+𞸃؛ حيث 𞸌 هو الميل، 𞸃 هو الجزء المقطوع من المحور 𞸑، والتي يمكننا تحديدها بمعرفة نقطتين على المستقيم. إذا كانت 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ نقطة تقع على المستقيم، فإنه يمكننا تحديد 𞸢 من الصورة العامة على النحو الآتي: 𞸢=󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑󰁒٠٠ ومن ثَمَّ، يمكن كتابة معادلة المستقيم كالآتي: 𞸀𞸎+𞸁𞸑󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑󰁒=٠𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒=٠.٠٠٠٠

يمكن أيضًا إيجاد معادلة المستقيم على صورة حاصل الضرب القياسي لمتجهين على النحو الآتي: (𞸀،𞸁)󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑󰁒=٠(𞸀،𞸁)󰁓(𞸎،𞸑)󰁓𞸎،𞸑󰁒󰁒=٠.٠٠٠٠

والآن، إذا عرفنا متجهَي الموضع: 󰄮𞸓=(𞸎،𞸑)،󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑󰁒،٠٠٠ فإنه يمكن كتابة معادلة المستقيم على الصورة المتجهة كالآتي: 󰄮𞸍󰁓󰄮𞸓󰄮𞸓󰁒=٠󰄮𞸍󰄮𞸓=󰄮𞸍󰄮𞸓،٠٠ حيث 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁) يُسمَّى متجهًا عموديًّا على المستقيم، وسيقع المتجه 󰄮𞸓󰄮𞸓٠ بالكامل على المستقيم. تنص إحدى خواص حاصل الضرب القياسي على أن المتجهين يكونان متعامدين إذا كان حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا. توضِّح معادلة المستقيم هذه في الصورة المتجهة أن المتجه العمودي 󰄮𞸍 والمتجه 󰄮𞸓󰄮𞸓٠ متعامدان بموجب هذه الخاصية.

المتجه العمودي 󰄮𞸍 لمستقيم أو مستوى هو متجه عمودي على المستقيم أو المستوى. بعبارةٍ أخرى، المتجه العمودي يكون عموديًّا على أي متجه 󰄮𞸏 يوازي المستقيم أو المستوى، ونجد أن 󰄮𞸍󰄮𞸏=٠ بموجب خاصية الضرب القياسي.

وكما هو الحال بالنسبة إلى معادلة المستقيم في بُعدَيْن، يمكن تمثيل معادلة المستوى في ثلاثة أبعاد بدلالة المتجه العمودي على المستوى. يمكننا تمثيل معادلة المستوى كالآتي.

تعريف: الصورة العامة لمعادلة المستوى

الصورة العامة لمعادلة المستوى في 𞹇٣ هي: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠، حيث 𞸀، 𞸁، 𞸢 مركبات المتجه العمودي 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢)، العمودي على المستوى أو أي متجه يوازي المستوى.

إذا كانت 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ نقطة تقع على المستوى، فإن 𞸃=󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒٠٠٠، ويمكننا كتابة معادلة المستوى على الصورة: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒=٠.٠٠٠

يمكن إعادة ترتيب ذلك لكتابة معادلة المستوى في الصورة القياسية.

تعريف: الصورة القياسية لمعادلة المستوى

الصورة القياسية لمعادلة أي مستوًى في 𞹇٣ يحتوي على النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ هي: 𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠،٠٠٠ حيث 𞸀، 𞸁، 𞸢 مركبات المتجه العمودي 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢)، العمودي على المستوى أو أي متجه يوازي المستوى.

هيا الآن نتناول مثالًا نُحدِّد خلاله معادلة المستوى في هذه الصورة باستخدام المتجه العمودي ونقطة مُعطاة تقع على المستوى.

مثال ١: إيجاد معادلة مستوى بمعلومية نقطة ومتجهه العمودي

أوجد معادلة المستوى الذي يكون (٠١،٨،٣) متجهًا عموديًّا عليه، ويحتوي على النقطة (٠١،٥،٥).

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد معادلة المستوى باستخدام نقطة واحدة على المستوى، ومتجه عمودي مُعطى على المستوى.

نتذكَّر أن الصورة القياسية لمعادلة المستوى الذي يكون 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢) متجهًا عموديًّا عليه، ويحتوي على النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ هي: 𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠.٠٠٠

ومن ثَمَّ، بالتعويض بقيم المتجه العمودي المُعطى (٠١،٨،٣) والنقطة (٠١،٥،٥)، نحصل على: ٠١(𞸎٠١)+٨(𞸑٥)+٣(𞸏٥)=٠٠١𞸎٠٠١+٨𞸑٠٤+٣𞸏٥١=٠٠١𞸎+٨𞸑+٣𞸏٥٥١=٠.

ومن ثَمَّ، تكون الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي يكون (٠١،٨،٣) متجهًا عموديًّا عليه، ويحتوي على النقطة (٠١،٥،٥) هي: ٠١𞸎+٨𞸑+٣𞸏٥٥١=٠.

إذا كانت لدينا نقطة تقع على المستوى 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، ومتجهان غير متوازيين، 󰄮𞸏١، 󰄮𞸏٢، يوازيان المستوى، فإنه يمكننا تحديد العمودي على المستوى من هذين المتجهين. وبما أن المتجهين يوازيان المستوى، إذن لا بد أن يكون المتجه العمودي هذا عموديًّا على المتجهين 󰄮𞸏١، 󰄮𞸏٢. لعلنا نتذكَّر أن الضرب الاتجاهي لمتجهين ينتج متجهًا عموديًّا على المتجهين. يمكننا استخدام هذه الخاصية للضرب الاتجاهي لكي نحسب متجهًا عموديًّا على المستوى، وهو ما يَنتج عنه المتجه العمودي: 󰄮𞸍=󰄮𞸏×󰄮𞸏.١٢

في المثال التالي، نُحدِّد معادلة المستوى بإيجاد المتجه العمودي على المستوى أولًا من متجهين موازيين له.

مثال ٢: إيجاد الصورة العامة لمعادلة مستوى يمر بنقطة معلومة ويوازي متجهين مُعطيين

أوجد الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي يمر بالنقطة (٥،١،١) ويوازي المتجهين (٩،٧،٨)، (٢،٢،١).

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد معادلة المستوى الذي يمر بنقطة معيَّنة ويوازي متجهين مُعطيين.

نتذكَّر أن الصورة القياسية لمعادلة المستوى الذي يكون 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢) متجهًا عموديًّا عليه، ويحتوي على النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ هي: 𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠.٠٠٠

علينا تحديد المتجه، 󰄮𞸍، العمودي على المستوى، وهو متجه عمودي على المتجهين (٩،٧،٨)، (٢،٢،١)؛ لأنهما يوازيان المستوى. يمكننا إيجاد المتجه العمودي بحساب حاصل الضرب الاتجاهي بين هذين المتجهين: 󰄮𞸍=(٩،٧،٨)×(٢،٢،١)=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٩٧٨٢٢١||||=󰍻٧٨٢١󰍻󰄮󰄮󰄮𞹎󰍻٩٨٢١󰍻󰄮󰄮󰄮𞹑+󰍻٩٧٢٢󰍻󰄮󰄮𞹏=(٧×(١)(٨)×٢)󰄮󰄮󰄮𞹎(٩×(١)(٨)×(٢))󰄮󰄮󰄮𞹑+(٩×٢٧×(٢))󰄮󰄮𞹏=٩󰄮󰄮󰄮𞹎+٥٢󰄮󰄮󰄮𞹑+٢٣󰄮󰄮𞹏=(٩،٥٢،٢٣).

باستخدام المتجه العمودي (٩،٥٢،٢٣)، ونقطة على المستوى (٥،١،١)، نحصل على: ٩(𞸎٥)+٥٢(𞸑١)+٢٣(𞸏+١)=٠٩𞸎٥٤+٥٢𞸑٥٢+٢٣𞸏+٢٣=٠٩𞸎+٥٢𞸑+٢٣𞸏٨٣=٠.

ومن ثَمَّ، تكون الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي يمر بالنقطة (٥،١،١) ويوازي المتجهين (٩،٧،٨)، (٢،٢،١) هي: ٩𞸎+٥٢𞸑+٢٣𞸏٨٣=٠.

إذا كان المستوى يحتوي على ثلاث نقاط 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠، 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢، فإنه يمكننا تحديد معادلة المستوى. بالتعويض بهذه النقاط في الصورة القياسية لمعادلة المستوى، نحصل على: 𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠،𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠،١٠١٠١٠٢٠٢٠٢٠ وهو ما يُشبه الطريقة التي يمكننا بها تحديد معادلة المستقيم الذي يحتوي على نقطتين مُعطاتين. على الرغم من ذلك، فإن هذه ليست الطريقة القياسية لتحديد معادلة المستوى. بدلًا من ذلك، نُحدِّد متجهًا عموديًّا بملاحظة أن الفرق بين متجهَي موضع أي نقطتين على المستوى يساوي متجهًا موازيًا للمستوى؛ سنرجع إلى ذلك مجددًا عند تناول الصورة المتجهة لمعادلة المستوى.

إذا أشرنا إلى متجهات الموضع للنقاط الثلاث التي ليست على استقامة واحدة على الصورة 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠، 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١١، 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢٢، فإنه يمكننا الحصول على متجهين موازيين للمستوى بطرح أزواج متجهات الموضع هذه على النحو الآتي: 󰄮𞸏=󰄮𞸓󰄮𞸓=󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒،󰄮𞸏=󰄮𞸓󰄮𞸓=󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒.١١٠١٠١٠١٠٢٢٠٢٠٢٠٢٠

في الحقيقة، يمكننا فعل ذلك مع أي أزواج وبأي ترتيب؛ على سبيل المثال، هناك خيار آخر يمكن أن يتمثَّل في: 󰄮𞸏=󰄮𞸓󰄮𞸓،󰄮𞸏=󰄮𞸓󰄮𞸓.١١٢٢٠١

وبصفة عامة، يمكن تحديد المتجه العمودي من حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين: 󰄮𞸍=󰄮𞸏×󰄮𞸏.١٢

والآن، هيا نتناول مثالًا نستخدم فيه هذه الصيغة مع معلومات عن ثلاث نقاط تقع على المستوى لتحديد المعادلة.

مثال ٣: إيجاد الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي يمر بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة

اكتب في الصورة العامة معادلة المستوى الذي يحتوي على النقاط (١،٠،٣)، (١،٢،١)، (٦،١،٦).

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد معادلة المستوى باستخدام ثلاث نقاط مُعطاة تقع على المستوى.

نتذكَّر أن معادلة المستوى الذي يكون 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢) متجهًا عموديًّا عليه، ويحتوي على النقطة 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ هي: 𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠.٠٠٠

هيا أولًا نُحدِّد متجهًا عموديًّا على المستوى. يمكننا الحصول على متجهين في المستوى بطرح متجهَي موضع لهما أزواج من النقاط تقع على المستوى: 󰄮𞸏=(١،٠،٣)(١،٢،١)=(٠،٢،٤)،󰄮𞸏=(١،٠،٣)(٦،١،٦)=(٥،١،٣).١٢

يمكننا إيجاد المتجه العمودي بحساب حاصل الضرب الاتجاهي بين هذين المتجهين: 󰄮𞸍=󰄮𞸏×󰄮𞸏=(٠،٢،٤)×(٥،١،٣)=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏٠٢٤٥١٣||||=󰍻٢٤١٣󰍻󰄮󰄮󰄮𞹎󰍻٠٤٥٣󰍻󰄮󰄮󰄮𞹑+󰍻٠٢٥١󰍻󰄮󰄮𞹏=((٢)×(٣)٤×(١))󰄮󰄮󰄮𞹎(٠×(٣)٤×(٥))󰄮󰄮󰄮𞹑+(٠×(١)(٢)×(٥))󰄮󰄮𞹏=٠١󰄮󰄮󰄮𞹎٠٢󰄮󰄮󰄮𞹑٠١󰄮󰄮𞹏=(٠١،٠٢،٠١).١٢

باستخدام المتجه العمودي (٠١،٠٢،٠١) وأي نقطة مُعطاة تقع على المستوى، على سبيل المثال (١،٠،٣)، تُصبح معادلة المستوى: ٠١(𞸎١)٠٢(𞸑٠)٠١(𞸏٣)=٠٠١𞸎٠١٠٢𞸑٠١𞸏+٠٣=٠٠١𞸎٠٢𞸑٠١𞸏+٠٢=٠.

ومن ثَمَّ، بالقسمة على ١٠، نحصل على معادلة المستوى في الصورة العامة كالآتي: 𞸎٢𞸑𞸏+٢=٠.

يمكن أيضًا إيجاد الصورة القياسية لمعادلة مستوى باعتبارها حاصل الضرب القياسي لمتجهَيْن على الصورة: (𞸀،𞸁،𞸢)󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑،𞸏𞸏󰁒=٠(𞸀،𞸁،𞸢)󰁓(𞸎،𞸑،𞸏)󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒󰁒=٠.٠٠٠٠٠٠

والآن، نفترض أن 󰏡=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠ نقطة على المستوى، وأن 󰏡=(𞸎،𞸑،𞸏) أي نقطة على المستوى، يمثِّلهما متجهَا الموضع 󰄮𞸓٠، 󰄮𞸓 على الترتيب؛ بحيث 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠، 󰄮𞸓=(𞸎،𞸑،𞸏)، ونفترض أن 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢) متجه عمودي على المستوى.

يمكن كتابة معادلة المستوى على الصورة المتجهة على النحو الآتي: 󰄮𞸍󰁓󰄮𞸓󰄮𞸓󰁒=٠.٠

المتجه 󰄮𞸍 عمودي على المستوى، وهو ما يعني أنه عمودي على متجه الفرق بين متجهَي الموضع لأي نقطتين على المستوى. وهذا منطقي؛ لأنه وفق الشكل الهندسي، يقع دائمًا المتجه 󰄮𞸓󰄮𞸓٠ بالكامل على المستوى، وحاصل الضرب القياسي لهذا المتجه والمتجه العمودي يساوي صفرًا، وهو ما يعني أنهما متعامدان.

يمكن إعادة ترتيب معادلة المستوى هذه لتُعطينا الصورة المتجهة لمعادلة المستوى.

تعريف: الصورة المتجهة لمعادلة المستوى

الصورة المتجهة لمعادلة المستوى في 𞹇٣ هي: 󰄮𞸍󰄮𞸓=󰄮𞸍󰄮𞸓،٠ حيث 󰄮𞸓٠ متجه موضع أي نقطة تقع على المستوى، 󰄮𞸍 هو المتجه العمودي على المستوى أو أي متجه موازٍ للمستوى.

والآن، هيا نتناول مثالين نُحدِّد خلالهما معادلتَي مستويين في الصورة المتجهة باستخدام متجهات عمودية مُعطاة ونقاط تقع على المستوى.

مثال ٤: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى بمعلومية معادلة المتجه العمودي عليه

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى الذي يكون 󰄮𞸍=󰄮󰄮󰄮𞹎+󰄮󰄮󰄮𞹑+󰄮󰄮𞹏 متجهًا عموديًّا عليه، والنقطة (٢،٦،٦) نقطة على المستوى.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد معادلة المستوى في الصورة المتجهة باستخدام نقطة تقع على المستوى، وبمعلومية المتجه العمودي.

نتذكَّر أنه يمكننا كتابة الصورة المتجهة لمعادلة المستوى على الصورة: 󰄮𞸍󰄮𞸓=󰄮𞸍󰄮𞸓،٠ حيث 󰄮𞸍 متجه عمودي على المستوى، 󰄮𞸓٠ متجه الموضع لنقطة تقع على المستوى.

معادلة المستوى الذي يكون 󰄮𞸍=(١،١،١) متجهًا عموديًّا عليه ويحتوي على النقطة (٢،٦،٦) التي متجه موضعها 󰄮𞸓=(٢،٦،٦)٠ هي: (١،١،١)󰄮𞸓=(١،١،١)(٢،٦،٦)=١×٢+١×٦+١×٦=٤١.

ومن ثَمَّ، تكون الصورة المتجهة لمعادلة المستوى هي: (١،١،١)󰄮𞸓=٤١.

والآن، نتناول مثالًا نُحوِّل فيه معادلة المستوى من الصورة العامة إلى الصورة المتجهة.

مثال ٥: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى

الصورة العامة لمعادلة مستوى هي ٥𞸎+٦𞸑+٩𞸏٨٢=٠. ما صورتها المتجهة؟

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد معادلة المستوى في الصورة المتجهة باستخدام معادلة المستوى المُعطاة في الصورة العامة.

نتذكَّر أن الصورة العامة لمعادلة المستوى في 𞹇٣ هي: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠، حيث 𞸀، 𞸁، 𞸢 مركبات المتجه العمودي 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢)، وهو العمودي على المستوى أو أي متجه موازٍ للمستوى. يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة المستوى على الصورة: 󰄮𞸍󰄮𞸓=𞸃.

ومن معادلة المستوى المُعطاة، ٥𞸎+٦𞸑+٩𞸏٨٢=٠، يمكننا تحديد المتجه العمودي؛ وهو 󰄮𞸍=(٥،٦،٩)، 𞸃=٨٢. يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة المستوى على الصورة: (٥،٦،٩)󰄮𞸓=٨٢.

معادلة الخط المستقيم في 𞹇٣ على الصورة المتجهة هي: 󰄮𞸓=󰄮𞸓+𞸊󰄮𞸏،𞸊𞹇،٠ حيث 󰄮𞸓=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠ متجه موضع النقطة 󰏡=󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠٠ التي تقع على المستقيم، 󰄮𞸏=(𞸀،𞸁،𞸢) متجه موازٍ للمستقيم.

إذا كان لدينا مستوًى يحتوي على خطين مستقيمين مختلفين متقاطعين، ومعادلتاهما في الصورة المتجهة هما: 󰄮𞸓=𞸀+𞸊󰄮𞸏،󰄮𞸓=𞸀+𞸊󰄮𞸏،١١١١٢٢٢٢ فإنه يمكننا تحديد نقطة تقع على المستوى من أي معادلة من هاتين المعادلتين. للتبسيط، يمكننا التعويض بقيمة 𞸊=٠١ في المعادلة الأولى، وهو ما يُعطينا متجه الموضع لنقطة تقع على المستقيم الأول؛ ومن ثَمَّ المستوى، وهو 𞸀١.

ولتحديد المتجه العمودي على المستوى، نلاحظ أن المتجهين 󰄮𞸏١، 󰄮𞸏٢ الموازيين للمستقيمين 󰄮𞸓١، 󰄮𞸓٢ يوازيان المستوى. إذن علينا تحديد متجه عمودي على 󰄮𞸏١، 󰄮𞸏٢ لتحديد العمودي. ما دام 󰄮𞸏١، 󰄮𞸏٢ ليسا متوازيين، يمكننا الحصول على المتجه العمودي على المستوى بحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: 󰄮𞸍=󰄮𞸏×󰄮𞸏.١٢

وبوضعهما معًا، يمكن كتابة معادلة المستوى على الصورة: 󰂔󰄮𞸏×󰄮𞸏󰂓󰄮𞸓=󰂔󰄮𞸏×󰄮𞸏󰂓𞸀.١٢١٢١

في المثال الأخير، سنُحدِّد معادلة مستوى في الصورة المتجهة من معادلتَيْن متجهتَيْن لخطين مستقيمين يقعان على المستوى في الصورة.

مثال ٦: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة مستوى يحتوي على خطين مستقيمين بمعلومية معادلتيهما في الصورة المتجهة

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى الذي يُوجَد به الخطان المستقيمان 󰄮𞸓=󰂔󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑٣󰄮󰄮𞹏󰂓+𞸊󰂔٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑+٤󰄮󰄮𞹏󰂓١١، 󰄮𞸓=󰂔󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑٣󰄮󰄮𞹏󰂓+𞸊󰂔󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹑٤󰄮󰄮𞹏󰂓٢٢.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد معادلة المستوى الذي يحتوي على خطين مستقيمين، معادلتاهما مُعطاتان في الصورة المتجهة.

يمكن كتابة الصورة المتجهة لمعادلة المستوى على الصورة: 󰄮𞸍󰄮𞸓=󰄮𞸍󰄮𞸓،٠ حيث 󰄮𞸍 متجه عمودي على المستوى، 󰄮𞸓٠ متجه موضع لنقطة تقع على المستوى.

للتبسيط، هيا نبدأ بكتابة الصورة المتجهة لمعادلتَي الخطين المستقيمين كالآتي: 󰄮𞸓=(١،١،٣)+𞸊(٣،٣،٤)،󰄮𞸓=(١،٢،٣)+𞸊(١،٢،٤).١١٢٢

نلاحظ من الصورة المتجهة لمعادلتَي الخطين المستقيمين أن المتجه (٣،٣،٤) يوازي المستقيم الأول، وأن المتجه (١،٢،٤) يوازي المستقيم الثاني، ما يعني أن كليهما يوازي المستوى. ومن ثَمَّ، لتحديد المتجه العمودي، 󰄮𞸍، على المستوى، علينا إيجاد متجه عمودي على المتجهين (١،٢،٤)، (٣،٣،٤). يمكننا فعل ذلك بحساب حاصل الضرب الاتجاهي: 󰄮𞸍=(١،٢،٤)×(٣،٣،٤)=||||󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑󰄮󰄮𞹏١٢٤٣٣٤||||=󰍻٢٤٣٤󰍻󰄮󰄮󰄮𞹎󰍻١٤٣٤󰍻󰄮󰄮󰄮𞹑+󰍻١٢٣٣󰍻󰄮󰄮𞹏=(٢×٤+٤×٣)󰄮󰄮󰄮𞹎(١×٤+٤×٣)󰄮󰄮󰄮𞹑+(١×٣+٢×٣)󰄮󰄮𞹏=٤󰄮󰄮󰄮𞹎٨󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮𞹏=(٤،٨،٣).

يمكننا تحديد متجه الموضع 󰄮𞸓٠ لنقطة على المستوى من أي معادلة من معادلتَي المستقيم؛ لأن المستوى يحتوي على المستقيمين. للتبسيط، يمكننا التعويض بقيمة 𞸊=٠١ في المعادلة الأولى لتحديد متجه الموضع للنقطة على النحو الآتي: 󰄮𞸓=(١،١،٣).٠

بالتعويض بمركبات المتجه العمودي (٤،٨،٣) ومتجه الموضع لنقطة تقع على المستوى (١،١،٣)، نحصل على: (٤،٨،٣)󰄮𞸓=(٤،٨،٣)(١،١،٣)=٤×١+(٨)×(١)+٣×(٣)=٣.

ومن ثَمَّ، تكون معادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين المستقيمين 󰄮𞸓١، 󰄮𞸓٢ في الصورة المتجهة هي: (٤،٨،٣)󰄮𞸓=٣.

النقاط الرئيسية

  • الصورة العامة لمعادلة المستوى في 𞹇٣ هي: 𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏+𞸃=٠.
  • إذا كانت 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ نقطة تقع على المستوى، فإن 𞸃=󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸑+𞸢𞸏󰁒٠٠٠، ويمكننا كتابة معادلة المستوى أو الصورة القياسية لمعادلة المستوى على الصورة: 𞸀󰁓𞸎𞸎󰁒+𞸁󰁓𞸑𞸑󰁒+𞸢󰁓𞸏𞸏󰁒=٠،٠٠٠ حيث 𞸀، 𞸁، 𞸢 مركبات المتجه العمودي 󰄮𞸍=(𞸀،𞸁،𞸢)، والذي يكون عموديًّا على المستوى أو أي متجه موازٍ للمستوى.
  • إذا كانت لدينا نقطة على المستوى 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٠٠٠ ومتجهان غير صفريين وغير متوازيين 󰄮𞸏١، 󰄮𞸏٢، يكونان موازيين للمستوى، فإنه يمكننا تحديد المتجه العمودي من حاصل الضرب الاتجاهي: 󰄮𞸍=󰄮𞸏×󰄮𞸏.١٢
  • يمكن كتابة معادلة المستوى في الصورة المتجهة كالآتي: 󰄮𞸍󰄮𞸓=󰄮𞸍󰄮𞸓،٠ حيث 󰄮𞸓=(𞸎،𞸑،𞸏)، 󰄮𞸓٠ هو متجه موضع نقطة تقع على المستوى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.