شارح الدرس: تمثيل العلاقات الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: كتابة المعلومات المُعطاة في صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة

في لعبة كرة السلة، كل تصويبة من خارج خط الثلاث نقاط تُسجَّل بثلاث نقاط. يوضِّح الجدول تلك العلاقة. اكتب هذه البيانات على صورة أزواج مرتَّبة (التصويبات من خط الثلاث نقاط، العدد الكلي للنقاط المحرَزة).

الحل

تذكير: تُنتِج العلاقة قيمًا مُخرَجة لكل قيمة مُدخَلة. وهذا يعني أن الجدول المُعطى يمثِّل علاقة؛ فهو يأخذ القيمة المُدخَلة؛ أي التصويبات من خط الثلاث نقاط، ويُنتِج القيمة المُخرَجة؛ أي النقاط الكلية.

ومن ثَمَّ، يمكن تمثيل البيانات الموجودة في الجدول على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة؛ حيث تُمثِّل القيمة الأولى من كل زوج القيمة المُدخَلة، وتمثِّل القيمة الثانية منه القيمة المُخرَجة. نبدأ بالنظر إلى العمود الأول.

عدد التصويبات يساوي صفرًا، والعدد الكلي للنقاط يساوي صفرًا. إذن الزوج المرتَّب المناظِر لذلك هو .

وبالمثل، بالنظر إلى العمود الثاني، نلاحظ أنه عندما يكون عدد التصويبات يساوي ١، فإن العدد الكلي للنقاط يساوي ٣.

إذن الزوج المرتَّب الثاني هو .

بتكرار هذه العملية مع العمودين الأخيرين، نلاحظ أنه عندما يكون عدد التصويبات ٢، يكون العدد الكلي للنقاط ٦؛ وعندما يكون عدد التصويبات ٣، يكون العدد الكلي للنقاط ٩.

إذن الزوجان المرتَّبان المناظِران لذلك هما ، .

ومن ثَمَّ، فإن الأزواج المرتَّبة هي ، ،، .

مثال ٢: كتابة الأزواج المرتَّبة الموضَّحة بعلاقة مُعطاة على صورة مخطَّط سهمي

اكتب بيان العلاقة للمخطَّط السهمي الآتي:

الحل

الشكل الموضَّح مخطَّط سهمي. يربط المخطط السهمي بين عناصر مجموعة القيم المُدخَلة وعناصر مجموعة القيم المُخرَجة . يمكننا تحديد أيِّ علاقة على صورة مخطَّط سهمي بكتابتها على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة في مجموعة، .

القيمة المُدخَلة الأولى هي ٦، ويُشير السهم إلى القيمة المُخرَجة ٨. إذن الزوج المرتَّب الأول هو . وبالمثل، القيمة المُدخَلة الثانية، وهي ١٠، يخرج منها سهم يُشير إلى العدد ١٢، إذن الزوج المرتَّب الثاني هو . القيمة المُدخَلة الثالثة، وهي ١١، يخرج منها سهم يُشير إلى القيمة المُخرَجة ١٣؛ إذن الزوج المرتَّب الثالث هو . وبما أن القيمة المُخرَجة الأخيرة لا تناظِر قيمة مُدخَلة، إذن لا نضعهما في زوج مرتَّب.

إذن:

مثال ٣: كتابة الأزواج المرتَّبة الموضَّحة بعلاقة مُعطاة على صورة مخطَّط سهمي

أيٌّ من التالي يُعبِّر تعبيرًا صحيحًا عن العلاقة المرسومة في الشكل الآتي؟

الحل

لتمثيل مخطَّط سهمي في صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة، يجب أن ننظر جيدًا إلى جميع القيم المُدخَلة الممكنة للعلاقة، ونتبع السهم الممتد إلى القيمة المُخرَجة المناظِرة لكلٍّ منها. إذن يكون كل زوج مرتَّب بالصورة العامة:

هيا نبدأ من اليسار إلى اليمين. السهم الأول يبدأ من ، ويتجه إلى ١٨. إذن القيمة المُدخَلة هي ، والقيمة المُخرَجة هي ١٨؛ ومن ثَمَّ، فإن الزوج المرتَّب المناظر هو .

القيمة المُدخَلة التالية هي ، ويتجه السهم إلى القيمة المُخرَجة المناظرة ٩. وهذا يعني أن الزوج المرتَّب هو .

العلاقة التالية تبدو غريبة بعض الشيء، لكننا سنتعامل معها بالطريقة نفسها.

القيمة المُدخَلة هي صفر، والقيمة المُخرَجة هي صفر. إذن الزوج المرتَّب هو .

وبطريقة مماثلة، نجد أن الزوجين الأخيرين المرتَّبين هما ، .

ومن ثَمَّ، فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ)، .

مثال ٤: كتابة الأزواج المرتَّبة الموضَّحة بعلاقة مُعطاة على صورة مخطَّط بياني

اكتب بيان العلاقة التي يُمثِّلها المخطَّط الموضَّح.

الحل

تذكير: يمكننا تمثيل المخطَّط السهمي على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة، ويكون كلٌّ منها بالصورة العامة:

ويترتب على ذلك أنه عندما تكون لدينا نقاط على مستوى إحداثي، تكون الأزواج المرتَّبة على الصورة:

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة بيان العلاقة للمخطَّط المُعطى من خلال كتابة الزوج المرتَّب لكل نقطة أولًا.

بالبدء من اليسار إلى اليمين وقراءة الإحداثي أولًا، نجد أن الزوج الأول هو .

وبالمثل، فإن الزوج الثاني هو .

إذن الأزواج الثلاثة الأخيرة هي ، ، .

ومن ثَمَّ، فإن بيان العلاقة يُعطى على الصورة: .

مثال ٥: تكوين معادلة من مخطَّط سهمي

إذا كانت علاقة من إلى ؛ حيث ، ، فأيُّ المعادلات الآتية تعبِّر عن العلاقة تعبيرًا صحيحًا؟

الحل

المخطَّط السهمي المُعطى يأخذ القيم المُدخَلة من المجموعة ويصلها بالقيم المُخرَجة من المجموعة . على سبيل المثال، القيمة المُدخَلة تُعطينا القيمة المُخرَجة صفرًا، والقيمة المُدخَلة ٤ تُعطينا القيمة المُخرَجة ١٠.

لإيجاد المعادلة الصحيحة التي تعبِّر عن العلاقة ، نعوِّض بهذه القيم في كل معادلة. ولكن علينا أن ننتبه؛ فنحن نعلم أن ، ، إذن هو القيمة المُدخَلة (أو المتغيِّر المستقل)، هو القيمة المُخرَجة (أو المتغيِّر التابع).

نبدأ بالمعادلة . نفترض أن :

بما أن القيمة المُدخَلة تُعطينا القيمة المُخرَجة صفرًا، إذن هذه المعادلة تنطبق على أول زوج من القيم في المخطَّط. نكرِّر هذه العملية مع القيمة :

وبما أن القيمة المُدخَلة ٤ تناظر القيمة المُخرَجة ١٠، إذن هذه المعادلة لم تنطبق على جميع أزواج القيم في المخطَّط.

هيا نجرِّب المعادلة الآتية، . عندما يكون :

وهذا لا يحقِّق العلاقة المُعطاة في المخطَّط السهمي، إذن هذه المعادلة لا يمكن أن تكون صحيحة.

نجرِّب الآن المعادلة ، ونكتب النتائج في جدول.

بما أن كل زوج من القيم المُدخَلة والمُخرَجة يُطابِق المخطَّط السهمي، إذن هذه هي المعادلة الصحيحة. جدير بالذكر أنه بما أن هي القيمة المُدخَلة وليست القيمة المُخرَجة، إذن نتجاهل الخيارين الآخرين.

إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج): .

مثال ٦: تحديد جميع الأزواج المرتَّبة لعلاقة مُعطاة

إذا كانت ، علاقة على ؛ حيث تعني أن يساوي عددًا زوجيًّا لكل ، ، فأوجد بيان العلاقة .

الحل

في هذا المثال، لدينا قاعدة تربط عناصر المجموعة بعناصر أخرى من المجموعة نفسها. تخبرنا القاعدة أن العلاقة تتكوَّن من قيم ، من المجموعة التي تحقِّق أن يساوي عددًا زوجيًّا.

ومن ثَمَّ، يمكن إيجاد الأزواج المرتَّبة في هذه العلاقة عن طريق اختيار قيم ، من المجموعة المُعطاة، والتعويض بها في المعادلة . في الحقيقة، يمكننا أيضًا استخدام فهمنا للأعداد الفردية والزوجية لاستنتاج بيان العلاقة المنشود.

هيا نبدأ بالقيمة . بما أن عدد صحيح تم اختياره من ، فإن المقدار يكون دائمًا زوجيًّا. إن عدد زوجي، ومجموع عددين زوجيين يساوي عددًا زوجيًّا. ومن ثَمَّ، يساوي دائمًا عددًا زوجيًّا عندما يكون .

الأزواج المرتَّبة التي تحقِّق هذه العلاقة هي ، ، .

الآن، افترض أن . عدد فردي، ومجموع عدد فردي وعدد زوجي يُعطينا عددًا فرديًّا. ومن ثَمَّ، فإن يساوي عددًا فرديًّا عندما يكون ، ولا توجد أزواج مرتَّبة تحقِّق العلاقة بقيمة مُدخَلة تساوي ١.

وأخيرًا، افترض أن . كما فعلنا في الافتراض السابق، هذا عدد فردي، وهذا يعني أن يساوي عددًا فرديًّا إذا كان ، ولا توجد أزواج مرتَّبة تحقِّق العلاقة بقيمة مُدخَلة تساوي ٣.

إذن بيان العلاقة .

مثال ٧: إيجاد المجاهيل في علاقة على أزواج بين مجموعتين بمعلومية قاعدتها

علاقة معرَّفة على أزواج من الأعداد الحقيقية الموجبة؛ حيث  في حال إذا — وفقط إذا — كان . أوجد قيم ، ، ، ، علمًا بأن ، ، ، تنتمي إلى .

الحل

في هذا المثال، لدينا قاعدة تربط بين مجموعتين عناصرهما هي ، . تخبرنا هذه القاعدة بأن العناصر في كل مجموعة، التي تُكوِّن الأزواج المرتَّبة المُعطاة وتنتمي إلى العلاقة، تحقِّق المعادلة . في هذا المثال، ، ، ، كلٌّ منها ينتمي إلى بيان العلاقة . إذن، بمعلومية أي عنصر في كل مجموعة، يمكننا تحديد العنصر المناظر في المجموعة الأخرى بالتعويض بقيمته في هذه المعادلة، والحل لإيجاد قيمة المجهول.

نبدأ بالزوج المرتَّب . بما أن الصورة العامة لأي زوج مرتَّب هي ، إذن يمكننا التعويض بالقيمة والقيمة في المعادلة :

لكي نحل بالنسبة إلى ، سنقسم على ٤:

يمكننا تكرار هذه العملية مع الزوج المرتَّب . هذه المرة، سنعوِّض بالقيمة والقيمة في المعادلة:

لكي نحل بالنسبة إلى ، نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي هذه المعادلة، مع تذكُّر أخذ كلٍّ من الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ٣٦:

لكننا نعلم أن العلاقة تربط بين أزواج من الأعداد الحقيقية الموجبة؛ لذا نتجاهل .

إذن .

بعد ذلك، بالنسبة إلى الزوج المرتَّب ، سنفترض أن ، :

وأخيرًا، بالنسبة إلى ، نعوِّض بالقيمة والقيمة ، لنحصل على الآتي:

بما أن قيمة موجبة، إذن نختار .

ومن ثَمَّ، فإن قيم ، ، ، هي ، ، ، .