شارح الدرس: تمثيل العلاقات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل علاقة باستخدام المخطَّط السهمي أو التمثيل البياني، بمعلومية مجال ومدى العلاقة المُعطاة.

نظرية المجموعات هي أحد فروع الرياضيات التي تتضمَّن دراسة تجميعات تُسمَّى مجموعات من الأشياء التي تُسمَّى عناصر هذه المجموعة. ومن أحد المفاهيم المهمة في هذا المجال مفهوم العلاقة. هيا نبدأ بتعريف معنى هذا المصطلح.

تعريف: العلاقة

العلاقة هي قاعدة تربط عناصر إحدى المجموعات بعناصر مجموعة أخرى. ويمكن تمثيل العلاقات على صورة مخطَّطات سهمية، أو أزواج مرتَّبة، أو جداول قيم، أو معادلات، أو تمثيلات بيانية.

ببساطة، تُنتج العلاقة قيمة مُخرَجة واحدة أو أكثر لكل قيمة مُدخَلة. على سبيل المثال، افترض أن لدينا مجموعة من الطلاب في مدرسة. وعلى سبيل المثال، تُوجَد علاقة بين كل طالب وعدد إخوته. إذا كان لدى الطالب (أ) أخ واحد، ولدى الطالب (ب) ٣ إخوة، وليس لدى الطالب (ج) أي إخوة، ولدى الطالب (د) أخ واحد، فيمكننا تمثيل هذه المعلومات في قائمة من الأزواج المرتَّبة على النحو الآتي: 󰁓،١󰁒،󰁓،٣󰁒،󰁓،٠󰁒،󰁓،١󰁒ا(أ)ا(ب)ا(ج)ا(د) وفي مخطَّط التطبيق (أو المخطَّط السهمي) على النحو الآتي:

نلاحظ أن عناصر مجموعة القيم المُدخَلة هي الجزء الأيمن من العلاقة، وعناصر مجموعة القيم المُخرَجة هي الجزء الأيسر منها.

في المثال الأول، هيا نشرح كيفية تكوين أزواج مرتَّبة لتمثيل علاقة بمعلومية جدول قيم.

مثال ١: كتابة المعلومات المُعطاة على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة

في لُعبة كرة السلة، كل تصويبة من خارج خط الثلاث نقاط تُسجَّل بثلاث نقاط. يوضِّح الجدول تلك العلاقة. اكتب هذه البيانات على صورة أزواج مرتَّبة (التصويبات من خط الثلاث نقاط، العدد الكلي للنقاط المحرزة).

الحل

تذكَّر: العلاقة تُنتج قيمًا مُخرَجة لكل قيمة مُدخَلة. وهذا يعني أن الجدول المُعطى يمثِّل علاقة؛ فهو يأخذ القيمة المُدخَلة؛ أي عدد التصويبات من خط الثلاث نقاط، ويُنتج القيمة المُخرَجة، وهو العدد الكلي للنقاط.

ومن ثَمَّ، يمكن تمثيل البيانات الموجودة في الجدول على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة؛ حيث تمثِّل القيمة الأولى من كل زوج القيمة المُدخَلة، وتمثِّل القيمة الثانية منه القيمة المُخرَجة. نبدأ بالنظر إلى العمود الأول.

عدد التصويبات المجراة هو صفر، وإجمالي عدد النقاط يساوي صفرًا أيضًا. إذن الزوج المرتَّب هو (٠،٠).

وبالمثل، بالنظر إلى العمود الثاني، نلاحظ أنه عندما يكون عدد التصويبات ١، فإن العدد الكلي للنقاط يكون ٣.

إذن الزوج المرتَّب الثاني هو (١،٣).

بتكرار هذه العملية مع العمودين الأخيرين، نلاحظ أنه عندما يكون عدد التصويبات ٢، يكون العدد الكلي للنقاط ٦، وعندما يكون عدد التصويبات ٣، فإن العدد الكلي للنقاط يكون ٩.

الزوجان المرتَّبان المناظران هما (٢،٦)، (٣،٩).

ومن ثَمَّ، فإن الأزواج المرتَّبة هي (٠،٠)، (١،٣)، (٢،٦)، (٣،٩).

في المثال السابق، أوضحنا كيفية تمثيل علاقة باستخدام سرد الأزواج المرتَّبة. ونلاحظ أيضًا أنه كان بإمكاننا وصف العلاقة كلاميًّا. يمكن إيجاد العدد الكلي للنقاط المحرزة بضرب عدد التصويبات من خط الثلاث نقاط في ٣: اداطداتاثط=٣×󰁓󰁒.

في المثال التالي، نوضِّح كيف نكتب قائمة من الأزواج المرتَّبة بمعلومية مخطَّط سهمي.

مثال ٢: كتابة الأزواج المرتَّبة الموضَّحة من علاقة مُعطاة في صورة مخطَّط سهمي

اكتب بيان العلاقة 𞸏 للمخطَّط السهمي الآتي:

الحل

الشكل الموضَّح هو مخطَّط التطبيق، أو مخطَّط سهمي. وهو يربط بين عناصر مجموعة القيم المُدخَلة 𞹎 وعناصر مجموعة القيم المُخرَجة 𞹑. يمكننا أن نُعرِّف العلاقة للمخطَّط السهمي عن طريق كتابتها على صورة سرد أزواج مرتَّبة في مجموعة، 𞸏، وهذه المجموعة تُسمَّى بيان العلاقة.

القيمة المُدخَلة الأولى هي ٦، ويُشير السهم إلى القيمة المُخرَجة ٨. إذن الزوج المرتَّب الأول هو (٦،٨). وبالمثل، القيمة المُدخَلة الثانية، وهي ١٠، يخرج منها سهم يصل إلى العدد ١٢؛ ومن ثَمَّ، يكون الزوج المرتَّب الثاني هو (٠١،٢١). القيمة المُدخَلة الثالثة، وهي ١١، يخرج منها سهم يُشير إلى القيمة المُخرَجة ١٣؛ ومن ثَمَّ، يكون الزوج المرتَّب الثالث هو (١١،٣١). وبما أن القيمة المُخرَجة الأخيرة لا تناظر قيمة مُدخَلة، إذن لا نضعها في زوج مرتَّب.

إذن: 𞸏={(٦،٨)،(٠١،٢١)،(١١،٣١)}.

لقد رأينا نوعًا واحدًا من المخطَّطات، وهو المخطَّط السهمي. هناك عدد من الطرق البديلة لتمثيل العلاقات على المخطَّطات؛ مثل استخدام الأسهم على خط الأعداد. في المثال التالي، نرى كيف يبدو ذلك.

مثال ٣: كتابة الأزواج المرتَّبة الموضَّحة بعلاقة مُعطاة على صورة مخطَّط سهمي

أيٌّ ممَّا يلي يعبِّر بصورة صحيحة عن العلاقة 𞸏 المرسومة في الشكل الآتي؟

  1. 𞸏={(٨١،٨١)،(٩،٩)،(٠،٠)،(٩،٩)،(٨١،٨١)}
  2. 𞸏=󰂚󰂔٨١،١٨١󰂓،󰂔٩،١٩󰂓،(٠،٠)،󰂔٩،١٩󰂓،󰂔٨١،١٨١󰂓󰂙
  3. 𞸏={(٨١،٨١)،(٩،٩)}
  4. 𞸏={(٨١،٨١)،(٩،٩)،(٩،٩)،(٨١،٨١)}
  5. 𞸏={٨١،٩،٠،٩،٨١}

الحل

لتمثيل مخطَّط سهمي في صورة مجموعة أزواج مرتَّبة، يجب أن ننظر جيدًا إلى جميع القيم المُدخَلة الممكنة للعلاقة، ونتبع السهم الممتد إلى القيمة المُخرَجة المناظرة لها. إذن يكون كل زوج مرتَّب بالصورة العامة: 󰁓،󰁒.ااَُااَُ

هيا نبدأ من اليسار إلى اليمين. السهم الأول يبدأ من ٨١ ويتجه إلى ١٨. إذن القيمة المُدخَلة هي ٨١، والقيمة المُخرَجة هي ١٨؛ ومن ثَمَّ، فإن الزوج المرتَّب المناظر هو (٨١،٨١).

القيمة المُدخَلة التالية هي ٩، ويتجه السهم إلى القيمة المُخرَجة المناظرة ٩. وهذا يعني أن الزوج المرتَّب هو (٩،٩).

العلاقة التالية تبدو غريبة بعض الشيء، لكننا سنتعامل معها بالطريقة نفسها.

القيمة المُدخَلة هي صفر والقيمة المُخرَجة هي صفر أيضًا. الزوج المرتَّب هو (٠،٠).

وبطريقة مشابهة، نجد أن الزوجين المرتَّبين الأخيرين هما (٩،٩)، (٨١،٨١).

إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (أ)، 𞸏={(٨١،٨١)،(٩،٩)،(٠،٠)،(٩،٩)،(٨١،٨١)}.

من البديهي أنه إذا تمكَّنا من تمثيل علاقة باستخدام قائمة من الأزواج المرتَّبة، فبإمكاننا أيضًا تمثيل علاقة على المستوى الإحداثي. هيا نوضِّح ذلك في المثال الآتي.

مثال ٤: كتابة الأزواج المرتَّبة الموضَّحة بعلاقة مُعطاة على صورة مخطَّط بياني

اكتب بيان العلاقة 𞸏 التي يُمثِّلها المخطَّط الموضَّح.

الحل

تذكَّر أنه يمكننا تمثيل مخطَّط سهمي على صورة قائمة من الأزواج المرتَّبة، ويكون كلٌّ منها على الصورة العامة: 󰁓،󰁒.ااَُااَُ

ويترتَّب على ذلك أنه عندما تكون لدينا نقاط على مستوى إحداثي، تكون الأزواج المرتَّبة على الصورة: (𞸎،𞸑)=󰁓،󰁒.ااَُااَُ

ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة العلاقة 𞸏 للمخطَّط المُعطى من خلال كتابة الزوج المرتَّب لكل نقطة أولًا.

بالبدء من اليسار إلى اليمين وقراءة إحداثي 𞸎 أولًا، نجد أن الزوج الأول هو (٤،١).

وبالمثل، فإن الزوج الثاني هو (١،٢).

وبالطريقة نفسها، تكون الأزواج الثلاثة الأخيرة هي (٠،١)، (٢،٣)، (٣،١).

ومن ثَمَّ، فإن بيان العلاقة 𞸏 يُعطى على الصورة 𞸏={(٤،١)،(١،٢)،(٠،١)،(٢،٣)،(٣،١)}.

لقد أوضحنا بالفعل أنه يمكن تمثيل العلاقة بعدد من الطرق، ومنها الطرق الجبرية. في المثال التالي، نتناول كيفية تكوين معادلة لوصف علاقة مُعطاة على صورة مخطَّط سهمي.

مثال ٥: تكوين معادلة من مخطَّط سهمي

إذا كانت 𞸏 علاقة من 𞹎 إلى 𞹑؛ حيث 󰏡𞹎، 𞸁𞹑، فأيُّ المعادلات التالية يعبِّر عن العلاقة 𞸏 بشكل صحيح؟

  1. 𞸁=󰏡+١
  2. 𞸁=٢󰏡٢
  3. 𞸁=٢󰏡+٢
  4. 󰏡=٢𞸁٢
  5. 󰏡=٢𞸁+٢

الحل

المخطَّط السهمي المُعطى يأخذ القيم المُدخَلة من المجموعة 𞹎 ويحوِّلها إلى القيم المُخرَجة من المجموعة 𞹑. على سبيل المثال، القيمة المُدخَلة ١ تُعطينا القيمة المُخرَجة صفرًا، والقيمة المُدخَلة ٤ تُعطينا القيمة المُخرَجة ١٠.

لإيجاد المعادلة الصحيحة التي تعبِّر عن العلاقة 𞸏، نعوِّض بهاتين القيمتين في كل معادلة. انتبه؛ فنحن نعلم أن 󰏡𞹎، 𞸁𞹑، إذن 󰏡 هي القيمة المُدخَلة (أو المتغيِّر المستقل)، 𞸁 هو القيمة المُخرَجة (أو المتغيِّر التابع).

نبدأ بالمعادلة 𞸁=󰏡+١. نفترض أن 󰏡=١: 𞸁=١+١=٠.

بما أن القيمة المُدخَلة ١ تُعطينا القيمة المُخرَجة صفرًا، إذن هذه المعادلة تنطبق على أول زوج من القيم في المخطَّط. نُكرِّر هذه العملية مع 󰏡=٤: 𞸁=٤+١=٥.

وبما أن القيمة المُدخَلة ٤ تناظر القيمة المُخرَجة ١٠، إذن هذه المعادلة لا تنطبق على جميع أزواج القيم في المخطَّط.

هيا نجرِّب المعادلة الآتية، 𞸁=٢󰏡٢. عندما يكون 󰏡=١: 𞸁=٢×(١)٢=٤.

لا يحقِّق هذا العلاقةَ المُعطاة على المخطَّط السهمي، إذن هذه المعادلة لا يمكن أن تكون صحيحة.

نجرِّب الآن المعادلة 𞸁=٢󰏡+٢، ونكتب النتائج في جدول.

󰏡١٤٥
𞸁٢×(١)+٢=٠٢×٤+٢=٠١٢×٥+٢=٢١

بما أن كل زوج من القيم المُدخَلة والمُخرَجة يطابق المخطَّط السهمي، فإن هذه هي المعادلة الصحيحة. من الجدير بالذكر أنه بما أن 󰏡 هي القيمة المُدخَلة وليست القيمة المُخرَجة، إذن نتجاهل الخيارين الآخرين الباقيين.

إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج): 𞸁=٢󰏡+٢.

في المثال السابق، أوضحنا كيفية ربط مخطَّط سهمي بقاعدة جبرية. يمكننا أيضًا استخدام قاعدة جبرية لإيجاد عناصر مجموعة. على سبيل المثال، انظر العلاقة من 𞹎 إلى 𞹑؛ حيث 𞸑=٣𞸎١، لكلٍّ من 𞸎𞹎 و𞸑𞹑. تأخذ هذه العلاقة عناصر من المجموعة 𞹎 وتُنتج عناصر في المجموعة 𞹑. افترض أن 𞹎={١،٣،٤}. إذن العنصر الأول في المجموعة 𞹑 يُعطى بالتعويض بـ 𞸎=١ في المعادلة 𞸑=٣𞸎١: 𞸑=٣×(١)١=٤.

ويمكن إيجاد العنصر الثاني بالتعويض بـ 𞸎=٣ في نفس المعادلة: 𞸑=٣×٣١=٨.

وأخيرًا، نحصل على العنصر الثالث بالتعويض بـ 𞸎=٤: 𞸑=٣×٤١=١١.

ومن ثَمَّ، فإن عناصر المجموعة 𞹑 هي ٤، ٨، ١١؛ 𞹑={٤،٨،١١}.

في المثال الأخير، سنوضِّح كيفية استخدام فهمنا للعلاقات لحل المسائل بمعلومية إحدى القواعد.

مثال ٦: تحديد جميع الأزواج المرتَّبة لعلاقة مُعطاة

إذا كانت 𞹎={٠٢،١،٣}، 𞸏 علاقة على 𞹎؛ حيث 󰏡𞸏𞸁 تعني أن 󰏡+٢𞸁 تساوي عددًا زوجيًّا لكل 󰏡𞹎، 𞸁𞹎، فأوجد بيان العلاقة 𞸏.

الحل

في هذا المثال، لدينا قاعدة تربط عناصر من المجموعة 𞹎 بعناصر أخرى من المجموعة نفسها. تخبرنا القاعدة أن العلاقة تتكوَّن من قيم 󰏡، 𞸁 من المجموعة {٠٢،١،٣} التي تحقِّق أن 󰏡+٢𞸁 يكون عددًا زوجيًّا.

ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد الأزواج المرتَّبة في هذه العلاقة عن طريق اختيار قيم 󰏡، 𞸁 من المجموعة المُعطاة والتعويض بها في المعادلة 󰏡+٢𞸁. في الحقيقة، يمكننا أيضًا استخدام فهمنا للأعداد الفردية والزوجية لاستنتاج العلاقة ذات الصلة.

هيا نبدأ بـ 󰏡=٠٢. بما أن 𞸁 عدد صحيح تم اختياره من {٠٢،١،٣}، فإن المقدار ٢𞸁 يكون دائمًا زوجيًّا. 󰏡=٠٢ زوجي، ومجموع عددين زوجيين يساوي عددًا زوجيًّا. ومن ثَمَّ، 󰏡+٢𞸁 يكون دائمًا زوجيًّا عندما يكون 󰏡=٠٢.

الأزواج المرتَّبة التي تحقِّق هذه العلاقة هي (٠٢،٠٢)، (٠٢،١)، (٠٢،٣).

الآن، افترض أن 󰏡=١. 󰏡 عدد فردي، ومجموع عدد فردي وعدد زوجي هو عدد فردي. ومن ثَمَّ، فإن 󰏡+٢𞸁 يكون فرديًّا عندما يكون 󰏡=١ ولا تُوجَد أزواج مرتَّبة تحقِّق العلاقة بقيمة مُدخَلة تساوي ١.

وأخيرًا، افترض أن 󰏡=٣. كما فعلنا في المثال السابق، هذا عدد فردي، وهو ما يعني أن 󰏡+٢𞸁 يكون فرديًّا إذا كان 󰏡=٣ ولا تُوجَد أزواج مرتَّبة تحقِّق العلاقة بقيمة مُدخَلة تساوي ٣.

بيان العلاقة 𞸏={(٠٢،٠٢)،(٠٢،١)،(٠٢،٣)}.

في هذا الشارح، قد تعمَّقنا في عالم العلاقات، ومثَّلناها باستخدام المخطَّطات السهمية، وسرد الأزواج المرتَّبة، والتمثيلات البيانية، والقواعد. هذا العالم سوف يتوسَّع فقط عندما نتعرَّف على المزيد عن الدوال والمجال والمدى ونظرياتها المختلفة الناتجة عن ذلك.

أما الآن، فسنلخِّص المفاهيم الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • العلاقة هي قاعدة تربط عناصر إحدى المجموعات بعناصر مجموعة أخرى. يمكن تمثيل العلاقات على صورة مخطَّطات سهمية، أو أزواج مرتَّبة، أو جداول قيم، أو معادلات، أو تمثيلات بيانية.
  • تُنتج العلاقة قيمة مُخرَجة واحدة أو أكثر لكل قيمة مُدخَلة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.