شارح الدرس: خواص معكوس المصفوفة الرياضيات

مثال ١: تحديد تعبير مكافئ للمصفوفات باستخدام خواص معكوس المصفوفة

إذا كانت مصفوفة، فأيٌّ من الآتي يساوي ؟

الحل

بما أن موجود، فلا بدَّ أن تكون مصفوفة مربَّعة. لنفترض أن مصفوفة من الرتبة حيث:

بناء على تعريف المعكوس بالنسبة إلى المصفوفة من الرتبة ، نجد أن:

إذا قمنا بتربيع معكوس ، فسيصبح لدينا:

بعد ذلك، علينا حساب:

بأخذ معكوس مربع المصفوفة ، سيصبح لدينا:

لاحِظ أن خاصية المحدِّدات التي تجعل تسمح لنا بحساب محدِّد لنجد أنه .

بما أن تعبير معكوس مربَّع المصفوفة يساوي تعبير مربَّع معكوس المصفوفة ، نكون بذلك أوضحنا أنه بالنسبة إلى مصفوفة من الرتبة ، وهي المصفوفة القابلة للعكس، يكون:

مثال ٢: تحديد تعبير مكافئ للمصفوفات باستخدام خواص معكوس المصفوفة

إذا كانت مصفوفة، فأيٌّ من الآتي يساوي ؟

الحل

تذكَّر أن حرف المكتوب هو رمز مدور المصفوفة. وهذا يعني أننا سنبدل الصفوف بالأعمدة. عندما نعكس مصفوفة، لا تتغيَّر القِيَم الموجودة على القطر.

بما أن موجود، فلا بدَّ أن تكون مصفوفة مربَّعة. لنفترض أن مصفوفة من الرتبة حيث:

بناء على تعريف معكوس المصفوفة من الرتبة ، فإن:

وإذا أخذنا مدور معكوس المصفوفة ، فسيصبح لدينا:

بما أنه يُمكن توزيع الكسر على المصفوفة، فإن أخذ المدور لا يؤثِّر عليها، ومن ثَمَّ يُمكننا تركه خارج المصفوفة.

بعد ذلك، نريد حساب مدور المصفوفة ، والذي سنحصل منه على:

بأخْذ معكوس مدور المصفوفة ، سنحصل على:

لقد أوضحنا أنه بالنسبة إلى أيِّ مصفوفة قابلة للعكس من الرتبة ، فإن:

مثال ٣: استخدام خواص معكوس المصفوفة لحلِّ مسألة

مصفوفة. أوجد .

الحل

لإيجاد المعكوس لمعكوس المصفوفة ، علينا أولًا إيجاد معكوس المصفوفة . لأي مصفوفة على الصورة: المعكوس يساوي:

إذن في هذا المثال، المعكوس يساوي:

إذا أوجدنا معكوس فسنأخذ: وهو ما يُمكن تبسيطه إلى:

نضرب بعد ذلك في الثابت :

بهذا نكون قد أوضحنا أن المعكوس لمعكوس المصفوفة يساوي المصفوفة الأصلية. ومع ذلك، ليس من الضروري إجراء كلِّ هذه العمليات الحسابية لحلِّ هذه المسألة؛ لأن هذه الخاصية تنطبق على جميع المصفوفات القابلة للعكس:

بمجرد ملاحظتنا أن المصفوفة لها محدِّد لا يساوي صفرًا، فإن خواص معكوس المصفوفة تُخبرنا أن معكوس المعكوس سيكون هو المصفوفة الأصلية:

مثال ٤: استخدام خواص معكوس المصفوفة لحلِّ مسألة

1. إذا كان لدينا المصفوفتان ، ؛ حيث ، ، فأوجد .
2. دون إجراء المزيد من الحسابات، أوجد .

الحل

الجزء الأول

مطلوب منَّا في الجزء الأول من هذا السؤال ضرب المصفوفة في المصفوفة . بما أن كلتا المصفوفتين مربَّعتان، ومن الرتبة ، فيُمكن ضربهما معًا، لكن تذكَّر أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا. لضرب مصفوفتين، نُوجِد حاصل الضرب القياسي لصفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية:

عند إيجاد قيمة كلٍّ من هذه التعبيرات، نجد أن:

الجزء الثاني

مطلوب منَّا في الجزء الثاني من السؤال إيجاد معكوس المصفوفة دون إجراء مزيد من الحسابات. عندما ضربنا المصفوفتين ، كانت المصفوفة الناتجة هي مصفوفة الوحدة. نتذكَّر أن أيَّ مصفوفة مربَّعة (ذات محدِّد لا يساوي صفرًا) يكون لها معكوس؛ حيث . وبما أن حاصل ضرب المصفوفة والمصفوفة كان هو مصفوفة الوحدة، فيجب أن تكون المصفوفة معكوس المصفوفة .

إذن:

مثال ٥: استخدام خواص معكوس المصفوفة لحلِّ مسألة

إذا كان: فأوجد .

الحل

لعلَّنا نتذكَّر أنه بالنسبة إلى المصفوفتين القابلتين للعكس ، ، . وهذا يعني أنه يُمكننا إعادة كتابة المعادلة الأولى على الصورة:

نحتاج الآن إلى طريقة لاستبعاد من طرفَيْ هذه المعادلة. ولنفعل ذلك، نستخدم خاصية رئيسية من خواص مصفوفة الوحدة. نعرف أن . هذا يعني أنه يُمكننا ضرب كلا طرفَيْ هذه المعادلة في المصفوفة المُعطاة لدينا، وذلك مع تذكُّر أن ضرب المصفوفات ليس إبداليًّا؛ من ثَمَّ يجب علينا الضرب بالترتيب الصحيح:

ومن هنا، نتبع قواعد ضرب المصفوفات من الرتبة لنجد أن:

في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، نلاحظ أننا ضربنا معكوس المصفوفة في المصفوفة . نعلم أن ذلك يساوي مصفوفة الوحدة. لذا، يُمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن للمعادلة ليصبح:

وبتذكُّر أن ضرب أيِّ مصفوفة في مصفوفة الوحدة يساوي المصفوفة نفسها، يُمكننا القول إن:

الخطوة الأخيرة هي الضرب في الثابت لنحصل على: