شارح الدرس: مركِّبات المتجه الرياضيات • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مُركِّبات متجه ثنائي الأبعاد.

يُعرَّف المتجه في العموم بأنه عنصر مُعرَّف باتجاهه ومعياره. وهندسيًّا، يُمثَّل المتجه بسهم (قطعة مستقيمة موجَّهة يُشير السهم فيها إلى الاتجاه)، يَصِل نقطة بداية بنقطة نهاية. واتجاه المتجه هو الاتجاه من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، ومعياره هو المسافة بين النقطتين (طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين).

في الشكل الآتي، يُمثَّل المتجهان ، بسهمين واصلين بين النقطتين ، والنقطتين ، ، على الترتيب.

إن تمثيل المتجهات في مستوًى إحداثي يمكِّننا من وصْف المتجهات بسهولة أكبر، وتحديدًا بدلالة مركِّباتها. هيَّا نتعرَّف على مركِّبات المتجهات.

في المستوى الإحداثي، يُمكننا وصْف المتجه وصفًا تامًّا بقولنا: «أربع وحدات إلى اليمين، ووحدتان إلى الأعلى»؛ لأن لدينا كلًّا من الاتجاه والمسافة؛ فإذا بدأنا من ، تقودنا هذه التعليمات مباشرة إلى . وبالمثل، يُمكن وصْف المتجه بقولنا: «وحدة واحدة إلى اليسار، ووحدة واحدة إلى الأعلى».

هذه الأوصاف هي أساس ما نسمِّيه مركِّبات المتجه. تذكَّر أن إحداثيات النقطة يسارًا أو يمينًا وأسفل أو أعلى من نقطة الأصل تُوصَف باستخدام الأعداد السالبة أو الموجبة. ولا تختلف الأعداد السالبة عن الموجبة في وصْف المتجهات بدلالة مركِّباتها. إذا كان المتجه:

• يُشير إلى ، تكون مركِّبته الأولى (الأفقية)
• يُشير إلى ، تكون مركِّبته الثانية (الرأسية) .

تعريف: مركِّبات المتجه

تُكتَب مركِّبتا المتجه على الصورة ؛ حيث يَصِف الحركة ، ويَصِف الحركة من نقطة بداية المتجه إلى نقطة نهايته.

يوضِّح الشكل الآتي متجهات مختلفة إلى جانب مركِّباتها.

هيَّا نرَ كيفية إيجاد مركِّبتَيْ متجه مُمثَّل في مستوًى إحداثي.

مثال ١: إيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية لمتجه

يوضِّح الشكل الآتي المتجه ؛ حيث ، . اكتب المتجه على الصورة .

الحل

لإيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية للمتجه ؛ أيْ إيجاد ، ؛ حيث ، يُمكِننا النظر إلى المسافتين الأفقية والرأسية من إلى . تُوجَد طريقة أخرى لفعل ذلك، وهي إيجاد المسافة التي علينا قطعها في الاتجاه الأفقي ()، والاتجاه الرأسي () لننتقل من إلى .

المسافة الأفقية تساوي الفرق بين إحداثيَّيْ ؛ أيْ . والمسافة الرأسية تساوي الفرق بين إحداثيَّيْ ؛ أيْ .

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة المتجه من إلى على الصورة:

يُمكن تلخيص الطريقة التي أوجدنا بها مركِّبتي المتجه في المثال السابق باستخدام إحداثيات نقطتَيْ بداية المتجه ونهايته كما يأتي.

مثال ٢: إيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية لمتجه

يوضِّح الشكل الآتي متجهًا.

1. ما إحداثيات نقطة نهاية المتجه؟
2. ما إحداثيات نقطة بداية المتجه؟
3. ما مركِّبتا المتجه؟

الحل

الجزء الأول

عندما يُمثَّل المتجه على مستوًى، تكون نقطة نهاية المتجه هي النقطة التي يُوجَد عندها رأس السهم. يُمكِننا أن نفكِّر في ذلك على أنه الاتجاه الذي يُشير إليه المتجه. بالنظر إلى الشكل، يُمكِننا ملاحظة أن هي نقطة النهاية.

الجزء الثاني

بالمثل نقطة البداية هي النقطة التي يبدأ منها السهم. ومن ثَمَّ، بالنظر إلى الشكل، يُمكِننا ملاحَظة أن هي نقطة البداية.

الجزء الثالث

يُمكِن إيجاد المركِّبة الأولى للمتجه بالنظر إلى الفرق بين إحداثيَّيْ لنقطة النهاية ونقطة البداية؛ وهذا يعني أن المركِّبة الأولى (المركِّبة ) للمتجه هي . أمَّا المركِّبة الثانية، فتساوي الفرق بين إحداثيَّيْ لنقطتَيِ النهاية والبداية. ومن ثَمَّ، المركِّبة الثانية (المركِّبة ) تساوي . وعندما نكتب المتجهات على الصورة الإحداثية، نَستخدِم الترميز .

بعد ذلك، سنُعرِّف متجهين مميَّزين طول كلٍّ منهما يساوي ١. المتجه يُمثِّل التحرُّك مسافة موجب واحد في الاتجاه ، والمتجه يُمثِّل التحرُّك مسافة موجب واحد في الاتجاه .

تعريف: متجهات الوحدة

باستخدام الترميز الذي تناولناه سابقًا، يُمكننا تعريف: حيث يُمثِّل التحرُّك وحدة واحدة في الاتجاه ، وصفر وحدة في الاتجاه ، ويُمثِّل التحرُّك صفر وحدة في الاتجاه ، ووحدة واحدة في الاتجاه .

من المُهِمِّ ملاحَظة أن هذه المتجهات المميَّزة لا يلزم أن تبدأ من نقطة الأصل. متجهات الوحدة هذه تَصِف فحسب الانتقال مسافة واحدة في الاتجاه الأفقي أو الرأسي، ومن المُمكِن أن تتغيَّر نقطة البداية.

على سبيل المثال، كما يَظهَر في الشكل الآتي، يُمكن لمتجه الوحدة أن يُمثِّل الانتقال من إلى ، طالما أن الإحداثي يزيد بمقدار واحد، والإحداثي لا يتغيَّر.

ويُمكن لمتجه الوحدة أن يُمثِّل الانتقال من إلى ، طالما أن الإحداثي لا يتغيَّر، والإحداثي يزيد بمقدار واحد.

يُمثِّل المتجه التحرُّك بمقدار وحدة في الاتجاه . ويمكننا كتابة: وهو ما يعني أننا نتحرَّك وحدة في الاتجاه الأفقي، وصفر وحدة في الاتجاه الرأسي.

ويُمثِّل المتجه التحرُّك بمقدار وحدة في الاتجاه . ويمكننا كتابة: وهو ما يعني أننا نتحرَّك وحدة في الاتجاه الرأسي، وصفر وحدة في الاتجاه الأفقي.

على سبيل المثال، يوضِّح الشكل الآتي المتجه .

بمجرد أن يكون لدينا متجهان على الصورة ، ، يُمكِننا جمعهما معًا لوصْف أيِّ متجه على الصورة .

خطوات: كتابة متجه على صورة مجموع متجهات الوحدة

بشكلٍ عامٍّ، إذا انتقلنا من نقطة البداية إلى نقطة النهاية ، فهذا يَصِف المتجه الذي يُمثِّل الانتقال مسافة في الاتجاه ، ومسافة في الاتجاه .

يُمكِننا كتابة هذا المتجه بطريقتين: أو:

مثال ٣: كتابة المتجهات على صورة مجموع متجهات الوحدة

باعتبار أنَّ كلَّ مربع في الشبكة البيانية طول ضلعه ١، اكتب المتجه على الصورة ، ثم على الصورة .

الحل

من نقطة البداية ننتقل وحدة في الاتجاه الأفقي (الذي يُمثِّل المتجه )، ثم ننتقل وحدات في الاتجاه الرأسي (الذي يُمثِّل المتجه ) لنَصِل إلى النقطة .

المتجه الذي يُمثِّل الانتقال مباشرةً من إلى هو مجموع متجهي الوحدة هذين.

إذن:

إن استخدام المتجهين ، يُمكِّننا من وصْف المتجه بدلالة عدد الخطوات الأفقية والرأسية ذات الطول الذي يساوي واحدًا التي علينا قطعها من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.

لاحِظ أن المعاملات السالبة للمتجهين ، تُمثِّل الحركة إلى اليسار وإلى الأسفل على الترتيب.

على سبيل المثال، المتجه ، الذي يُمثِّل الانتقال وحدتين سالبتين في الاتجاه ، وثلاث وحدات سالبة في الاتجاه ، كما هو موضَّح في الشكل السابق يُمكِننا كتابته على الصورة: ، أو:

أحيانًا يتعيَّن علينا حلُّ مسائل كلامية تتعلَّق بالمتجهات تكون المهارة الأساسية فيها هي تفسير صيغة السؤال وترجمتها إلى صيغة رياضية.

تذكَّر أن المتجهات المتكافئة متجهات لها الاتجاه نفسه والمعيار نفسه.

انظر المتجهات ، ، ، في الشكل الآتي.

يُمكننا ملاحَظة أن جميع المتجهات تقع على الخط نفسه أو على خطوط متوازية. إلَّا أن المتجه ليس في نفس اتجاه المتجهات الثلاثة الأخرى؛ إذ يُشير إلى اليمين وإلى الأعلى، بينما تُشير المتجهات الأخرى إلى اليسار وإلى الأسفل.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه لكي تقع المتجهات على الخط نفسه أو على خطوط متوازية، فإن نِسب المركِّبة إلى المركِّبة لها يجب أن تكون متساوية (وهي تُمثِّل حينئذٍ ميل الخط المستقيم).

يُمكننا إيجاد معيارات المتجهات الأربعة بالنظر إلى المثلثات القائمة التي يُمكن تكوينها باستخدام كلِّ متجه؛ حيث يُمثِّل المتجه الوتر، ويُمثِّل الضلعان الموازيان للمحورين ، ضلعَي القائمة (يَظهَر مثل هذا المثلث القائم الزاوية عند المتجه )، ويمكن تطبيق نظرية فيثاغورس. أطوال الأضلاع تساوي القِيَم المطلقة لمركِّبات المتجهات. ومن ثَمَّ، نجد أن:

نلاحِظ أن مركِّبتَيْ هما المركِّبتان المعاكستان لمركِّبتَيْ ، ؛ وهو ما يعني أن لهما المعيار نفسه، لكنهما في الاتجاه المعاكس.

المتجهان اللذان لهما الاتجاه نفسه والمعيار نفسه هما ، ؛ وهذا لأن لهما المركِّبات أنفسها. إنهما متكافئان.

يُمكننا بسهولة إثبات أن العكس صحيح؛ أيْ إن المتجهات المتكافئة (المتجهات التي لها الاتجاه نفسه والمعيار نفسه) يجب أن تكون لها المركِّبات أنفسها. هيَّا نتناول المتجهين المتكافئين ، . بما أن المتجهين ، لهما الاتجاه نفسه، يجب أن تكون نسبة مركِّباتهما متساوية، ويجب أن تكون لمركِّباتهما الإشارة نفسها. ومن ثَمَّ، يكون لدينا:

بالإضافة إلى ذلك، للمتجهين ، المعيار نفسه. وهذا يعني (بالتفكير في المثلثات القائمة الزاوية التي استخدمناها سابقًا) أن:

بالتعويض بالتعبيرات المذكورة سابقًا لكلٍّ من ، في هذه المعادلة، نجد أن:

إذن: وإذن:

هيَّا نَستخدِم هذه الخاصية في المثال الأخير لإيجاد إحداثيات نقطة بمعلومية كونها نقطة نهاية متجه مكافئ لمتجه آخَر.

مثال ٥: المتجهات المتكافئة في المستوى الإحداثي

النقاط ، ، إحداثياتها ، ، ، على الترتيب. إذا كان ، متجهين متكافئين، فأوجد إحداثيات النقطة .

الحل

نحن نعلم أن ، متجهان متكافئان، وهو ما يعني أن لهما المركِّبتين أنفسهما. لذلك هيَّا نُوجِد مركِّبتَيْ :

يُمكننا التحقُّق من أن الناتج صحيح باستخدام الشكل، وذلك بالتحرُّك خمس وحدات إلى اليمين، و ثلاث وحدات إلى الأعلى عند الانتقال من إلى .

بما أن المتجهين ، لهما المركِّبتان أنفسهما، إذن:

وبما أن ، نَستنتِج أن:

بالتعويض بقيمتَيْ ، ، نحصل على: وعلى:

إذن إحداثيات النقطة هي .

هيَّا نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.