شارح الدرس: مركِّبات المتجه الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مُركَّبات متجه ثنائي الأبعاد.

يُمكن تمثيل المتجهات في فضاء مناسب بواسطة قطعة مستقيمة ذات طول، أو معيار، واتجاه محدَّدين. هذا يعني أنه يُمكننا التفكير في المتجهات على أنها حركة محدَّدة؛ أي الانتقال مسافة محدَّدة من نقطة بداية في اتجاه معيَّن. على سبيل المثال، يمكن أن تُمثِّل المتجهات أيضًا القوة أو العجلة.

ويُمكننا أيضًا تعريف المتجه الثنائي الأبعاد باستخدام مركِّبتَيْه الأفقية والرأسية بكتابته إمَّا على الصورة (𞸀،𞸁)، أو على الصورة 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑. وهنا، سنناقش هاتين المركِّبتين الأفقية والرأسية، ونتناول ترميز متجهي الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑.

أيُّ متجه ثنائي الأبعاد (𞸀،𞸁) له مركِّبتان. وعندما يُمثَّل المتجه بيانيًّا بقطعة مستقيمة على تمثيل بياني، فإن 𞸀 يُمثِّل الفرق الأفقي بين إحداثيات 𞸎 لطرفيها، ويُمثِّل 𞸁 الفرق الرأسي بين إحداثيات 𞸑. يُمكن أيضًا التفكير في العددين 𞸀، 𞸁 على أنهما يُمثِّلان الحركة في الاتجاهين الأفقي والرأسي.

مثال ١: إيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية لمتجه ما

يوضِّح الشكل الآتي المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅؛ حيث 𞸤(٣،٢)، 𞸅(٦،٩). اكتب المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅 على الصورة (𞸀،𞸁).

الحل

لإيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية للمتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅؛ أيْ إيجاد 𞸀، 𞸁، حيث 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=(𞸀،𞸁)، يُمكننا النظر إلى المسافات الأفقية والرأسية من 󰄮󰄮𞸤 إلى 󰄮𞸅. تُوجَد طريقة أخرى لإجراء ذلك، وهي إيجاد المسافة التي علينا أن نقطعها في الاتجاه الأفقي (𞸀) والاتجاه الرأسي (𞸁) لننتقل من 󰄮󰄮𞸤 إلى 󰄮𞸅.

المسافة الأفقية تساوي الفرق بين إحداثيي 𞸎؛ أيْ ٦٣=٣. والمسافة الرأسية تساوي الفرق بين إحداثيي 𞸑؛ أيْ ٩٢=٧.

ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة المتجه من 󰄮󰄮𞸤 إلى 󰄮𞸅 على الصورة: 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=(٣،٧).

كيفية كتابة متجه على الصورة الإحداثية

لكتابة المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅، حيث 𞸤󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 𞸅󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ على الصورة (𞸀،𞸁)، احسب أولًا الفرق بين إحداثيي 𞸎 للحصول على 𞸀، ثم احسب الفرق بين إحداثيي 𞸑 للحصول على 𞸁: 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=(𞸀،𞸁)،𞸀=𞸎𞸎𞸁=𞸑𞸑.،٢١٢١

في هذه الصورة، يُمثِّل 𞸀 المركِّبة 𞸎، أو المسافة الأفقية، ويُمثِّل 𞸁 المركِّبة 𞸑، أو المسافة الرأسية.

ويُمكن توسيع نطاق هذا الترميز ليشمل أيَّ عدد من الأبعاد. إذا كان لدينا نظام إحداثي ثلاثي الأبعاد له الإحداثيات 𞸎، 𞸑، 𞸏، سنُضيف عددًا ثالثًا ليُمثِّل المركِّبة 𞸏 ليصبح لدينا: (𞸀،𞸁،𞸢).

مثال ٢: إيجاد المركِّبتين الأفقية والرأسية لمتجه ما

يوضِّح الشكل الآتي متجهًا.

  1. ما إحداثيات نقطة نهاية المتجه؟
  2. ما إحداثيات نقطة بداية المتجه؟
  3. ما مركِّبتا المتجه؟

الحل

الجزء الأول

عندما يُمثَّل المتجه على مستوًى، تكون نقطة نهاية المتجه هي النقطة التي يُوجَد عندها رأس السهم. يُمكننا أن نفكِّر في ذلك على أنه الاتجاه الذي يُشير إليه المتجه. بالنظر إلى الشكل، يُمكننا رؤية أن (٧،١) هي النقطة التي ينتهي عندها السهم.

الجزء الثاني

وبالمثل، نقطة البداية هي النقطة التي يبدأ منها السهم. ومن ثَمَّ، بالنظر إلى الشكل، يُمكننا أن نرى أن (١،٢) هي نقطة البداية.

الجزء الثالث

يُمكن إيجاد المركِّبة الأولى للمتجه بالنظر إلى الفرق بين إحداثيي 𞸎 لنقطة النهاية ونقطة البداية؛ وهذا يعني أن المركِّبة الأولى (أو على نحو مكافئ، المركِّبة 𞸎) للمتجه 󰄮𞸏 هي ٧(١)=٦. أمَّا المركِّبة الثانية، فهي الفرق بين إحداثيي 𞸑 لنقطتَيِ النهاية والبداية. ومن ثَمَّ، المركِّبة الثانية (أو على نحو مكافئ، المركِّبة 𞸑) تُعطَى على الصورة: ١٢=٣. عندما نكتب المتجهات على الصورة الإحداثية، نستخدم الترميز (٦،٣).

بعد ذلك، سنُعرِّف متجهين مميَّزين طول كلٍّ منهما يساوي ١. المتجه 󰄮󰄮󰄮𞹎 يُمثِّل التحرُّك مسافة موجب واحد في الاتجاه 𞸎، والمتجه 󰄮󰄮󰄮𞹑 يُمثِّل التحرُّك مسافة موجب واحد في الاتجاه 𞸑.

تعريف: متجهات الوحدة

باستخدام الترميز الذي تناولناه سابقًا، يُمكننا تعريف: 󰄮󰄮󰄮𞹎=(١،٠)󰄮󰄮󰄮𞹑=(٠،١)،، حيث يُمثِّل (١،٠) التحرُّك وحدة واحدة في الاتجاه 𞸎، وصفر من الوحدات في الاتجاه 𞸑، و يُمثِّل (٠،١) التحرُّك صفر من الوحدات في الاتجاه 𞸎، ووحدة واحدة في الاتجاه 𞸑.

من المُهِمِّ ملاحظة أن هذه المتجهات المميَّزة يجب أن لا تبدأ من نقطة الأصل. فمتجهات الوحدة هذه تَصِف فحسب الانتقال مسافة واحدة في الاتجاه الأفقي أو الرأسي؛ ومن المُمكِن أن تتغيَّر نقطة البداية.

على سبيل المثال، كما يَظهَر في الشكل الآتي، يُمكن لمتجه الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎 أن يُمثِّل الانتقال من (٥٫٢،٢) إلى (٥٫٣،٢)، طالما أن الإحداثي 𞸎 يزيد بمقدار واحد، والإحداثي 𞸑 لا يتغيَّر.

ويُمكن لمتجه الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹑 أن يُمثِّل الانتقال من (٤،٣) إلى (٤،٤)، طالما أن الإحداثي 𞸎 لا يتغيَّر، والإحداثي 𞸑 يزيد بمقدار واحد.

والآن، سنتناول كيفية الجمع والطرح باستخدام متجهات الوحدة هذه.

يُمثِّل المتجه 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎 التحرُّك بمقدار 𞸀 من الوحدات في الاتجاه 󰄮󰄮󰄮𞹎. يُمكننا كتابة: 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎=(𞸀،٠) وهو ما يعني أننا نتحرَّك 𞸀 من الوحدات في الاتجاه الأفقي، وصفر من الوحدات في الاتجاه الرأسي.

ويُمثِّل المتجه 𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑 التحرُّك بمقدار 𞸁 من الوحدات في الاتجاه 󰄮󰄮󰄮𞹑. ويُمكننا كتابة: 𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑=(٠،𞸁) وهو ما يعني أننا نتحرَّك 𞸁 من الوحدات في الاتجاه الرأسي، وصفر من الوحدات في الاتجاه الأفقي.

على سبيل المثال، يوضِّح الشكل الآتي المتجه ٢󰄮󰄮󰄮𞹎=(٢،٠) باللون البرتقالي.

بمجرد أن يكون لدينا متجهان على الصورة 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎، 𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑 يُمكننا جمعهما معًا لوصْف أيِّ متجه على الصورة 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑.

مثال ٣: كتابة المتجهات على صورة مجموع متجهات الوحدة

باعتبار أن كلَّ مربع في الشبكة البيانية طول ضلعه واحد، اكتب المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅 على الصورة 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑، ثم على الصورة (𞸀،𞸁).

الحل

من نقطة البداية 𞸤، نتحرَّك +٢ من الوحدات في الاتجاه الأفقي (الذي يُمثِّل المتجه ٢󰄮󰄮󰄮𞹎)، ثم نتحرَّك +٣ من الوحدات في الاتجاه الرأسي (الذي يُمثِّل المتجه ٣󰄮󰄮󰄮𞹑) لنصل إلى النقطة 𞸅.

المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅 الذي يُمثِّل الانتقال مباشرةً من 𞸤 إلى 𞸅 هو مجموع متجهي الوحدة هذين.

ومن ثَمَّ: 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑=(٢،٣).

كيفية كتابة متجه على صورة مجموع متجهات الوحدة

بشكل عام، إذا تحرَّكنا من نقطة البداية 𞸊󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ إلى نقطة النهاية 𞸋󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فهذا يَصِف المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸊𞸋 الذي يُمثِّل التحرُّك مسافة 󰁓𞸎𞸎󰁒٢١ في الاتجاه 𞸎، ومسافة (𞸑𞸑٢١) في الاتجاه 𞸑.

ويُمكننا كتابة هذا المتجه بطريقتين: 󰄮󰄮󰄮𞸊𞸋=󰁓𞸎𞸎،𞸑𞸑󰁒٢١٢١ أو: 󰄮󰄮󰄮𞸊𞸋=󰁓𞸎𞸎󰁒󰄮󰄮󰄮𞹎+󰁓𞸑𞸑󰁒󰄮󰄮󰄮𞹑.٢١٢١

إن استخدام المتجهين 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 يُمكِّننا من وصْف المتجه بدلالة عدد الخطوات الأفقية والرأسية ذات الطول الذي يساوي واحدًا التي علينا قطعها من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.

لاحِظ أن المعاملات السالبة للمتجهين 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 تُمثِّل الحركة في الاتجاه المعاكس.

على سبيل المثال، المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=(٢،٣)، الذي يُمثِّل التحرُّك وحدتين سالبتين في الاتجاه 𞸎 وثلاث وحدات سالبة في الاتجاه 𞸑، كما هو موضَّح في الشكل السابق، يُمكن كتابته على الصورة: (٢󰄮󰄮󰄮𞹎)+(٣󰄮󰄮󰄮𞹑) أو: 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=٢󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑.

وأحيانًا، يتعيَّن علينا حلُّ مسائل كلامية تتعلَّق بالمتجهات تكون المهارة الأساسية فيها هي تفسير صيغة السؤال وترجمتها إلى صيغة رياضية.

مثال ٤: المسائل الكلامية التي تتضمَّن مركِّبات المتجهات

تحرَّك جسم مسافة ١٩٠ سم في اتجاه الشرق؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة في اتجاهي الشرق والشمال، على الترتيب. اكتب إزاحة الجسم بدلالة متجهي الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑.

الحل

نعلم أن المتجه 󰄮󰄮󰄮𞹎 يُمثِّل اتجاه الشرق، والمتجه 󰄮󰄮󰄮𞹑 يُمثِّل اتجاه الشمال. تحرَّك الجسم في اتجاه الشرق. وعليه، فإن المتجه الذي يُعبِّر عن هذه الإزاحة لن يكون له مركِّبة شمالية. ومن ثَمَّ، فإن معامل 󰄮󰄮󰄮𞹑 يساوي صفرًا. ونعلم أنه تحرَّك ١٩٠ سم في اتجاه الشرق. لذا، فإن معامل 󰄮󰄮󰄮𞹎 يساوي ١٩٠. إذن يُمكن كتابة إزاحة الجسم على الصورة: ٠٩١󰄮󰄮󰄮𞹎+٠󰄮󰄮󰄮𞹑=٠٩١󰄮󰄮󰄮𞹎.

مثال ٥: جمع متجهين مُعطَيَيْن على صورة مجموع متجهات الوحدة

افترض أنَّ 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁=٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٤󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑. أوجد 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑.

الحل

عندما نجمع متجهين، فإننا نجمع مركِّبتي 𞸎 معًا، (لحساب الحركة الأفقية الكلية)، ثم نجمع مركِّبتي 𞸑 معًا (لحساب الحركة الرأسية الكلية). إذن: 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=(٣󰄮󰄮󰄮𞹎+٤󰄮󰄮󰄮𞹑)+(٢󰄮󰄮󰄮𞹎+٣󰄮󰄮󰄮𞹑)=(٣󰄮󰄮󰄮𞹎٢󰄮󰄮󰄮𞹎)+(٤󰄮󰄮󰄮𞹑+٣󰄮󰄮󰄮𞹑)=(٣٢)󰄮󰄮󰄮𞹎+(٤+٣)󰄮󰄮󰄮𞹑=󰄮󰄮󰄮𞹎+٧󰄮󰄮󰄮𞹑.

مزيدٌ من النقاش

يُمكننا أيضًا تناول جمع هذين المتجهين بيانيًّا. سنتحرَّك من نقطة البداية +٣ في الاتجاه 𞸎، و+٤ في الاتجاه 𞸑. هذا يُمثِّل المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁. ومن هذه النقطة، نتحرَّك ٢ في الاتجاه 𞸎، و+٣ في الاتجاه 𞸑. وهذا يُمثِّل المتجه 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑. وهو موضَّح في الشكل على الجانب الأيسر.

إذن مجموع المتجهين 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁، 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑 هو المتجه الذي يَصِف الحركة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. وكما هو موضَّح في الشكل على الجانب الأيمن، المتجه 󰄮󰄮󰄮𞸀𞸁+󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑 يساوي 󰄮󰄮󰄮𞹎+٧󰄮󰄮󰄮𞹑.

مثال ٦: طرح متجهين معطَيَيْن على صورة مجموع متجهات الوحدة

افترض أن 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=٣󰄮󰄮󰄮𞹎٤󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٧󰄮󰄮󰄮𞹑. أوجد 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑.

الحل

بالطريقة نفسها، كما هو الحال مع الجمع، عند طرح متجهين نتناول مركِّبتي 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 كلًّا على حِدَةٍ.

بالنسبة إلى مركِّبتي 󰄮󰄮󰄮𞹎، لدينا ٣󰄮󰄮󰄮𞹎(٤)󰄮󰄮󰄮𞹎، وبالنسبة إلى مركِّبتي 󰄮󰄮󰄮𞹑، لدينا ٤󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮󰄮𞹑. وبكتابة هذا بصورة كاملة، نحصل على: 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=(٣󰄮󰄮󰄮𞹎٤󰄮󰄮󰄮𞹑)(٤󰄮󰄮󰄮𞹎+٧󰄮󰄮󰄮𞹑)=٣󰄮󰄮󰄮𞹎(٤)󰄮󰄮󰄮𞹎٤󰄮󰄮󰄮𞹑٧󰄮󰄮󰄮𞹑=(٣(٤))󰄮󰄮󰄮𞹎+(٤٧)󰄮󰄮󰄮𞹑=(٣+٤)󰄮󰄮󰄮𞹎+(١١)󰄮󰄮󰄮𞹑=٧󰄮󰄮󰄮𞹎١١󰄮󰄮󰄮𞹑.

النقاط الرئيسية

  • تُوجَد طريقتان لكتابة المتجهات عند تناول المركِّبات الأفقية والرأسية؛ فبالإضافة إلى كتابة المتجهات على الصورة (𞸀،𞸁)، يُمكننا وصْفها باستخدام مجموع متجهي الوحدة 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑. تُمثِّل المركِّبة 𞸎؛ أيْ 𞸀، معامل 󰄮󰄮󰄮𞹎، وتُمثِّل المركِّبة 𞸑؛ أي 𞸁، معامل 󰄮󰄮󰄮𞹑. لذا، يُمكننا كتابة المتجه على الصورة 𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑.
  • عندما نجمع متجهين أو نطرحهما، علينا تجميع مركِّبتي 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 كلٍّ على حِدَةٍ.
  • إذا كان لدينا المتجهان 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅=𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑، 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=𞸢󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸃󰄮󰄮󰄮𞹑، فلإيجاد 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅+󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑، نجمع المركِّبتين الأفقيتين والمركِّبتين الرأسيتين كلًّا على حِدَةٍ.
    إذن 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅+󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=𞸌󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸍󰄮󰄮󰄮𞹑، حيث: 𞸌=𞸀+𞸢𞸍=𞸁+𞸃.، وبصورة أخرى، نحسب المجموع كما يأتي: (𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑)+(𞸢󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸃󰄮󰄮󰄮𞹑)=(𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸢󰄮󰄮󰄮𞹎)+(𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸃󰄮󰄮󰄮𞹑)=(𞸀+𞸢)󰄮󰄮󰄮𞹎+(𞸁+𞸃)󰄮󰄮󰄮𞹑. وبالمثل، يُمكننا إيجاد الفرق بين المتجهين 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑 بحساب الفرق بين المركِّبتين الأفقيتين والرأسيتين. ومن ثَمَّ، 󰄮󰄮󰄮𞸤𞸅󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸎𞸑=𞸌󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸍󰄮󰄮󰄮𞹑، حيث: 𞸌=𞸀𞸢𞸍=𞸁𞸃.، ويُمكن كتابة ذلك على الصورة: (𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑)(𞸢󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸃󰄮󰄮󰄮𞹑)=(𞸀󰄮󰄮󰄮𞹎𞸢󰄮󰄮󰄮𞹎)+(𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑𞸃󰄮󰄮󰄮𞹑)=(𞸀𞸢)󰄮󰄮󰄮𞹎+(𞸁𞸃)󰄮󰄮󰄮𞹑.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.