في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحلُّ المعادلات التربيعية التي جذورها أعداد مركبة.
تفتح مقدمة الأعداد المركبة إمكانية إيجاد حلول للمعادلات التي لم نتمكَّن من حلِّها سابقًا. على سبيل المثال، في السابق، عندما صادفْنا معادلةً تتطلَّب أخْذ الجذر التربيعي لعدد سالب، لم نتمكَّن من حلِّها، واستنتجنا أنه لا تُوجَد حلول حقيقية. لكن باستخدام الأعداد المركبة، يُمكننا الحصول على لمحة أخرى عن طريق استكشاف الحلول المركبة لهذه المعادلات. نبدأ بالنظر إلى مثال على معادلة لا يُمكننا حلُّها إذا اقتصرنا على استخدام الأعداد الحقيقية فقط.
مثال ١: حلُّ المعادلات ذات الأعداد المركبة
حُلَّ المعادلة .
الحل
نبدأ بتجميع الحدود المتشابهة:
نقسم الطرفين على ٥ لنفصل في الطرف الأيسر من المعادلة كما يأتي:
بأخْذ الجذر التربيعي للطرفين، نتذكَّر أنه يُمكننا أخْذ الجذرين الموجب والسالب، نحصل على:
باستخدام خاصية الأعداد المركبة، في العدد الموجب ، ، يُمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:
كما رأينا سابقًا، غالبًا ما يُمكن تطبيق الطُّرق التي نستخدمها في حلِّ المعادلات ذات الحلول الحقيقية على المعادلات ذات الحلول غير الحقيقية. ومن ثَمَّ، عند التعامل مع المعادلات التربيعية، يُمكن بالمثل تطبيق طُرق مثل تحليل المربع وإكماله على المعادلات التي لها حلول مركبة. تحديدًا، يُمكننا أيضًا استخدام القانون العام لحلِّ المعادلة التربيعية.
القانون العام
للمعادلة التربيعية ؛ حيث ، يُعطى الجذران بـ:
باستخدام القانون العام، يُمكننا حلُّ أيِّ معادلة تربيعية. عند استخدام القانون العام للمعادلة التربيعية، نواجه ثلاث حالات مختلفة. للتمييز بينها، عرَّفنا فكرة المُميِّز.
المُميِّز
وهو مُميِّز المعادلة التربيعية ، يُعرَّف على الصورة: . غالبًا، يُستخدَم للدلالة على المُميِّز.
باستخدام المُميِّز، نحدِّد حالات المعادلات التربيعية الثلاث المختلفة، كما يأتي:
- مُميِّز موجب: جذران حقيقيان.
- مُميِّز يساوي صفرًا: جذر حقيقي واحد مكرَّر.
- مُميِّز سالب: ليس له جذور حقيقية.
يوضِّح التمثيل البياني الآتي كلَّ حالة.
وسنركِّز بالأساس على الحالة الثالثة التي لا تُوجَد فيها حلول حقيقية. تُمكِّننا مقدمة الأعداد المركبة من إعادة كتابة ذلك مثل الحالة التي يُوجَد فيها جذور مركبة. في هذا الشارح، سنستكشف هذه الحالة، وخواص هذه الجذور.
مثال ٢: حلُّ المعادلات التربيعية ذات الجذور المركبة
حُلَّ المعادلة التربيعية .
الحل
باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية، بالتعويض بـ ، ، ، يصبح لدينا:
بالتبسيط، نحصل على:
باستخدام خاصية الأعداد المركبة، للعدد الموجب ، ، يُمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:
وحقيقة أن جذرَيْ هذه المعادلة عبارة عن زوج مرافق عدد مركب ليستْ مُصادفة. في الواقع، ينطبق هذا على أيِّ معادلة تربيعية معاملاتها حقيقية، ولها حلول غير حقيقية، كما هو موضَّح في النظرية الآتية.
نظرية مرافق الجذر المركب في المعادلات التربيعية
الجذور غير الحقيقية للمعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية تحدث في أزواج مرافق الأعداد المركبة. ومن ثَمَّ، إذا كان (حيث ) جذر معادلة تربيعية معاملاتها حقيقية، إذن جذر أيضًا.
باستخدام خواص مرافق العدد المركب، سنقدِّم إثباتًا بسيطًا لهذه النظرية. في الدالة التربيعية: ، نفترض أن جذر مركب. الآن نفترض:
من بين خواص مرافق العدد المركب، نعلم أنه في أيِّ عددين مركبين . ومن ثَمَّ . ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
إذا كان أيُّ عدد حقيقي يساوي مرافقه المركب، وكان ، ، أعدادًا حقيقية، إذن يُمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي:
ونعرف أيضًا من خواص مرافق العدد المركب أنه في أيِّ عددين مركبين . ومن ثَمَّ:
لكن، بما أن جذر، نعلم أن . إذن . ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أن جذر أيضًا. يُمكن تعميم هذه النظرية وإثباتها على أيِّ كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. في الجزء المتبقِّي من هذا الشارح، سنطبِّق هذه النظرية على عدد من الأمثلة.
مثال ٣: الجذور المركبة للمعادلات التربيعية
العددان المركبان ، ؛ حيث ، ، ، أعداد حقيقية، هما جذرا معادلة تربيعية معاملاتها حقيقية. إذا كان ، فما الشروط، التي إن وُجدت، يجب أن يحقِّقها ، ، ، ؟
الحل
بما أن ، نعلم أن حلٌّ غير حقيقي لمعادلة تربيعية معاملاتها حقيقية. ومن ثَمَّ، سيكون مرافقها المركب جذرًا أيضًا (بحسب نظرية مرافق الجذر المركب). علاوة على ذلك، بما أن المعادلة التربيعية لا تتضمَّن سوى جذرَيْن، فإن يجب أن يكون مرافق . ومن ثَمَّ:
إذن ، .
مثال ٤: شروط جذور المعادلات التربيعية
إذا كان المُميِّز في المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية سالبًا، فهل ستكون جذورها المركبة زوجًا مرافقًا؟
الحل
إذا كان المُميِّز سالبًا، فإننا نعرف أن المعادلة لها جذور غير حقيقية. علاوة على ذلك، نظرًا لأن معاملاتها حقيقية، فإننا نعلم أن هذين الجذرين سيكونان زوجًا مرافقًا مركبًا. وبذلك، تكون الإجابة: نعم.
يمكننا أيضًا استخدام معرفتنا بجذور المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، لإعادة تكوين معادلة بمعلومية أحد جذرَيْها غير الحقيقيَّيْن، كما يوضِّح المثال الآتي.
مثال ٥: إعادة بناء معادلة تربيعية من جذر غير حقيقي
أوجد المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية التي فيها في صورة أحد جذرَيْها.
الحل
بما أن المعادلة التربيعية لها معاملات حقيقية، فإن جذرَيْها سيكونان زوجًا مرافقًا مركبًا. ومن ثَمَّ، فإن جذرَيْها سيكونان ، . ومن ثَمَّ: يُمكننا كتابة المعادلة على الصورة:
باستخدام طريقة ضرب حدَّيِ القوس الأول في حدَّيِ القوس الثاني، أو بأيِّ طريقة مُشابِهة، يُمكننا فكُّ الأقواس كما يأتي:
وبالمثل، يُمكننا فكُّ القوسين ، وتبسيط:
باستخدام ، يصبح لدينا:
وبشكل أعمَّ، يكون لدينا معادلة تربيعية لها الجذران ، ، ويُمكننا كتابة المعادلة كما يأتي:
بفكِّ الأقواس، نحصل على:
وينطبق ذلك على أيِّ معادلة تربيعية. ولكن، إذا كان ، عددين مركبين مرافقين، إذن يكون لدينا: .
نتذكَّر أنه في أيِّ عدد مركب ، ، . ومن ثَمَّ، علمنا أن جذر المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية، يُمكننا استنتاج أن المعادلة ستكون:
بتطبيق هذه المعرفة، يُمكن تبسيط العملية الحسابية المعروضة في المثال السابق بشكل كبير.
النقاط الرئيسية
- باستخدام الطُّرق نفسها التي طوَّرناها لحلِّ المعادلات التربيعية ذات الجذور الحقيقية، يُمكننا حلُّ المعادلات التربيعية ذات الجذور المركبة.
- تُوجَد الجذور المركبة للمعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية في صورة أزواج مرافق أعداد مركبة. ومن ثَمَّ، إذا كان غير حقيقي، وجذر معادلة تربيعية معاملاتها حقيقية، إذن يكون جذرًا أيضًا.
- إذا كان لدينا جذر مركب مفرد لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية، يُمكننا إعادة بناء المعادلة الأصلية. على وجه التحديد، إذا كان أحد الجذرين ، فستكون المعادلة التربيعية:
