تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

المعادلات المثلثية لها العديد من التطبيقات الحياتية في مجالات مختلفة، مثل الفيزياء، والهندسة، والعمارة، والروبوتات، ونظرية الموسيقى، والملاحة، وذلك على سبيل المثال لا الحصر. في الفيزياء، يمكن استخدام المعادلات المثلثية في حركة المقذوفات، ونمذجة ميكانيكا الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتردِّدة والمستمرَّة، وإيجاد مسار كتلة حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

هيا نبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية التي سنتناول متطابقات ضعف الزاوية الخاصة بها في هذا الشارح. نفترض مثلثًا قائم الزاوية.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث على الصورة: قوجوقج𝜃=،𝜃=،𝜃=.

هذه الدوال تحقِّق المتطابقة المثلثية الآتية: 𝜃=𝜃𝜃.

نلاحظ أن هذه النسب المثلثية معرَّفة للزوايا الحادة ٠<𝜃<٠٩، والدوال المثلثية لجميع قيم 𝜃 معرَّفة في دائرة الوحدة باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

افترض أن نقطة معيَّنة تتحرَّك على محيط دائرة الوحدة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند موضع معيَّن (𞸎،𞸑) على دائرة الوحدة عند الزاوية 𝜃، تكون دالة الجيب معرَّفة على الصورة 𞸑=𝜃، وتكون دالة جيب التمام معرَّفة على الصورة 𞸎=𝜃، كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارةٍ أخرى، تكون الدوال المثلثية معرَّفة باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي لـ 𝜃 في الوضع القياسي.

المجال عبارة عن مجموعة المُدخَلات الممكنة، والمدى هو مجموعة المُخرَجات الممكنة، بمعلومية مجال الدالة. في حالة الدوال المثلثية، يُعطى المجال والمدى على النحو الآتي:

المجالالمدى
𝜃𞹇[١،١]
𝜃𞹇[١،١]
𝜃𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖𞹇

بما أن دالة الظل تُعرَّف بأنها النسبة بين دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن تكون غير مُعرَّفة عندما يكون 𝜃، وهو المقام، يساوي صفرًا. بعبارةٍ أخرى، يجب على دالة الظل أن تستبعد قيم 𝜃؛ حيث 𝜃=٠، حتى تكون تامة التعريف. هذا هو سبب كون مجال دالة الظل هو 𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖، وهذا يعني تحديدًا أننا نطرح قيم 𝜃؛ حيث 𝜃=٠ من مجموعة الأعداد الحقيقية لاستبعادها من القيم المُدخَلة.

الدوال المثلثية دورية، ما يعني أننا إذا أضفنا مضاعفًا صحيحًا لـ ٢𝜋، بالراديان، أو ٠٦٣ إلى الزاوية 𝜃، تظل قيمة الدالة كما هي: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

يمكننا ملاحظة ذلك مباشرةً من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. في الحقيقة، دالة الظل دورية، وطول دورتها 𝜋، بالراديان، أو ٠٨١ بما أن لدينا: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

ستكون هذه الحقيقة مهمة في إيجاد الحلول العامة للدوال المثلثية. يجب أن يقتصر مجال الدوال المثلثية على مجموعة جزئية معيَّنة، تُعرَف بالفرع الرئيسي، لكي تكون لها دوال عكسية.

الدوال المثلثية العكسية المشار إليها بـ ١، ١، ١ هي الدوال العكسية للدوال المثلثية ، ، . وهذا يعني أنها تعمل بالعكس أو «للخلف» مقارنةً بالدوال المثلثية المعتادة. فهي تكون معرَّفة من خلال: 𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑.١١١

ويمكن ملاحظة أنها تُكتب على الصورة ١𞸎، ١𞸎، ١𞸎. مجال الدوال المثلثية العكسية ومداها يُعطيان على النحو الآتي:

المجالالمدى
١𝜃[١،١]󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖
١𝜃[١،١][٠،𝜋]
١𝜃𞹇󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗

لا ينطبق مدى الدوال المثلثية العكسية بوجهٍ عام إلا عندما تكون الدوال المثلثية مقيَّدة بالفرع الرئيسي. والهدف من ذلك هو التأكُّد من أن الدوال المثلثية دوال أحادية؛ بحيث تكون القيمة المُخرَجة لكلٍّ من الدوال المثلثية العكسية قيمة واحدة، تُعرَف بالقيمة الرئيسية.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة مثلثية معيَّنة، مثل: 𝜃=𞸑، يمكننا إيجاد الحلول في المدى 𝜃󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖 عن طريق تطبيق المعادلة المثلثية العكسية: 𝜃=(𞸑).١

لكن، إذا أردنا تحديد جميع الحلول الممكنة، فعلينا إيجاد الحلول العامة المُعطاة بدلالة عدد صحيح 𞸍𞹑، التي يمكننا الحصول عليها من مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية، ودورية الدوال المثلثية.

هيا نتذكَّر مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية.

تعريف: مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية

  • في الربع الأول، تكون كل الدوال المثلثية موجبة.
  • في الربع الثاني، تكون دالة الجيب موجبة.
  • في الربع الثالث، تكون دالة الظل موجبة.
  • في الربع الرابع، تكون دالة جيب التمام موجبة.

هيا نتذكَّر كيف يمكننا إيجاد حلول المعادلات المثلثية.

خاصية: حلول المعادلات المثلثية

يساعدنا مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية في تذكُّر إشارات الدوال المثلثية في كل ربع.

على وجه التحديد، يخبرنا مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية بأن حلول المعادلات المثلثية تُعطى كالآتي.

  • إذا كان 𝜃=𞸎؛ حيث ١𞸎١، فإن: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٨١𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃[٠٩،٠٧٢]، أو بالراديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓𝜋𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃󰂗𝜋٢،٣𝜋٢󰂖.
  • إذا كان 𝜃=𞸎؛ حيث ١𞸎١، يمكننا إذن التعبير عن الزاوية 𝜃 بدلالة الدالة العكسية لجيب التمام بالدرجات على الصورة: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٦٣𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃[٠،٠٦٣]، أو بالراديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٢𝜋𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃[٠،٢𝜋].
  • إذا كان 𝜃=𞸎، يمكننا إذن التعبير عن الزاوية 𝜃 بدلالة دالة الظل العكسية بالدرجات على الصورة: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٨١+𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃]٠٩،٠٩[]٠٩،٠٧٢[، أو بالراديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓𝜋+𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗󰂖𝜋٢،٣𝜋٢󰂗.

ويُستنتَج مدى 𝜃 من مدى الدوال المثلثية العكسية.

يمكننا أيضًا ملاحظة ذلك من دائرة الوحدة، كما هو موضَّح.

يمكن إيجاد «الحلول العامة» للمعادلات المثلثية من خلال الحلول التي نحصل عليها من مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية أو الدوال المثلثية العكسية، 𝜃، بإضافة مضاعف صحيح لـ ٠٦٣، أو ٢𝜋 بالراديان. نفعل ذلك لجميع الحلول التي نحصل عليها بما أن الدوال المثلثية دورية. ومن ثَمَّ، فإن الحل العام، ̂𝜃؛ حيث 𞸍𞹑، هو: ̂𝜃=𝜃+٠٦٣𞸍 بالدرجات، أو: ̂𝜃=𝜃+٢𝜋𞸍 بالراديان.

عند حل المعادلات المثلثية، عادةً ما يكون لدينا مدى محدَّد للزاوية 𝜃 لتحديد الحلول، ما يعني أنه قد يكون علينا فقط أن نضع في اعتبارنا بعض قيم 𞸍، حسبما يقتضي الأمر. مجموعة الحل هي مجموعة القيم التي تحتوي على حلول للمعادلة المثلثية في المدى المطلوب.

والآن، هيا نتذكَّر متطابقات مجموع زاويتين لدوال الجيب وجيب التمام والظل: 󰁓𝜃±𝜃󰁒=𝜃𝜃±𝜃𝜃،󰁓𝜃±𝜃󰁒=𝜃𝜃𝜃𝜃،󰁓𝜃±𝜃󰁒=𝜃±𝜃١𝜃𝜃.١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢

سنستخدم متطابقات مجموع الزاويتين هذه لاستنتاج متطابقات ضعف الزاوية.

بالتعويض بـ 𝜃=𝜃=𝜃٢١ في متطابقات مجموع الزاويتين، نحصل على متطابقات ضعف الزاوية للدوال المثلثية.

تعريف: متطابقات ضعف الزاوية للدوال المثلثية

متطابقات ضعف الزاوية للدوال المثلثية هي: ٢𝜃=٢𝜃𝜃،٢𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=٢𝜃١𝜃.٢٢٢

هيا نتناول مثالًا يوضِّح كيف يمكننا استخدام متطابقة ضعف الزاوية لدالة الجيب لحل معادلة مثلثية معيَّنة في مدى محدَّد.

مثال ١: حل معادلة في مدى معيَّن باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

أوجد مجموعة الحلول الممكنة للمعادلة ٢𝜃𝜃=٠، علمًا بأن 𝜃[٠،٠٦٣[.

الحل

في هذا المثال، سنحل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

تكون صيغة ضعف الزاوية لدالة الجيب مُعطاة على الصورة: ٢𝜃=٢𝜃𝜃.

ومن ثَمَّ، فإن ٢𝜃𝜃=٠ يكافئ: ٢𝜃=٠.

يمكن إيجاد الحل العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية)، لهذه المعادلة على الصورة: ٢𝜃=٠+٠٦٣𞸍 أو: ٢𝜃=(٠٨١٠)+٠٦٣𞸍، وهو ما يكافئ: 𝜃=٠٨١𞸍 أو: 𝜃=٠٩+٠٨١𞸍، حيث 𞸍𞹑. يُعطينا التعبير الأول 𝜃=٠،٠٨١، والتعبير الثاني 𝜃=٠٩،٠٧٢؛ حيث 𞸍=٠،١. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، علمًا بأن 𝜃[٠،٠٦٣[، تكون الحلول الممكنة هي: {٠،٠٩،٠٨١،٠٧٢}.

يمكن أيضًا استخدام متطابقة ضعف الزاوية لحل المعادلات المثلثية على الصورة التي رأيناها سابقًا: 󰏡𝜃+𞸁𝜃=𞸢، عن طريق تربيع الطرفين واستخدام متطابقة فيثاغورس. الآن، هيا نتناول مثالًا نوضِّح فيه ذلك لإيجاد حلول معادلة مثلثية على هذه الصورة.

مثال ٢: حل المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة

إذا كانت 𝜃]٠٨١،٠٦٣[، 𝜃+𝜃=١، فأوجد قيمة 𝜃.

الحل

في هذا المثال، سنحل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

لكي نَحُل 𝜃+𝜃=١، نبدأ بتربيع الطرفين وفك الأقواس: (𝜃+𝜃)=(١)𝜃+𝜃+٢𝜃𝜃=١.٢٢٢٢

عند تطبيق متطابقة فيثاغورس ٢٢𝜃+𝜃=١ ومتطابقة ضعف الزاوية ٢𝜃=٢𝜃𝜃، نحصل على: ١+٢𝜃=١٢𝜃=٠.

يمكن إيجاد الحل العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية)، لهذه المعادلة على الصورة: ٢𝜃=(٠)+٠٦٣𞸍=٠٦٣𞸍١ أو: ٢𝜃=󰁓٠٨١(٠)󰁒+٠٦٣𞸍=٠٨١+٠٦٣𞸍،١ وهو ما يكافئ: 𝜃=٠٨١𞸍 أو: 𝜃=٠٩+٠٨١𞸍، حيث 𞸍𞹑. يُعطينا التعبير الثاني 𝜃=٠٧٢؛ حيث 𞸍=١. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، بما أن 𝜃]٠٨١،٠٦٣[، إذن يكون الحل الممكن الوحيد هو: 𝜃=٠٧٢.

هيا نرَ كيف يمكننا استخدام متطابقات ضعف الزاوية لحل معادلات مثلثية أخرى في مدى محدَّد. على سبيل المثال، افترض أننا نريد إيجاد جميع الحلول التي تقع في المدى 𝜃[٠،٠٢٧] للمعادلة المثلثية: ٩𝜃٤=٢𝜃.

عند تطبيق صيغة ضعف الزاوية لجيب التمام واستخدام متطابقة فيثاغورس، يمكن كتابة ذلك على الصورة: ٩𝜃٤=٢𝜃=𝜃𝜃=󰁓١𝜃󰁒𝜃=١٢𝜃٢𝜃+٩𝜃٥=٠.٢٢٢٢٢٢

إذا افترضنا أن 𞸑=𝜃، فهذا يكافئ حل المعادلة التربيعية: ٢𞸑+٩𞸑٥=٠.٢

يمكننا حلها باستخدام القانون العام أو التحليل، لنحصل على: ٢𞸑+٩𞸑٥=(٢𞸑١)(𞸑+٥)=٠.٢

ومن ثَمَّ، الحلان هما 𞸑=١٢، 𞸑=٥. يمكننا تجاهل الحل الثاني؛ إذ بالنسبة إلى 𞸑=𝜃، يكون لدينا ١𞸑١. لذا، ننظر فقط إلى الحلول التي تحقِّق 𞸑=١٢، أو: 𝜃=١٢، حيث 𝜃[٠،٠٢٧]. الحل الذي يمثِّل زاوية حادة هو: 𝜃=󰂔١٢󰂓=٠٣.١

يمكن إيجاد الحلول العامة باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية ودورية دالة الجيب؛ حيث 𞸍𞹑، من الصيغة: 𝜃=󰂔١٢󰂓+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍١ و: 𝜃=󰂔٠٨١󰂔١٢󰂓󰂓+٠٦٣𞸍=(٠٨١٠٣)+٠٦٣𞸍=٠٥١+٠٦٣𞸍.١

يمكننا الآن التعويض بقيم صحيحة محدَّدة لـ 𞸍 لإيجاد جميع الحلول التي تقع في المدى المطلوب. على وجه التحديد، عندما يكون 𞸍=٠، 𞸍=١ نحصل على الحلول 𝜃=٠٣،٠٩٣، 𝜃=٠٥١،٠١٥ من التعبيرين الأول والثاني للحل العام على الترتيب. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى [٠،٠٢٧].

للتلخيص، تكون حلول ٩𝜃٤=٢𝜃، بالدرجات؛ حيث 𝜃[٠،٠٢٧]، هي: 𝜃=٠٣،٠٥١،٠٩٣،٠١٥.

والآن، نلقي نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب ونعمِّق الفهم حول حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

في المثال الآتي، سنستخدم متطابقة ضعف الزاوية للجيب لإيجاد الحلول، بالدرجات.

مثال ٣: حل معادلة مثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

أوجد مجموعة الحلول في المدى ٠<𞸎<٠٨١ للمعادلة (𞸎+𞸎)=٢٢𞸎٢٢.

الحل

في هذا المثال، سنحل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

عند فك القوسين في الطرف الأيمن من المعادلة المثلثية المُعطاة، وتطبيق متطابقة فيثاغورس ٢٢𞸎+𞸎=١، نحصل على: (𞸎+𞸎)=𞸎+٢𞸎𞸎+𞸎=١+٢𞸎𞸎.٢٢٢

تُعطى متطابقة ضعف الزاوية للجيب بالصيغة: ٢𞸎=٢𞸎𞸎.

بالتعويض بذلك، نحصل على: (𞸎+𞸎)=١+٢𞸎𞸎=١+٢𞸎،٢ ومن ثَمَّ، المعادلة المثلثية المُعطاة (𞸎+𞸎)=٢٢𞸎٢٢ تكافئ: ١+٢𞸎=٢٢𞸎٢٢𞸎٢𞸎١=٠.٢٢

إذا افترضنا أن 𞸑=٢𞸎، نحصل على: ٢𞸑𞸑١=٠.٢

الحلان هما 𞸑=١، 𞸑=١٢. عندما يكون 𞸑=١، نحصل على: ٢𞸎=١، وحلها العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية)، هو: ٢𞸎=(١)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍١ و: ٢𞸎=󰁓٠٨١(١)󰁒+٠٦٣𞸍=(٠٨١٠٩)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍.١

هذان التعبيران متكافئان. عندما يكون 𞸑=١٢، نحصل على: ٢𞸎=١٢، وحلها العام هو: ٢𞸎=󰂔١٢󰂓+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍𞸎=٥١+٠٨١𞸍١ و: ٢𞸎=󰂔٠٨١󰂔١٢󰂓󰂓+٠٦٣𞸍=(٠٨١+٠٣)+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍𞸎=٥٠١+٠٨١𞸍.١

للتلخيص، الحلول العامة؛ حيث 𞸍𞹑، هي: 𞸎=٥٤+٠٨١𞸍،𞸎=٥١+٠٨١𞸍،𞸎=٥٠١+٠٨١𞸍.

عندما يكون 𞸍=٠ نحصل على الحلين 𞸎=٥٤، 𞸎=٥٠١، من التعبيرين الأول والثالث على الترتيب، وعندما يكون 𞸍=١ نحصل على 𞸎=٥٦١ من الحل الثاني. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كانت ٠𞸎<٠٨١، تكون الحلول هي: {٥٤،٥٠١،٥٦١}.

والآن، نلقي نظرة على مثال سنستخدم فيه متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام لإيجاد الحلول، بالدرجات، لمعادلة مثلثية. هذه المرة، علينا أيضًا تناوُل معادلة تربيعية ومدى دالة جيب التمام.

مثال ٤: استخدام متطابقات ضعف الزاوية في حل معادلة مثلثية

أوجد مجموعة الحل بالنسبة إلى 𞸎، إذا كان ٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎=٩١؛ حيث 𞸎]٠،٢𝜋[.

الحل

في هذا المثال، سنحل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

تُعطى صيغة ضعف الزاوية لجيب التمام كالآتي: ٢𞸎=𞸎𞸎.٢٢

عند تطبيق متطابقة فيثاغورس، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ٢𞸎=𞸎󰁓١𝑥󰁒=٢𞸎١.٢٢٢

عند تطبيق ذلك على الطرف الأيمن من المعادلة المثلثية المُعطاة، نحصل على: ٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎=٢𞸎١+٣١󰋴٣𞸎.٢

ومن ثَمَّ، يمكن إعادة كتابة المعادلة المثلثية المُعطاة، ٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎=٩١، على الصورة: ٢𞸎١+٣١󰋴٣𞸎=٩١٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎+٨١=٠.٢٢

إذا افترضنا أن 𞸑=𞸎، يمكن إعادة كتابة ذلك في صورة معادلة تربيعية: ٢𞸑+٣١󰋴٣𞸑+٨١=٠.٢

يمكننا إيجاد حل هذه المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام، للحصول على: 𞸑=٣١󰋴٣±󰋺󰂔٣١󰋴٣󰂓٤×٢×٨١٢×٢=٣١󰋴٣±󰋴٣٦٣٤.٢

هذا يُعطينا 𞸑=٦󰋴٣، 𞸑=󰋴٣٢، لكن بما أن 𞸑=𞸎، ولدينا ١𞸑١، إذن يمكننا تجاهل الحل الأول، وعلينا حل المعادلة: 𞸎=󰋴٣٢.

يمكن كتابة الحل العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية)، على الصورة: 𞸎=󰃭󰋴٣٢󰃬+٠٦٣𞸍=٠٥١+٠٦٣𞸍١ و: 𞸎=󰃭٠٦٣󰃭󰋴٣٢󰃬󰃬+٠٦٣𞸍=(٠٦٣٠٥١)+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍.١

يعطي التعبير الأول 𞸎=٠٥١، والتعبير الثاني 𞸎=٠١٢ عندما يكون 𞸍=٠. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كانت 𞸎]٠،٠٦٣[، فالحلان الممكنان هما: {٠٥١،٠١٢}.

في المثال الآتي، سنرى كيف يمكننا استخدام إما متطابقة ضعف الزاوية لدالة الجيب، وإما متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام، لحل معادلة مثلثية؛ حيث يمكن التعبير عنها بدلالة كلتَيْهما بعد إجراء بعض العمليات الجبرية.

مثال ٥: حل معادلة مثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

أوجد مجموعة قيم 𞸎 المُمكِنة التي تُحقِّق العلاقة ١󰋴𞸎𝑥=٢٢٤؛ حيث ٠<𞸎<٠٦٣.

الحل

في هذا المثال، سنَحُل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

تذكَّر أن متطابقة ضعف الزاوية للجيب هي: ٢𞸎=٢𞸎𞸎.

والآن، لحل المعادلة المثلثية المُعطاة، نلاحظ أنه باستخدام متطابقة فيثاغورس ٢٢𞸎=١𞸎، يمكن إعادة كتابة المقام في الطرف الأيمن على الصورة: 󰋷𞸎𞸎=󰋷𞸎󰁓١𞸎󰁒=󰋴𞸎𞸎=|𞸎𞸎|.٢٤٢٢٢٢

لاحظ أن القيمة المطلقة ضرورية لنضع في الحسبان حقيقة أن قيمة 𞸎𞸎 يمكن أن تكون سالبة في الفترة ٠<𞸎<٠٦٣. وبذلك، باستخدام متطابقة ضعف الزاوية، يصبح الطرف الأيمن من المعادلة المثلثية المُعطاة على الصورة: ١󰋴𞸎𞸎=١|𞸎𞸎|=١󰍻٢𞸎󰍻=٢|٢𞸎|.٢٤١٢

ومن ثَمَّ، بمساواة هذا الطرف بالطرف الأيسر، نحصل على: ٢|٢𞸎|=٢٢=٢|٢𞸎|١=|٢𞸎|٢𞸎=±١.

هيا نتناول القيمتين المُمكنتين لـ ٢𞸎 كلًّا على حدة. أولًا، عندما يكون ٢𞸎=١، يكون الحل العام؛ حيث 𞸍𞹑، هو: ٢𞸎=(١)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍.١

عادةً نتحقَّق من الزاوية المكاملة أيضًا، لكن بما أن (٠٨١٠٩)=(٠٩)، قد ينتج عن ذلك تعبير مكافئ. ومن ثَمَّ، فإن الحلين الوحيدين للمعادلة ٢𞸎=١ في المدى ٠<𞸎<٠٦٣ هما 𞸎=٥٤، 𞸎=٥٢٢ (يمكن إيجادهما من خلال جعل 𞸍=٠ و١ على الترتيب). الآن، هيا نفكِّر في ٢𞸎=١. الحل العام لذلك؛ حيث 𞸍𞹑، هو: ٢𞸎=(١)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍.١

بالنسبة إلى الزاوية المكاملة، نحصل على: ٢𞸎=󰁓٠٨١(١)󰁒+٠٦٣𞸍=(٠٨١(٠٩))+٠٦٣𞸍=٠٧٢+٠٦٣𞸍𞸎=٥٣١+٠٨١𞸍.١

من خلال التركيز، يمكننا ملاحظة أن هذين التعبيرين متكافئان؛ لأن ٥٣١=٥٤+٠٨١. ومن ثَمَّ، فإن حلَّي المعادلة ٢𞸎=١ في الفترة ٠<𞸎<٠٦٣ هما ٥٣١ و٥١٣ (يمكن إيجادهما من خلال جعل 𞸍=٠ و١ على الترتيب).

بتجميع حلَّي ٢𞸎=١، وحلَّي ٢𞸎=١ معًا، نحصل على: {٥٤،٥٣١،٥٢٢،٥١٣}.

قد يتطلَّب بعض المعادلات المثلثية استخدام متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية، التي تنتج مباشرةً عن متطابقات ضعف الزاوية.

تُعطى متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية كالآتي.

تعريف: متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية

متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية هي: 󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١+𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=١𝜃𝜃.

يمكن توضيحها من خلال متطابقات ضعف الزاوية. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام: (٢𞸎)=𞸎𞸎=١٢𞸎،٢٢٢ فسنُعيد ترتيب هذا التعبير لجعل 𞸎 المتغيِّر التابع في المعادلة: ٢𞸎=١٢𞸎𞸎=١٢𞸎٢𞸎=±󰋺١٢𞸎٢.٢٢

والآن، إذا افترضنا أن 𞸎=𝜃٢، يمكن إعادة كتابة هذا التعبير على الصورة: 󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١𝜃٢، وهي متطابقة نصف الزاوية للجيب. يمكن إيجاد متطابقتَي نصف الزاوية الأخريين بالطريقة نفسها.

الآن، نُلقي نظرة على مثال نستخدم فيه متطابقة نصف الزاوية لجيب التمام لحل معادلة مثلثية، بالراديان.

مثال ٦: حل المعادلات المثلثية التي تتضمَّن أنصاف زوايا

باستخدام صيغة نصف الزاوية 󰂔𞸎٢󰂓=󰋺١𞸎٢، أو غيرها، حُلَّ المعادلة 󰂔𞸎٢󰂓+𞸎=١؛ حيث ٠𞸎<٢𝜋.

الحل

في هذا المثال، سنَحُل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقة نصف الزاوية لجيب التمام.

إذا عوَّضنا بصيغة نصف الزاوية، يمكن إعادة كتابة المعادلة على الصورة: 󰋺١𞸎٢+𞸎=١󰋺١𞸎٢=١𞸎.

عند تربيع الطرفين، نحصل على: ١𞸎٢=(١𞸎)١𞸎=٢(١𞸎)١𞸎=٢٤𞸎+٢𞸎٢𞸎٣𞸎+١=٠.٢٢٢٢

وإذا افترضنا أن 𞸑=𞸎، فسيصبح علينا حل المعادلة: ٢𞸑٣𞸑+١=٠.٢

الحلان هما 𞸑=١، 𞸑=١٢. عندما يكون 𞸑=١، يكون لدينا: 𞸎=١، وحلها العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية)، هو: 𞸎=(١)+٢𝜋𞸍=٠+٢𝜋𞸍=٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰁓٢𝜋(١)󰁒+٢𝜋𞸍=(٢𝜋٠)+٢𝜋𞸍=٢𝜋+٢𝜋𞸍.١

نلاحظ أن التعبير الثاني يكافئ الأول، وأن الحل العام هو مضاعف صحيح لـ ٢𝜋. عندما يكون 𞸑=١٢، نحصل على: 𞸎=١٢، وحلها العام؛ حيث 𞸍𞹑، هو: 𞸎=󰂔١٢󰂓+٢𝜋𞸍=𝜋٣+٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰂔٢𝜋󰂔١٢󰂓󰂓+٢𝜋𞸍=󰂔٢𝜋𝜋٣󰂓+٢𝜋𞸍=٥𝜋٣+٢𝜋𞸍.١

للتلخيص، الحلول العامة؛ حيث 𞸍𞹑، هي: 𞸎=٢𝜋𞸍،𞸎=𝜋٣+٢𝜋𞸍،𞸎=٥𝜋٣+٢𝜋𞸍.

عندما يكون 𞸍=٠، نحصل على الحلول 𞸎=٠، 𞸎=𝜋٣، 𞸎=٥𝜋٣ من التعبير الأول والثاني والثالث على الترتيب. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كان ٠𞸎<٢𝜋، فالحلول هي: 𞸎󰂚٠،١٣𝜋،٥٣𝜋󰂙.

أخيرًا، سنتناول مثالًا نستخدم فيه متطابقة نصف الزاوية لدالة الظل لحل معادلة مثلثية، بالراديان.

مثال ٧: حل المعادلات المثلثية التي تتضمَّن أنصاف زوايا

حُلَّ 󰂔𞸎٢󰂓=𞸎؛ حيث ٠𞸎<٢𝜋.

الحل

في هذا المثال، سنَحُل معادلة مثلثية في مدى محدَّد باستخدام متطابقات نصف الزاوية.

تُعطى متطابقة نصف الزاوية لدالة الظل بالصيغة: 󰂔𞸎٢󰂓=١𞸎𞸎.

ومن ثَمَّ، علينا حل المعادلة: ١𞸎𞸎=𞸎١𞸎=𞸎.٢

عند تطبيق متطابقة فيثاغورس، نحصل على: ١𞸎=١𞸎𞸎𞸎=٠.٢٢

إذا افترضنا أن 𞸑=𞸎، يكون لدينا: 𞸑𞸑=٠𞸑(𞸑١)=٠.٢

حلَّا هذه المعادلة التربيعية هما: 𞸑=٠، 𞸑=١. عندما يكون 𞸑=٠، يكون لدينا: 𞸎=٠، وحلها العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية)، هو: 𞸎=(٠)+٢𝜋𞸍=𝜋٢+٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰁓٢𝜋(٠)󰁒+٢𝜋𞸍=󰂔٢𝜋𝜋٢󰂓+٢𝜋𞸍=٣𝜋٢+٢𝜋𞸍.١

عندما يكون 𞸑=١، يكون لدينا: 𞸎=١، وحلها العام: 𞸎=(١)+٢𝜋𞸍=٠+٢𝜋𞸍=٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰁓٢𝜋(١)󰁒+٢𝜋𞸍=(٢𝜋٠)+٢𝜋𞸍=٢𝜋+٢𝜋𞸍.١

نلاحظ أن التعبير الثاني يكافئ التعبير الأول؛ حيث إن الحل العام من المضاعفات الصحيحة لـ ٢𝜋. للتلخيص، الحلول العامة؛ حيث 𞸍𞹑، هي: 𞸎=𝜋٢+٢𝜋𞸍،𞸎=٣𝜋٢+٢𝜋𞸍،𞸎=٢𝜋𞸍.

عندما يكون 𞸍=٠ نحصل على الحلول 𞸎=𝜋٢، 𞸎=٣𝜋٢، 𞸎=٠ من التعبير الأول والثاني والثالث على الترتيب. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كانت ٠𞸎<٢𝜋، فالحلول هي: 𞸎󰂚٠،𝜋٢،٣𝜋٢󰂙.

هيا نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية أو متطابقات نصف الزاوية.
  • متطابقات ضعف الزاوية للدوال المثلثية هي: ٢𝜃=٢𝜃𝜃،٢𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=٢𝜃١𝜃.٢٢٢
  • متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية هي: 󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١+𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=١𝜃𝜃. وهي تَنتج مباشرةً عن متطابقات ضعف الزاوية.
  • بعد إيجاد قيمة الحل الرئيسية، بالدرجات أو بالراديان، يمكننا إيجاد الحل العام للدوال المثلثية؛ حيث 𞸍𞹑، باستخدام مخطَّط الإشارات للدوال المثلثية ودورية الدوال المثلثية.
  • عادةً ما يكون لدينا مدى محدَّد للزاوية 𝜃 لتحديد الحلول فيه، وهو ما يعني أننا نتناول فقط قيمًا صحيحة محدَّدة لـ 𞸍 لإيجاد الحلول الممكنة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.