شارح الدرس: حلُّ المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضِعْف الزاوية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نَحُل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

المعادلات المثلثية لها العديد من التطبيقات الحياتية في مجالات مختلفة، مثل الفيزياء، والهندسة، والعمارة، والروبوتات، ونظرية الموسيقى، والملاحة، على سبيل المثال لا الحصر. في الفيزياء، يمكن استخدامها في حركة المقذوفات، ونمذجة آليات الموجات الكهرومغناطيسية، وتحليل التيارات المتردِّدة والمستمرَّة، وإيجاد مسار كتلة حول جسم كبير تحت تأثير قوة الجاذبية.

نبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية التي سنتناول متطابقات ضعف الزاوية الخاصة بها في هذا الشارح. نفترض مثلثًا قائم الزاوية.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث على الصورة: قوجوقج𝜃=،𝜃=،𝜃=.

هذه الدوال تحقِّق المتطابقة المثلثية الآتية: 𝜃=𝜃𝜃.

ونلاحظ أن هذه النسب المثلثية معرَّفة للزوايا الحادة ٠<𝜃<٠٩، والدوال المثلثية لجميع قيم 𝜃 معرَّفة في دائرة الوحدة باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

افترض أن نقطة معيَّنة تتحرَّك على طول دائرة الوحدة عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. عند موضع معيَّن (𞸎،𞸑) على دائرة الوحدة مع الزاوية 𝜃، تكون دالة الجيب معرَّفة على الصورة 𞸑=𝜃، وتكون دالة جيب التمام معرَّفة على الصورة 𞸎=𝜃، كما هو موضَّح في الشكل السابق. بعبارة أخرى، تكون الدوال المثلثية معرَّفة باستخدام إحداثيات نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الضلع النهائي لـ 𝜃 في الوضع القياسي.

المجال هو مجموعة المُدخَلات الممكنة، والمدى هو مجموعة المُخرَجات الممكنة، بمعلومية مجاله. في الدوال المثلثية، يُعطى المجال والمدى على النحو الآتي:

المجالالمدى
𝜃𞹇[١،١]
𝜃𞹇[١،١]
𝜃𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖𞹇

وبما أن دالة الظل تُعرَّف بأنها النسبة بين دالتَي الجيب وجيب التمام، إذن تكون غير مُعرَّفة عندما يكون 𝜃، وهو المقام، يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يجب على دالة الظل أن تستبعد قيم 𝜃؛ حيث 𝜃=٠، حتى تكون معرَّفة تعريفًا جيدًا. وهذا هو سبب كون مجال دالة الظل هو 𞹇󰂗𝜋٢+𞸍𝜋،𞸍𞹑󰂖، وهذا يعني تحديدًا أننا نطرح قيم 𝜃؛ حيث 𝜃=٠، من مجموعة الأعداد الحقيقية لاستبعادها من القيم المُدخَلة.

الدوال المثلثية دورية، ما يعني أننا إذا أضفنا أحد مضاعفات ٢𝜋، بوحدة راديان، أو٠٦٣ إلى الزاوية 𝜃، تظل قيمة الدالة كما هي: (٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃،(٠٦٣+𝜃)=𝜃.

يمكننا ملاحظة ذلك مباشرةً من تعريف دائرة الوحدة للدوال المثلثية. في الحقيقة، دالة الظل دورية، وطول دورتها 𝜋، بوحدة راديان، أو ٠٨١ بما أن لدينا: (٠٨١+𝜃)=𝜃.

وستكون هذه الحقيقة مهمة في إيجاد حلول عامة للدوال المثلثية. يجب أن يقتصر مجال الدوال المثلثية على مجموعة جزئية معيَّنة، تُعرَف بالفرع الرئيسي، لكي تكون لها دوال عكسية.

الدوال المثلثية العكسية المشار إليها بـ ١، ١، ١ هي الدوال العكسية للدوال المثلثية ، ، . وهذا يعني أنها تعمل بالعكس أو «للخلف» مقارنةً بالدوال المثلثية المعتادة. فهي تكون معرَّفة من خلال: 𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑.١١١

ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة بقوس الجيب، وقوس جيب التمام، وقوس الظل. ومجال الدوال المثلثية العكسية ومداها يُعطيان من الآتي:

المجالالمدى
١𝜃[١،١]󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖
١𝜃[١،١][٠،𝜋]
١𝜃𞹇󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗

لا ينطبق مدى الدوال المثلثية العكسية بوجه عام إلا عندما تكون الدوال المثلثية مقيَّدة بالفرع الرئيسي. والهدف من ذلك هو التأكُّد من أن الدوال المثلثية هي دوال أحادية؛ بحيث تكون قيمة الدوال المثلثية العكسية هي قيمة واحدة، تُعرَف بالقيمة الرئيسية.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا معادلة مثلثية معيَّنة، مثل: 𝜃=𞸑، يمكننا إيجاد الحلول في نطاق 𝜃󰂗𝜋٢،𝜋٢󰂖 عن طريق تطبيق المعادلات المثلثية العكسية: 𝜃=(𞸑).١

ولكن، إذا أردنا تحديد جميع الحلول الممكنة، فعلينا إيجاد الحلول العامة المُعطاة بدلالة عدد صحيح 𞸍𞹑، التي يمكننا الحصول عليها من مخطَّط إشارات الدوال المثلثية، أو «جتا الكل جا ظا»، ودورية الدوال المثلثية.

هيا نتذكَّر مخطَّط إشارات الدوال المثلثية.

مخطَّط إشارات الدوال المثلثية

  • في الربع الأول، تكون كل الدوال المثلثية موجبة.
  • وفي الربع الثاني، تكون دالة الجيب موجبة.
  • وفي الربع الثالث، تكون دالة الظل موجبة.
  • في الربع الرابع، تكون دالة جيب التمام موجبة.

هيا نتذكَّر كيف يمكننا إيجاد حلول المعادلات المثلثية.

حلول المعادلات المثلثية

يساعدنا مخطَّط جتا الكل جا ظا في تذكُّر إشارات الدوال المثلثية لكل ربع.

وعلى وجه التحديد، يخبرنا مخطَّط إشارات الدوال المثلثية بأن حلول المعادلات المثلثية تُعطى من الآتي:

  • إذا كان 𝜃=𞸎: ١𞸎١: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٨١𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃[٠٩،٠٧٢]، أو بوحدة راديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓𝜋𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃󰂗𝜋٢،٣𝜋٢󰂖.
  • إذا كان 𝜃=𞸎، ١𞸎١، يمكننا إذن التعبير عن الزاوية 𝜃 بدلالة الدالة العكسية لجيب التمام بالدرجة على الصورة: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٦٣𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃[٠،٠٦٣]، أو بوحدة راديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٢𝜋𞸎󰁒،١١عندما تكون 𝜃[٠،٢𝜋].
  • إذا كان 𝜃=𞸎، يمكننا إذن التعبير عن الزاوية 𝜃 بدلالة دالة الظل العكسية بالدرجة على الصورة: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓٠٨١+𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃]٠٩،٠٩[]٠٩،٠٧٢[، أو بوحدة راديان: 𝜃=𞸎𝜃=󰁓𝜋+𞸎󰁒،١١ عندما تكون 𝜃󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗󰂖𝜋٢،٣𝜋٢󰂗.

يكون المجال المُعطى لـ 𝜃 هو مدى الدوال المثلثية العكسية.

يمكننا أيضًا ملاحظة ذلك من دائرة الوحدة، كما هو موضَّح.

يمكن إيجاد الحلول العامة للمعادلات المثلثية من الحلول التي نحصل عليها من مخطَّط إشارات الدوال المثلثية أو الدوال المثلثية العكسية، 𝜃، بإضافة مضاعفات ٠٦٣، أو ٢𝜋 بوحدة راديان. نفعل ذلك لجميع الحلول التي نحصل عليها، بما أن الدوال المثلثية دورية. ومن ثَمَّ، فإن الحل العام، ̂𝜃 لـ 𞸍𞹑، هو: ̂𝜃=𝜃+٠٦٣𞸍 بالدرجة، و: ̂𝜃=𝜃+٢𝜋𞸍 بوحدة راديان.

عند حل المعادلات المثلثية، عادةً ما يكون لدينا مجال محدَّد للزاوية 𝜃 لتحديد الحلول، ما يعني أنه قد يكون علينا فقط أن نضع في اعتبارنا بعض قيم 𞸍، حسب الاقتضاء. ومجموعة الحل هي مجموعة القيم التي تحتوي على حلول للمعادلة المثلثية في المجال المطلوب.

والآن، هيا نتذكَّر متطابقات الجمع لدوال الجيب وجيب التمام والظل: 󰁓𝜃±𝜃󰁒=𝜃𝜃±𝜃𝜃،󰁓𝜃±𝜃󰁒=𝜃𝜃𝜃𝜃،󰁓𝜃±𝜃󰁒=𝜃±𝜃١𝜃𝜃.١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢١٢

سنستخدم متطابقات مجموع زاويتين هذه لاستنتاج متطابقات ضعف الزاوية.

بالتعويض بـ 𝜃=𝜃=𝜃٢١ في متطابقات المجموع، نحصل على متطابقات ضعف الزاوية للدوال المثلثية.

تعريف: متطابقات ضعف الزاوية المثلثية

متطابقات ضعف الزاوية المثلثية هي: ٢𝜃=٢𝜃𝜃،٢𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=٢𝜃١𝜃.٢٢٢

نتناول مثالًا يوضِّح كيف يمكننا استخدام متطابقة ضعف الزاوية لدالة الجيب لحل معادلة مثلثية معيَّنة في مدى معيَّن.

مثال ١: حل معادلة في مدى معيَّن باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

أوجد مجموعة الحلول الممكنة للمعادلة ٢𝜃𝜃=٠؛ علمًا بأن 𝜃[٠،٠٦٣[.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

وتكون صيغة ضعف الزاوية لدالة الجيب مُعطاة على الصورة: ٢𝜃=٢𝜃𝜃.

ومن ثَمَّ، ٢𝜃𝜃=٠ يكافئ: ٢𝜃=٠.

ويمكن إيجاد الحل العام لقيم 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية)، لهذه المعادلة، على الصورة: ٢𝜃=٠+٠٦٣𞸍 أو: ٢𝜃=(٠٨١٠)+٠٦٣𞸍، وهو ما يكافئ: 𝜃=٠٨١𞸍 أو: 𝜃=٠٩+٠٨١𞸍، لقيم 𞸍𞹑. يُعطينا التعبير الأول 𝜃=٠،٠٨١، والتعبير الثاني 𝜃=٠٩،٠٧٢ لـ 𞸍=٠،١. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المجال المطلوب.

ومن ثَمَّ، علمًا بأن 𝜃[٠،٠٦٣[، تكون الحلول الممكنة هي: {٠،٠٩،٠٨١،٠٧٢}.

يمكن أيضًا استخدام متطابقة ضعف الزاوية لحل المعادلات المثلثية على الصورة التي رأيناها سابقًا: 󰏡𝜃+𞸁𝜃=𞸢، عن طريق تربيع الطرفين واستخدام متطابقة فيثاغورس. الآن، نتناول مثالًا نوضِّح فيه ذلك لإيجاد حلول معادلة مثلثية على هذه الصورة.

مثال ٢: حل المعادلات المثلثية التي تتضمَّن زوايا خاصة

إذا كان 𝜃]٠٨١،٠٦٣[، 𝜃+𝜃=١، فأوجد قيمة 𝜃.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

ولكي نحل 𝜃+𝜃=١، نبدأ بتربيع الطرفين والتوزيع: (𝜃+𝜃)=(١)𝜃+𝜃+٢𝜃𝜃=١.٢٢٢٢

عند تطبيق متطابقة فيثاغورس ٢٢𝜃+𝜃=١ ومتطابقة ضعف الزاوية ٢𝜃=٢𝜃𝜃، نحصل على: ١+٢𝜃=١٢𝜃=٠.

ويمكن إيجاد الحل العام لقيم 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية)، لهذه المعادلة، على الصورة: ٢𝜃=(٠)+٠٦٣𞸍=٠٦٣𞸍١ أو: ٢𝜃=󰁓٠٨١(٠)󰁒+٠٦٣𞸍=٠٨١+٠٦٣𞸍،١ وهو ما يكافئ: 𝜃=٠٨١𞸍 أو: 𝜃=٠٩+٠٨١𞸍، لقيم 𞸍𞹑. ويُعطينا التعبير الثاني 𝜃=٠٧٢ لـ 𞸍=١. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المجال المطلوب.

ومن ثَمَّ، بما أن 𝜃]٠٨١،٠٦٣[، إذن يكون الحل الممكن الوحيد هو: 𝜃=٠٧٢.

نرى كيف يمكننا استخدام متطابقات ضعف الزاوية لحل معادلات مثلثية أخرى في مجال محدَّد. على سبيل المثال، افترض أننا نريد إيجاد جميع الحلول التي تقع في المجال 𝜃[٠،٠٢٧] في المعادلة المثلثية: ٩𝜃٤=٢𝜃.

عند تطبيق صيغة ضعف الزاوية لجيب التمام واستخدام متطابقة فيثاغورس، يمكن كتابة ذلك على الصورة: ٩𝜃٤=٢𝜃=𝜃𝜃=󰁓١𝜃󰁒𝜃=١٢𝜃٢𝜃+٩𝜃٥=٠.٢٢٢٢٢٢

نفترض أن 𞸑=𝜃، فهذا يكافئ حل المعادلة التربيعية: ٢𞸑+٩𞸑٥=٠.٢

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام القانون العام أو التحليل، لنحصل على: ٢𞸑+٩𞸑٥=(٢𞸑١)(𞸑+٥)=٠.٢

ومن ثَمَّ، الحلان هما 𞸑=١٢، 𞸑=٥. ويمكننا تجاهل الحل الثاني؛ إذ بالنسبة إلى 𞸑=𝜃، لدينا ١𞸑١. ولذا، ننظر فقط إلى الحل؛ حيث 𞸑=١٢، أو: 𝜃=١٢، لقيم 𝜃[٠،٠٢٧]. نُوجِد الحل بالزاوية الحادة من: 𝜃=󰂔١٢󰂓=٠٣.١

ويمكن إيجاد حلول عامة باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية ودورية دالة الجيب؛ حيث 𞸍𞹑، من الصيغة: 𝜃=󰂔١٢󰂓+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍١ و: 𝜃=󰂔٠٨١󰂔١٢󰂓󰂓+٠٦٣𞸍=(٠٨١٠٣)+٠٦٣𞸍=٠٥١+٠٦٣𞸍.١

يمكننا الآن التعويض بقيم صحيحة محدَّدة لـ 𞸍 لإيجاد جميع الحلول التي تقع في المدى المطلوب. على وجه التحديد، عندما تكون 𞸍=٠، 𞸍=١، نحصل على الحلين 𝜃=٠٣،٠٩٣، 𝜃=٠٥١،٠١٥ من التعبيرين الأول والثاني للحل العام على الترتيب. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، سنحصل على زوايا خارج المجال [٠،٠٢٧].

للتلخيص، تكون حلول ٩𝜃٤=٢𝜃، بالدرجة؛ حيث 𝜃[٠،٠٢٧]، هي: 𝜃=٠٣،٠٥١،٠٩٣،٠١٥.

والآن، نُلقي نظرة على بعض الأمثلة لنتدرَّب ونعمِّق الفهم حول حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

في المثال الآتي، نستخدم متطابقة ضعف الزاوية للجيب لإيجاد الحلول، بالدرجة.

مثال ٣: حل معادلة مثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

أوجد مجموعة الحلول في المجال ٠<𞸎<٠٨١ للمعادلة (𞸎+𞸎)=٢٢𞸎٢٢.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

عند توزيع القوسين في الطرف الأيمن من المعادلة المثلثية المُعطاة وتطبيق متطابقة فيثاغورس ٢٢𞸎+𞸎=١: (𞸎+𞸎)=𞸎+٢𞸎𞸎+𞸎=١+٢𞸎𞸎.٢٢٢

تُعطى متطابقة ضعف الزاوية للجيب بالصيغة: ٢𞸎=٢𞸎𞸎.

بالتعويض بذلك، نحصل على: (𞸎+𞸎)=١+٢𞸎𞸎=١+٢𞸎،٢ ومن ثَمَّ، المعادلة المثلثية المُعطاة (𞸎+𞸎)=٢٢𞸎٢٢ تكافئ: ١+٢𞸎=٢٢𞸎٢٢𞸎٢𞸎١=٠.٢٢

إذا افترضنا أن 𞸑=٢𞸎، نحصل على: ٢𞸑𞸑١=٠.٢

الحلان هما 𞸑=١، 𞸑=١٢. عندما تكون 𞸑=١، نحصل على: ٢𞸎=١، وحلها العام لقيم 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية): ٢𞸎=(١)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍١ و: ٢𞸎=󰁓٠٨١(١)󰁒+٠٦٣𞸍=(٠٨١٠٩)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍.١

وهذان التعبيران متكافئان. عندما تكون 𞸑=١٢، نحصل على: ٢𞸎=١٢، وحلها العام: ٢𞸎=󰂔١٢󰂓+٠٦٣𞸍=٠٣+٠٦٣𞸍𞸎=٥١+٠٨١𞸍١ و: ٢𞸎=󰂔٠٨١󰂔١٢󰂓󰂓+٠٦٣𞸍=(٠٨١+٠٣)+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍𞸎=٥٠١+٠٨١𞸍.١

للتلخيص، الحلول العامة؛ حيث قيم 𞸍𞹑، هي: 𞸎=٥٤+٠٨١𞸍،𞸎=٥١+٠٨١𞸍،𞸎=٥٠١+٠٨١𞸍.

عندما تكون 𞸍=٠ نحصل على الحلين 𞸎=٥٤، 𞸎=٥٠١ من التعبيرين الأول والثالث على الترتيب، وعندما تكون 𞸍=١، نحصل على 𞸎=٥٦١ من الحل الثاني. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المجال المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كان ٠𞸎<٠٨١، تكون الحلول هي: {٥٤،٥٠١،٥٦١}.

والآن، نُلقي نظرة على مثال نستخدم فيه متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام لإيجاد الحلول، بالدرجة، لمعادلة مثلثية. هذه المرة، علينا أيضًا التفكير في معادلة تربيعية ومجال دالة جيب التمام.

مثال ٤: استخدام متطابقات ضعف الزاوية في حل معادلة مثلثية

أوجد مجموعة الحل بالنسبة إلى 𞸎 إذا كان ٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎=٩١؛ حيث 𞸎]٠،٠٦٣[.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

تُعطى صيغة ضعف الزاوية لجيب التمام من الآتي: ٢𞸎=𞸎𞸎.٢٢

عند تطبيق متطابقة فيثاغورس، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ٢𞸎=𞸎󰁓١𝑥󰁒=٢𞸎١.٢٢٢

عند تطبيق ذلك على الطرف الأيسر من المعادلة المثلثية المُعطاة، نحصل على: ٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎=٢𞸎١+٣١󰋴٣𞸎.٢

ومن ثَمَّ، يمكن إعادة كتابة المعادلة المثلثية المُعطاة، ٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎=٩١، على الصورة: ٢𞸎١+٣١󰋴٣𞸎=٩١٢𞸎+٣١󰋴٣𞸎+٨١=٠.٢٢

وإذا افترضنا أن 𞸑=𞸎، يمكن إعادة كتابة ذلك في صورة معادلة تربيعية: ٢𞸑+٣١󰋴٣𞸑+٨١=٠.٢

يمكننا إيجاد حل هذه المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام للحصول على: 𞸑=٣١󰋴٣±󰋺󰂔٣١󰋴٣󰂓٤×٢×٨١٢×٢=٣١󰋴٣±󰋴٣٦٣٤.٢

هذا يُعطينا 𞸑=٦󰋴٣، 𞸑=󰋴٣٢، لكن بما أن 𞸑=𞸎، ولدينا ١𞸑١، إذن يمكننا تجاهل الحل الأول، وعلينا حل المعادلة: 𞸎=󰋴٣٢.

ويمكن كتابة الحل العام لقيم 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية)، على الصورة: 𞸎=󰃭󰋴٣٢󰃬+٠٦٣𞸍=٠٥١+٠٦٣𞸍١ و: 𞸎=󰃭٠٦٣󰃭󰋴٣٢󰃬󰃬+٠٦٣𞸍=(٠٦٣٠٥١)+٠٦٣𞸍=٠١٢+٠٦٣𞸍.١

يُعطي التعبير الأول 𞸎=٠٥١ والتعبير الثاني 𞸎=٠١٢ عندما تكون 𞸍=٠. وللقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المدى المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كان 𞸎]٠،٠٦٣[، فالحلان الممكنان هما: {٠٥١،٠١٢}.

في المثال الآتي، سنرى كيف يمكننا استخدام إما متطابقة ضعف الزاوية لدالة الجيب وإما متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام لحل معادلة مثلثية؛ حيث يمكن التعبير عنها بدلالة كلتيهما بعد إجراء بعض العمليات الحسابية.

مثال ٥: حل معادلة مثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

أوجد مجموعة قيم 𞸎 الممكنة التي تحقِّق العلاقة ١󰋴𞸎𝑥=٢٢٤؛ حيث ٠<𞸎<٠٦٣.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقات ضعف الزاوية.

تذكَّر أن متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام هي: ٢𞸎=٢𞸎𞸎.

والآن، لحل المعادلة المثلثية المُعطاة، نلاحظ أنه باستخدام متطابقة فيثاغورس ٢٢𞸎=١𞸎، يمكن إعادة كتابة المقام في الطرف الأيمن على الصورة: 󰋷𞸎𞸎=󰋷𞸎󰁓١𞸎󰁒=󰋴𞸎𞸎=𞸎𞸎.٢٤٢٢٢٢

ومن ثَمَّ، باستخدام متطابقة ضعف الزاوية، تصبح المعادلة المثلثية المُعطاة هي: ١𞸎𞸎=٢٢𞸎𞸎=١٢𞸎=١، وحلها العام؛ حيث 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية): ٢𞸎=(١)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍١ و: ٢𞸎=󰁓٠٨١(١)󰁒+٠٦٣𞸍=(٠٨١٠٩)+٠٦٣𞸍=٠٩+٠٦٣𞸍𞸎=٥٤+٠٨١𞸍.١

هذان التعبيران متكافئان. ويُعطينا 𝜃=٥٤،٥٣١،٥٢٢،٥١٣ عندما تكون 𞸍=٠،١،٢،٣. وللقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المجال المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كان ٠<𞸎<٠٦٣، فالحلول الممكنة هي: {٥٤،٥٣١،٥٢٢،٥١٣}.

قد تتطلَّب بعض المعادلات المثلثية استخدام متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية، التي تنتج مباشرةً عن متطابقات ضعف الزاوية.

تُعطى متطابقات نصف الزاوية للدوال المثلثية من الآتي:

تعريف: متطابقات نصف الزاوية المثلثية

متطابقات نصف الزاوية المثلثية هي: 󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١+𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=١𝜃𝜃.

ويمكننا توضيحها من خلال متطابقات ضعف الزاوية. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام: (٢𞸎)=𞸎𞸎=١٢𞸎،٢٢٢ نُعيد ترتيب هذا التعبير لجعل 𞸎 المتغيِّر التابع في المعادلة: ٢𞸎=١٢𞸎𞸎=١٢𞸎٢𞸎=±󰋺١٢𞸎٢.٢٢

والآن، إذا افترضنا أن 𞸎=𝜃٢، يمكن إعادة كتابة هذا التعبير على الصورة: 󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١𝜃٢، وهي متطابقة نصف الزاوية للجيب. ويمكن إيجاد متطابقات نصف الزاوية الأخرى بالطريقة نفسها.

الآن، نُلقي نظرة على مثال نستخدم فيه متطابقة نصف الزاوية لجيب التمام لحل معادلة مثلثية، بوحدة راديان.

مثال ٦: حل المعادلات المثلثية التي تتضمَّن نصف زوايا

باستخدام صيغة نصف الزاوية 󰂔𞸎٢󰂓=󰋺١𞸎٢ أو غيرها، حل المعادلة 󰂔𞸎٢󰂓+𞸎=١؛ حيث ٠𞸎<٢𝜋.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقة نصف الزاوية لجيب التمام.

إذا عوَّضنا بصيغة نصف الزاوية، يمكن إعادة كتابة المعادلة على الصورة: 󰋺١𞸎٢+𞸎=١󰋺١𞸎٢=١𞸎.

عند تربيع الطرفين، نحصل على: ١𞸎٢=(١𞸎)١𞸎=٢(١𞸎)١𞸎=٢٤𞸎+٢𞸎٢𞸎٣𞸎+١=٠.٢٢٢٢

وإذا افترضنا أن 𞸑=𞸎، يجب علينا حل المعادلة: ٢𞸑٣𞸑+١=٠.٢

الحلان هما 𞸑=١، 𞸑=١٢. عندما تكون 𞸑=١، يكون لدينا: 𞸎=١، وحلها العام لقيم 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية): 𞸎=(١)+٢𝜋𞸍=٠+٢𝜋𞸍=٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰁓٢𝜋(١)󰁒+٢𝜋𞸍=(٢𝜋٠)+٢𝜋𞸍=٢𝜋+٢𝜋𞸍.١

نلاحظ أن التعبير الثاني يكافئ الأول، وأن الحل العام هو مضاعفات صحيحة من ٢𝜋. عندما تكون 𞸑=١٢، نحصل على: 𞸎=١٢، وحلها العام لقيم 𞸍𞹑: 𞸎=󰂔١٢󰂓+٢𝜋𞸍=𝜋٣+٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰂔٢𝜋󰂔١٢󰂓󰂓+٢𝜋𞸍=󰂔٢𝜋𝜋٣󰂓+٢𝜋𞸍=٥𝜋٣+٢𝜋𞸍.١

الملخَّص أن الحلول العامة لقيم 𞸍𞹑 هي: 𞸎=٢𝜋𞸍،𞸎=𝜋٣+٢𝜋𞸍،𞸎=٥𝜋٣+٢𝜋𞸍.

عندما تكون 𞸍=٠ نحصل على حلول 𞸎=٠، 𞸎=𝜋٣، 𞸎=٥𝜋٣ من التعبير الأول والثاني والثالث على الترتيب. وللقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المجال المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كان ٠𞸎<٢𝜋، فالحلول هي: 𞸎󰂚٠،١٣𝜋،٥٣𝜋󰂙.

وأخيرًا، نتناول مثالًا نستخدم فيه متطابقة نصف الزاوية لدالة الظل في حل معادلة مثلثية، بوحدة راديان.

مثال ٧: حل المعادلات المثلثية التي تتضمَّن نصف زوايا

حل 󰂔𞸎٢󰂓=𞸎؛ حيث ٠𞸎<٢𝜋.

الحل

في هذا المثال، نحل معادلة مثلثية في مجال محدَّد باستخدام متطابقات نصف الزاوية.

تُعطى متطابقة نصف الزاوية لدالة الظل بالصيغة: 󰂔𞸎٢󰂓=١𞸎𞸎.

ومن ثَمَّ، علينا حل المعادلة: ١𞸎𞸎=𞸎١𞸎=𞸎.٢

عند تطبيق متطابقة فيثاغورس، نحصل على: ١𞸎=١𞸎𞸎𞸎=٠.٢٢

إذا افترضنا أن 𞸑=𞸎، يكون لدينا: 𞸑𞸑=٠𞸑(𞸑١)=٠.٢

والحلان لهذه المعادلة التربيعية هما 𞸑=٠، 𞸑=١. عندما تكون 𞸑=٠، يكون لدينا: 𞸎=٠، وحلها العام لقيم 𞸍𞹑 (باستخدام مخطَّط إشارات الدوال المثلثية): 𞸎=(٠)+٢𝜋𞸍=𝜋٢+٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰁓٢𝜋(٠)󰁒+٢𝜋𞸍=󰂔٢𝜋𝜋٢󰂓+٢𝜋𞸍=٣𝜋٢+٢𝜋𞸍.١

عندما تكون 𞸑=١، يكون لدينا: 𞸎=١، وحلها العام: 𞸎=(١)+٢𝜋𞸍=٠+٢𝜋𞸍=٢𝜋𞸍١ و: 𞸎=󰁓٢𝜋(١)󰁒+٢𝜋𞸍=(٢𝜋٠)+٢𝜋𞸍=٢𝜋+٢𝜋𞸍.١

نلاحظ أن التعبير الثاني يكافئ التعبير الأول؛ حيث إن الحل العام هو من المضاعفات الصحيحة لـ ٢𝜋. الخلاصة أن الحلول العامة لـ 𞸍𞹑 هي: 𞸎=𝜋٢+٢𝜋𞸍،𞸎=٣𝜋٢+٢𝜋𞸍،𞸎=٢𝜋𞸍.

عندما تكون 𞸍=٠، نحصل على الحلول 𞸎=𝜋٢، 𞸎=٣𝜋٢، 𞸎=٠ من التعبير الأول والثاني والثالث على الترتيب. للقيم الصحيحة الأخرى لـ 𞸍، قد نحصل على زوايا خارج المجال المطلوب.

ومن ثَمَّ، إذا كان ٠𞸎<٢𝜋، فالحلول هي: 𞸎󰂚٠،𝜋٢،٣𝜋٢󰂙.

نختم بتلخيص بعض النقاط الرئيسية المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا حل المعادلات المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية أو نصف الزاوية.
  • متطابقات ضعف الزاوية المثلثية هي: ٢𝜃=٢𝜃𝜃،٢𝜃=𝜃𝜃،٢𝜃=٢𝜃١𝜃.٢٢٢
  • متطابقات نصف الزاوية المثلثية هي: 󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=±󰋺١+𝜃٢،󰂔𝜃٢󰂓=١𝜃𝜃. وهي تنتج مباشرةً عن متطابقات ضعف الزاوية.
  • بعد إيجاد قيمة الحل الرئيسي، بوحدة درجة أو راديان، يمكننا إيجاد الحل العام للدوال المثلثية لقيم 𞸍𞹑 باستخدام مخطَّط إشارات الدوال وخاصية دورية الدوال المثلثية.
  • وعادةً ما يكون لدينا مجال محدَّد للزاوية 𝜃 لتحديد الحلول، وهو ما يعني أننا نتناول فقط قيمًا صحيحة محدَّدة لـ 𞸍 لإيجاد الحلول الممكنة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.