في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد الأعداد التخيُّلية البحتة، ونبسِّطها ونضربها، ونحلُّ المعادلات التي تتضمَّن هذه الأعداد.
التمكُّن من التعامل مع الأعداد التخيُّلية يُمكِّننا من اكتساب المهارات اللازمة للتعامل على نحو أعم مع الأعداد المركَّبة بكفاءة.
تاريخيًّا، ارتبط استخدام الأعداد المركَّبة في الأساس بفكرة حل المعادلات. تحديدًا، في القرن السادس عشر، كان علماء الرياضيات يسعون لإيجاد حلول جبرية للمعادلة التكعيبية. ومن المثير للاهتمام، أن المعادلات التي حاول علماء الرياضيات حلَّها كانت لها غالبًا حلول حقيقية بحتة. لكن الطرق اللازمة لحلِّها تطلَّبت إيجاد قيمة الجذور التربيعية لأعداد سالبة. بالتحديد، طريقة تارتاغليا لحل المعادلات التكعيبية على الصورة ، والتي كانت تؤدِّي غالبًا إلى الحاجة إلى إيجاد قيمة الجذر التربيعي لأعداد سالبة، حتى عندما تكون جميع الحلول حقيقية. على سبيل المثال، عند تطبيق طريقته على المعادلة ، تكون النتيجة الحل الآتي:
لكن بمجرد النظر، يمكننا ملاحظة أن المعادلة لها ثلاثة حلول حقيقية: ٠، ١، . في ذلك الوقت، رفض الكثيرون هذا التعبير، معتبِرين إياه غير منطقي. مع ذلك، أدرك عالم الرياضيات رافائيل بومبيلي فائدة التعامل مع الجذور التربيعية للأعداد السالبة، ونتيجة لذلك، فإننا إلى اليوم ننسب الفضل إليه باعتباره أول شخص صاغ خواصها.
نُلخِّص تعريف الأعداد التخيُّلية.
تعريف: الأعداد التخيُّلية
يُعرَّف العدد بأنه حل المعادلة . وبما أن ليس عددًا حقيقيًّا، إذن يُشار إليه على أنه عدد تخيُّلي، وتُسمَّى جميعُ المضاعفات الحقيقية للعدد (وهي الأعداد التي على الصورة ؛ حيث عدد حقيقي) أعدادًا تخيُّلية (بحتة). غالبًا ما يُشار إلى بالجذر التربيعي لسالب واحد.
وكما ذكرنا سابقًا، فإن إدخال الأعداد التخيُّلية يتيح لنا حل المعادلات التي ليس لها حلول حقيقية. نبدأ باستعراض مثال بسيط على ذلك.
مثال ١: حَلُّ المعادلات باستخدام الأعداد التخيُّلية
حُلَّ المعادلة .
الحل
نبدأ بعزل بقسمة طرفَي المعادلة على اثنين:
وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على: مع تذكُّر أنه عند أخذ الجذر التربيعي، علينا حساب كلا الحلَّين الموجب والسالب. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
وعليه، فإن:
بالتعويض بذلك في المعادلة، يمكننا التأكُّد من إجابتنا. هنا نتأكَّد من إجابتنا :
بما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: كما هو مطلوب.
بتطبيق القواعد الحسابية والجبرية المعروفة، يمكننا أن نتعلَّم التعامل مع الأعداد التخيُّلية والمركَّبة بسهولة. في الأمثلة القليلة التالية، سنطبِّق كثيرًا من القواعد التي نثق في استخدامها مع الأعداد الحقيقية لحل المسائل التي تتضمَّن أعدادًا تخيُّلية بحتة.
مثال ٢: التعامل مع القوى الموجبة للأعداد التخيُّلية
بسِّط .
الحل
عند حل مسائل من هذا النوع، قد يكون من المفيد التفكير في كل جزء على حِدَةٍ. عندما نبدأ بالجزء الأول، يمكننا تطبيق خواص الأسس، أو الإبدال لعملية الضرب، من أجل إعادة كتابته على النحو الآتي:
وبتذكُّر أنه وفقًا للتعريف، ، فهذا يُبسَّط إلى:
بالمثل، يكون تناوُل الحد الثاني. بتطبيق قواعد الأسس أو الإبدال لعملية الضرب، يمكننا إعادة كتابة:
يمكننا بسهولة إيجاد قيمة . لكن كيف نتعامل مع ؟ بالنسبة إلى بعض الطلاب، عندما يرون مرفوعًا لقوة غير اثنين، يكونون غير متأكدين من كيفية التعامل معه. ومع ذلك فإن لدينا بالفعل كل الأدوات التي نحتاج إليها للتعامل مع هذا: إذا ما بسَّطنا إعادة كتابة ، فيمكننا استخدام معرفتنا بأن لاكتشاف أن . ومن ثَمَّ، نبسِّط الجزء الثاني إلى:
وأخيرًا، يمكننا ضرب الجزأين معًا، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية:
في المثال السابق، وجدنا أن . هذا يطرح سؤالًا عمَّا يحدث عندما نرفع إلى قوى أكبر. نعرف بالفعل أن ، ، . إذن ماذا يساوي ؟ يمكننا حساب ذلك بطريقة مماثلة للتي حسبنا بها بملاحظة أن:
وبرفع هذه المعادلة إلى القوة نحصل على:
بضرب هذه المعادلة في قوى من واحد إلى ثلاثة، نحصل على المتطابقات الآتية:
كما يمكننا التعبير عن هذه المتطابقات بالدورة الآتية:
مثال ٣: قوى ت
بسِّط .
الحل
أولًا، نريد أن نبسِّط . لإجراء ذلك، نُعبِّر عن ٤٥ على الصورة ؛ حيث عدد صحيح بين ٠، ٣. سيتيح لنا هذا تطبيق معرفتنا بقوى لحذف الأس من المقدار.
وبما أن ، إذن يمكننا التعبير عن ذلك على الصورة: . يمكننا الآن تطبيق معرفتنا بقوى ، وبالتحديد أن ، من أجل تبسيط التعبير لنحصل على . أو بدلًا من ذلك، يمكننا التعامل مع هذا على النحو الآتي:
بتطبيق قواعد الأسس، يمكننا التعبير عن هذا على الصورة:
وبما أن ، إذن نجد أن:
ومن ثَمَّ:
في هذه المرحلة، قد يواجه أي طالب حديث العهد بالأعداد المركَّبة بعض الصعوبة. لكن يجب ألا ننسى الأدوات الجبرية والحسابية التي نعرفها بالفعل. نتذكَّر أنه عندما نريد إنطاق المقام في أيِّ مقدار مثل ، يمكننا ضرب كلٍّ من البسط والمقام في ، وهو ما يعطينا . بالمثل، عندما نفكِّر في باعتباره ، فإنه يمكننا تطبيق الطريقة نفسها التي تنتج عنها العملية الحسابية الآتية:
وبما أن ، نحصل على:
وعليه، نجد أن:
في المثال السابق، تعلَّمنا كيف نتعامل مع . إذا عَلِمنا أنه يمكننا التعبير عن على الصورة الأسية باعتباره ، وهذا يساوي ، فربما نبدأ في التساؤل عمَّا إذا كانت القوى السالبة لـ تتبع أيضًا دورة مشابهة لتلك التي أوجدناها للقوى الموجبة، وكذلك نفس قواعدها. يتبيَّن أنها كذلك، ونتوصَّل إلى الحقيقة الآتية.
نظرية: القوى الصحيحة للعدد التخيُّلي ت
لكلِّ عدد صحيح ، تنطبق القواعد الآتية:
يمكننا التعبير عن هذا على صورة دورة، كما هو موضَّح.
يمكننا الآن تناوُل مثال لتطبيق هذه القواعد.
مثال ٤: تبسيط القوى الصحيحة للعدد ت
إذا كان عددًا صحيحًا، فبسِّط .
الحل
لتطبيق قواعد قوى ، علينا أولًا التعبير عن على الصورة ؛ حيث عدد صحيح بين ٠، ٣. نلاحِظ أن ، . وعليه، فإن: وهو ما يمكننا إعادة كتابته على الصورة:
وهو مكتوب تقريبًا على الصورة الصحيحة. أردنا التأكُّد من أن كان بين صفر وموجب ٣؛ لكنه هنا يساوي . يمكننا حل هذا بسهولة عن طريق كتابة هذا التعبير . وبالتعويض بهذا مرةً أخرى، نحصل على:
يمكننا الآن تطبيق قواعد القوى الصحيحة للعدد ، وبالتحديد ، لنحصل على:
نختتم بتناوُل مثال أخير لعملية حسابية تحتوي على أعداد مركَّبة؛ إذ علينا أن ننتبه عند محاولة تطبيق القاعدة الحسابية المعروفة.
مثال ٥: العمليات الحسابية التي تحتوي على أعداد تخيُّلية
بسِّط .
الحل
علينا أن ننتبه هنا حتى لا نقع في خطأ افتراض أن ينطبق على جميع الأعداد. فهذا ينطبق بالتأكيد على الأعداد الحقيقية الموجبة. لكنه لا ينطبق على الأعداد السالبة كما سنرى. ولتجنُّب هذا الفخ، علينا أولًا التعبير عن هذه الجذور التربيعية بدلالة كما يلي: وكذلك:
يمكننا الآن ضربهما معًا والتبسيط:
بالتعبير عن العدد ٦٠ باعتباره حاصل ضرب عوامله الأوَّلية، ، نلاحظ أن . بالتعويض بهذا واستخدام هذه الحقيقة ، نجد أن:
لو حاولنا استخدام القاعدة ، لاستنتجنا بالخطأ أن الإجابة هي .
يوضِّح هذا المثال الأخير حقيقة أنه على الرغم من إمكانية تطبيق معظم القواعد الجبرية والحسابية على الأعداد المركَّبة، فإن علينا أن ننتبه عند التعامل مع الجذور والقوى الكسرية للتعبير أولًا عن الجذر التربيعي لأيِّ عدد سالب بدلالة قبل أن نحاول صياغة ذلك.
النقاط الرئيسية
- يمكننا حَلُّ العديد من المسائل التي تتضمَّن أعدادًا تخيُّلية ومركَّبة بتطبيق القواعد الحسابية والجبرية المعروفة.
- علينا أن ننتبه عند التعامل مع القوى الأسية غير الصحيحة لأي عدد ليس موجبًا أو لا ينتمي إلى الأعداد الحقيقية البحتة؛ بعض القواعد التي نعرفها لا تنطبق على الأعداد السالبة أو المركَّبة عمومًا. على سبيل المثال، لا ينطبق على الأعداد المركَّبة المختلفة. وبالتحديد، لا ينطبق هذا إذا كانا عددين سالبين.
- القوى الصحيحة لـ تكوِّن الدورة الآتية:
باستخدام هذه القواعد، يمكننا تبسيط بعض العمليات الحسابية التي تتضمَّن أعدادًا مركَّبة.
