شارح الدرس: معادلة الكرة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد معادلة الكرة بمعلومية مركزها ونصف قطرها

أوجد معادلة الكرة التي مركزها ، ونصف قطرها ٣ وحدات، على الصورة القياسية.

الحل

نحن نعلم أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة هي: حيث هي مركز الكرة، هو طول نصف قطرها. لدينا هنا إحداثيات مركز الكرة، ومن ثَمَّ يمكننا استنتاج أن ، ، . علمنا أيضًا أن . وبالتعويض بهذه القيم، نجد أن:

وأخيرًا، بحساب الطرف الأيسر نحصل على:

مثال ٢: إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها بمعلومية معادلتها

كرة معادلتها ، أوجد مركزها ونصف قطرها.

الحل

نحن نعلم أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة هي: حيث هو مركز الكرة، هو طول نصف قطرها. علينا إعادة صياغة المعادلة المعطاة لتصبح على هذه الصورة. أولًا، نضيف ٢٨٩ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على:

بعد ذلك، نُعيد صياغة التعبير في القوس الأول ليطابق الصورة القياسية للمعادلة، فنحصل على:

وأخيرًا، بملاحظة أن الجذر التربيعي للعدد ، يمكننا إعادة صياغة المعادلة مرةً أخرى لنحصل على:

ومن هنا، يمكننا أن نحدِّد أن إحداثيات مركز الكرة هي ، وأن نصف قطرها يساوي ١٧.

مثال ٣: إيجاد إحداثيات نقطة النهاية الطرفية لقطر كرة بمعلومية إحداثيات نقطة النهاية الطرفية الأخرى ومعادلة الكرة

إذا كانت ، تمثِّل قطر كرة معادلتها ، فما إحداثيات النقطة ؟

الحل

يمكننا استخدام طريقتين لحل هذه المسألة. يمكننا إما حل المسألة هندسيًّا باستخدام المتجهات، وإما حلها جبريًّا بالنظر إلى المواضع المتعلِّقة بالنقاط التي نعرفها.

لكن، نَتذكر أولًا الصورة القياسية لمعادلة الكرة: حيث هو مركز الكرة، هو طول نصف القطر. باستخدام ذلك، نلاحِظ أن مركز الكرة له الإحداثيات ، ويصير بإمكاننا رسم شكل سريع للكرة لمساعدتنا على تصوُّر المسألة.

نلاحِظ أن النقاط ، ، تقع على الخط نفسه، ولأن هو قطر الكرة، فنحن نعلم أن هو نقطة المنتصف لـ .

الطريقة الأولى

أولًا، نلقي نظرة على كيفية حل المسألة جبريًّا. بما أن ، هما نقطتا النهايتين الطرفيتين لقطر الكرة، وأن هو مركزها، إذن نعلم أن هي نقطة المنتصف لـ . وبالنسبة لأي قطعة مستقيمة موجودة في فضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن حساب نقطة المنتصف، ، لقطعة مستقيمة لها نقطتا النهايتين الطرفيتين ، باستخدام الصيغة الآتية:

إذن نستنتج أن:

وهذا يعطينا المعادلات الثلاث:

وبحل هذه المعادلات، نحصل على ، ، . ومن ثَمَّ، نستنتج أن إحداثيات النقطة هي .

الطريقة الثانية

إذا أردنا حل المسألة هندسيًّا باستخدام المتجهات، فسنجد أن ، وبما أن النقطة هي المركز النسبي للنظام، إذن نستنتج أن:

نحن نعلم أن ، . إذن، نستنتج أن: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

يمكننا الآن حساب على النحو الآتي: وهو ما يمكن تبسيطه إلى:

وبذلك، نستنتج أن إحداثيات النقطة هي .

مثال ٤: إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها بمعلومية معادلتها المعطاة على الصورة العامة

حدِّد مركز ونصف قطر الكرة التي معادلتها .

الحل

لدينا هنا الصورة العامة لمعادلة كرة، لكن علينا مقارنة هذه المعادلة بالصورة القياسية لها لتحديد مركزها ونصف قطرها. نتذكَّر أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة هي: حيث هو المركز، هو طول نصف القطر.

نُجمِّع أولًا الحدود التي تحتوي على المتغيِّرات نفسها معًا:

والآن، علينا إكمال مربع التعبيرات التربيعية لكلٍّ من المتغيِّرات الثلاثة، وهو ما يعطينا:

بتجميع الحدود الثابتة معًا، نحصل على: وبإضافة ٤٩ إلى الطرفين، نحصل على:

وأخيرًا، إذا قارنَّا ذلك بالصورة القياسية لمعادلة الكرة، نجد أن مركز الكرة هو: ، ونصف قطرها هو .