شارح الدرس: معادلة الكرة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد معادلة كرة بمعلومية مركزها، وكيف نُوجِد المركز ونصْف القطر بمعلومية معادلة الكرة.

نبدأ بتذكُّر تعريف الكرة.

تعريف: الكرة

الكرة هي المحل الهندسي لجميع النقاط (𞸎،𞸑،𞸏) التي تبعُد مسافة ؈ عن نقطة ثابتة (󰏡،𞸁،𞸢).

في هذا التعريف، ؈ هو نصف قطر الكرة، والنقطة الثابتة (󰏡،𞸁،𞸢) هي مركز الكرة. نريد الآن استخدام هذا التعريف لمساعدتنا في استنتاج معادلة الكرة على الصورة القياسية.

نَتذكر أولًا أنه يمكننا حساب المسافة بين النقطتين 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢ باستخدام الصيغة: 𞸐=󰋷󰁓𞸎𞸎󰁒+󰁓𞸑𞸑󰁒+󰁓𞸏𞸏󰁒.٢١٢٢١٢٢١٢

في تعريفنا للكرة، لدينا مجموعة النقاط (𞸎،𞸑،𞸏) التي تقع على مسافة ثابتة ؈ من مركز الكرة (󰏡،𞸁،𞸢). ومن ثَمَّ، بالتعويض في صيغة المسافة، نحصل على: ؈=󰋴(𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)،٢٢٢ وهي معادلة الكرة. مع ذلك، هذه ليست الصورة القياسية لمعادلة الكرة. إذا قمنا بتربيع طرفَي المعادلة، نحصل على: ؈=(𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)،٢٢٢٢ وهي الصورة القياسية لمعادلة كرة نصف قطرها هو ؈ (علمًا بأن ؈>٠)، ومركزها هو (󰏡،𞸁،𞸢).

تعريف: معادلة الكرة على الصورة القياسية

تُعطى المعادلة الكارتيزية لكرة نصف قطرها هو ؈ ومركزها هو (󰏡،𞸁،𞸢) على الصورة القياسية، على النحو الآتي: (𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)=؈.٢٢٢٢

هذا يعني أننا إذا عرفنا إحداثيات مركز الكرة وطول نصف قطرها، أو إذا استطعنا حساب قيمة هذين المعطيين، فسيكون بإمكاننا إيجاد معادلة الكرة.

بمراعاة ذلك، دعونا نلقِ نظرة على أول مثالين.

مثال ١: إيجاد معادلة الكرة بمعلومية مركزها ونصف قطرها

أوجد معادلة الكرة التي مركزها (١١،٨،٥)، ونصف قطرها ٣ وحدات، على الصورة القياسية.

الحل

نحن نعلم أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة هي: (𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)=؈،٢٢٢٢ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) هي مركز الكرة، ؈ هو طول نصف قطرها. لدينا هنا إحداثيات مركز الكرة، ومن ثَمَّ يمكننا استنتاج أن 󰏡=١١، 𞸁=٨، 𞸢=٥. علمنا أيضًا أن ؈=٣. وبالتعويض بهذه القيم، نجد أن: (𞸎١١)+(𞸑٨)+(𞸏+٥)=٣.٢٢٢٢

وأخيرًا، بحساب الطرف الأيسر نحصل على: (𞸎١١)+(𞸑٨)+(𞸏+٥)=٩.٢٢٢

مثال ٢: إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها بمعلومية معادلتها

كرة معادلتها (𞸎+٥)+(𞸑٢١)+(𞸏٢)٩٨٢=٠٢٢٢، أوجد مركزها ونصف قطرها.

الحل

نحن نعلم أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة هي: (𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)=؈،٢٢٢٢ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) هو مركز الكرة، ؈ هو طول نصف قطرها. علينا إعادة صياغة المعادلة المعطاة لتصبح على هذه الصورة. أولًا، نضيف ٢٨٩ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على: (𞸎+٥)+(𞸑٢١)+(𞸏٢)=٩٨٢.٢٢٢

بعد ذلك، نُعيد صياغة التعبير في القوس الأول ليطابق الصورة القياسية للمعادلة، فنحصل على: (𞸎(٥))+(𞸑٢١)+(𞸏٢)=٩٨٢.٢٢٢

وأخيرًا، بملاحظة أن الجذر التربيعي للعدد ٩٨٢=٧١، يمكننا إعادة صياغة المعادلة مرةً أخرى لنحصل على: (𞸎(٥))+(𞸑٢١)+(𞸏٢)=٧١.٢٢٢٢

ومن هنا، يمكننا أن نحدِّد أن إحداثيات مركز الكرة هي (٥،٢١،٢)، وأن نصف قطرها يساوي ١٧.

دعونا نلقِ نظرة الآن على مثال نطبِّق فيه ما تعلَّمناه عن معادلة الكرة لحل مسألة هندسية.

مثال ٣: إيجاد إحداثيات نقطة النهاية الطرفية لقطر كرة بمعلومية إحداثيات نقطة النهاية الطرفية الأخرى ومعادلة الكرة

إذا كانت 󰏡(٠،٤،٤)، 󰏡𞸁 تمثِّل قطر كرة معادلتها (𞸎+٢)+(𞸑+١)+(𞸏١)=٨٣٢٢٢، فما إحداثيات النقطة 𞸁؟

الحل

يمكننا استخدام طريقتين لحل هذه المسألة. يمكننا إما حل المسألة هندسيًّا باستخدام المتجهات، وإما حلها جبريًّا بالنظر إلى المواضع المتعلِّقة بالنقاط التي نعرفها.

لكن، نَتذكر أولًا الصورة القياسية لمعادلة الكرة: (𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)=؈،٢٢٢٢ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) هو مركز الكرة، ؈ هو طول نصف القطر. باستخدام ذلك، نلاحِظ أن مركز الكرة له الإحداثيات (٢،١،١)، ويصير بإمكاننا رسم شكل سريع للكرة لمساعدتنا على تصوُّر المسألة.

نلاحِظ أن النقاط 󰏡، 𞸢، 𞸁 تقع على الخط نفسه، ولأن 󰏡𞸁 هو قطر الكرة، فنحن نعلم أن 𞸢 هو نقطة المنتصف لـ 󰏡𞸁.

الطريقة الأولى

أولًا، نلقي نظرة على كيفية حل المسألة جبريًّا. بما أن 󰏡، 𞸁 هما نقطتا النهايتين الطرفيتين لقطر الكرة، وأن 𞸢 هو مركزها، إذن نعلم أن 𞸢 هي نقطة المنتصف لـ 󰏡𞸁. وبالنسبة لأي قطعة مستقيمة موجودة في فضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن حساب نقطة المنتصف، 𞸢، لقطعة مستقيمة لها نقطتا النهايتين الطرفيتين 󰏡󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒١١١، 𞸁󰁓𞸎،𞸑،𞸏󰁒٢٢٢ باستخدام الصيغة الآتية: 𞸢=󰃁𞸎+𞸎٢،𞸑+𞸑٢،𞸏+𞸏٢󰃀.١٢١٢١٢

إذن نستنتج أن: 󰃁٠+𞸎٢،٤+𞸑٢،٤+𞸏٢󰃀=(٢،١،١).٢٢٢

وهذا يعطينا المعادلات الثلاث: 𞸎٢=٢،٤+𞸑٢=١،٤+𞸏٢=١.٢٢٢

وبحل هذه المعادلات، نحصل على 𞸎=٤٢، 𞸑=٦٢، 𞸏=٢٢. ومن ثَمَّ، نستنتج أن إحداثيات النقطة 𞸁 هي (٤،٦،٢).

الطريقة الثانية

إذا أردنا حل المسألة هندسيًّا باستخدام المتجهات، فسنجد أن 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=󰄮󰄮󰄮󰄮𞸢𞸁، وبما أن النقطة 𞸔 هي المركز النسبي للنظام، إذن نستنتج أن: 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸔𞸁=󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸔𞸢+󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢.

نحن نعلم أن 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸔𞸢=(٢،١،١)، 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸔𞸢󰄮󰄮󰄮𞸔󰏡. إذن، نستنتج أن: 󰄮󰄮󰄮󰏡𞸢=(٢،١،١)(٠،٤،٤)، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: (٢،٥،٣).

يمكننا الآن حساب 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸔𞸁 على النحو الآتي: 󰄮󰄮󰄮󰄮󰄮𞸔𞸁=(٢،١،١)+(٢،٥،٣)، وهو ما يمكن تبسيطه إلى: (٤،٦،٢).

وبذلك، نستنتج أن إحداثيات النقطة 𞸁 هي (٤،٦،٢).

قبل أن نتناول المثال الأخير، نتذكَّر كيف يمكننا إكمال مربع التعبير التربيعي.

خطوات: إكمال مربع التعبير التربيعي

انظر التعبير 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢.

لإكمال المربع، نبدأ بأخذ 󰏡 عاملًا مشتركًا: 󰏡󰂔𞸎+𞸁󰏡𞸎+𞸢󰏡󰂓.٢

والآن ننظر إلى التعبير 󰏡󰂔𞸎+𞸁٢󰏡󰂓٢. بفك مربع ذات الحدين، نحصل على: 󰏡󰂔𞸎+𞸁٢󰏡󰂓=󰏡󰃁𞸎+𞸁󰏡𞸎+𞸁(٢󰏡)󰃀،٢٢٢٢ وهو ما نلاحظ أنه يماثِل التعبير المذكور أعلاه باستثناء الحد الثابت.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة صياغة التعبير الأصلي كما يلي: 󰏡󰃁󰂔𞸎+𞸁٢󰏡󰂓𞸁(٢󰏡)+𞸢󰏡󰃀.٢٢٢

وأخيرًا، بالضرب في 󰏡 نحصل على: 󰏡󰂔𞸎+𞸁٢󰏡󰂓𞸁٤󰏡+𞸢.٢٢

هكذا يكون شكل التعبير الأصلي بعد إكمال المربع.

يمكننا استخدام الطريقة الموضَّحة أعلاه لتحويل الصورة العامة لمعادلة الكرة إلى الصورة القياسية. إذا نظرنا إلى الكرة التي معادلتها العامة تساوي: 𞸎+𞸑+𞸏٢󰏡𞸎٢𞸁𞸑٢𞸢𞸏+𞸐=٠،٢٢٢ يمكننا تحويل هذه المعادلة إلى الصورة القياسية بإكمال مربعات التعبيرات التربيعية لكل متغيِّر من المتغيِّرات الثلاثة. وإذا بدأنا بإعادة ترتيب حدود المعادلة لتجميع كل الحدود التي تحتوي على المتغيِّرات نفسها، فسنحصل على: 𞸎٢󰏡𞸎+𞸑٢𞸁𞸑+𞸏٢𞸢𞸏+𞸐=٠.٢٢٢

والآن، يمكننا إكمال المربع لكل تعبير من التعبيرات التربيعية الثلاثة لنحصل على: (𞸎󰏡)󰏡+(𞸑𞸁)𞸁+(𞸏𞸢)𞸢+𞸐=٠.٢٢٢٢٢٢

وأخيرًا، إذا جمَّعنا الحدود الثابتة معًا، نجد أن: ؈=󰏡+𞸁+𞸢𞸐،٢٢٢٢ وأن إحداثيات مركز الكرة هي: (󰏡،𞸁،𞸢).

في الختام، سنتناول مثالًا علينا فيه تحديد المركز ونصف القطر لكرة معادلتها معطاة على الصورة العامة.

مثال ٤: إيجاد مركز الكرة ونصف قطرها بمعلومية معادلتها المعطاة على الصورة العامة

حدِّد مركز ونصف قطر الكرة التي معادلتها 𞸎+𞸑+𞸏٨𞸎+٨𞸑+٠١𞸏+٨=٠٢٢٢.

الحل

لدينا هنا الصورة العامة لمعادلة كرة، لكن علينا مقارنة هذه المعادلة بالصورة القياسية لها لتحديد مركزها ونصف قطرها. نتذكَّر أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة هي: (𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)=؈،٢٢٢٢ حيث (󰏡،𞸁،𞸢) هو المركز، ؈ هو طول نصف القطر.

نُجمِّع أولًا الحدود التي تحتوي على المتغيِّرات نفسها معًا: 𞸎٨𞸎+𞸑+٨𞸑+𞸏+٠١𞸏+٨=٠.٢٢٢

والآن، علينا إكمال مربع التعبيرات التربيعية لكلٍّ من المتغيِّرات الثلاثة، وهو ما يعطينا: (𞸎٤)٦١+(𞸑+٤)٦١+(𞸏+٥)٥٢+٨=٠.٢٢٢

بتجميع الحدود الثابتة معًا، نحصل على: (𞸎٤)+(𞸑+٤)+(𞸏+٥)٩٤=٠،٢٢٢ وبإضافة ٤٩ إلى الطرفين، نحصل على: (𞸎٤)+(𞸑+٤)+(𞸏+٥)=٩٤.٢٢٢

وأخيرًا، إذا قارنَّا ذلك بالصورة القياسية لمعادلة الكرة، نجد أن مركز الكرة هو: (٤،٤،٥)، ونصف قطرها هو 󰋴٩٤=٧.

النقاط الرئيسية

  • الكرة هي شكل ثلاثي الأبعاد تبعُد فيه كل نقطة مسافة ؈ (أي نصف قطر الكرة) من المركز.
  • لأي كرة مركزها يقع عند النقطة (󰏡،𞸁،𞸢)، ونصف قطرها هو ؈، فإن معادلتها (على الصورة القياسية) هي: (𞸎󰏡)+(𞸑𞸁)+(𞸏𞸢)=؈.٢٢٢٢ إذا كانت معادلة الكرة معطاة على الصورة غير القياسية، يمكننا تحويلها إلى الصورة القياسية باستخدام الطرق الجبرية، وتحديد مركز الكرة ونصف قطرها عن طريق مقارنة المعادلة الناتجة بالصورة العامة.
  • لتحديد مركز ونصف قطر كرة معادلتها معطاة على الصورة العامة، يمكننا تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية بإكمال مربع التعبيرات التربيعية لكل متغيِّر من المتغيِّرات الثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.