شارح الدرس: تحليل القوى الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحل مسائل عن تحليل قوة في اتجاهين.

القوة كمية متجهة؛ لذا يمكن تمثيل القوة بسهم في اتجاه القوة وطوله يتناسب مع مقدار القوة.

يمكن التعبير عن اتجاه القوة بدلالة نظام إحداثي. لعل المثال الأشهر لمثل هذا النظام هو نظام المحاور المتعامدة ثنائية الأبعاد. هذا اصطلاح شائع لتسمية هذين المحورين ، كما هو موضح في الشكل التالي.

قد يكون اتجاه القوة موازيًا لأحد محوري النظام الإحداثي. هذا موضح في الشكل التالي لقوة نقطة تأثيرها هي نقطة الأصل في النظام.

عندما يكون خط عمل القوة موازيًا لمحور في النظام الإحداثي، فإنه يكون بالضرورة عموديًّا على المحور الآخر للنظام.

لكن اتجاه القوة يمكن أن يصنع زاوية معينة مع الخطوط الموازية لأي من محوري النظام، كما هو موضح في الشكل التالي.

ويصنع خط عمل القوة الموضحة زاوية مع المحور في النظام، ويصنع زاوية مع المحور في النظام.

يمكن التعبير عن القوة المؤثرة في أي اتجاه بدلالة مركبتين. كل مركبة توازي أحد محوري النظام وتكون عمودية على المحور الآخر. ومن ثَمَّ، فإن اتجاهي هاتين المركبتين متعامدان بعضهما على البعض. توضح المركبتان المتعامدتان للقوة والقوة نفسها في الشكل التالي:

يمكن تحديد مقداري المركبتين المتعامدتين للقوة من خلال القواعد المثلثية للمثلثات القائمة الزاوية. انظر إلى الشكل التالي لمثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية .

تحدد نسبتا طولي الضلع المقابل والضلع المجاور إلى طول الوتر بالمعادلتين التاليتين: و

تُكوِّن القوة، ، ومركبتاها المتعامدتان مثلثًا قائم الزاوية، كما هو موضح في الشكل التالي:

يفترض أن تكون الأسهم التي تمثل القوة ومركبتيها نظامًا إحداثيًّا حيث زاوية هي الزاوية التي تقاس من المحور في النظام.

إذن، النسبتان بين مقداري مركبتي القوة إلى القوة تساويان: ومن ثَمَّ: و ومن ثَمَّ:

تمثل المركبتان المتعامدتان للقوة عادة بالتأثير على النقطة التي تؤثر عندها القوة. يوضح الشكل التالي أن تمثيل مركبتي القوة بهذه الطريقة يكافئ تمثيل القوة باعتبارها مجموع مركبتيها المتعامدتين.

دعونا نتناول مثالًا على تحليل قوة ما إلى مركبتين متعامدتين.

مثال ١: تحليل قوة إلى مركبتين متعامدتين

حلل قوة مقدارها ٨١ نيوتن إلى المركبتين العموديتين ، كما هو موضح بالشكل. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

المركبة تعطى بالعلاقة:

لأقرب منزلتين عشريتين، .

المركبة تعطى بالعلاقة:

لأقرب منزلتين عشريتين، .

تجدر الإشارة إلى أن مقداري مركبتي أي قوة يعتمد على النظام الإحداثي المحدد لتمثيل متجهات القوة.

على سبيل المثال، القوة التي تؤثر على طول المحور في نظام إحداثي لها مركبتان لا يساوي مقدارهما صفرًا في نظام إحداثي آخر، كما هو موضح في الشكل نظام إحداثي دار بزاوية إلى نظام إحداثي فيه توازي المحور .

خَطَّا عمل المركبتين ، يقعان على طول المحورين ، من دوران هذا النظام الإحداثي.

دعونا نلقِ نظرة على مثال حول تحليل قوة ما إلى مركبتين متعامدتين بالنسبة إلى اتجاه معين.

مثال ٢: تحليل وزن جسم في الاتجاهين الموازي والعمودي على المستوى

وُضِع جسم مقدار وزنه ٧٢ نيوتن على مستوى مائل يميل على الأفقي بزاوية قياسها . حلل الوزن إلى مركبتين ، حيث مركبة في اتجاه المستوى و مركبة عمودية على المستوى.

الحل

يوضح الشكل التالي القوى المؤثرة على الجسم، حيث يساوي٧٢ نيوتن وهو مقدار وزن الجسم.

مركبتا الوزن الموازية والعمودية على المستوى تكون متعامدة بعضها على بعض؛ ومن ثَمَّ: و

دعونا نلقِ نظرة على مثال آخر.

مثال ٣: تحليل وزن جسم على مستوى مائل

وضع جسم يزن ٦٩ نيوتن على مستوى يميل على الأفقي بزاوية حيث . حلل وزن الجسم للمركبتين، ، حيث موازية لخط أكبر ميل و عمودية على .

الحل

يوضح الشكل التالي قوة وزن الجسم ومركبتيها الموازية والعمودية على المستوى. يتضح أن جزءًا من المستوى يناظر مثلثًا قائم الزاوية.

ينص السؤال على أن:

من هذا المنطلق، نلاحظ أن النسبة بين طولي ضلعي المثلث المقابل والمجاور للزاوية هي . في المثلث القائم الزاوية، الذي تمثل أضلاعه هذه النسبة بين أطوالها، تكون النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر هي وتكون النسبة بين الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر هي .

من هذا المنطلق نجد أن:

وبما أن مركبة وزن الجسم العمودية على المستوى، وهي دارت حول الزاوية من اتجاه وزن الجسم، فإن مقدار يُعطى بالعلاقة:

وعلى العكس من ذلك، فإن مركبة وزن الجسم الموازية للمستوى، وهي مقدارها يُعطى بالعلاقة:

لقد تناولنا حتى الآن مركبتي القوة حيث تكون المركبتان متعامدتين. يمكننا النظر إلى القوة باعتبارها تتكون من مركبتين غير متعامدتين. يوضح الشكل التالي قوة هي ومركبتين غير متعامدتين هما ، حيث:

بالنسبة للقوة هناك أزواج لا نهائية من المركبات حاصل جمعهما . ، وهما يمثلان مجرد مثال واحد فقط على هاتين المركبتين.

بالنسبة للمركبات غير العمودية للقوة، لا بد من استخدام قواعد مثلثية مختلفة لهذه المثلثات القائمة الزاوية.

تمثل المركبتان ، التأثير من نفس النقطة كما هو موضح في الشكل التالي:

يمكن رسم خطين من الرأس إلى الرأس ومن الرأس إلى الرأس . هذان الخطان يكملان متوازي أضلاع، كما هو موضح في الشكل التالي:

الخط الواصل من الرأس إلى الرأس يوازي ذلك الواصل إلى . الخط الواصل من الرأس إلى الرأس يوازي ذلك الواصل إلى . خط عمل القوة هو خط مستقيم يمكن تعريف الزوايا المتكاملة الداخلية لمتوازي الأضلاع من خلاله، كما هو موضح في الشكل التالي:

يتكون متوازي الأضلاع من مثلثين متشابهين، وزاويته المجهولة، تساوي: كما هو موضح في الشكل التالي:

دعونا ننظر إلى أحد مثلثي متوازي الأضلاع، كما هو موضح في الشكل التالي:

أطوال أضلاع المثلث مرتبطة بزوايا المثلث وفقًا لقانون الجيب: حيث ، ، هي أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا ، ، .

للقوى: ، ، :

دعونا نُلْقِ نظرة على مثال على حل قوة لها مركبتان غير متعامدتين.

مثال ٤: تحليل القوة إلى مركبتين موضحين في شكل

قوة مقدارها ٤١ نيوتن تؤثر في اتجاه الجنوب. حللت إلى مركبتين، كما هو موضح بالشكل. أوجد مقدار كل من ، . قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يمكن رسم متوازي أضلاع تتناسب أطوال أضلاعه مع ، . يمكن رسم خط مستقيم من الرأس الذي تلتقي عنده الأضلاع إلى الرأس المقابل لمتوازي الأضلاع. هذا الخط طوله يساوي ٤١ وحدة طول، كما هو موضح في الشكل التالي.

إذا نظرنا إلى أحد مثلثي متوازي الأضلاع، فسنجد أنه يحتوي على زاوية كما هو موضح في الشكل التالي.

الزاوية تساوي:

يمكن تحديد مقداري ، عن طريق تطبيق قاعدة الجيب في المثلث:

ومن ثَمَّ، نحصل على:

لأقرب منزلتين عشريتين، .

ونحصل أيضًا على:

لأقرب منزلتين عشريتين، .

دعونا نُلِقْ نظرة على مثال آخر.

مثال ٥: تحليل القوى في سياق واقعي

يوضح الشكل جسمًا وزنه ٦٩ نيوتن معلقًا بخيطين خفيفين غير مرنين: ، . يصنع الخيطان زاوية قياسها مع الأفقي. حلل وزن الجسم إلى مركبتين في اتجاه وفي اتجاه . قرب إجاباتك لأقرب نيوتن.

الحل

يقع الخيطان عند زاوية متساوية من الأفقي؛ ومن ثَمَّ فإن للمركبتين ، مقدارًا متساويًا. خط عمل وزن الجسم عمودي على .

يوضح الشكل التالي مثلثين قائمي الزاوية. في كل مثلث، قياسات الزوايا غير القائمة هي و.

وقياس الزاوية بين كل مركبة والوزن أيضًا تساوي ؛ ومن ثَمَّ، نحصل على:

يمكن تعريف متوازي الأضلاع بأنه يحتوي على رأس عند ورأس آخر رأسيًّا أسفل يتناسبان مع الوزن، حيث تتناسب أطوال كل ضلع من متوازي الأضلاع مع مقدار أي من المركبتين. موضح في الشكل التالي مثلث من متوازي الأضلاع.

من هذا المنطلق، نجد أن:

لأقرب نيوتن، .

كل مركبة مقدارها يساوي ٥٧ نيوتن.

دعونا نلخص الآن ما تعلمناه في هذه الأمثلة.