في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب العجلة بمعلومية السرعة الابتدائية للجسم، وإزاحته، وزمن تسارعه، باستخدام المعادلة: .
نفترض أن جسمًا يتحرَّك في خط مستقيم بسرعة متجهة . نفترض أيضًا أن سرعة هذا الجسم تزداد بمعدل ثابت؛ لذا، بعد مرور زمن، ، فإن الجسم يتحرَّك بسرعة جديدة .
إذا افترضنا أن الزمن عند اللحظة الابتدائية يساوي صفرًا، يمكننا إذن تمثيل حركة الجسم بنقاط على منحنى السرعة-الزمن كالآتي:
نلاحظ أنه بمرور الزمن تزيد سرعة الجسم. ونعلم أن هذه الزيادة تحدث بمعدل ثابت. ومن ثَمَّ، فإن الجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة، وبما أن العجلة تساوي التغيُّر في السرعة مقسومًا على التغيُّر في الزمن، إذن يمكننا كتابة المعادلة:
وبيانيًّا، العجلة تساوي ميل الخط المستقيم الذي يصل بين النقطتين ، .
من هذا التمثيل البياني، يمكننا إيجاد الإزاحة الكلية للجسم عندما تزداد سرعته. وهذه الإزاحة تساوي المساحة أسفل المنحنى.
وباستخدام ما لدينا من مُعطيات عن الجسم، يمكننا حساب إزاحته خلال هذه الفترة الزمنية. ولحساب المساحة أسفل المنحنى، يمكننا تقسيم هذه المساحة إلى جزء مستطيل وجزء مثلث كالآتي:
وبافتراض أن المتغيِّر يمثِّل الإزاحة، إذن:
وبما أن على شكل مثلث، إذن فهي تساوي نصف طول قاعدة المثلث في ارتفاعه. وقاعدة المثلث هي الزمن ، وارتفاعه هو السرعة :
وبما أن على شكل مستطيل، إذن فهي تساوي قاعدة المستطيل مضروبةً في ارتفاعه :
ومن ثَمَّ:
وبما أن: إذن يمكننا ضرب طرفَي هذه المعادلة، لنحصل على:
ومن ثَمَّ، يمكننا التعويض عن في معادلة الإزاحة بـ كالآتي:
وبإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على النتيجة الآتية.
معادلة: الإزاحة بدلالة السرعة الابتدائية، والزمن المستغرَق، وعجلة ثابتة
انظر المعادلة:
هذه النتيجة هي معادلة الحركة التي تَصِف إزاحة جسم يتحرَّك بعجلة منتظمة بدلالة سرعته الابتدائية ، والعجلة ، والزمن الذي تحرَّك خلاله الجسم بعجلة .
لاحظ أن هذه معادلة متجهة. وهذا يعني أن اتجاه الإزاحة والسرعة الابتدائية والعجلة لا بد أن يؤخذ في الاعتبار.
وتُطبَّق هذه المعادلة حتى عندما تساوي السرعة الابتدائية صفرًا. وفي هذه الحالة، يبدو منحنى السرعة مقابل الزمن كما هو موضَّح في الآتي، كما يمكن تبسيط معادلة الإزاحة لتصبح:
هيا نتدرَّب على كيفية التعامل مع المعادلة العامة للحركة باستخدام عدة أمثلة.
مثال ١: تحليل التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن
يوضِّح التمثيل البياني التغيُّر في السرعة المتجهة لجسم مقابل الزمن.
- ما السرعة المتجهة للجسم عند ؟
- ما المدة التي تحرَّك خلالها الجسم بعجلة؟
- ما سرعة الجسم المتجهة بعد تحرُّكه بعجلة؟
- ما عجلة الجسم؟
- ما إزاحة الجسم؟
الحل
الجزء الأول
يتقاطع الخط عند مع المحور الرأسي (السرعة المتجهة). ويتضح لنا أن السرعة المتجهة عند هذا الزمن تساوي 20 m/s.
الجزء الثاني
عند التفكير في المدة التي تحرَّك خلالها الجسم بعجلة، نعلم أن هذا يساوي الزمن الذي تتغيَّر خلاله السرعة المتجهة للجسم. يوضِّح التمثيل البياني أن السرعة تتغيَّر خلال الفترة من صفر إلى 15 ثانية، إذن الإجابة هي أن الجسم يتحرَّك بعجلة لمدة 15 ثانية.
الجزء الثالث
بعد نهاية 15 ثانية، فإن سرعة الجسم الجديدة تساوي القيمة المناظرة على المحور الرأسي. وهذه القيمة تساوي 50 m/s.
الجزء الرابع
لإيجاد عجلة الجسم، يمكننا تذكُّر أن: حيث التغيُّر في السرعة، التغيُّر المناظر في الزمن.
وبالنسبة إلى الجسم المذكور في السؤال:
ومن ثَمَّ، فإن العجلة تساوي:
الجزء الخامس
يمكننا إيجاد إزاحة الجسم بطريقتين مختلفتين.
أولًا، يمكننا استخدام طريقة جبرية. بتذكُّر معادلة الحركة: حيث إزاحة الجسم، السرعة الابتدائية، العجلة، زمن التحرُّك بالعجلة، يمكننا التعويض بالقيم المعلومة ، ، كالآتي:
أما الطريقة الأخرى لإيجاد قيمة هذه الإزاحة، فهي الطريقة البيانية. إزاحة الجسم تساوي المساحة أسفل المنحنى على التمثيل البياني.
في هذا الشكل، نقسِّم المساحة أسفل المنحنى إلى منطقة مثلثة ومنطقة مستطيلة . ويمكن حساب المساحة الكلية (أي إزاحة الجسم)، بجمع مع :
وبما أن الشكل مثلث، إذن مساحته تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. وبالنظر إلى الشكل السابق، نلاحظ أن القاعدة تمثِّل زمنًا مقداره 15 s، والارتفاع يمثِّل سرعة مقدارها أو 30 m/s.
إذن:
وبما أن مستطيل، ومساحته تساوي قاعدته (وتساوي 15 s أيضًا) مضروبة في ارتفاعه الذي يساوي 20 m/s:
إذن:
إزاحة الجسم خلال هذه الفترة الزمنية تساوي 525 m.
يمكننا التفكير في العجلة التي يتحرَّك بها الجسم مسافة معيَّنة بمعلومية سرعته الابتدائية وسرعته النهائية، وكذلك الزمن الذي يستغرقه الجسم في التحرُّك بعجلة.
نتناول الآن مثالًا يتضمَّن هذه الطريقة.
مثال ٢: تحديد إزاحة جسم يتحرَّك بعجلة في اتجاه سرعته الابتدائية
جسم سرعته الابتدائية 12 m/s. تحرَّك الجسم بعجلة مقدارها 2.5 m/s2 في نفس اتجاه سرعته لمدة 1.5 s. ما إزاحة الجسم عند نهاية هذه المدة؟ قرّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
الحل
بما أن هذا الجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة، إذن يمكننا وصف حركته باستخدام معادلات الحركة. وتحديدًا، نستخدم العلاقة: حيث إزاحة الجسم، سرعته الابتدائية، عجلته، الزمن الذي تحرَّك خلاله الجسم بعجلة. لاحظ أن الإزاحة والسرعة والعجلة كميات متجهة، ما يُشير إلى أهمية مراعاة الاتجاه.
تخبرنا المسألة أن جميع هذه الكميات المتجهة في هذه الحالة لها الاتجاه نفسه. وبافتراض أن الجسم على شكل نقطة، يمكننا اختيار الاتجاه الموجب لهذه المتجهات أن يكون إلى اليمين.
لاحظ أنه لا يمكن إجراء مقارنة بين أطوال الأسهم؛ لأنها تمثِّل كميات فيزيائية مختلفة.
يوضِّح الشكل السابق أن الإزاحة في نفس اتجاه عجلة الجسم وسرعته الابتدائية. وبما أن هذه القيم موجبة، إذن الإزاحة موجبة أيضًا.
وعلمًا بأن ، ، ، إذن:
وبتقريب هذا الناتج لأقرب منزلة عشرية، نجد أن إزاحة الجسم تساوي 20.8 m.
مثال ٣: تحديد المسافة التي تقطعها سيارة تتباطأ بانتظام
اتجهت سيارة شرقًا، ومرَّت بالنقطة التي تبعُد 45 m شرقًا من تقاطع الطريق. عند مرور السيارة بالنقطة كانت سرعتها 30 m/s، وقام السائق باستخدام الفرامل، فكانت عجلته 2.5 m/s2 غربًا. كم تبعُد السيارة شرق تقاطع الطريق بعد 10 s من استخدام الفرامل؟
الحل
يوضِّح الشكل التالي السيارة عند مرورها بالنقطة .
في تلك اللحظة، استخدم السائق الفرامل، ما جعل السيارة تتباطأ بمعدل ثابت مقداره 2.5 m/s2 غربًا، وهذا بدوره جعل سيارته تهدئ من سرعتها. وبعد مرور 10 s من هذا التباطؤ، علينا إيجاد المسافة الكلية التي تقطعها السيارة شرق تقاطع الطريق.
ونظرًا لأن معدل تباطؤ السيارة ثابت بمرور الزمن، يمكننا وصف حركة السيارة من النقطة باستخدام معادلة الحركة: حيث إزاحة السيارة من النقطة ، السرعة الابتدائية للسيارة، عجلة السيارة، الزمن.
تتضمَّن هذه المعادلة كميات متجهة؛ ومن ثَمَّ، فمن المفيد تحديد الاتجاهين الموجب والسالب. يمكننا اختيار اتجاه الشرق ليمثِّل الاتجاه الموجب، ما يعني أن أي متجه يُشير إلى الغرب سيكون سالبًا. ومن ثَمَّ، فإن السرعة الابتدائية للسيارة موجبة، والعجلة سالبة.
وبإيجاد إزاحة السيارة من النقطة باستخدام معادلة الحركة السابقة، نجد أن:
ويجب أن نتذكَّر هنا أن السيارة بدأت عند مسافة قدرها 45 m شرق تقاطع الطريق. ومن ثَمَّ، فإن المسافة الكلية التي قطعتها السيارة شرق تقاطع الطريق بعد 10 ثوانٍ من مرورها بالنقطة تساوي:
نتناول الآن حالة يتحرَّك فيها الجسم بعجلة في الاتجاه المعاكس لسرعته الابتدائية، ليصل إلى سرعة نهائية وإزاحة معاكستين أيضًا لاتجاه السرعة الابتدائية.
مثال ٤: حساب إزاحة جسم يتحرَّك في اتجاه سرعته الابتدائية
جسم سرعته الابتدائية 32 m/s. تحرَّك الجسم بعجلة 12 m/s2 في الاتجاه المعاكس لسرعته لمدة 5.5 s. ما الإزاحة الكلية للجسم في اتجاه السرعة الابتدائية خلال هذه المدة؟
الحل
يتضمَّن هذا المثال كميات متجهة؛ لذا، من المهم أن نحرص على تتبُّع الإشارات الموجبة والسالبة. نفترض أن اتجاه السرعة الابتدائية للجسم إلى اليمين، ما يعني أن اتجاه عجلته إلى اليسار كالآتي:
في هذا الشكل، لا يمكننا إجراء مقارنة بين أطوال الأسهم؛ لأنها تمثِّل كميات فيزيائية مختلفة. لكننا نعلم أن الإزاحة الكلية للجسم ستكون موجبة إذا كان يتجه إلى اليمين من نقطة البداية، وسالبة إذا كان يتجه إلى اليسار.
ولأن الجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة، يمكننا استخدام معادلة الحركة الآتية لوصف حركته: حيث إزاحة الجسم، سرعته الابتدائية، عجلته، زمن تحرُّك الجسم بعجلة.
وقد افترضنا أن السرعة الابتدائية موجبة ؛ ومن ثَمَّ، فالعجلة لا بد أن تكون سالبة ( m/s). وبالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، بالإضافة إلى الزمن ، نحصل على:
الإزاحة الكلية للجسم في اتجاه سرعته الابتدائية تساوي m، ما يعني أن السهم الذي يمثِّل الإزاحة الكلية في الشكل السابق يُشير إلى اليسار.
وأخيرًا، نتناول مثالًا نحسب فيه سرعة الجسم.
مثال ٥: حساب السرعة الابتدائية في اتجاه العجلة
بدأت سيارة الحركة بسرعة ثابتة، فقطعت مسافة 45 m عند التحرُّك في خط مستقيم بعجلة 1.5 m/s2 لمدة 15 ثانية. ما السرعة الابتدائية للسيارة في اتجاه عجلتها؟
الحل
بما أن الإزاحة والعجلة والسرعة كميات متجهة، إذن علينا أن نفهم جيدًا اتجاهاتها.
لاحظ أن الإزاحة (45 m) والعجلة (1.5 m/s2) قيمتان موجبتان، ما يعني أن هاتين الكميتين المتجهتين لهما الاتجاه نفسه. ونريد إيجاد السرعة الابتدائية للسيارة وإشارتها مع اعتبار أن إشارة الحركة موجبة في اتجاه عجلة السيارة.
وبما أن السيارة تتحرَّك بعجلة ثابتة لمدة 15 s، إذن يمكننا استخدام معادلة الحركة الآتية لوصف حركتها: حيث إزاحة السيارة، سرعتها الابتدائية، عجلتها، زمن تحرُّك السيارة بعجلة.
يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد السرعة الابتدائية . وبطرح من الطرفين، نحصل على:
وبقسمة طرفَي المعادلة على ، نحصل على: أي إن:
وبالتعويض بالقيم المعلومة لـ (45 m)، (1.5 m/s2)، (15 s)، نحصل على:
وحقيقة أن سالبة تعني أنها في الاتجاه المعاكس للعجلة التي تتحرَّك بها السيارة. وبالنسبة إلى الاتجاه الموجب، فإن السرعة الابتدائية للسيارة تساوي m/s.
النقاط الرئيسية
- يمكن استنتاج معادلة الحركة جبريًّا أو من خلال التمثيل البياني لجسم يتحرَّك بعجلة ثابتة.
- الكميات (الإزاحة)، (السرعة الابتدائية)، (العجلة) في هذه المعادلة جميعها متجهة، ومن ثَمَّ، يمكن أن تكون موجبة أو سالبة.
- يمكن ترتيب هذه المعادلة جبريًّا؛ بحيث يكون أيٌّ من المتغيِّرات ( أو أو أو ) المتغيِّر التابع.
